低次元フェルミ系における集団励起と熱電輸送

低次元フェルミ系におけ

る集団励起と熱電輸送

栗原進研究室 博士課程３年

吉元広行

研究課題

（Ⅰ）１次元電荷密度波での熱電輸送

（Ⅱ）２次元調和ポテンシャル中の

中性フェルミ気体の集団励起

低次元フェルミ粒子系での集団励起 について興味深い現象を探る

（Ⅰ）１次元電荷密度波での熱電輸送

・電荷密度波

熱電輸送と電荷密度波

モデルと計算手法 結果と考察 まとめ

・

Fröhlichハミルトニアン

・摂動計算

・熱起電力 ・熱伝導度 ・背景

背景

Q J J V ∇ 4 2O NaCo 熱電変換材料 量子多体効果が重要な系での熱電輸送 特性を調べる。 電荷密度波（CDW）系に着目 半導体 I. Terasaki. et. al (1997) etc 強相関電子系 3 2Te Bi Sb Te_{2 3 etc} 熱起電力 : 0 J

V

S

T

₌

∇

≡

∇

熱伝導度： 0 Q J

J

K

T

₌

≡

∇

電荷密度波（

CDW）

電子･フォノン相互作用

電荷密度 格子位置 a π − F E a π E k F k − kF E a π k F E F k − kF ∆ 2 a π −

位相モード

CDWの集団励起

電荷密度

振幅モード

2 2 2

( )

/(3 )

F

q

v q

α

ω ω

µ

λ

=

=

+ Ω

( )q φ ω ω= q λΩ

ω

( )q α ω ω=

( )

/

F

q

v q

φ

ω ω

µ

=

=

振幅のゆらぎ 全体の並進移動→電流へ寄与

二つの集団励起モードの熱電

輸送への寄与を調べる

)

(

)

(

)

(

k

_{3 1}

c

k

c

H

_k k

τ

τ

ξ

+

∆

=

∑

+

∑ ∑

= +

₊

+

2 , 1

)

(

)

(

)

(

2

j kq j j

q

c

k

q

c

k

N

φ

τ

γ

モデル：

_{Fröhlichハミルトニアン}

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

− + F F k k k k

c

c

k

c )

(

) ( 2 q φ ) ( 1 q φ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + F F k q k q b b i i q b q b 2 2 2 1 1 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) (q b q b_{j j} j = + − +

φ

k k q k + q k +

:

j

τ

パウリ行列 2 1,2

( )

( )

F k j j j q

b q b q

ω

+ =

+

∑

準粒子 _{振幅モードと（ ）、位相モード（ ）} 振幅、位相モード － 準粒子相互作用 S. Kurihara (1976) 1 = j j = 2 ：準粒子 ：集団励起

本研究で扱う簡単化

P

T

T

<<

（転移温度）

準粒子の寄与 × 集団励起による、熱伝導 熱起電力を解析

不純物 ×

励起の減衰 ･熱エネルギー、外部電場により ピン止めの外れやすい系を想定 集団励起の非線形相互作用

熱伝導度 電気伝導度 熱起電力 2 11

e

L

T

σ

=

12 11

L

S

eTL

=

)

)

(

(

1

11 2 12 22 2

_L

L

L

T

K

=

−

計算手法１

11

(

eV

)

12

1

J

L

L

T

T

µ

∇ +

_{⎛ ⎞}

= −

_{+ ∇⎜ ⎟}

⎝ ⎠

21

(

)

22

1

Q

eV

J

L

L

T

T

µ

∇

+

_{⎛ ⎞}

= −

+

_{∇⎜ ⎟}

⎝ ⎠

ˆ ˆ

i j

i

j

L

=

J J

熱流演算子 電流演算子

2

ˆJ

1

ˆJ

線形応答

1

電流 熱流 相関関数 外部電圧 温度勾配 J.M.Luttinger (1964) ) (L12 = L21

)

(

)

