統計力学入門微視的状態とは統計力学入門微視的状態とは

統計力学入門

微視的状態とは

• 可能な限り精密に、微細なところま で記述した状態。

• 圧力、温度など平均的な物理量で

表した状態ではなく、分子・原子・電

子など、系のモデリングにより可能

な限り精密に表した状態。モデリン

グにより、記述の仕方はことなる。

例

分子

微視的状態は異なります

圧力、温度が同じでも

例

微視的状態は異なります

末端間ベクトルは同じでも

微視的状態の表し方は用いるモデル によって異なります

９個の場所に２つの分子を置く

というモデル系の場合（分子は区別しない）

９ x ８ /2=36 個の微視状態

がある

◯が隣同士の位置から離れると，エ ネルギーが e 高くなると仮定する

• 系のエネルギーが 0 である、微視的状態を マークして下さい。 ( 隣同士になるときを 0 とす る )

• 等重率の原理（平衡統計力学の出発点）

– 孤立系において、エネルギー一定という条件のも とに許される、全体としての全ての微視的状態は、

平衡状態においては、等しい出現確率をもつ。

このエネルギーのルールが 成り立つとき

• 先ほどの系を２つ合わせた系を考える。

• お互いにエネルギーをやり取りするが、分子は 行き来しないものとする。２つ合わせた系の全体 のエネルギーが e のとき、左の系に、

が現れる確率 P

、 が現れる確率 P

、

が現れる確率 P

の比を求めよ。

注目する系

その他の部分

全体

注目する系の注目する微視的状態

のエネルギー

その他の部分 全体（エネルギー

）

熱浴

熱浴の微視的状態の数

：エネルギーの関数

j

の出現確率 P

∝

等重率の原理により

P

∝ W ( E − ε

⁾ ln W ( E − ε

⁾ = ln W (E ) − ∂

∂ E ln W ( E )

#

$%

&

'( ε

∂

∂ E ln W ( E ) = 1

k

T

P

∝ exp

ボルツマン因子とは

部分系が温度 T の熱浴と熱平衡状態にあると きを考える．部分系の微視的状態 j   の出現確 率は P

と，微視的状態 j   のエネルギー E

との 間には，

の関係がある． のことをボルツ マン因子という． k

はボルツマン定数である．

P_j ∝exp − E_j k_BT

#

$% &

'(

exp − E_j k_BT

"

#$ %

&

'

分配関数

Z =

の和 exp − H k_BT

"

#$ %

&

'

H は系のエネルギー

ヘルムホルツの自由エネルギー F

F = − k

T ln Z

S と W

• 考えている条件で，系に許された状態の数 W と系のエントロピー S との間には，

の関係がある（ボルツマンの関係式）．

S = k

ln W