擬似乱数の哲学的および数学的背景

擬似乱数の哲学的および数学的背景 ¹³⁵

擬似乱数の哲学的および数学的背景

−ポアンカレによる偶然性分析の視点から−

奥田英輔

1

擬似乱数の発生法としては，いろいろあるが最初のものとしては，フォン

・ノイマンとメトロポリスによって提唱された中央二乗法であった。

中央二乗法は2n桁の数字Ⅹ。を考える。それを平方して真申の2n桁の 数字をとりそれをⅩ1とする。ⅩIについてもまた同様のことを行ない，この ようにして次々とⅩ。，Ⅹt，Ⅹ2，Ⅹ3，……の乱数列をうる。

〔例〕（n＝2）

Ⅹ。＝2061とする。これを平方して04247721をうる。中央の4桁の数字を とってⅩ1＝2477となる。次にⅩ1を平方して06135529，この中央の4桁を とって，Ⅹ2＝1355，同様にして，X。＝8360，Ⅹヰ＝8896，……となる。

電子計算機にはShift という数字を左右にずらすオペレpショ ンがある から，容易に乱数を発生できる。しかし，中央二乗法は統計的に十分といえ ない点があるので現在では用いられなくなった。また，解析もむずかしい。

そこで合同法が使われるようになった。

合同法には乗法合同法と加法合同法，およびそれらの変形がある。

乗法合同法は，次の循環公式で表わされる兆本的合同関係に基づいてい る。

nl＋「−￣￣an．＋C（mod m）

ここにnI，a，Cおよびmはすべて非負の整数である。

（1．1）

加法合同法（3）はk個の出発値をとり，次の合同式により数列を計算す る。

136  終 予 ? と 経 済

ll!+¥==ll¥ + ^ll¥‑k (mod m)  (1.2) 

ただし kは正の整数である。

k=lのとき，式(1.2)はよく知られたフィボナッチ数列を発生する。

以上の擬似乱数の発牛法は現在使われている擬似乱数発生法のうちで基木 的なものであるC

j疑似乱数の発生法は完全に決定論的であって，計算l乙 合 ま れ る 算 術 過 程 は，数列の各項をー;立的に定めるのである。実際，数列を現実l乙発生させる 前に，数列

n 

n 

n 

n  _(1.3) 

の第i項の正確な植を，あらかじめ計算する公式を作ることができる(4 。) これらの過程はけっして確率的な過程ではない口しかし，生ずる数列が統計 的検定を矛盾なく通過するならば，実用主義的立場から，われわれはこれら をあたかも確率的であるかのように取り扱ってよいであろうD

たとえば，数列内の数が一様分布していて統計的に独立のようにみえると いうことが証明されれば，その過程がたとえ決定論的であってもでたらめで あると認めることができるD 前述の擬似乱数の発生法はこれらの要訪をどち らもかなりよく満足させることが証明される口

また，いろいろな統計的検定法をかなりよく満足させる乙とが経験的に知 られている。

この小論の目的はポアンカレが(，12 )において示した偶然性分析の考え 万にしたがって，何故に前述の擬似乱数発生法が「いろいろな統計的検定法 をかなりよく満足させる」かということの根拠と背景を示すことにあるD