(

k

₃

c

k

c

v

e

J

p k

τ

∑

+

=

計算手法２

電流、熱流演算子

)

,

(

)

,

(

)

2

/

(

_{3 n l} k n k l n e Q

i

v

c

k

c

k

J

ε

ω

ε

τ

ε

ω

σ

+

+

=

∑

+

)

,

(

)

,

(

)

2

/

(

2 , 1 , l n j j i kn n i ph l n ph Q

i

v

b

k

b

k

J

=

∑

ε

+

ω

ε

ε

+

ω

= +

電流演算子

:

熱流演算子:

-- 準粒子 -- フォノン n

i

ε

, : 松原周波数 l

i

ω

摂動計算（1ループ、Aslamazov-Larkinダイアグラム）

( , )

G

ε ξ

=

( , )

D q

_φ

ω

=

( , )

D q

_α

ω

=

:振幅モード :位相モード :準粒子 電流 熱流 頂点部分 Green関数 位相モード 振幅モード 無摂動（準粒子） 0でない寄与の分類 １ループタイプ 高次摂動（集団励起） ALダイアグラム P

T

T

<<

電流 熱流 頂点部分 位相モード 分類方法（空間反転に対する対称性） 振幅モード 偶パリティ 奇パリティ 頂点部分が合計で偶となる組を残す

σ

S

K

0

=

位相モード 準粒子 振幅モード

位相モードの励起の減衰

2

4

P

ω τ

πµ

=

2 2 2 / 1

2

sinh

16

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

T

k

T

k

B B α α

ω

πω

µ

τ

τ

:位相モードの減衰時間

S. Kurihara (1976)

φ Π

₌

+

+

+

α ω : 振幅モードギャップ(10～20K)

=

σ

) (k_BT <<

ω

_α

)

(

4

1/2 α

ω

π

µ

_≥

T

k

T

k

_B B

h

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

T

k

T

k

B B α α

ω

πω

µ

exp

8

2 2 / 1 ≈

µ

: 質量パラメータ _O(102_～103)

12

₁

1

_{( )}

2

_F

L

σ

T

λ ε

∆

_⎛

_⎞

∆

=

_⎜

−

_⎟

⎝

⎠

2

1

lo g

ε

F

λ

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

∆

⎝

⎠

∆

: CDW ギャップ

結果１

熱起電力

１ループダイアグラムから計算

1

1

( )

1

2

_F

S T

eT

λ ε

∆

_⎛

_⎞

∆

=

_⎜

−

_⎟

⎝

⎠

～O(1) 2 10 K ～ 0.1 ～ F ε ∆

J. Wang, et. al (2004)

実験との比較１

) / ( V K S

µ

0.3 3 Rb MoO Ta の熱起電力の温度依存性 0.15 0.15 3 Rb K MoO

1

1

( )

1

2

_F

S T

eT

λ ε

∆

_⎛

_⎞

∆

=

_⎜

−

_⎟

⎝

⎠

T

/

1000

( )

B

S T

AT

T

=

+

B

～

O(10 )

4

[ ]

µ

V

実験

[ ]

3

O(10 )

B

～

µ

V

_本計算 準粒子の寄与を解析する 必要がある

J.P. Stokes and A.N. Bloch (1984) 3

TaS

実験との比較2

（非線形領域での熱起電力）

T=150k 熱起電力、微分コンダクタンスの 電場依存性 12

_{( ) /}

12

₍₀₎

₁

( ) / (0)

( ) / (0)

( ) / (0)

L E L

S E S

E

E

σ

σ

σ

σ

=

∝

%

%

%

%

この実験では‥ ( )E

σ

_% ：微分コンダクタンス は電場依存性をもたない 12

L

閾値電場 12

_{( )}

₁

1

Const

( )

