外部経済 と最適反応戦略

外部経済 と最適反応戦略

村 田 省

Abstract

lnthispaperweconsidertheoutputlevelofequilibrium inCournot duopolygameandStackelberggamewithperfectinformation,when firmhasdecreaslngCOStbecauseofexternaleconomy.Inthiscaseouト putlevelsofequilibrium inStackelberggameisalmostsameasitof Cournotgameevenifitisthecaseofleaderfirm.Thereisnoclearfirst moveradvantages,whictalwaysappearandholdinstandardduopoly gameswithnoexternaleconomy.Butweverifythatexternaleconomy leadsallfirmstohigheroutputlevelsandlargerprofitsthaninnoexter^一 haleconomyCournotgame.

keyword:firstmoveradvantage,Counotgame,Stackelberggame

1 序

外部経済がある場合,数量戦略複 占クール ノゲームのナ ッシ ュ均衡の位置 , すなわち均衡生産量,均衡価格および均衡利潤は,外部経済がない場合に対 比 して変化する｡ この ことは,シュタッケルベルグ数量戦略の均衡 について も同様である｡均衡点の変化が起 こるのは,最適反応戦略が外部経済のため に変化するか らであ り,さらにまた,場合によっては等利潤線の凹凸形状 を 変化 させ るためである｡ このため, ときにはナ ッシュ均衡点に隣接 して生 じ ることとなるパ レー ト優位集合の位置を変化 させ る場合 もある｡ よ く知 られ

ているように,外部経済がない場合は,クール ノー複 占ゲームにおいて,ナ ッシ ュ均衡点か ら原点方向に通常 レンズ状のパ レー ト優位集合が存在するこ とになるのだが, これはたまたまその位置にあるのであ って,外部経済効果 が存在す るな どの状況があれば,簡単 にいえばナ ッシュ均衡点の上方領域, 右下方領域,右上方領域な どのすべての方向に出現する可能性がある｡

論点は,外部経済の考慮 によってクール ノー ‑ナ ッシ ュ均衡 およびその優 位集合が移動することだけにあるわけではない｡ クー)i,ノー ‑ナ ッシ ュ均衡 点の どち ら側 にシ ュグッケルベルグゲームの均衡 が位置するかについて も, 外部経済効果は影響 している｡外部経済がない数量戦略複 占ゲームの場合, シ ュタッケルベルグゲームの均衡点はクール ノーゲームの右下あるいは左上 に位置す る後手企業の最適反応 曲線上 にあることは よく知 られている｡ とこ ろが,このことも外部経済効果の影響をうける｡例 えば,シ ュタッケルベル グゲームの均衡点がクール ノーゲームの均衡点 よ り原点 よりに位置す ること になるな どの効果である｡

この ように,Hamilton,∫.,andS,Slutsky.(1990)によって,全貌が明 ら かにされた と思われているかにみえる,完全情報下の数量戦略 クールー ノー ゲームお よびシ ュタ ッケルベルグゲームの均衡ない しパ レー ト優位集合の位 置 については,最適反応曲線 と等利潤線の形状の組合せ問題 とともに,未解 決問題を含んでいたのであ る｡本稿では, この ような未解決問題 について,

ひ とつの解答を与 えることとしている｡

2 モデルとその解析

ここでは,以下の ような線形 の需要関数 (1)を想定す る｡ ここで, xlは第 1企業の生産量 であ り, x2は第 2企業の生産量である｡需要切片(a)は本稿 を通 じて常 に正値 を とるもの とす る｡ また,需要 曲線の傾 き(∂)もつねに正 値であ ると仮定する｡

p‑a‑b(xl+^{x2) (､1 1}

また,第 1企業お よび第 2企業の費用関数 は(2), (3)である と仮定する｡

右辺第2項が本稿モデルの特徴であ り,第二項の係数(β2)が正値であれば外 部経済効果 を示 し,負値 であれば外部不経済効果 を示 す こ とにな る｡係数

(β2)は定数 とす る｡

C1(xl,x2)‑ CIXl‑ elXIx2

C2(xl,x2)‑ C2X2‑ eZx2Xl

この結果,第 1企業および第 2企業の利潤関数は(4), (5)になる｡ この利 潤関数 にたい して,以下の ような最適反応関数(6), (7)が もとめ られる｡ こ の とき,最適反応曲線の懐 きは, (b)お よび(‑b+e2)の正負に依存 して決 ま る｡外部効果 が存在 しない とき(el‑e2‑0)には,縦軸 をx2とした場合の最 適反応 曲線はつねに負の傾 きとな り,また,第 1企業の最適反応 曲線の傾 き

