中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年 １ 式 の 展 開 と 因 数 分 解

中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年

１ 式 の 展 開 と 因 数 分 解

[知 識 ・ 技 能 の 習 得 を 図 る 問 題 ]

中 学 校

年 組 号 氏 名

■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名

■練習問題①

１ 次 の (1)か ら (4)ま で の 式 を 計 算 し な さ い 。

(1) ３

x ( x

＋２

y )

(2) －６

a ( a

－

２ b )

【 解 答 】 【 解 答 】

(3)

( ９ a b

－６

a )

÷

(－ ３ a )

(4)

( １ ２ x

^２

y － ８ x y

^２

)

÷２

x y

３

【 解 答 】 【 解 答 】

２ 次 の (1)か ら (4)ま で の 式 を 展 開 し な さ い 。

(1)

( a

－

b ) ( c

－

d )

(2)

( ５ x

－

３ y ) ( ４ x

－

y )

【 解 答 】 【 解 答 】

(3)

( x

＋ ２

) ( x

＋ ５

)

(4)

( x

＋ ５

) ( x

－ ７

)

【 解 答 】 【 解 答 】

■練習問題②

１ 次 の (1)か ら (4)ま で の 式 を 展 開 し な さ い 。

(1)

( x ＋

９)^２ (2)

a － １

２

２

【 解 答 】 【 解 答 】

(3)

( x

＋ ５

) ( x

－ ５

)

(4)

(２ x

＋

y ) (２ x

－

_y )

【 解 答 】 【 解 答 】

２ 次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。

(1)

( x ＋

２)^２－(

x

＋ ２

) ( x

＋ ５

)を 簡 単 に し な さ い 。

【 解 答 】

(2)

１ ０ ２ × ９ ８

を 展 開 の 公 式 を 利 用 し て ， 計 算 し な さ い 。 (途 中 の 計 算 も 書 き な さ い 。 )

【 解 答 】

(3)

x

＝

３ ６

の と き ， 次 の 式 の 値 を 求 め な さ い 。

x ( x

＋ ４

)－ ( x

－ １

) ( x

＋ ４

)

■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名

■練習問題③

１ 次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。 (1)

１ ４ ４

を 素 因 数 分 解 し な さ い 。

【 解 答 】

(2)

４ ５

に で き る だ け 小 さ い 自 然 数 を か け て ， あ る 自 然 数 の ２ 乗 に す る に は ， ど の よ う な 自 然 数 を か け れ ば よ い か 求 め な さ い 。

【 解 答 】

２ 次 の (1)か ら (6)ま で の 式 を 因 数 分 解 し な さ い 。

(1)

４ a b － ８ b

^２ (2)

３ x

－

６ x

^２

【 解 答 】 【 解 答 】

(3)

－ １ ２ a

^２

－ １ ８ a b ＋ ６ a

(4)

x

^２

－ ９ y

^２

【 解 答 】 【 解 答 】

(5) １ －

４ ９ a

^２ (6)

１ ６ x

^２

－

１

９

【 解 答 】 【 解 答 】

■練習問題④

１ 次 のアか らウの 中 に あ て は ま る 正 の 数 を そ れ ぞ れ 答 え な さ い 。

９ x

^２

＋ １ ２ x y ＋ y

^２

＝ （ x ＋ y ）

^２

【 解 答 】

ア＝ イ＝ ウ＝

２ 次 の (1)か ら (6)ま で の 式 を 因 数 分 解 し な さ い 。

(1)

x

^２

＋ １ ２ x

＋

３ ６

(2)

１－ ６ x

＋

９ x

^２

【 解 答 】 【 解 答 】

(3)

x

^２

－ x

＋ １ (4)

x

^２

－ ９ x

＋

１ ８

４

【 解 答 】 【 解 答 】

(5)

x

^２－８

x

－９ (6)

３ a x

^２－

２ ７ a

【 解 答 】 【 解 答 】

３ 因 数 分 解 を 利 用 し て ， 次 の 式 の 値 を 求 め な さ い 。 (途 中 の 計 算 も 書 き な さ い 。 )

x

＝

２ ０ ２

の と き ，

x

^２－４

x

＋４の 値

【 解 答 】

ア イ ウ

中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年

１ 式 の 展 開 と 因 数 分 解

［ 知 識 ・ 技 能 の 習 得 を 図 る 問 題 ］

[解 答 例 ]