ポアンカレは「科学と方法J(2) に於いて偶然性を分析し次の2つの型 を示した。

第1の型は「複雑な原因Jから確率の一様分布が生ずるということo

第2の型は「小さな原因から大きな結果が起こる」ときに確率のー椋分布 が生ずるという乙とO

この小論では第2の考え方にしたがって擬似乱数の発生法を考察してい くD

提似乱数の哲学的および数学的背景 137 

2 

ポアンカレは，つぎのような「小さな原因が，大きな結果をひき起乙す」

例を考えている。

「円錐をその頂点の上に立てるときそれが倒れることはよく知られている が，ただ何れの方向に倒れるかはわれわれにはわからなしiOただ偶然のみが それを決定するかのように見える。円錐が完全に対照的であり，その軸が完 全に鉛直であって，さらに重力以外何物も作用しないならば，決して倒れる ことはないはずであるO しかし，少しでも対称に欠けるところがあれば，い ずれの側にかわずかに傾く。そして如何にわずかであっても，一旦傾けばた ちまちその方向に倒れてしまうo対称が完全であったにしても，非常にかす かな振動，たとえば空気のひとそよぎにも幾秒角か傾けられるO これだけで すでに円治の倒れること，その最初の傾きの方向，したがってその倒れる方 向を決定するに十分であるo J 

さらに次のような例も挙げている。

「ノレーレットの遊戯は一見いまの例とはなはだ異なるようであるが， *は さほど変ったと乙ろはない。円盤を百個の扇形に分けて，交互に亦と尽とlこ 染めた上で，心棒のまわりに針を回転するものと考えよう。針が亦し、扇形の 上にとまればMY，然らざれば負である。あきらかに万亨はわれわれが針に与 える最初のー押しにあるc たとえば，針が卜或は二十回転するものとして，

最初強く押したか弱く押したかにしたがって，とまり)jが早くなり或はおそ くなるO ただ1r之初の押す力が千分のーもしくは二千分のーちがっただけで，

針は或はJJAいほ形の上にとまり，或は次の赤い扇形の Lにとまる。これは筋 党によっては感知できず，さらに微妙な器械を以ってしでも測り得ないわず かな先述のためであるO したがって，いま動かした針が如何に劫くかは予見 することができない。さればこそ胸をとどろかしてすべてを偶然にまかせて 待つのであるO 原因l乙於ける差違は感ぜられないほどわずかであるが， しか も結果にいたっては，我がl回全全部にかかわるのであるから，わたくしにと っては主大この上もない口」

138  経 営 と 経 済

それでは，ルーレットで亦と以の確率はどうして等しいと言えるか。それに ついては，次のように述べているo

「針の止まる位置は政初の押し方一つで定まることは前に述べた如くであ るO この押す力が或る与えられた値をもっ昨率は幾許であろうか。乙れに就 いてはわたしは全然何も知らないのであるが，その確率が或る連続解析関数 で表わされるということは否みがたいc しかりとすれば，押した力がaとa +ε との中間になるという確率は， εの大いさが非常に小なるかぎり，それ がa+ε とa+2ε との間に合まれる確率とほぼ等しくなる。これはすべて の解析関数に共通の性質であって，すなわち関数値は変数値の小さな変化に 比例して小さな変化をなすのである。

しかし，われわれはさきに押し方をごくわずか変じたのみで、違った色のと ころに針が止まるようになるに足るものと仮定して論じて来た。 aからa十

εの問ならば赤で止まり a十εから a十ε2までならば尽に止まるとすれ

ば，おのおのの亦し 1 扇形の確率は，その次の H~ い扇形の確率にひとしく，し

たがって赤全体の確率と足全体の確率はひとしいということになる。」

tのポアンカレの文の意味は次のようなものであると考える。一般性を失

lざ12.  1 

/(x) 

赤

α+2ε  ^α十ε4

擬似乱数の哲学的および数学的背景 139 

a  α十ε α十ε2 α十ε3 ^α十ε4

うことなくぷ初J~こ jレーレツトを押す力 x の雌ネ常度出忠良 f(x) は凶 2. 1のよ うに右上がりの述続曲線であるとするつこのちj合， 曳[12.1の例で， 51‑が亦で 止まる確率はよ!よで止まる確率より大きい。そωぷは

X 

唱G

F C

¥ j ノ 丈

﹄

4 X 2  

十

WK

十

a a  

nih1sj  x d 

ε

¥ j  

円4 X

+w u  a a  

ft

‑J  

(2.1) 

