中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
１ 式 の 展 開 と 因 数 分 解
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む 問 題 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■練習問題①
１ 偶 数 や 奇 数 に つ い て い ろ い ろ と 調 べ て い た 太 郎 さ ん は ，「 偶 数 を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 偶 数 の 前 後 の 奇 数 の 積 に な る 」 と い う こ と に 気 付 き ま し た 。 そ し て ， こ の こ と を 下 の よ う に 表 し ま し た 。 あ と の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。
偶 数 ２ ４ ６ ８ ・ ・ ・ ・
２ 乗 す る
２ 乗 し た 数 ４ １ ６
１ を 引 く
１ を 引 い た 数 ３
２ 数 の 積 に す る
奇 数 の 数 １ × ３ × × ×
(1) 上 の に あ て は ま る 数 を そ れ ぞ れ 書 き 入 れ な さ い 。
(2) 太 郎 さ ん は ，２ 以 上 の す べ て の 偶 数 に つ い て ，「 偶 数 を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 偶 数 の 前 後 の 奇 数 の 積 に な る 」 と い う こ と を ， 文 字 の 式 と こ と ば を 使 っ て 次 の よ う に 説 明 し ま し た 。
(太 郎 さ ん の 説 明 )
自 然 数
n
を 使 っ て ， ２ 以 上 の 偶 数 は２ n
と 表 さ れ る 。(２ n)
２－ １ ＝(２ n
＋ １) (２ n
－ １)と な る か ら ， 偶 数 ２ n
を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 偶 数２ n
の 前 後 の 奇 数２ n
－ １ と２n
＋ １ の 積 に な る 。(太 郎 さ ん の 説 明 )を 参 考 に し て ， １ 以 上 の す べ て の 奇 数 に つ い て ，「 奇 数 を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 奇 数 の 前 後 の 偶 数 の 積 に な る 」 と い う こ と を ， 文 字 の 式 と こ と ば を 使 っ て 説 明 し な さ い 。 ※ こ の 場 合 の 偶 数 は ， ０ を 含 む も の と し て 考 え ま す 。
【 解 答 】
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■練習問題②
１ 次 の よ う な
Ａ
，Ｂ， Ｃ
の ３ 種 類 の 板 が あ り ま す 。 こ の ３ 種 類 の 板 を 何 枚 か 組 み 合 わ せ て ， い ろ い ろ な 形 を つ く り ま す 。あ と の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。
Ａ
１ 辺 の 長 さ がx ｃ ｍ
の 正 方 形Ｂ
２ 辺 の 長 さ が そ れ ぞ れx ｃ ｍ と
１ ｃ ｍ
で あ る 長 方 形Ｃ
１ 辺 の 長 さ が１ ｃ ｍの 正 方 形(1)
Ａ
を １ 枚 ，Ｂ
を ２ 枚 ，Ｃ
を １ 枚 組 み 合 わ せ る と ， 右 の 図 の よ う に １ 辺 の 長 さ がx
＋ １ｃ ｍ
と な る 正 方 形 を つ く る こ と が で き ま す 。 こ の こ と は ， 式 と こ と ば を 使 っ て 下 の よ う に 説 明 す る こ と が で き ま す 。(説 明 )
Ａ
の 面 積 はx
２ｃ ｍ
２，Ｂの 面 積 は x ｃ ｍ
２，Ｃの 面 積 は
１ｃ ｍ
２で あ る 。 だ か ら ，Ａ
１ 枚 ，Ｂ
２ 枚 ，Ｃ１ 枚 の 面
積 を た す と ，x２＋２x
＋ １ ＝( x
＋ １)
２ と な る の で ， １ 辺 の 長 さ がx
＋ １ｃ ｍ
と な る 正 方 形 を つ く る こ と が で き る 。Ａを １ 枚 ， Ｂ
を ５ 枚 ，Ｃを ６ 枚 を 組 み 合 わ せ て ， 長 方 形 を つ く る と し た ら ， ど の よ う な 長 方 形 が で き ま す か 。 上 の (説 明 )を 参 考 に し て ， 式 と こ と ば を 使 っ て 説 明 し な さ い 。【 解 答 】
(2) １ 辺 の 長 さ が
２ x
＋ ３ｃ ｍ
と な る よ う な 正 方 形 を ５ 枚 つ く る に は ，Ａ
～Ｃの 板 が そ れ ぞ れ 何 枚 必 要 で す か 。【 解 答 】
Ａ Ｂ Ｃ
x ｃｍ
x ｃｍ