はいつで も第2企業の最適反応 曲線の傾 きよ り (絶対値 で)大 きい｡

打1‑(a‑b(xl+^x2))xl‑ (cIXl‑ elXIx2)

7r2‑(a‑b(xl+x2))x2‑ (C2X2‑ e2x2Xl)

一旦旦 ‑(a‑ cl)+(el‑ b)x2‑ 2bx1‑ 0

axl

旦塑‑(a‑C2)+^{(e21 b})^{xl‑ 2bx2}‑0

∂∬2

(4) (5) (い (7) この最適反応関数 か らクール ノーナ ッシ ュ均衡戦略 (x*1,X*2)を(8)お よ び(9)の ように もとめるこ とがで きる｡外部経済のない通常ゲームの場合, 第 1企業の最適反応 曲線は右下が りで,その上では,右下方向にい くほど第 1企業の生産数量は大 きくな り第2企業の生産数量は小 さ くなるのにたい し て,ここでは外部経済の影響を受けていることが分かる｡

* ̲2(α^‑ c^l)わ^{ー (}α‑ C2)(∂^{一 g1)}

.r^l｡

4b2^‑ (b‑el)(b‑e2) (8)

x*zc‑ (a‑cl)(b‑e2)‑2(a‑C2)b

(b‑el)(b‑e:)14b2 刷 第 1企業の最適反応関数 か ら,最適反応曲線上での第 1企業 と第2企業の 生産数量関係は(10)になる｡

,r:1=a‑cl 2b

b‑el b‑el ^{( 10)} これを第1企業の利潤関数 に代入すると,(ll)が得 られる｡ きわめて簡単 な2次項が導 出されているが,興味深い結論 である｡ この結果か ら,第1企 業 に とっては, 自企業の最適反応曲線上にそって生産拡大することが利潤拡 大 につながることがわかる｡同様 にして,第 2企業に とって も, 自企業の最 適反応 曲線上 にそって生産拡大す る ことが利潤拡大 につなが ることがわか

る｡

打1‑(a‑bxl‑b(富ま 一石莞 ))x1‑(cl‑elXl(富ま 一浩 ))

‑bx冒 ⁽¹¹¹¹

3 ゲーム均衡 と最適反応曲線

第 1企業お よび第 2企業の両方 に,外部経済がまった く影響ない場合,す なわち,β1‑g2‑0のケースであ るが, この とき,第 1企業 お よび第2企業 の最適反応曲線(12),(13)は,従来分析 と同様な形状 になる (図1)｡第 1 企業の最適反応曲線の傾 きのほ うが第 2企業の最適反応 曲線の傾 きより (絶 対偲で)おお き くな っている｡ また,第 1企業の等利潤線は第 1企業の最適 反応曲線 を頂点 として,一方の漸近線が縦軸であ る｡第 1企業の等利潤線 を 示す関数は(14)になる｡なお,次の不等式の成立 を仮定する｡ナ ッシ ュ均衡 生産量 は,(15),(16)の ようになる｡

