フリーラグランジュ有限要素法による剛体の着水現象の数値解析

フリーラグランジュ有限要素法による剛体の着水現象の数値解析

Numerical analysis of water-entry phenomena of a rigid body by the free-Lagrange FEM

精密工学専攻 

11

Satoru UCHIYAMA

1.

着水衝撃現象とは物体が速度を持って水面に衝突すると きに水面から撃力を受ける現象であり，飛行艇の着水，宇 宙船の海上着水などに見られる．また，着水衝撃現象の一 例として荒海上を船舶が航行するとき，船首が波によって 持ち上げられたのち海面に叩きつけられる現象がある．こ の現象をスラミング（

Slamming

また，物体の着水衝撃問題をモデル化すると，固体（構造 物）と自由表面を持つ液体（流体）の連成問題となる．流 体−構造物連成問題に対する計算手法として有限要素法

（

FEM

FEM

⁽¹⁾

Fictitious Domain

Level Set

⁽²⁾

2.

2.1

液体は非圧縮性ニュートン流体とし，流れは

2

Du i

Dt = σ ij,j + f i (1)

と連続の方程式

u _i,i = 0 (2)

である．ここに，

t

D/Dt

x _i (i = 1, 2)

u _i

x _i

σ ij

σ ij = − pδ ij + 1

Re (u i,j + u j,i ) (3)

p

δ _ij

Re

f _i

x _i

Fig.1

x ₂

f ₁ = 0

f 2 = − 1/F r ²

F r

L

U = √

gL

L

Fig. 1: Fluid region Ω with a free surface Γ f

Fig.1

Ω

面

Γ f

Γ w

Γ st

Γ w

u i n i = σ ij n j t i = 0 (4)

Γ st

u _i , a _i = 0 (5)

を課す．ここに，

n i

x i

t i

x i

2.2

離散化は三角形要素を用いる有限要素法によって行う．

流速と圧力はともに

x i

1

計算の安定化のために

PSPG

⁽³⁾

PSPG

(1),(2)

∫

Ω

[ u ^∗ _i

( Du i

Dt − f i

)

+ u ^∗ _i,j σ ij + q ^∗ u i,j

] dΩ +

∫

Ω

q _PSPG ^∗

( Du _i

Dt − σ ij,j − f i

) dΩ = 0

(6)

となる．ここに

q _PSPG ^∗

iは

PSPG

q ^∗ _PSPG

= τ PSPG q _,i ^∗ (7)

で定義される．ここに

τ _PSPG

τ _PSPG = [( 2

∆t ) 2

+

( 2 || u ^h ||

h _e ) 2

+ 4U L h ² _e Re

] ₋

(8)

で与えられる．ここに，

∆t

u ^h

h _e

U

L

(6)

Ma − Hp + Su = F (9)

M _ε a + H ^T u + H _ε p = F _ε (10)

を得る．ここに，

a

u

p

F

M

H

S

H ^T

式

(9)

(1)

(10)

(2)

ε

PSPG

時間軸を一定の長さ

∆t

t ⁿ = n∆t

t ⁿ⁺¹ = (n + 1)∆t

t ⁿ

t ⁿ⁺¹

(9)

(10)

M(x ⁿ⁺¹ )a ⁿ⁺¹ − H(x ⁿ⁺¹ )p ⁿ⁺¹

+S(x ⁿ⁺¹ )u ⁿ⁺¹ = F (11)

M _ε (x ⁿ⁺¹ )a ⁿ⁺¹ + H ^T (x ⁿ⁺¹ )u ⁿ⁺¹

+H _ε (x ⁿ⁺¹ )p ⁿ⁺¹ = F _ε (12)

β

u ⁿ⁺¹ = u ⁿ + ∆t(1 − θ)a ⁿ + ∆tθa ⁿ⁺¹ (13)

θ

θ = 1/2

(11)

(12)

u ⁿ⁺¹

∆a = a ⁿ⁺¹ − a ⁿ

∆p = p ⁿ⁺¹ − p ⁿ

K(x ⁿ⁺¹ )∆a − H(x ⁿ⁺¹ )∆p = F e (14) K ε (x ⁿ⁺¹ )∆a + H ε (x ⁿ⁺¹ )∆p = F e ε (15)

x ⁿ⁺¹

(14)

(15)

1.

(14)

(15)

x ⁿ⁺¹

x ⁿ

∆a

∆p

a ⁿ⁺¹

p ⁿ⁺¹

2.

β

x ⁿ⁺¹ = x ⁿ + ∆tu ⁿ + (∆t) ² [( 1

2 − β )

a ⁿ + βa ⁿ⁺¹ ]

(16)

β

β = 1/4

3. 2

x ⁿ⁺¹

(14)

(15)

∆a

∆p

4.

