中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
１ 式 の 展 開 と 因 数 分 解
［ 知 識 ・ 技 能 の 習 得 を 図 る 問 題 ］
[解 答 例 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
■練習問題①
１
【 ポ イ ン ト 】
(1)
３ x （ x
＋２ y ）
分 配 の 法 則a ( x
＋y )＝ a x
＋a y
を 使 っ て 計 算 し よ う 。＝３
x ２＋６ x y
(2)の 計 算 は ，(－
６ a )
×a
＋(－ ６ a )× （－ ２ b ）
(2) －６ a （ a
－２b ）
＝ －
６ a ２＋１ ２ a b
－６ a ２ ＋１ ２ a b
１ ２ a b
と な り ， 符 号 に 注 意 す る 必 要 が あ る ね 。
(3)
（ ９ a b
－６ a ）÷ （ － ３ a ）
【 ポ イ ン ト 】＝９
a b
÷（ － ３a ）
＋（ － ６a ）
÷（ － ３ a ） ９ a b，－ ６ a
を そ れ ぞ れ－ ３ a
で わ ろ う 。＝－ ３
b
＋ ２９ a b
＋
－ ６ a
２
－ ３ a － ３ a
(4)
（ １ ２ x ２ y
－８x y ２ ）
÷x y
３【 ポ イ ン ト 】
３ ２ ３
＝（ １ ２
x ２ y
－ ８x y ２ ）
×x y
の 逆 数 を か け る と い い ね 。２ x y
３２ x y
６
３４
３＝１ ２
x ２ y
× ＋ （－ ８ x y ２) ×
２ x y ２ x y
１ １
＝１ ８
x
－１ ２y
２(1)
( a
－b ) ( c
－d )
＝
a ( c
－d )－ b ( c
－d )
＝
a c
－a d
－b c
＋b d
(2) （５ x
－３y ) ( ４ x
－y )
＝
５ x ( ４ x
－y )－ ３ y ( ４ x
－y )
＝
２ ０ x ２－５ x y
－１ ２ x y
＋３ y ２ 【 ポ イ ン ト 】
＝
２ ０ x ２－１ ７ x y
＋３ y ２ 同 類 項 は ま と め て お く こ と が 必 要 だ ね 。
(3) (x
＋ ２ )(x
＋ ５ )
x
＋ ２ )(x
＋ ５ )＝
x ２＋７ x
＋１ ０
【 ポ イ ン ト 】
公 式
( x
＋a ) ( x
＋b )
＝x ２＋(a
＋ b ) x
＋a b
を 利 用
す る と い い ね 。
(4)
( x
＋ ５) ( x
－ ７)
(7)に つ い て は ，x
の 係 数 は ２ と ５ の 和 で ７ ， 数 の 項 は＝
x ２－ ２ x
－３ ５
２ と ５ の 積 で１ ０
と な る ね 。
(8)に つ い て は ，
x
の 係 数 は ５ と － ７ の 和 で － ２ ， 数 の 項 は ５ と － ７ の 積 で－ ３ ５と な る ね 。
■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題②
１
(1)
( x
＋ ９) ２ 【 ポ イ ン ト 】
＝
x
２＋１ ８ x
＋８ １
公 式（ a
＋b ） ２＝ a ２＋２ a b
＋ b ２ を 利 用 し よ う 。
x
をa， ９ を b
と 考 え ， 公 式 に あ て は め る と ，
１ x ２＋ ２ × x
× ９ ＋ ９２
と な る ね 。
２ a b
＋b ２ を 利 用 し よ う 。
x
をa， ９ を b
と 考 え ， 公 式 に あ て は め る と ，
１ x ２＋ ２ × x
× ９ ＋ ９２
と な る ね 。
x
× ９ ＋ ９２
と な る ね 。(2)
a
－２
２
１ 【 ポ イ ン ト 】
＝
a
２－a
＋ 公 式（ a
－b ） ２ ＝ a ２－２ a b
＋ b ２ を 利 用 し よ う 。
２ a b
＋b ２ を 利 用 し よ う 。
４ １
を
b
と 考 え ， 公 式 に あ て は め る と ， ２a ２－ ２ × a
× １
＋ １
２
と な る ね 。
２ ２
(3)
( x
＋ ５) ( x
－ ５)
【 ポ イ ン ト 】＝
x ２－２ ５ 公 式 (a
＋ b ) (a
－b )＝ a ２－b ２ を 利 用 し よ う 。
(3)は ，x を a， ５ を b
と 考 え る と い い ね 。
b ２ を 利 用 し よ う 。
(3)は ，x を a， ５ を b
と 考 え る と い い ね 。
(4)は ，２
x