中 学 校

年 組 号 氏 名

■練習問題①

１

【 ポ イ ン ト 】

(1)

３ x （ x

＋

２ y ）

分 配 の 法 則

a ( x

＋

y )＝ a x

＋

a y

を 使 っ て 計 算 し よ う 。

＝３

x

^２＋

６ x y

(2)の 計 算 は ，

(－ ６ a )

×

a

＋

(－ ６ a )× （－ ２ b ）

(2) －

６ a （ a

－２

b ）

＝ －

６ a

^２＋１ ２

a b

－６

a

^２ ＋

１ ２ a b

と な り ， 符 号 に 注 意 す る 必 要 が あ る ね 。

(3)

（ ９ a b

－

６ a ）÷ （ － ３ a ）

【 ポ イ ン ト 】

＝９

a b

÷（ － ３

a ）

＋（ － ６

a ）

÷

（ － ３ a ） ９ a b，－ ６ a

を そ れ ぞ れ

－ ３ a

で わ ろ う 。

＝－ ３

b

＋ ２

９ a b

＋

－ ６ a

２

－ ３ a － ３ a

(4)

（ １ ２ x

^２

y

－８

x y

^２

）

÷

x y

３

【 ポ イ ン ト 】

３ ２ ３

＝（ １ ２

x

^２

y

－ ８

x y

^２

）

×

x y

の 逆 数 を か け る と い い ね 。

２ x y

３

２ x y

６

３

４

３

＝１ ２

x

^２

y

× ＋ （

－ ８ x y

^２) ×

２ x y ２ x y

１ １

＝１ ８

x

－１ ２

y

２

(1)

( a

－

b ) ( c

－

d )

＝

a ( c

－

d )－ b ( c

－

d )

＝

a c

－

a d

－

b c

＋

b d

(2) （

５ x

－３

y ) ( ４ x

－

y )

＝

５ x ( ４ x

－

y )－ ３ y ( ４ x

－

y )

＝

２ ０ x

^２－５

x y

－

１ ２ x y

＋

３ y

^２ 【 ポ イ ン ト 】

＝

２ ０ x

^２－１ ７

x y

＋３

y

^２ 同 類 項 は ま と め て お く こ と が 必 要 だ ね 。 (3) (

x

＋ ２ )(

x

＋ ５ )

＝

x

^２＋７

x

＋

１ ０

【 ポ イ ン ト 】

公 式

( x

＋

a ) ( x

＋

b )

＝

x

^２＋(

a

＋

b ) x

＋

a b

を 利 用 す る と い い ね 。

(4)

( x

＋ ５

) ( x

－ ７

)

(7)に つ い て は ，

x

の 係 数 は ２ と ５ の 和 で ７ ， 数 の 項 は

■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名

■練習問題②

１

(1)

( x

＋ ９

)

^２ 【 ポ イ ン ト 】

＝

x

^２＋

１ ８ x

＋

８ １

公 式

（ a

＋

b ）

^２＝

a

^２＋

２ a b

＋

b

^２ を 利 用 し よ う 。

x

を

a， ９ を b

と 考 え ， 公 式 に あ て は め る と ， １

x

^２＋ ２ ×

x

× ９ ＋ ９^２と な る ね 。

(2)

a

－

２

２

１ 【 ポ イ ン ト 】

＝

a

^２－

a

＋ 公 式

（ a

－

b ）

^２ ＝

a

^２－

２ a b

＋

b

^２ を 利 用 し よ う 。

４ １

を

b

と 考 え ， 公 式 に あ て は め る と ， ２

a

^２－ ２ ×

a

× １

＋ １ ^２

と な る ね 。

２ ２

(3)

( x

＋ ５

) ( x

－ ５

)

【 ポ イ ン ト 】

＝

x

^２－２ ５ 公 式

(a

＋

b ) (a

－

b )＝ a

^２－

b

^２ を 利 用 し よ う 。 (3)は ，x を

a， ５ を b

と 考 え る と い い ね 。

(4)は ，２

x

を

a， y

を

b

と 考 え ， 公 式 に あ て は め る と ， (4)

(２ x

＋

y ) (２ x

－

y ) (２ x )