2

_F

L T

e

T

σ

λ ε

∆

_⎛

_⎞

∆

=

_⎜

−

_⎟

=

⎝

⎠

本計算 と は温度に関して同じ依存性 12

L

σ

熱電輸送に集団励起依存はない？？

τ

λπ

µ

ω

_h

T

e

v

v

K

P F ph ph

4

2 2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

τ

λπ

ω

ε

e

T

h

K

P F el

4

3

2

3

2 2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ∆

=

結果

_{2 熱伝導度}

（準粒子）からの寄与 e Q

J

)

)

(

(

1

11 2 12 22 2

_L

L

L

T

K

=

−

（フォノン）からの寄与 Ph Q

J

１ループダイアグラムの寄与は０ 振幅、位相が ともに励起

（ローレンツ数

との比較）

0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 0.6 0.8 α ω T k_B 2 ) ( / ) (T K ω_α K 2 0 2

12

/

el F

K

σ

L T

ε

λ

⎛

_∆

⎞

=

_⎜

_⎟

⎝

⎠

2 0

4

12

/

ph ph F

v

K

L T

v

µ

σ

λ

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

⎝

⎠

α

ω

～

T

k

_B 2 2 0 3 ⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = e k L

π

B : Lorentz 数 2 2 1 2

12

(10

10 )

F

O

ε

λ

− −

⎛

∆

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

～

～

2 1

4

12

(1 10 )

ph F

v

O

v

µ

λ

−

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

～

～

大きさの評価

L

₀ 振幅モードギャップ程度の温度（_10～20K ）で比較 指数関数的に増大 一定値 K(ω_α) に近づく α

ω

～

T

k

_B で熱伝導度は観測の可能性がある

実験

_{(熱伝導度)}

A. Smontara and K. Biljakovic (1993)

R. S. Kwok, and S. E. Brown (1989)

揺らぎによる集団励起の寄 与 P

T

T

<<

ではこれまで集団励 起の影響は確認され ていない CDW系での熱伝導度の温度依存性 4 3 (NbSe ) I 3 10 4) I (NbSe 3 0.3MoO K

Ⅰのまとめ

・線形応答を用いて、集団励起によるCDWの 熱電効果を計算 ・ は電気伝導度と同じ温度依存性 ・熱起電力は温度に逆比例 12

L

・位相モード、振幅モードの非線形相互作用から熱伝導度を導出 ・ローレンツ数との比較し、集団励起の寄与による熱伝導が 観測可能なことを示した。 課題 ・外部電場が小さいときの不純物の寄与 ・ノーマルフォノンの影響

Ⅱ

２次元調和ポテンシャル中の中性フェルミ気体

の集団励起

計算方法

結果

考察、まとめ、今後の課題

・集団座標の方法、スケーリングの仮定 ・Boson、Fermionの集団励起 ・実験 ・本研究での方法 ・単極子、双極子、四重極子振動 ・相互作用増大に伴う不安定性

イントロダクション

1995年 JILA, MIT Bose-Einstein凝縮の観測

1999年 JILA, フェルミ縮退を実現 Bogoliubov 音波モード等々集団励起、 観測

中性原子系の研究の経緯

Fermion超流動 BCS－BEC crossover

フェルミ気体の集団励起

http://cua.mit.edu/ketterle_group/Projects_1998/Coll_exc/Collective_ex citations.htm

Na

双極子振動 集団励起の実験（ボソン） 四重極振動、双極子振動 （相互作用の情報を取り出せる）

研究目的

低次元フェルミ気体の集団励起の一般的手法を構築 point ・トラップポテンシャル ・相互作用（Hartree term） ・Sum-rule approach ・（半）古典的解析（輸送方程式） ・（ダンピング） これまでの手法 基礎方程式より集団励起を導出 本研究 一様系のように摂動論を適用することが困難

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2

1

i

( , , )

2

2

i i i i

m

x

y

gn x y t

t

m x

y

H

σ σ σ σ

ψ

ω

ψ

ψ

ψ

⎡

⎤

∂

⎛

_∂

_∂

⎞

= −

_⎢

_⎜

+

_⎟

+

+

_⎥

+

∂

_⎣

_⎝

∂

∂

_⎠

_⎦

=

h

h

モデル

2 1

( , , )

