中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
１ 式 の 展 開 と 因 数 分 解
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む 問 題 ]
[解 答 例 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
第 ３ 学 年 １ 式 の 展 開と 因 数 分 解
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題①
１ (1)
偶 数 ２ ４ ６ ８ ・ ・ ・ ・
２ 乗 す る
２ 乗 し た 数 ４ １ ６
１ を 引 く
１ を 引 い た 数 ３
２ 数 の 積 に す る
奇 数 の 数 １ × ３ × × ×
(2) (解 答 例 １ )
自 然 数
n
を 使 っ て ， 奇 数 は２ n
－ １ と 表 さ れ る 。(２ n － １ ) ２
－ １ ＝４ n ２
－４ n
＋ １ － １＝
４ n ２
－４n
＝
２ n (２ n －２ )
と な る か ら ， 奇 数
２ n
－ １ を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 奇 数２ n
－ １ の 前 後 の 偶 数２n
－ ２ と２n
の 積 に な る 。【 ポ イ ン ト 】
奇 数 で あ る
２ n
－ １ の 前 後 の 偶 数 は ，(２ n
－ １)－ １ ＝ ２ n
－ ２ ，(２n
－ １)＋ １ ＝ ２ n
だ か ら ，２ n
－ ２ と２n
だ ね 。４ n
２－４ n
＝２n
×２n
－２n
×２ だ か ら ， 共 通 因 数２ n
を と り 出 す こ と で ，２ n
－ ２ と２ n
の 積 の 形 に で き る ね 。(解 答 例 ２ )
０ 以 上 の 整 数 を
n
と す る と ， 奇 数 は２ n
＋ １ と 表 さ れ る 。(２ n ＋ １ ) ２
－ １ ＝４ n ２
＋４ n
＋ １ － １＝
４ n ２
＋４n
＝
２ n ( ２ n ＋ ２ )
と な る か ら ， 奇 数
２ n
＋ １ を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 奇 数２ n
＋ １ の 前 後 の 偶 数２n
と２n
＋ ２ の 積 に な る 。【 ポ イ ン ト 】
n
を 自 然 数 と す る と ，２ n ＋
１ ＝ ３ ， ５ ， ７ ， ９ ・ ・ ・ ・ ・ と な り ， 奇 数 １ を 表 す こ と が で き な い 。だ か ら ， こ の 場 合 は ，
n
を ０ 以 上 の 整 数 と し た 方 が い い ね 。１５
３ ５
３６
３５
５ ７
６４
６３
９ ７
第 ３ 学 年 １ 式 の 展 開と 因 数 分 解
第 ３ 学 年 １ 式 の 展 開と 因 数 分 解
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題②
１ (1)
Ａ
の 面 積 はx ２ ｃ ｍ ２
，Ｂの 面 積 は x ｃ ｍ ２
，Ｃの 面 積 は １ ｃ ｍ ２
で あ る 。 だ か ら ，Ａ
１ 枚 ，Ｂ５ 枚 ， Ｃ
６ 枚 の 面 積 を た す と ，x ２
＋５x
＋ ６ ＝( x ＋ ２ ) ( x ＋ ３ )
と な り ，２ 辺 の 長 さ が
x ＋ ２ ｃ ｍ
とx ＋ ３ ｃ ｍ
で あ る 長 方 形 を つ く る こ と が で き る 。【 ポ イ ン ト 】
右 の よ う な 長 方 形 に な る ね 。 (1)の 問 い は ，「 正 方 形 の (説 明 )に な ら っ て ， 式 と こ と ば を 使 っ て 説 明 し な さ い 。」 と な っ て い る の で ， 上 の よ う な 説 明 に な る ね 。
(2)
Ａ ２ ０
枚Ｂ ６ ０
枚Ｃ ４ ５
枚【 ポ イ ン ト 】
１ 辺 の 長 さ が
２ x ＋ ３ ｃ ｍ
と な る 正 方 形 は ， 下 の よ う に な る 。 そ し て ， こ の 正 方 形 ５ 枚 の 合 計 の 面 積 を 計 算 す る と ，５ ( ２ x
＋ ３) ２
＝５ (４ x ２
＋１ ２ x
＋９ )＝
２ ０ x ２
＋６ ０ x
＋４ ５ と な る 。Ａ
の 面 積 はx ２ ｃ ｍ ２
，Ｂの 面 積 はx ｃ ｍ ２
，Ｃの 面 積 は １ｃ ｍ ２
だ か ら ，Ａは ２ ０
枚 ，Ｂは ６ ０
枚 ，Ｃ
は４ ５枚 必 要 に な る ね 。こ の 正 方 形 が ５ 枚
Ｂ
Ｃ Ａ
Ｂ
Ｂ
Ｃ Ｂ
Ｂ
Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ x ＋２ ｃｍ
x ＋３ ｃｍ
Ａ Ａ
Ａ Ａ
Ｂ
Ｂ Ｂ Ｂ
Ｂ Ｂ Ｂ
Ｂ
Ｂ
Ｂ Ｂ
Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ
Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ
Ｃ Ｃ
２x
＋３ｃｍ２