で表わされる。

今度は隠J2.2で針が亦で止まる確率は以で11..まる昨率より大きいが，その 差は図2.1の場合より小であるD すなわち，

X J U  

ε計

十 町 a a  

ni l‑

‑

一X

F h J U  

﹀Fむ¥j

d 2 x  

m﹄d︑1Iノ

7

‑

︐

︑

2 x t 1 1 f  

十 町

︑ 十

a a

a a p t

‑ J  

ft J

一十X 

; d  

﹀

ε 1 j ε

d 4 X 2  

お い 川 公 十

K +

十

K + a a

a a n l t

‑ u  

戸 ︒ ︑ ︑ ︑

1d

♂

︑

X 

唱G

F C

¥ l j F C  

4 X 3  

十 灯

︑ +

a a  

A ‑1 ‑

dz ︑

(2.2) 

関2.3の区間 (a，b)で f(x) が一様述続であるとするO 任;なのa < x <

b，α>0 に対してεを十分小さくとれば， ムx<εに対して，

f(x十ムx)‑ f(x)  <α  (2.3) 

140  ^{経 営 と 経 済}

図 2. 3 

α  α+ 2mε  α十2(m+ 1)ε  ^b 

とできるc これがー椋述続性の定義であるC

区間 (a，b)を2n等分するD

ε b ‑ a  _‑

2 n  (2.4) 

とするO 上述の一様述続性の定義から，任意の小さなα>0に対して， εを 小さくする(したがって nを大きくする)と，

I f (x +ムx) ‑f(x)  <α 

となる。図2.3で赤に針が止まる確率と黒に針が止まる確率の差は，

n‑1 (  a+2(m+l)ε~ a +(2m十 1)ε¥ 

ヱ

ユ 1 ¥  f (x) dx  ‑ ¥  f (x) dx 

m士 O¥"a +(2m十 1) ε ‑ a +2mε ノ

(2.5) 

(2.6) 

口 一l

:5:，:  2: α・ε十α・ε) m=O 

α 

η ￡ ﹂ 4  1ょ

n u

一

ψ]

一 一 n m  

一 一

擬似乱数の哲学的および数学的背景 141 

2n・ε・α

(b‑a)α  (2.7) 

nを大きくすれば， αは幾らでも小さくできるから赤に針が止まる確率と 黒に針が止まる確率の差ば幾らでも小さくできる。

以上の考察では f(x)の一様連続性だけを仮定した。力の確率密度関数が 多変数関数の場合も(たとえば，力がベクトノレである場合) ，多変数関数の 一様連続性を仮定すれば議論ば全く同様であるo

ポアンカレの次の考察は非常に示唆に台む乙とを後に示す。

「気体運動論を例にとろう。気体を充たした容器のなかは， 如何になって いると想像すべきであろうか。無数の分子が大速度を以て縦横に飛びまわ り，各瞬間毎に或は器F去に街突し，或は分子同志互に街突していて，その街 突の状態は千差万別であろうO ここで何よりもわれわれの限をひくのは原因 の小さいということではなくその複雑なことであるが，しかも，原因の小さ いという乙ともまたここにあってやはり重大な役目を演じているのであるD

すなわち，もし分子がその通路から右か左かに，気体分子の作用半径と同程 度のきわめて小さい角だけ横にそれれば，その分子は或は街突を免れるか，

さもなければ，ことなった状態に於て街突して，そのため街突後に於てその 速度の方向を，おそらく90度もしくは180度も変ずるにいたるであろう。

それのみではないっ街突の後に分子の方向を有限角だけそらしめるために は，街突の前に無限小角だけそらしめれば充分であることは，いまわれわれ の見て来たところであるが，さらに，もし分子が二度ひきつづいて街突する ものとすれば，最初の街突以前に第二位の無限小角だけそらしめれば，最初 の街突の後第一位の無限小角だけ，また第二の街突の後有限角だけそれるよ うにするには充分であろうO しかも分子の街突は単に二回ばかりではなく，