N _i

( , , )

i

n x y t

ψ

x y t

=

=

∑

0

=

T

粒子間相互作用 （δ関数型） 外場： ２次元調和ポテンシャル 平均場近似 温度： 気体：２成分

σ

=↑↓

：質量 ：トラップ周波数

m

ω

g

_{：相互作用の大きさ} 粒子密度 励起の減衰は考えない z ho s

a

a

∝

s波散乱長 z方向のトラップ の大きさ

初期条件

0

=

t

( , ,0)

(

)

(

)

i

x y

i

i

n

x

m

y

σ

σ

σ

ψ

_{= %}

ψ ρ ψ ρ

_%

i i i y i x x y x x y r x r R R σ σ σ σ σ σ

ρ

= −

ρ

= − ：整数

m

n,

2 2

( )

( )

x n

x

e H x

n

ψ

_%

=

− ：調和ポテンシャルの固有関数 中心からのずれ

r

_{σ x} x

R

_σ 気体の広がり

0

=

t

0

0

=

=

=

r

g

r

_{σ x σ y}

[

]

( , , ) exp

(

)

(

)

(0)

(0)

i i i n m x y

x

y

x y t

Ht

R

R

σ σ σ

ψ

=

−

ψ

_%

ψ

_%

)

1

(

m

=

_h

=

ω

=

計算手法

時間発展演算子 ( , , )

e

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

if t x y n m x y x y

x

y

R

_σ

t R

_σ

t

ψ

R

_σ

t

ψ

R

_σ

t

=

_%

_%

固有関数の形は不変！（調和ポテンシャルの特殊性） 位相因子

2 , _{2 2} , ,

1

1

1

( , , )

|

|

2

_{/ 2}

_{/ 2}

F F x y x y x y n n n n n n _{x y} n n _{x x y y}

n x y t

R R

_n

_n

ψ

π

_ρ

_ρ

=

=

−

−

∑

∑

2 2 2 2

1

2

_x

( ) ( )

_y F

2 ( )

_x

2 ( )

_y

x

y

n

R t R t

R t

R t

π

⎛

⎞

=

_⎜

_⎜

−

−

_⎟

_⎟

⎝

⎠

WKB近似： 2

( )

x

R

_σ

t

=

1

1

2

(

1

2

)

cos(2 )

2

λ

⎡

⎣

+

λ

− −

λ

t

⎤

⎦

気体の平均的な広がりを表している 相互作用 も調和型となる！！ Yu. Kagan (1996) ボソンで同様の結果

( , , )

g n x y t

i ( , , ) ,

( , , ) e

( )

( )

x y x y x y t n n

x y t

n x n y

ψ

₌

Φ

ψ ρ ψ ρ

%

%

,

0

0

x y

r

_σ

r

_σ

≠

g

≠

解を仮定 i i i y i x x y x x y r x r R R σ σ σ σ σ σ

ρ

= −

ρ

= − 解を方程式に代入 自己無撞着に

( ),

( ),

( ),

( )

x y x y

R

_σ

t R

_σ

t r

_σ

t r

_σ

t

を決定 相互作用を構築 一般の場合の計算手法

σ σ σ σ σ σ − −

+

−

=

y x x x x x

R

R

R

g

R

R

R

dt

d

_i 3 3 2 2

₁

)

(

3 2 2 σ σ σ σ σ σ − − −

−

+

−

=

_{x x} y x x x

r

r

R

R

g

r

r

dt

d

)

,

,

(

r

_x

R

_x

⇒

R

_y

r

_y

(

r

_σ

,

R

_σ

⇒

R

_−σ

,

r

_−σ

)