a‑cl≧0,a‑ C2≧0,b‑e2≧0

x2‑ 管 ‑ 2xI

x2‑ q憲 一^ixl

打2

x1‑ 等 ー x2一房

x2

0

更

a^x

E1^c 埜 ^=o

a^x2

L X

/ 1

図 1:第 1企業,第2企業 ともに外部経済がない場合

x*lc‑

x*²C‑

a+ C2‑ 2cl

3∂

a+^{cl‑ 2C2}

3b

第 1企業の生産活動が第 2企業の生産費水準 にたい して,外部経済効果 を もた らす と仮定する と,状況はまった く異なるものになる｡ これまで と同様 にa‑ cl≧0, a‑ C2≧0の成立 を仮定す る｡ しか し, el‑b≠0, e2‑b垂0であ る とすれば,第 1企業の最適反応が(17),第 2企業の最適反応 が(18),第 1 企業の等利潤線が(19)にな り,図2が得 られ る｡シュタッケルベルグ均衡点 がクール ノー均衡点の右側 または左側 に位置 しているが, この位置が外部経 済 を考慮 しないモデル とい くぶん異なる｡このシ ュグッケルベルグ均衡では, 第 1企業 と第 2企業の両方が,クール ノー均衡 における生産数量を上回って

いる可能性があ る｡数理展開は しないが, じつは両企業 に とってパ レー ト改 善 となるような領域はクール ノー点の右上側 に広がっている｡

(a‑2bx1‑bx2)‑e^l+e2X2‑0 (a‑bxl‑2bx2)‑C2+e2X1‑0

a‑cl b 7TI x2=百二五 后 xl (b‑el)xl

a‑C2 b 7C2 xl=盲こ高 ‑玩 x2 (b‑e2)x2 a‑cl≧0,a‑C2≧0,e2‑bgO,e2‑b≠0

図2:第 1企業,第2企業 ともに外部経済効果を受ける場合

このゲームのシ ュタッケルベルグ均衡生産量は,後手第 2企業の最適反応 関数(20)より,(21)および(22)となる｡

･了 ′̲jTIbr h:ll,'･r 2(a‑cl)b+(a‑C2)(2el‑b)

4b2‑2(b‑e2)(b‑el) a‑cZ b‑e2

2b 2b

(a‑cl)b+(a‑C2)(2e1‑b) 4b2‑2(b‑eZ)(b‑el)

(20) (21) ) (22)

なお,外部経済のない場合には,(23)お よび(24)になる｡外部経済効果の 恩恵を受けない ときと対比する と,外部経済があるときにはシ ュグッケルベ ルグ均衡では,先手第 1企業の生産数量は大幅拡大を ともな う可能性があ る

ことが分かる｡

x*1S‑2(a‑cl)‑(^a‑C2)

x*2S‑a# 一旦望ilb (a‑cl)‑(^a‑C2)

4 後手有利の数値例

本節では,先手有利性 に外部効果による典型的な影響 を与 えるゲームを具 体的に表示する｡ ひ とつの例は,第 1企業および第2企業が,以下の利潤関 数をもつ場合である｡ この ときは,第2企業の生産活動 が第 1企業の費用水 準 を減少させ る効果 をもっているが,その外部効果の程度は,両企業の生産 増大 とともに幾何級数的におお きくなる性質 にな っている｡

7Tl‑(20‑3^(xl+x2))x1‑(5^x1‑4^xIx2)

7T2‑(20‑3(xl+x2))x2‑(5x2‑4x2Xl)

この ときの最適反応関数および等利潤関数 は以下の ようになる｡最初が第 1企業の最適反応関数であ り,外部経済の影響によって右上が りになってい る｡第 2企業のほうも外部経済の影響 によって最適反応 曲線が右上が りにな る｡

1516xl‑X2‑0 15+∬1‑6∬2‑0

x2‑3xl115+

xl‑3x2115+

JTl

∬1 打2

,1'i!

図 3:第 1企業 ,第2企業 ともに外部経済効果を受ける場合の数値例

クール ノーゲーム としての均衡生産量 を,第 1企業 x*lC,第 2企琴 x*ZC,

均衡価格 をP*C,第 1企業利潤 を7r*lC,第 2企業利潤 を 7T*2Cとす る. これに たい して,シ ュタッケルベルグゲーム としての均衡生産量を,先手第 1企業 x^*1S,後手第2企業 x^*ZS,均衡価格 をP*S,先手第 1企業の利潤 を 7T*lS,お よ び後手第 2企業の利潤を 7T*2Sとすると,これ らは各 々,以下の ような数値 に な る｡僅かではあるが,クール ノー均衡 より両企業 ともに生産拡大になって いる一方で外部経済がない ときと比べて大幅な利潤増を獲得 している｡ しか し, ここでもっとも注 目すべ きは,均衡での価格水準がほ とん ど同一水準 に なっていることであ る｡また,後手第2企業の利潤が先手を上回っているこ とである｡ これは先手主導 によって生産拡大がお こなわれた結果 としてクー ル ノー均衡点か らほ とんど動けなかったことの結果である｡ もちろん, この ようなゲームは設定 自体が奇妙なのであるとい う見方があるか もしれない｡