をa， y
をb
と 考 え ， 公 式 に あ て は め る と ， (4)(２ x
＋y ) (２ x
－y ) (２ x ) ２－y ２と な る ね 。
＝
４ x ２－y ２
２
(1)
( x
＋ ２) ２－(x
＋ ２) ( x
＋ ５)
【 ポ イ ン ト 】
＝(
x ２＋ ４ x
＋ ４)－ ( x ２＋７ x
＋１ ０ )
次 の 順 序 で 計 算 を す る と い い ね 。
x
＋１ ０ )
次 の 順 序 で 計 算 を す る と い い ね 。＝
x ２＋ ４ x
＋ ４ － x ２－７ x
－１ ０
① そ れ ぞ れ 展 開 し て ，か っ こ を つ け る 。
７ x
－１ ０
① そ れ ぞ れ 展 開 し て ，か っ こ を つ け る 。＝
x ２－x ２＋ ４ x
－７ x
＋ ４ －１ ０
② 符 号 に 注 意 し て か っ こ を は ず す 。
x
－７x
＋ ４ －１ ０
② 符 号 に 注 意 し て か っ こ を は ず す 。＝ －
３ x
－ ６ ③ 同 類 項 を ま と め る 。(2)
１ ０ ２
×９ ８
＝（ １ ０ ０ ＋ ２ ) (１ ０ ０ － ２ ） 【 ポ イ ン ト 】
＝１ ０ ０
２
－２２
公 式( a
＋b ) ( a
＋b )＝ a ２－ b ２ を 利 用 し て
＝１ ０ ０ ０ ０－ ４ 計 算 し よ う 。
＝９ ９ ９ ６
(3)
x ( x
＋４ )－ ( x
－１ ) (x
＋４ ) 【 ポ イ ン ト 】＝
x ２＋４ x
－ (x ２＋３ x
－４ ) 下 の よ う に ， 最 初 の 式 に ，x
＝３ ６を 代 入 し て ，
x
－４ ) 下 の よ う に ， 最 初 の 式 に ，x
＝３ ６を 代 入 し て ，＝
x ２＋４ x
－x ２－３ x
＋４ 計 算 す る こ と も で き る ね 。
x
＋４ 計 算 す る こ と も で き る ね 。＝
x
＋４ ３ ６ (３ ６
＋ ４)－(３ ６
－ １) (３ ６
＋ ４)
x
＝３ ６
を 代 入 し て ， ＝３ ６
×４ ０
－３ ５×４ ０３ ６
＋ ４ ＝４ ０ ＝ (３ ６
－３ ５)×４ ０
＝ １ ×
４ ０
＝
４ ０
■練習問題③
１
(1)
２ ４×３２
【 ポ イ ン ト 】 同 じ 数 の 積 は 指 数 を 使 っ て 表 そ う 。 求 め 方 に は ， 主 に 次 の
よ う な ２ つ の 方 法 が あ る よ 。
(求 め 方 ① ) (求 め 方 ② )
右 の よ う に ２ ）
１ ４ ４
気 付 い た も の か ら ４ ２ 素 数 で 次 々 ２ ）７ ２
積 の 形 に 分 解 し て１ ２
２ に わ っ て い ２ ）３ ６
い き ， す べ て 素 数１ ４ ４
３く 。 ２ ）
１ ８
の 積 に な る ま で ，１ ２
４ ２３ ）
９
分 解 す る 。 ２３ ３
(2) ５ 【 ポ イ ン ト 】
４ ５
を 素 因 数 分 解 す る と３ ２× ５ で あ る 。
だ か ら ，３ ２× ５ に ５ を か け る と ，
（ ３ ２× ５）
× ５ ＝３２
×５２
＝（３ × ５
） ２
と な り ， 自 然 数
１ ５
の ２ 乗 に な る こ と が わ か る ね 。 ２(1)
４ a b
－８ b ２ 【 ポ イ ン ト 】
＝４
b （ a
－２ b ） ４ a b
－８ b ２＝４ b
×a
－４ b
×２ b
だ か ら ，
共 通 因 数 は４ b
だ ね 。
(2)
３ x
－６x ２
＝３
x （
１ －２ x ）
【 ポ イ ン ト 】－
６ a
を 共 通 因 数 と し て 出 せ ば ，(
)の (3) －１ ２ a ２－１ ８ a b
＋６ a
中 の 各 項 の 符 号 が 変 わ る ね 。
＝ －
６ a （ ２ a
＋３ b
－ １） ６ a （ － ２ a
－３ b
＋ １） と 答 え て も い い よ 。
(4)
x ２－９ y ２ 【 ポ イ ン ト 】
＝（
x
＋３y ） （ x
－３ y ）
公 式a ２－b ２＝（ a
＋b ） （ a
－ b ） を 利 用 し よ う 。
(4)は ，x ２－９ y ２＝ x ２－（ ３ y ） ２だ か ら ，
a
＋b ） （ a
－b ） を 利 用 し よ う 。
(4)は ，x ２－９ y ２＝ x ２－（ ３ y ） ２だ か ら ，
x ２－（ ３ y ） ２だ か ら ，
x
をa，３ y
をb