一秒間に美大な回数おこる。もし，第一の街突によってそれ方が非常に大き な数 A を釆じただけは増したものとすれば n回街突した後には， An倍と なるため，それ方は非常に大きくなる。これは単にAが大きいためばかりで はなく nが大きいため，いいかえれば小さい原因が大きい結果を生ずるた めばかりでなく，街突がきわめて数多く，且つ原因が非常に複雑なために，

142 

かくの如き結果になるのである。」

3 

乗法合同法

n1 +1=‑= an， + c (mod m) 

において，問題を簡単にするために，特別な場合，

n1+ 1三 an1 (mod m) 

について考えるO それから後に，一般の場合を考察するO

まず釆法合同法の数論的性質を述べる(2) 0 

経 J/:J; と 経 済

(1.1) 

(3.1) 

定義3.1 2つの整数aおよびb(ただしbキ0)に対して，

a = bt + n， 0:<:二n<lbl (3.2)  となる一意的な整数の組tおよび nが存在するo ここでtは商 nは余り といわれる。

定義3.2 a = btとなるような整数tが存在するとき，整数aは整数b で割り切れるというob はaの約数といわれる。 aはbの倍数といわれるC

定義3.3 幣数PがOでも士1でもなく，しかもその約数が士1および士P に限るとき pは素数といわれるD

定義3.4 2つの整数aおよびbに対して，整数 gが し bの共通の約数 になり，しかもa，bのいずれの共通約数もgの約数になるとき gはa，  bの最大公約数 (g，c， d)といわれる。

記法 (a，b) = g  

定義3.5 2つの整数 aおよびbに対して，整数dがそれらの共通の倍数 になり，しかもa，bのいずれの共通倍数もdの倍数になるとき， d はa，  bの 最 小 公 倍 数 (1 ， C m)といわれるO

記法 (a，b) = d  

定義3.6 整数 aおよびbは (a，b) =1のとき，互いに索であるとい われるD

定義3.7 2つの整数 aおよびbはその差が mの倍数になるとき mを法 として合同といわれる。

擬似乱数の哲学的および数学的背景 143 

定義3.8 与えられたaに対して， a=n (mod m)となる最小の正整数 n はmを法とする剰余といわれる。

定義3.9 与えられた法に対して，互いに合同な整数の集合は剰余類を作 るo

定義3.10 与えられた法m!乙対して，ある順序でそれぞれ剰余0，1， 2… 

， m‑1に合同になるm個の搭数の組は完全剰余系を作る。

定義3.11 完全剰余系の部分集合で， mと互いに宗な柊数のすべてからな るものは，既約剰余系といわれる。

定義3.12 mより小で mと互いに京な正整数の数はオイラーの伊一関数 といわれるもので，乙れを伊 (m)で表わす口

定義3.13 整数aの法mによる次々の剰ベキの剰余はベキ剰余といわれる。

定義3.14 (a，m)=lのとき， a^h=== 1 (mod m) となる最小の正の指 数i=hはaの位数 (modm)といわれる。乙の最小の正の指数はまたm の指票ともいわれるoそしてこのときaはmに属するといわれるD 乙の場 合， hはh =入 (m)と表わされる。 aの位数h (mod m)はaのベキ剰 余の異なる数の総数，すなわち，その非反復列の長さ一一列 {nt，}i=l，

2，……，  h (mod m)の周期といわれるーーに等しい。

定義3.15 位数h =伊 (m) (mod m)となる怒数aはmの原始根といわ れる。

定理3.1  a == b (mod m)および X三 Y (mod m)ならばa土 X三 b

土Y (mod m)および ax === b Y (mod m)となる。

定理3.2 (d， m) = gならば， d X == ^{d Y (mod m)よりX三 Y (mod} 

m/g)が出る。

定理3.3 a === b (mod m)でdがmの約数ならば， a === b (mod d)と なるD

定理3.4 任立の整数 (0またはr:1を除く)は一志的に素因数lこ分けら れる。すなわち， m =I1PtDt  (i =1，2，3……)，ここに， etは定数，