^２－

y

^２と な る ね 。

＝

４ x

^２－

y

^２

２

(1)

( x

＋ ２

)

^２－(

x

＋ ２

) ( x

＋ ５

)

【 ポ イ ン ト 】

＝(

x

^２＋ ４

x

＋ ４

)－ ( x

^２＋７

x

＋

１ ０ )

次 の 順 序 で 計 算 を す る と い い ね 。

＝

x

^２＋ ４

x

＋ ４ －

x

^２－

７ x

－

１ ０

① そ れ ぞ れ 展 開 し て ，か っ こ を つ け る 。

＝

x

^２－

x

^２＋ ４

x

－７

x

＋ ４ －

１ ０

② 符 号 に 注 意 し て か っ こ を は ず す 。

＝ －

３ x

－ ６ ③ 同 類 項 を ま と め る 。

(2)

１ ０ ２

×

９ ８

＝（ １ ０ ０ ＋ ２ ) (１ ０ ０ － ２ ） 【 ポ イ ン ト 】

＝１ ０ ０^２－２^２ 公 式

( a

＋

b ) ( a

＋

b )＝ a

^２－

b

^２ を 利 用 し て

＝１ ０ ０ ０ ０－ ４ 計 算 し よ う 。

＝９ ９ ９ ６

(3)

x ( x

＋

４ )－ ( x

－１ ) (

x

＋４ ) 【 ポ イ ン ト 】

＝

x

^２＋４

x

－ (

x

^２＋３

x

－４ ) 下 の よ う に ， 最 初 の 式 に ，

x

＝３ ６を 代 入 し て ，

＝

x

^２＋４

x

－

x

^２－３

x

＋４ 計 算 す る こ と も で き る ね 。

＝

x

＋

４ ３ ６ (３ ６

＋ ４

)－(３ ６

－ １

) (３ ６

＋ ４

)

x

＝

３ ６

を 代 入 し て ， ＝

３ ６

×

４ ０

－３ ５×４ ０

３ ６

＋ ４ ＝４ ０ ＝ (

３ ６

－３ ５)×

４ ０

＝ １ ×

４ ０

■練習問題③

１

(1)

２

^４×３^２ 【 ポ イ ン ト 】 同 じ 数 の 積 は 指 数 を 使 っ て 表 そ う 。 求 め 方 に は ， 主 に 次 の よ う な ２ つ の 方 法 が あ る よ 。

(求 め 方 ① ) (求 め 方 ② )

右 の よ う に ２ ）

１ ４ ４

気 付 い た も の か ら ４ ２ 素 数 で 次 々 ２ ）

７ ２

積 の 形 に 分 解 し て

１ ２

２ に わ っ て い ２ ）

３ ６

い き ， す べ て 素 数

１ ４ ４

３

く 。 ２ ）

１ ８

の 積 に な る ま で ，

１ ２

４ ２

３ ）

９

分 解 す る 。 ２

３ ３

(2) ５ 【 ポ イ ン ト 】

４ ５

を 素 因 数 分 解 す る と

３

^２× ５ で あ る 。 だ か ら ，

３

^２× ５ に ５ を か け る と ，

（ ３

^２× ５

）

× ５ ＝３^２×５^２

＝（３ × ５

）

^２

と な り ， 自 然 数

１ ５

の ２ 乗 に な る こ と が わ か る ね 。

２

(1)

４ a b

－

８ b

^２ 【 ポ イ ン ト 】

＝４

b （ a

－

２ b ） ４ a b

－

８ b

^２＝

４ b

×

a

－４

b

×

２ b

だ か ら ， 共 通 因 数 は

４ b

だ ね 。

(2)

３ x

－６

x

^２

＝３

x （

１ －

２ x ）

【 ポ イ ン ト 】

－

６ a

を 共 通 因 数 と し て 出 せ ば ，

(

)の (3) －

１ ２ a

^２－１ ８

a b

＋

６ a

中 の 各 項 の 符 号 が 変 わ る ね 。

＝ －

６ a （ ２ a

＋

３ b

－ １

） ６ a （ － ２ a

－

３ b

＋ １

） と 答 え て も い い よ 。

(4)

x

^２－９

y

^２ 【 ポ イ ン ト 】

＝（

x

＋３

y ） （ x

－

３ y ）

公 式

a

^２－

b

^２＝（

a

＋

b ） （ a

－

b ） を 利 用 し よ う 。

(4)は ，

x

^２－

９ y

^２＝

x

^２－

（ ３ y ）

^２だ か ら ，

x

を

a，３ y

を

b

に あ て は め て 考 え る と い い ね 。 (5) １ －

４ ９ a

^２

＝（１ ＋

７ a ） （１ － ７ a ）

(5)は ，

１

－４ ９

y

^２＝１^２－（ ７

y ）

^２だ か ら ，

１ を

a， ７ a

を

b

に あ て は め て 考 え る と い い ね 。

１ １ １

(6)