ただ し, これは具体的な数値例であるか ら,外部経済係数の水準を1より小

さ くしさえずれば より小 さな (現実的)均衡価格を得 ることは簡単にで きる｡

また,後手企業の利潤を縮小で きるであろう｡ これは当然の ことである｡ も っ とも,設定 される値 によっては計算が難 し くなるかもしれない｡

一外部経済があるケース ー

∬1*C‑3

* x2C‑3

P;,‑コ

7T;C‑27 7T*2C‑27

XI^*S‑² %3

XZS‑誅 3 辛

p ;‑誅 1･7

ポS‑宅諾 ≒27･022

汀2*S‑ 豊 ≒27･265

重要なことはむ しろ,外部経済が両方の企業に恩恵を与 えている ときには, クール ノーゲームでは双方 に利潤拡大を実現 してお り,均衡生産量 も拡大す る効果が確認で きるとい うことである｡また,シ ュタッケルベルグ先手後手 ゲームにおいては,その外部経済効果その ものがな くなるわけではないが, 先手がせっか く利潤追求 (生産拡大)をおこなお うとす るのにもかかわ らず, 後手企業への しわ寄せがほ とん どで きないばか りか,む しろ先手である自企 業の相対的な生産縮小 とい う思わぬ事態 に遭遇 して,クール ノー均衡点の周

辺 にあってほ とん ど動けないのである｡ この ように,双方が外部経済の恩恵 を費用縮減効果 とい うかたちで受ける とき,先手の生産拡大行動は,結果 と

してはたいした生産量数値 を実現 しえない｡ クール ノー同時手番ゲームの均 衡生産量 と大差 ない結果 となる｡む しろ,後手第 2企業の利得水準は先手第 1企業の利得水準の半分になるどころか先手 を上回る水準 にまで拡大 してい る点は注 目されるべ きである｡外部経済のない場合には,費用の非対称性が なければ基本的に先手企業の約50%の利潤値 となることの対比か らみて, こ れは驚 くべき水準あ る｡ これは,外部経済が もた らす利潤増効果が,クール ノーゲームにおいて きわめて高水準になることが大 きく影響 しているか らで ある｡なお,外部経済がない とき,上記の値 はそれぞれ以下の ようになる｡

‑外部経済がないケース ー

* 旦旦

∬lC=9 些

x;C‑ 9 Fc‑10

* 75 7TIC=す

* 75

7C2C=す

* 5

xIS=2

* 5

x2S=盲

/,1‑I::i･‑I

* 75 7rlS=甘

* 75

7r2S=元

5 結 語

外部経済がある場合,数量戦略複 占クール ノゲームおよびシ ュグッケルベ ルグゲームのナ ッシ ュ均衡の位置,すなわち均衡生産量,均衡価格および均 衡利潤 は,外部経済がない場合 に対比 して変化す る｡外部経済のために最適 反応戦略および等利潤線の凹凸形状が変化するか らある｡また,ナ ッシ ュ均 衡点に隣接 して生 じるパ レー ト優位集合の位置を変化 させる｡外部経済がな い場合のクール ノー複 占ゲームでは,ナ ッシ ュ均衡点か ら原点寄 りにレンズ 状のパ レー ト優位集合が存在す るが,外部経済効果が存在す る場合,それ以 外の領域に出現する｡また,クール ノー ‑ナ ッシ ュ均衡点の どち ら側 にシ ュ グッケルベルグゲームの均衡が位置するかについて も変化が起 こる｡外部経 済がない場合,シ ュタッケルベルグ均衡点は,クール ノー均衡点の右下に位 置する後手企業の最適反応曲線上にあるが,これ も外部経済の影響を うける｡