に あ て は め て 考 え る と い い ね 。 (5) １ －４ ９ a ２
＝（１ ＋
７ a ） （１ － ７ a ）
(5)は ，１
－４ ９y ２＝１２
－（ ７ y ） ２だ か ら ，
１ を
a， ７ a
をb
に あ て は め て 考 え る と い い ね 。１ １ １
(6)
１ ６ x ２－ (6)は ，１ ６ x ２－ ＝(４ x ) ２－ ２
だ か ら ，
９
(４ x ) ２－ ２
だ か ら ，
９
１
９ ３
＝
４ x
＋１４ x
－１４ x
をa，
をb
に あ て は め て 考 え る と い い ね 。３ ３ ３
■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題④
１
ア＝ ４ ，イ＝ ３ ，ウ＝ ２ 【 ポ イ ン ト 】
公 式
a ２＋２ a b
＋b ２＝（ a
＋b ） ２ と 比 べ て 考 え よ う 。
a
＋b ） ２ と 比 べ て 考 え よ う 。
９ x ２ ＋ １ ２ x y ＋ y ２ ＝ （ x ＋ y ） ２
（ ３ x ） ２ ２ × ３ x × ２ y
９ x ２＝（ ３ x ） ２ だ か ら ，イは ３ と な る ね 。
１ ２ x y ＝ ２ × ３ x × ２ y
だ か ら ，ウは ２ と な る ね 。 公 式 のb ２の 部 分 は(２ y) ２と な り ，アは ４ と な る ね 。
２
(1)
（ x
＋ ６） ２ 【 ポ イ ン ト 】
公 式
a ２＋２ a b
＋ b ２＝（ a
＋ b ） ２ を 利 用 し よ う 。
（ a
＋b ） ２ を 利 用 し よ う 。
x ２ ＋ １ ２ x ＋ ３ ６ ＝ x ２＋２× x × ６ ＋ ６ ２だ か ら ，a
は x， b
は ６ だ ね 。
a
はx， b
は ６ だ ね 。(2)
（
１ －３ x ） ２ 【 ポ イ ン ト 】
公 式
a ２－２ a b
＋ b ２＝（ a
－ b ） ２ を 利 用 し よ う 。
（ a
－b ） ２ を 利 用 し よ う 。
(2)は ，１
２
－ ２ × １ ×３ x
＋(３ x) ２ だ か ら ，a
は １ ，bは３ x
だ ね 。
１ －６ x
＋９ x ２＝９ x ２－６ x
＋ １ ＝（ ３ x
－ １） ２と 答 え て も い い よ 。
(3) x
－ １ ２
(3)は ，x２
－x
＋１
９ x ２－６ x
＋ １ ＝（ ３ x
－ １） ２と 答 え て も い い よ 。
(3) x
－ １ ２
(3)は ，x２
－x
＋１
x
－ １２
(3)は ，x２
－x
＋１＝
x ２－ ２ × x
× １
＋ １
２
と な る か ら ， ２
１
４ ２ ２
a
はx，b
は と 考 え る と い い ね 。 ２(4)
（ x
－ ３） （ x
－ ６）
【 ポ イ ン ト 】公 式
x ２＋（ a
＋b ） x
＋a b
＝（ x
＋ a ） （ x
＋b ）
を 利 用 し よ う 。
(4)は ，x ２－９ x
＋１ ８
だ か ら ， 和 が－ ９
， 積 が１ ８
と な る ２ 数 を
(5) （ x
＋ １） （ x
－ ９）
を 見 つ け よ う (－ ３ と － ６ )。
９ x
＋１ ８
だ か ら ， 和 が－ ９
， 積 が１ ８
と な る ２ 数 を (5)（ x
＋ １） （ x
－ ９）
を 見 つ け よ う (－ ３ と － ６ )。(5)は ， 和 が
－ ８
， 積 が－ ９
と な る ２ 数 だ ね (＋ １ と － ９ )。(6)
３ a （ x
＋ ３） （ x
－ ３）
【 ポ イ ン ト 】共 通 因 数 を 取 り 出 し て ， さ ら に(
)の 中 が 因 数 分 解 で き な
い か を 考 え よ う 。３ a x ２－２ ７ a
＝３ a （ x ２－ ９）
）
＝
３ a （ x
＋ ３） （ x
－ ３）
３
４ ０ ０ ０ ０
【 ポ イ ン ト 】公 式
a ２－２ a b
＋ b ２＝（ a
－ b ） ２ を 利 用 す る と ，
（ a
－b ） ２ を 利 用 す る と ，
x ２－４ x
＋ ４ ＝（ x
－ ２） ２と な り ， こ こ で x
＝２ ０ ２
を 代 入 す れ ば ，
(２ ０ ２－ ２ ) ２＝２ ０ ０２
＝４ ０ ０ ０ ０ と 計 算 が 簡 単 に な る ね 。
x
＝２ ０ ２
を 代 入 す れ ば ，(２ ０ ２－ ２ ) ２＝２ ０ ０２
＝４ ０ ０ ０ ０ と 計 算 が 簡 単 に な る ね 。
イ
ア ウ