スケーリングパラメータ 重心座標 スケーリングパラメータと重心座標の方程式

様々な極限 Ex１

R

_x↑

=

R

_y↑

=

R

_x↓

=

R

_y↓

=

R

2 2 2

1

₁

₁

_{cos(2 )}

2

1

1

g

R

t

g

g

λ

λ

λ

⎛

⎛

⎞

⎞

+

=

⎜

_⎜

+

− −

_⎜

_⎜

_⎟

_⎟

⎟

_⎟

+

_⎝

+

_⎠

⎝

⎠

単極子振動 （等方的振動） 4 / 1

)

1

(

g

R

=

+

静止解で

,

x x y y

R

_↑

=

R

_↓

= +

R

f

R

_↑

=

R

_↓

= −

R f

Ex2 四重極振動（非等方的振動） 4 / 1

)

1

(

g

R

=

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

≅

t

g

g

A

f

1

2

2

cos

2 ) 0 ( R = λ

x

y

x

y

4

.

0

)

0

(

=

x

R

(0) 0.9

y

R

=

9

.

0

=

g

4

.

0

)

0

(

=

x

R

(0) 0.9

y

R

=

0.4

g

=

Ex3

,

x y x y

R

_↑

=

R

_↑

= +

R f

R

_↓

=

R

_↓

= −

R f

4 / 1

)

1

(

g

R

=

+

1

c o s 2

1

g

f

A

t

g

⎡

₋

⎤

≅

_⎢

_⎥

+

⎣

⎦

R

R

R

R

R

_x↑

=

_y↑

=

_x↓

=

_y↓

=

r

_x

r

_y

r

,

dr

x

0

dt

σ σ

=

σ

=

σ

≠

Ex４ 双極子振動 (二成分のモードカップリングはBoson で同様 の計算 K. Kasamatsu, et. al.(2004))

4 / 1

)

1

(

g

R

=

+

[ ]

1

c o s

r

_↑

+

r

_↓

≅

A

t

2

1

c o s

1

g

r

r

A

t

g

↑ ↓

⎡

₋

⎤

−

≅

_⎢

_⎥

+

⎣

⎦

mode coupling 磁気分極子振動

x

y

x

y

1

>

g

で系が不安定化

1

>

g

で系が不安定化

・不安定性についての考察（ LDAでの計算）

(

)

2 2 2 2

₍

₎₍

_{) 2 2}

_/

z Trap ho

E

N

d x n

n

V

n

n

a a

n n

m

π

µ

⎡

_{↑ ↓}

µ

_{↑ ↓}

π

_{↑ ↓}

⎤

−

=

h

∫

_⎣

+

+

−

+

+

_⎦

系の安定性の条件より

1/ 2

/

0

/

1/ 2

z ho z ho

a a

a a

π

π

≥

2

π

a a

_hoz

∴

≤

Ex3,Ex4の結果を再現 考察１ 運動エネルギー 競合！ 相互作用エネルギー 2

_[

_E

_N

_{] 0}

δ

−

µ

≥

D.S. Hall. et. al(1998)

2成分ボソン

(0) 0.95

R

_↑

=

(0) 0.55

R

_↓

=

0.999

g

=

(0) 0.95

R

_↑

=

(0) 0.95

R

_↓

=

0.1

g

=

(0) 0.1

r

_↑

=

(0) 0.2

r

_↓

=

↑ R R_↓ (0) 0.95 R_↑ = (0) 0.55 R_↓ = 0.5 g= (0) 0.1 r_↑ = (0) 0.2 r_↓ = r_{↓ r} ↑

今後の課題

・ダンピングの評価(平均場より高次の効果) ・トラップ系での摂動論 ・超流動の解析 まとめ ・T=0での二次元調和振動子中、フェルミ気体の集団励起を解析 ・シュレディンガー方程式から出発して重心座標、スケーリングパ ラメータの運動方程式を解析的に導出。 ・二成分フェルミオンの斥力増大に伴う系の相分離を導出 ・単極子、双極子、四重極子、磁気分極振動を導出