クール ノー均衡点 より原点 よりに位置することもある｡

本稿では,外部経済が両方の企業に恩恵を与 えている ときには,クール ノー ゲームでは双方 に利潤拡大を実現 してお り,均衡生産量 も拡大する効果が と

りあえず確認で きた とい うことであ る｡ただ,シ ュグッケルベルグ均衡では, 先手有利性はほ とん どない｡む しろ後手有利 とさえいって よい くらいであ る｡

ここでは,先手である自企業の生産拡大はほ とん ど不可能であ り,クール ノー 均衡点 から事実上は移動で きない｡双方が外部経済の恩恵を費用縮減効果 と

い うかたちで受ける ときには, クールノー同時手番ゲームの均衡 とシ ュタッ ケルベルグ均衡 には,各 々の企業生産量や均衡価格だけでな く均衡利潤でさ え,クール ノー均衡 と変わ らないない結果 となる｡後手第 2企業の利得水準 は先手第 1企業の利得水準のお よそ半分になる というのが外部経済等の特殊 要因のない基本モデルで確認 されているのに比べると,先手を上回 る利得水 準に拡大 している点は注 目されて よい｡先手主導 によってか りに生産拡大が 意図されようが,結果 としてクール ノー均衡点か らほ とん ど動けない とい う

のは何 に起因するのであ り,何 を意味 しているのであろうか｡ もちろん, こ の結果が外部経済効果によることは疑 いない｡じつは,本稿での分析 により,

Hamilton,∫.,andS,Slutsky.(1990)が全貌を明 らかにした と思われているか にみえる,完全情報下の数量戦略 クールーノーゲームおよびシ ュタッケルベ ルグゲームの均衡ない しパ レー ト優位集合の位置 について,また最適反応 曲 線 と等利潤線の形状の組合せ問題 について,分析対象 とされていなかった未 解決領域 を開拓 した ことになる｡本稿では, この ことについて,ひ とつの解 答を与 えている｡

なお,本稿の ようなゲーム設定は奇妙であるとい う見方があるかもしれな い｡ この疑問にたい しては,外部経済係数の水準を 1よ り小 さ くしさえずれ ば,あるいはゼ ロに近い値 にすれば, より現実的な従来型の均衡値を得 るこ

とがで きると結論 してお く｡

なお,残 されている課題は,ギ ッフ ェソ財の場合 に後手有利性が起 こるか どうかについての検討である｡ただ し,需要 曲線の傾 きを正値 とすれば,限 りない利潤拡大 かあるいは生産中止 という,いずれにして も極端な状況の発 生 を とめ られないであろう｡それ よりも重要 な検討課題 は,概略の見通 しの みを与えたにす ぎない外部不経済の場合である｡外部不経済の効果が費用 を 拡大 させ る方向にはた らくとき,はた して,本稿で得た分析結果 と対照的な 結論が得 られるであろうか という問題である｡

参 考 文 献

[1]Amir,.R.(1995)."EndogenousTimingTwo‑PlayerGames:A CounterExample,"

GamesandEconomicBehavior.

[2]Anderson,S.,andM,Engers,(1992)"StackelbergversusCournotOligopolyequilibri‑ um,"htemationalJPurnalofOrganization.10.1271135

[3]Gal‑Or,E.(1985)."FirstMoverandSecondMoverAdvantages,"InternationalEco‑ nomicReyieu).26.649‑652.

[4]Hamilton,∫.,andS,Slutsky.(1990)."EndogeniousTiminginDuopolyGames:Stack‑

elbergorCournotEquilibria,"GamesandEconomicBehavior.2.29‑46

[5]村 田省三(2006),｢外部経済 と後 手有利性 について｣長 崎大学経済学 会 『経 営 と経済』

第85巻第3･4号

[6]村 田省三(2007),｢外部経 済 と先手有利性｣長 崎大学経済学会 『経 営 と経済』第87巻第 3号

[7]村 田省三(2007),｢外部経 済 とシ ュグ ッケルベル グ均衡 ｣長崎大学経済学会 『経営 と経 済』第87巻第3号