線形代数学 1 No.1 2005. 4.13
1. ベクトルと行列 1.1 ベクトル 担当：市原
¶ ベクトル ³
n 個の数の組を n 次元数ベクトルという．この講義では , ベクトルを「数字を縦に 並べたもの」 , 例えば
à 3
−7
! ,
−3 697
−80
と表し , a, b, c, x, y, z などの太字の記号で表す .
µ ´
以下 , a, b を
a =
a
1a
2...
a
n
, b =
b
1b
2...
b
n
という 2 つのベクトルとする (a
1, b
1などは実数 ).
等しいベクトル
¶ ³
2 つのベクトル a と b が等しいとは , a
1= b
1, a
2= b
2, · · · , a
n= b
nが成り立ってい ること . a = b と表す .
µ ´
ベクトルの和・差
¶ ³
ベクトルに対し , 数をスカラーという . 実数 k に対し , ベクトル a の k 倍 , およびベ クトルの和 a + b, 差 a − b とは ,
ka =
ka
1ka
2...
ka
n
, a + b =
a
1+ b
1a
2+ b
2...
a
n+ b
n
, a − b =
a
1− b
1a
2− b
2...
a
n− b
n
で定まるベクトルのこと .
µ ´
例題 1 2 つのベクトル a =
−7 3
−1
, b =
−4 2
−10
に対し, a + b, 2a − 3b を求め
なさい.
1
ベクトルの内積
¶ ³
２つの n 次元ベクトル
a =
a
1a
2...
a
n
, b =
b
1b
2...
b
n
あるいは
a = (a
1, a
2, · · · , a
n), b = (b
1, b
2, · · · , b
n) に対し , a と b の内積 (a, b) を
(a, b) = a
1b
1+ a
2b
2+ · · · + a
nb
n= X
nj=1
a
jb
jで定義する．
またベクトル a に対し , p
(a, a) を |a| で表し , a のノルムという．
µ ´
定理 1 ( ベクトルのなす角 ) a, b 共に２次元数ベクトル（あるいは３次元数ベク トル）であるとき， a と b との成す角を θ とすると
cos θ = (a, b)
|a||b|
となる．
ベクトルの直交
¶ ³
定理 2 より, ベクトル a と b のなす角が 90
◦であることと (a, b) = 0 は同値である.
このとき , a と b とは直交するという .
µ ´
例題 2 2 つのベクトル
−1 0
−1
,
b 1 2
が直交するような b を求めなさい .
2
線形代数学 1 No.1 2005. 4.13
1.1 ベクトル 担当：市原
問題
1 2
つのベクトルa =
−7 3
−1 0
, b =
−4 2
−10 1
に対し
,
次の問いに答えなさい.
(1) 3a − kb =
−13 5 17
−2
となるような実数
k
を求めなさい.
(2)
内積(2a, b − a)
を計算しなさい.
(3) a, a − 3b
のノルムを求めなさい.
問題