Hは積 P1 e 1 X P2 e 2 X P3 e 3 X……をな味するo

定理3.5 (a， m)=lならば， aI{J (m)=== 1 (mod m)となるo とれより，

144  経 常 と 経 済

次のことが成り立つ。

(1)  aがmの原始根のとき aのできるだけ大きい位数はh=伊 (m)で ある。

(2)  (n， m) = 1となるnくml乙対しては， n a^h:=::= n (mod m)。乙乙l乙 h=CP (m)。

定理3.6 Y三 a1x (mod m)  (3.3)  は {x/x:整数， o<x<m}から {y/ y :整数， o<y<m}の上.への1 対1の対応を与えるO ただし m 素数， (a1x， m) = 1， o<x<mo  (証明)もし，

a1x^三 a1x' (mod m)， o<x， x'<m  となったとするO すると，ある整数kが存在して，

a ¹ (xーピ)= k m  

でなければならない。このことからx=どが導かれる。

定理3.7 a^n三 a^k (mod m)  ならば，

a^n‑k三 1(mod m)  でなければならない。

(証明)a^{n三 ゲ} (mod m)  ならば，

a ̲aⁿ‑1==a ・a^k‑1(mod m)  でなければならない。

a(a^n‑1̲ a^k‑1) = l  ・m . aⁿ‑1三 a^k‑1(mod m)  以下同様に，

a^n‑2三 a^k‑2 (mod m) 

(3.4) 

(3.5) 

(3.6) 

(3.7) 

(3.8) 

(3.9) 

(3.10)  (3.11) 

(3.12) 

aⁿ‑k三 1(mod m)  (3.13)  定理3.6と定理3.7から乗法合同法にはそれに固有の周期が存在し，その 周期は初期値には関係しないことがわかった。

擬似乱数の哲学的および数学的背景 145 

次に擬似乱数の分布の一様性，および独立性の証明の問題がのこるo擬似 乱数列

X_o， X"  X2・・ Xj， (3.14)  を発生させてその中にmより小さい各整数が現われる回数を調べても，それ は 各 整 数 に つ い て す べ て 同 じ で あ る 定 理3.6および定理3.7から)。

それは無意味であるから区間 (0，m)をn等分して n個の小区間を作 り，各小区間に合まれる整数が，数列 (3.14)の中に何回現われるかを調べ ればよい。

y三 aX (mod m)  (3.15)  において a，mは正整数で Xは非負の実数とする XがOからmまで増 えればyは同じ値 (0とmとの問の)をa回とるO 上に述べたn個の小区間 もa回だけ現われる。

(3.15)のyから，さらに次のようなZを作るO

Z三 aY (mod m)  (3.16)  yがOからmまで増えればZは同じ値をa回とる口 (3.15)のxがOから mまで増えればZは同じ値をa²回だけとるo n 1自の小区間の方も YがO からmまで増えればa回現われ XがOからmまで増えれば a² 回だけ現わ れる。

Xj +，三aXj  (mod m)  (3.17)  で (i=0，1，  2，……)とし， a， lTIはA整数， Xjは実数とすれば，数列

{Xo • X "  X2，…，  Xj，・・・ (3.18)  は (3.17)からむを定めれば一立的に定まるO そこで，前に述べたn仙の 小区間の現われる@数は大数ω強法則により， FiJん ど す べ て の む に つ い て l/nで、ある。また独立性も満足ずることがわかる^O

これは区間 (0.m)をa，Ifljfの小区間に分'，i;:IJL.さらに各小区間をa佃の 小区間に分'，I;JIするO それらの各小区間を，またailfilの小区間に分叩して考え る。このように考えて行けば大数の強法Jl!jが迎用できることが分るであろ うoつまり I小さな原因が大きな結果をひきおこした」のである。