Ａ x ｃｍ
１ｃｍ Ｂ
１ｃｍ
１ｃｍ Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｂ
Ｃ x ＋１ｃｍ
x＋１ｃｍ
枚 枚
枚
中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
１ 式 の 展 開 と 因 数 分 解
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む 問 題 ]
[解 答 例 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題①
１ (1)
偶 数 ２ ４ ６ ８ ・ ・ ・ ・
２ 乗 す る
２ 乗 し た 数 ４ １ ６
１ を 引 く
１ を 引 い た 数 ３
２ 数 の 積 に す る
奇 数 の 数 １ × ３ × × ×
(2) (解 答 例 １ )
自 然 数
n
を 使 っ て ， 奇 数 は２ n
－ １ と 表 さ れ る 。(２ n － １ )
２－ １ ＝４ n
２－４ n
＋ １ － １＝
４ n
２－４n
＝
２ n (２ n －２ )
と な る か ら ， 奇 数
２ n
－ １ を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 奇 数２ n
－ １ の 前 後 の 偶 数２n
－ ２ と２n
の 積 に な る 。【 ポ イ ン ト 】
奇 数 で あ る
２ n
－ １ の 前 後 の 偶 数 は ，(２ n
－ １)－ １ ＝ ２ n
－ ２ ，(２n
－ １)＋ １ ＝ ２ n
だ か ら ，２ n
－ ２ と２n
だ ね 。４ n
２－４ n
＝２n
×２n
－２n
×２ だ か ら ， 共 通 因 数２ n
を と り 出 す こ と で ，２ n
－ ２ と２ n
の 積 の 形 に で き る ね 。(解 答 例 ２ )
０ 以 上 の 整 数 を
n
と す る と ， 奇 数 は２ n
＋ １ と 表 さ れ る 。(２ n ＋ １ )
２－ １ ＝４ n
２＋４ n
＋ １ － １＝
４ n
２＋４n
＝
２ n ( ２ n ＋ ２ )
と な る か ら ， 奇 数
２ n
＋ １ を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 奇 数２ n
＋ １ の 前 後 の 偶 数２n
と２n
＋ ２ の 積 に な る 。【 ポ イ ン ト 】
n
を 自 然 数 と す る と ，２ n ＋
１ ＝ ３ ， ５ ， ７ ， ９ ・ ・ ・ ・ ・ と な り ， 奇 数 １ を 表 す こ と が で き な い 。だ か ら ， こ の 場 合 は ，
n
を ０ 以 上 の 整 数 と し た 方 が い い ね 。１５
３ ５
３６
３５
５ ７
６４
６３
９
７
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題②
１ (1)
Ａ
の 面 積 はx
２ｃ ｍ
２，Ｂの 面 積 は x ｃ ｍ
２，Ｃの 面 積 は １ ｃ ｍ
２で あ る 。 だ か ら ，Ａ
１ 枚 ，Ｂ５ 枚 ， Ｃ
６ 枚 の 面 積 を た す と ，x
２＋５x
＋ ６ ＝( x ＋ ２ ) ( x ＋ ３ )
と な り ，２ 辺 の 長 さ が
x ＋ ２ ｃ ｍ
とx ＋ ３ ｃ ｍ
で あ る 長 方 形 を つ く る こ と が で き る 。【 ポ イ ン ト 】
右 の よ う な 長 方 形 に な る ね 。 (1)の 問 い は ，「 正 方 形 の (説 明 )に な ら っ て ， 式 と こ と ば を 使 っ て 説 明 し な さ い 。」 と な っ て い る の で ， 上 の よ う な 説 明 に な る ね 。
(2)
Ａ ２ ０
枚Ｂ ６ ０
枚Ｃ ４ ５
枚【 ポ イ ン ト 】
１ 辺 の 長 さ が
２ x ＋ ３ ｃ ｍ
と な る 正 方 形 は ， 下 の よ う に な る 。 そ し て ， こ の 正 方 形 ５ 枚 の 合 計 の 面 積 を 計 算 す る と ，５ ( ２ x
＋ ３)
２ ＝５ (４ x
２＋１ ２ x
＋９ )＝
２ ０ x
２＋６ ０ x
＋４ ５ と な る 。Ａ
の 面 積 はx
２ｃ ｍ
２，Ｂの 面 積 はx ｃ ｍ
２，Ｃの 面 積 は １ｃ ｍ
２だ か ら ，Ａは ２ ０
枚 ，Ｂは ６ ０
枚 ，Ｃ
は４ ５枚 必 要 に な る ね 。こ の 正 方 形 が ５ 枚
Ｂ
Ｃ Ａ
Ｂ
Ｂ
Ｃ Ｂ
Ｂ
Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ x ＋２ ｃｍ
x ＋３ ｃｍ
Ａ Ａ
Ａ Ａ
Ｂ
Ｂ Ｂ Ｂ
Ｂ Ｂ Ｂ
Ｂ
Ｂ
Ｂ Ｂ
Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ
Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ
Ｃ Ｃ
２x
＋３ｃｍ２