全体のまとめ ・低次元フェルミ粒子系での集団励起を研究 ・線形応答を用いて、集団励起によるCDWの 熱電効果を計算 ・熱起電力は位相モードの寄与より導出 ・位相モード、振幅モードの非線形相互作用から熱伝導度を導出 （Ⅰ） 電荷密度波での熱電応答 （Ⅱ） 電荷密度波での熱電応答 ・T=0での二次元調和振動子中、中性フェルミ気体の集団励起を解析 ・シュレディンガー方程式から重心座標、スケーリングパラメータの 運動方程式を解析的に導出。 ・単極子、双極子、四重極子、磁気分極振動を導出

2 / 7 = f m mf =9 / 2

K

40

B. DeMarco and D.S. Jin(2002)

K40のSpin励起の減衰時間の計測 K. M. O’Hara, et. Al (2002) トラップを切った後の時間発展 フェルミ粒子の集団励起

Li

6

課題

_{励起の減衰}

F

T

T /

) / (T T_F F

L. Vichi and S. Stringari (1998)

半古典近似より導出

1

( /

_F

)

F T T

τω

∝

フェルミ温度より十分低温では減衰時間

ωτ

>>1 トラップ周波数

2 2

_|

_|

2

2

Trap

i

V

g

t

m

µ

⎛

⎞

∂Ψ

= −

_⎜

∇ +

−

_⎟

Ψ +

Ψ Ψ

∂

_⎝

h

_⎠

h

]

[

)

(

1

f

I

v

f

r

U

U

m

r

f

v

t

f

coll Mf Trap

₌

∂

∂

∂

+

∂

−

∂

∂

+

∂

∂

_{Boltzman-Vlasov方程式}

（Fermion）

G-P方程式（Boson）

)

(

]

)

,

(

Exp[i

)

,

(

=

Φ

Ψ

₀

ρ

Ψ

r

t

r

t

)

~

,

(

)

,

,

(

r

v

t

f

₀

v

f

=

ρ

2

( ) '

,

( )

( )

( )

r

v

R t

v

r

R t

R t

R t

ρ

=

_%

=

−

Scaling ansatz

スケーリングの仮定、集団座標の方法

（iii）任意の時間変化する調和振動子解を解く 2 2 2 2

1

( )

(

( ))

2

2

d

t

H

x

t

dx

α

_β

= −

+

−

ψ

ψ

H

t

=

∂

∂

i

2 1 2 ( )

1

( )

( , )

(

)

( )

( )

if t i x i x n n

x r t

x t

e

R t

R t

γ γ

ψ

₌

+ +

ψ

−

上の方程式に以下の解を代入 2 2 2 3

1

R

R

t

R

α

∂

=

−

∂

2 2 2 2

βα

α

+

−

=

r

dt

r

d

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

=

R

r

t

R

2 1

γ

3 2

1

R

t R

γ

=

∂ ⎛ ⎞

_{⎜ ⎟}

∂ ⎝ ⎠

以下の運動方程式を得る J.Phys.B36,2817(2003) （Boson系の計算）

調和振動子の解

Yu. Kagan Phys. Rev A 54, R1753, (1996) 2 2 2

( )

2

_|

_|

2

2

2

t

i

r

g

t

m

ω

_µ

⎛

⎞

∂Ψ

= −

_⎜

∇ +

−

_⎟

Ψ +

Ψ Ψ

∂

_⎝

h

_⎠

h

2 0

1

( )

( , )

Exp[i

i ]

(

)

( )

2

( ) '

( )

mr R t

r

r t

t

R t

R t

µ

R t

Ψ

=

−

Ψ

h

G-P方程式に上の解を仮定し以下の方程式を導出

2 2 2 2 2 0 0 0 | 0 | 0 2 2 i r g m ρ

ω

_µ

τ

⎛ ⎞ ∂Ψ _{= − ∇ + − Ψ + Ψ Ψ} ⎜ ⎟ ∂ _⎝ h _⎠ h

τ

( )

t

=

∫

t

dt R t

'/ ( ')

2 2 2 3 0

( ) ''

( )

( )

/ ( )

R t

+

ω

t R t

=

ω

R t

参考にした手法

1

G-P方程式

2

π

a a

≤

_hoz

nm

1000

=

a

z ho

a

m

ω

=

h

kg

10

67

.

