に対して In= (¡1)n n! Z 2 0 xnexdx とおく．ただし， 0

九州大学の問題を解説しましょう. ^{大学入試問題}2(^高知大学)^{によく似て} いますが, ^{少し難しいです．}

e^x = X1 n=0

xⁿ

n! = 1 +x+x² 2! +x³

3! +¢ ¢ ¢

が任意の実数xに対して成り立つことを大学1年くらいで習います．うまく 工夫すれば, 高校数学だけを使ってこの式を(x^{の特定の値に対して})^証明す ることができます．高知大はx= 1^の場合, ^九大はx=¡2^{の場合です}.

n= 0;1;2;¢ ¢ ¢ ^に対して

In= (¡1)ⁿ n!

Z 2 0

xⁿe^xdx とおく．ただし， 0! = 1^とする．

(1) I0の値を求め, n = 1;2;¢ ¢ ¢ ^のときInとI_n¡1^{の関係式を求めよ}. ^ま た，これらを用いてI₃^{の値を求めよ}.

(2) 0 5 x 5 2^に対してe^x 5 e^{2であることを利用して}, ^{次の不等式を} 示せ.

1 n!

Z 2 0

xⁿe^xdx 52e² µ2

3

¶n¡1

(n = 1;2;¢ ¢ ¢)

(3) ^極限 lim

n!1

Xn k=0

(¡1)^k2^k

k! ^を求めよ. 解 (1) I0 =

Z 2 0

e^xdx=h e^xi2

0 =e² ¡1 部分積分によりn=1^のとき

I_n= (¡1)ⁿ n!

Z 2 0

xⁿ(e^x)⁰dx= (¡1)ⁿ n!

½hxⁿe^xi2 0¡

Z 2 0

(xⁿ)⁰e^xdx

¾

= (¡1)ⁿ n!

½

2ⁿe²¡n Z 2

0

x^n¡1e^xdx

¾

=e²(¡1)ⁿ2ⁿ

n! +In¡1

後のことを考えると，階差の形で書くと便利です. ^すなわち In¡In¡1 =e²(¡1)ⁿ2ⁿ

n! (n = 1;2;¢ ¢ ¢) 1

したがって

I3 =I0+ X3 n=1

(In¡In¡1) =e²¡1 +e² X3 n=1

(¡1)ⁿ2ⁿ n!

=e²¡1 +e² µ¡2

1 +2²

2 +¡2³ 3!

¶

=¡1 3e² ¡1 (2) 1

n!

Z 2 0

xⁿe^xdx 5 1 n!

Z 2 0

e²xⁿdx = e² 2ⁿ⁺¹

(n+ 1)! ^{ですから後は} 2ⁿ (n+ 1)! 5 µ2

3

¶n¡1

を示せば証明が終わります. ^ところが 2ⁿ

(n+ 1)! 5µ 2 3

¶n¡1

() 2¢3^n¡1 5(n+ 1)!

なので結局2¢3^n¡1 5 (n+ 1)!を示せばいいことになります．この不等式は n = 1のときは明らかに成り立ち, ^また，n =2^のときは

(n+ 1)! = (n+ 1)n(n¡1)¢ ¢ ¢3

| {z }

n¡1個

¢2¢1=2¢3^n¡1

によって示されます. (3) (1)^によれば(¡1)^k2^k

k! = 1

e²(Ik¡I_k¡1) (k = 1;2;¢ ¢ ¢)^なので Xn

k=1

(¡1)^k2^k k! =

Xn k=1

1

e²(I_k¡I_k¡1)

= 1

e²(In¡I0) = 1

e²In¡1 + 1 e² k = 0^{に対応する項}(¡1)⁰2⁰=0! = 1^を加えて

Xn k=0

(¡1)^k2^k k! = 1

e²In+ 1 e²

ところで(2)^は05jI_nj5(^定数)¢(2=3)^{n¡1を示しているので}, ^{はさみうちに} よってIn !0^{です．したがって} lim

n!1

Xn k=0

(¡1)^k2^k k! = 1

e²(=e^¡2) ¥ 2