一般の釆法合同法(1.1)の場合も議論は全く同様であるo

146 

4 

加法合同法

TI1 +1三 TI1^十TI1^‑k (mod m)  の場合も同様な考察ができるD

k=lとすればフィボナツチ数列であるo

まず，この場合を考察するo

TI1 +2玉 川+1+ TI1 (mod m)  TI_a三 TI2十TI1(mod m) 

町 三TIa十 n2 (modm) 

三 (TI2^十TI1)+ TI2 (mod m) 

三 2n₂+ TI₁ (mod m)  ns三 山 +na  (mod m) 

三 (2n2+ TI_l) + (n2^十 TI1)(mod m) 

三 3TI2+ 2n 1 (mod m)  TI6三 TI_s+ n4 (mod m) 

三 (3TI2+ 2n_l) + (2n2 + TI_l) (mod m) 

三 5n2+ 3n 1 (mod m)  TI7三 恥+ns  (mod m) 

三 (5TI2+ 3nl)  + (3n2^十2nl) (mod m) 

三 8n2+ 5TI1 (mod m)  TI_S= ^{13TIz + 8TIl (mod m)} 

TI₉^三 21TI2+ 13n_l (mod m)  TI_lo三 34TI2+ 21n1 (mod m)  TI_ll三 55TI2^十34TI!(mod m) 

経 営 と 経 済

(1.2) 

(4.1)  (4.2) 

(4.3)  (4.4) 

(4.5) 

(4.6) 

(4.7)  (4.8)  (4.9)  (4.10)  (4.11)  合同式 (4.2)から (4.11)までを迫して，それらの右辺のn2の係数はTI! の係数のl.5倍よりも大であるO また， TI!， TI2の係数は iが大きくなるに従 って l.5倍以上大きくなっているo これらのことは数学的帰納法によって証 明されるo このことから TI" n2の小さな変化は TIiに大きな変化をひきお

擬似乱数の哲学的および数学的背景

こすことが分る。

合同式

X1 +2三 Xi+1十 九 (modm) 

ただし， Xiは実数でO壬^，Xi<m， (i =1， 2，…)において

X1^三 bX2+ aX1 (mod m) 

147 

(4.12) 

(4.13) 

ただし =3，4， 5，…，  a， bは実数と表わせるD この関係は4.1図で 表わされるD

(4.13)は {_{(x 1 •} X2) / X1， X2 実数，O;::X1， x2< m }から {Xf/Xi

実数， 0ζx!<m} の上へのl対l対応を与えるO すなわち2変 数 の 関 数 f(x₁ X2) と考えることができる。また f(x1• X2)の一様連続性は容易に分 るから 3節で迎べた議論は全く同様に成り立つ。これによって，加法合同法 で作られた数列

ll!.  ll2.  ・・・， llf' ・・・ (4.14) 

￨ 雪1 4.  1 

148  経 営 と 経 済

の一様分布，独立性の背景が知られるO

参 考 文 献

1.  ポアンカレ若，河野伊三郎訳，科学と仮説，岩波文時 2.  ポアンカレ著，吉田洋一訳，科学と方法，岩波文庫

3.  Duparc， H. J.  A.， Lekkerkerker， C. G.， and Permans， W. "Reduced  Sequences of Integers and Pseudo‑Random Numbers"， Mathematische  Centrum Report  Z W 1953‑‑‑‑‑‑002， Amsterdam (1953) 

4.  Stockmal， F.  "Calculations  with  Pseudo‑Random  Numbers"， Journal  of the Association for Computing  Machinery， X 1， NO，l (Jan.， 1964)，  41‑‑‑‑‑52. 

5.  Birkhoff， G.， and Mac Lane， S. A Survey of  Modern Algebra.  New  York: The Macmi11an Company， 1953. 

6.  Green， B. F.， Smith. J.， and Klem， L.問EmpiricalTests of an Additive  Random Number Generator， " Journal of the Association for Computing  Machiney， V 1， N 0.4 (1959) ， 527‑‑‑‑‑537.