1

6

×

×

−27

=

m

Js

10

0

.

1

×

−34

=

h

Hz

10

4

～

ω

リチウム６についての見積もり

（ M：イオンの質量）

格子変位

Q

q

の運動方程式

2 2

2

_{( )}

q q q

g

Q

q

Q

M

ω

χ

⎛

⎞

= −

_⎜

+

_⎟

⎝

⎠

&&

h

(

2 )

_F

Q q

=

k

にフォノンが凝縮

( ) (2 ) k k q d k k q f f dk q χ π ε ε + + − = −

∫

r q q2

Q

ω

=

G. Grüner ： Density Waves In Solids

( )q

χ ：応答関数

q

位相モード、振幅 モードの励起 特徴的なエネルギースケール K 10 ～ α

ω

k

位相モード、振幅_{モードの励起} ∆ ～1 0 0 K 振幅モードギャップ 準粒子ギャップ

中間状態（計算の近似）

k k k − q q q k k k q q 近似 寄与なし

熱電輸送に与える影響？

P. A. Lee ,et. al (1973)

σ

→ ∞

ピン止めのないとき

位相モード

M. E. Itkis et. al(1990)

3

TaS

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∆ ∆ − − + ∆ − − − =

ξ

ε

ξ

ε

ξ

ε

ξ

ε

ξ

ε

ξ

ε

ξ

ε

F F F i G 4 4 0 ) 4 ( 1 ) , ( ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

1

2

)

,

(

q

v

q

D

F

µ

λ

ω

ω

φ

−

Ω

−

Ω

=

+

=

+ + ... 2 2 2

1

2

)

,

(

q

v

q

D

F

µ

ω

ω

α

−

Ω

=

:振幅モード :位相モード

Green関数（準粒子、フォノン）

3

TaS

の熱起電力

0.5 1 1.5 2 10 20 30 40 50 60 ) ( / ) ( σ ω_α σ T

熱電および熱流相関関数（

_RPA）

σ

λ

ω

ω

_λ ω

)

1

1

(

2

)

(

Im

12 1 0 12

lim

=

∆

−

=

− + →

e

L

L

i

σ

λ

ω

ω

_λ ω 2 2 2 22 0 22

₍

1

₁

₎

4

)

(

Im

lim

=

∆

−

=

− + →

e

L

L

i

)

1

1

(

2

11 12

−

∆

∆

=

=

λ

ε

_F

T

e

L

L

T

e

S

1 2 2 2 2 2 1 1

1

(

)

(

L

)

K

L

T

L

=

−

=

0

密度の構成

4 2 2 0 0 2 2 2 2

)

2

(

)

(

2

1

!

)!

2

(

!

)!

2

(

)

(

)

(

1

)

,

(

k n n n n y x x x n n

e

k

L

rk

J

e

n

n

y

H

x

H

y

x

n

F F y x y x − ∞ ≤ + + −

∫

∑

=

=

π

π

2 2

_y

x

r

=

+

)

2

(

)

2

(

2

1

2 2

x

2

y

2

n

y

x

n

_F

−

+

_F

−

+

≅

θ

π

J

= ∇ −

σ

V

σ

S T

∇

Q

J

=

σ

ST V K T

∇ − ∇

′

背景１

+ ‐ V E

J

J Q J J V ∇ 電流の担い手 ： 電子 熱流の担い手 ： 電子 フォノン 熱起電力 : 0 J

V

S

T

₌

∇

≡

∇

熱伝導度： 0 Q J

J

K

T

₌

≡

∇

フレーリヒハミルトニアン

k k k k

H

=

∑

ξ

c c

+ _{q q q} q

b b

ω

+

+

∑

1 ( ) 2N _{k q}γq bq b q c ck k q + + − + +

∑

+

Sum rule

L.Vichi and S. Stringari

(1999)