練習2.1の解答
練習1.1前回講義で話し た事は、媒介変数で表された関数x=x(t), y=y(t) があるとき 、 dy
dxは
dy dx=
dy dt dx dt
(1)
とし て計算でき るという 事でし た 。もちろん分母がゼロに なるといけ ないの で、dxdt6= 0が必要に なります。こ の とき 、xは単調増加か単調減少に なるの で、xとtは1対1に なるの で、dydxの x=x(t0)に おけ る値が知りた け れ ば上の 式(1)の 右辺に t=t0を代入するとよいという 事に なります。
dy dt = d
dta(1−cost) =asint dx
dt = d
dta(t−sint) =a(1−cost) なの で、x=aπに なるの はt=πの とき なの で、
dy
dx(x0) = asinπ a(1−cosπ)= 0.
講評 はじめての 事なの で、何を計算し た ら良いの か戸惑っ た人が多かっ た よう です。やり方が分かれば何でもない事ですが。
練習2.2の解答
こ れは合成関数の 微分の 計算問題です。皆さん、やり方は分かっ ていても計 算間違いが多いとこ ろですが、さらに 、始めて習っ た 双曲線関数や逆三角関 数の 微分が入り乱れていて、混乱し た 人も多かっ た よう です。混乱し た 時は 原点に 戻っ て、暗算でなく 合成関数の 微分の 公式に 戻っ て計算する事です。こ れでず いぶんミスが防げると思います。そ れではそ れぞれの 問題の 解答をし ます。
(1) log(coshx)を微分する。こ の 関数はz= logyに y= coshxを代入し た 合成関数なの で、
dlog(coshx)
dx =dz
dy dy dx=1
ysinhx=sinhx coshx= tanhx と計算すればいい。
講評 対数関数の 微分が変な人が何人かいまし た 。復習し ておいて下さい。
他の 問題よりもでき は良かっ た です。
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(2) sin−1(3x+ 1)を微分する。こ の 関数はz= sin−1yに y= 3x+ 1を代 入し た合成関数なの で、
dsin−1(3x+ 1)
dx =dz
dy dy dx= 1
p1−y2·3 = 3 p1−(3x+ 1)2. と計算すれば良い。
講評 良く でき ていまし た。最後の 根号の 中を計算するか否かは、そ の 後の 式の 使い方に よりますね。とく に 計算し なけ れば間違いという 訳ではありま せ ん。
(3) cos−1(x2+x)を微分する。こ の 関数はz= cos−1yにy=x2+xを代 入し た合成関数なの で、
dcos−1(x2+x)
dx =dz
dy dy dx=− 1
p1−y2(2x+ 1) =− 2x+ 1 p1−(x2+x)2 となる。
講評 こ れも良く でき ていまし た 。もっ とも逆三角関数の 微分で戸惑う 人も まだ大分います。
(4) etanxを微分する。こ の 関数はz=eyに y= tanxを代入し た 合成関 数なの で、
detanx dx =dz
dy dy dx=ey 1
cos2x= etanx cos2x となる。
講評 こ れも良く で き ていまし た 。た だ、etanxがいつの 間に かexに なっ てし まっ ている人がいまし た 。
(5) tan(cos−1x)を微分する。こ の 関数はz= tanyに y= cos−1xを代 入し た合成関数なの で、
dtan(cos−1x)
dx =dz
dy dy dx= 1
cos2y
−1
√1−x2= −1 (cos(cos−1x))2√
1−x2= −1 x2√
1−x2 と計算する。cos−1xはcosxの 逆関数だから
cos(cos−1x) =x
であるこ とに 注意し まし ょう 。
講評 こ の 問題が一番難し かっ た よう です。逆三角関数の 使い方に なれる事 が必要ですね。
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(6) x3tan−1exの 微分を計算する。こ れもz= tan−1exをz= tan−1y, y= exとかく こ とに より、
dx3tan−1ex dx =dx3z
dx = 3x2z+x3dz dx で、
dz dx=dz
dy dy dx= 1
1 +y2ex= ex 1 +e2x となるの で、まとめて、
dx3tan−1ex
dx = 3x2tan−1ex+ x3ex 1 +e2x を得る。
講評 こ れは面倒ですね。積の 微分と合成関数の 微分と二つを組み合わせ た 問題でし た 。でも心配し た よりでき は良かっ たです。
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