１ ６ x

^２－ (6)は ，

１ ６ x

^２－ ＝

(４ x )

^２－ ^２だ か ら ，

■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名

■練習問題④

１

ア＝ ４ ，イ＝ ３ ，ウ＝ ２ 【 ポ イ ン ト 】

公 式

a

^２＋

２ a b

＋

b

^２＝（

a

＋

b ）

^２ と 比 べ て 考 え よ う 。

９ x

^２

＋ １ ２ x y ＋ y

^２

＝ （ x ＋ y ）

^２

（ ３ x ）

^２

２ × ３ x × ２ y

９ x

^２＝（ ３

x ）

^２ だ か ら ，イは ３ と な る ね 。

１ ２ x y ＝ ２ × ３ x × ２ y

だ か ら ，ウは ２ と な る ね 。 公 式 の

b

^２の 部 分 は

(２ y)

^２と な り ，アは ４ と な る ね 。 ２

(1)

（ x

＋ ６

）

^２ 【 ポ イ ン ト 】

公 式

a

^２＋

２ a b

＋

b

^２＝

（ a

＋

b ）

^２ を 利 用 し よ う 。

x

^２

＋ １ ２ x ＋ ３ ６ ＝ x

^２＋２×

x × ６ ＋ ６

^２だ か ら ，

a

は

x， b

は ６ だ ね 。 (2)

（

１ －

３ x ）

^２ 【 ポ イ ン ト 】

公 式

a

^２－

２ a b

＋

b

^２＝

（ a

－

b ）

^２ を 利 用 し よ う 。

(2)は ，１^２－ ２ × １ ×

３ x

＋

(３ x)

^２ だ か ら ，

a

は １ ，bは

３ x

だ ね 。 １ －

６ x

＋

９ x

^２＝

９ x

^２－６

x

＋ １ ＝

（ ３ x

－ １

）

^２と 答 え て も い い よ 。 (3)

x

－ １ ^２ (3)は ，x^２－

x

＋１

＝

x

^２－ ２ ×

x

× １

＋ １ ^２

と な る か ら ， ２

１

４ ２ ２

a

は

x，b

は と 考 え る と い い ね 。 ２

(4)

（ x

－ ３

） （ x

－ ６

）

【 ポ イ ン ト 】

公 式

x

^２＋

（ a

＋

b ） x

＋

a b

＝

（ x

＋

a ） （ x

＋

b ）

を 利 用 し よ う 。 (4)は ，

x

^２－

９ x

＋

１ ８

だ か ら ， 和 が

－ ９

， 積 が

１ ８

と な る ２ 数 を (5)

（ x

＋ １

） （ x

－ ９

）

を 見 つ け よ う (－ ３ と － ６ )。

(5)は ， 和 が

－ ８

， 積 が

－ ９

と な る ２ 数 だ ね (＋ １ と － ９ )。

(6)

３ a （ x

＋ ３

） （ x

－ ３

）

【 ポ イ ン ト 】

共 通 因 数 を 取 り 出 し て ， さ ら に(

)の 中 が 因 数 分 解 で き な

い か を 考 え よ う 。

３ a x

^２－２ ７

a

＝

３ a （ x

^２－ ９

）

＝

３ a （ x

＋ ３

） （ x

－ ３

）

３

４ ０ ０ ０ ０

【 ポ イ ン ト 】

公 式

a

^２－

２ a b

＋

b

^２＝

（ a

－

b ）

^２ を 利 用 す る と ，

x

^２－

４ x

＋ ４ ＝

（ x

－ ２

）

^２と な り ， こ こ で

x

＝

２ ０ ２

を 代 入 す れ ば ， イ

ア ウ