2

3

2.3

ここでは，物体の運動を

x ₂

ma 2 = f 2 (17)

となる．ここに，

m

a 2

f 2

は物体が受ける外力である．このとき，

f 2

f f

f _g

f 2 = f f + f g (18)

によって得られるものとする．

f f

f g

f f =

∫

Γ

p f dΓ st (19)

f _g = − mg (20)

ここに，

p f

では，

Fig.2

外力を計算することとなる．

Fig. 2: Computational model of water-entry problem

17

a ⁿ⁺¹ ₂

u ⁿ⁺¹ ₂

x ⁿ⁺¹ ₂

a ⁿ⁺¹ ₂ = f ₂ ⁿ⁺¹

m (21)

u ⁿ⁺¹ _i = u ⁿ _i + 1 2

( a ⁿ _i + a ⁿ⁺¹ _i )

∆t (22)

x ⁿ⁺¹ _i = x ⁿ _i + 1 2

( u ⁿ _i + u ⁿ⁺¹ _i )

∆t (23)

を得るものとする．ここで，

∆t

1step

3.

3.1

フリーラグランジュ法では，流体領域に節点（以後，こ れを流体節点と呼ぶ）を分布させておき，注目する流体節 点

P

Fig.3

P

⁽⁴⁾

Fig. 3: Local mesh of finite elements around P

3.2

いま，

Fig.4

P

Fig.4

P

n = (n i )

t = (t i )

{ ∆a ^P _n

∆a ^P _t }

=

[ n ₁ n ₂ t ₁ t ₂

] { ∆a ^P ₁

∆a ^P ₂ }

(24)

によって，法線方向と接線方向の加速度増分

∆a ^P _n

∆a ^P _t

∆a ^P _i (i = 1, 2)

P

x i

P

(∆a ^P ₁ , ∆a ^P ₂ )

(∆a ^P _n , ∆a ^P _t )

∆a ^P _n = 0

Fig. 4: Normal and tangential unit vectors at the wall node P

3.3

自由表面の形状は時々刻々と変化するため，それを構成 する流体節点も時々刻々と変化する．したがって，毎回自 由表面節点を識別する必要がある．

そこで，まず着目する節点

P

h = 1 N

∑ N

i=1

h i (25)

で 定 義 さ れ る 平 均 節 点 間 距 離

h

h i (i = 1, 2, . . . , N )

P

次に，

α

αh

P

Q

PQ

1

P

360

P

P

⁽⁵⁾

α = 1.4

Fig. 5: Recognition of free surface node P

3.4

フリーラグランジュ有限要素法による計算手順は次のと おりである．

1.

(14)

(15)

2.

(14)

(15)

3.

(13)

(16)

4.

(17),

(18),

(22),

(23)

5.

∆t

1

4.

4.1

矩形物体を鉛直下向きに落下させて，液体の静止液面 に衝突させる現象を計算する．

Fig.6

Cheng

⁽⁶⁾

質量，レイノルズ数，フルード数はそれぞれ

m = 0.307

Re = 3.23 × 10 ⁴

F r = 1

∆t = 1.0 × 10 ^{− 3}

Fig.7

a

せて，液体の静止液面に衝突させたときの計算結果を示す．

なお，物体の加速度

a

u 2

a =

{ − 1.00 (x 2 > 0.1)

0.00 (x 2 ≤ 0.1) (26)

u 2 = 0.00 (x 2 ≤ 0.1) (27)

として，矩形物体の境界

Γ _st

固体壁境界

Γ _w

Fig. 6: Computational model of water-entry problem

Fig. 7: Distribution of fluid nodes at different time instants, t=0.000,0.250,0.750,1.750

固体壁境界

Γ _w

Γ _st

5.

本研究ではフリーラグランジュ有限要素法を用いた矩形 物体の着水衝撃問題を取り扱った．矩形物体にすべりなし 条件を適応した強制沈降では自由表面上及び流体内で構造 物の衝撃を受けて流体領域内に流れが発生し，その結果大 きな自由表面の隆起が見られた．この結果から着水衝撃を 計算する上で発生する構造物の動きとそれに伴うその周囲 の流れの解明へは一定の成果を挙げたと考える．その一方 で運動方程式を導入した計算は構造物が自由表面と衝突し た際に重力よりもはるかに大きな流体力を受け上向きに飛 び上がったために計算が破綻した．その原因として実際の 現象よりも本手法で算出した流体力がやや大きく出たため に物体の運動に大きく影響を及ぼしたためだと私は考え る．そのため，さらに流体力と構造物から流体が受ける力 の関係の確認やその計算方法に工夫を加える必要がある．

参考文献

(1)

,

, Fictitious Domain

,

,

2009.

(2)

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,

, “

”,

, 28(2009)399-408.

(3) T. E. Tezduyar, Stabilized finite element formula- tions for incompressible flow computations, Advances Appl. Mech., 28(1992)1-44.

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(5) E. On˜ ate, J. Garia, S. R. Idelsohn, F. Del Pin, Fi- nite calculus formulations for finite element analysis of incompressible flows, Comput. Methods Appl. En- grg., 195(2006)3001-3037.

(6) Cheng, R. Y. K. and Leland, T.J.W., NUMER- ICAL SOLUTION FOR LOW-VELOCITY PENE- TRATION OF RIGID BODY INTO STILL FLUID, Numerical Methods in Fluid Dynamics (edited by C.

A. Brebbia and J. J. Connor), Pentech Press, 1974,

pp. 272-289.