相異なる物質の二つの 部分より成る円板の熱伝導1）

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相異なる物質の二つの

部分より成る円板の熱伝導1）

小 平 吉 男＊

Conduction of Heat in a Thin CircUlar Disc Composed of Two       Parts with Different Physical ConstantS

by Yoshio KODAIRA

    We consider a thin circular disc composed of two parts witll di∬erent physical constants：tlle inner circular disc of radius al and the other circular ring of radi三 al and a as shown in Fig．1． To all physical constants for the三nner circular disc we attach a su伍x 1， and to those for the outer ring a su缶x 2．

    We assume that hとat escapes．from the circular disc proportionally to the difference of the temperature of the disc and that of the sourrounding air which is supposed to be zero．

The differential equations for the conduction of heat are given by（1）and（2）for the two parts respectively， rc12 and κ22 being the diffusivities and c12 and c22 are the proportionality constants of tlle heat escape from the surfaces． The boundary conditions at the boundary r＝al are given by（3）and（4）， where k， and k2 are the conductivities． The initial conditions are given by（5）and（6）， where f，（ア） and f，（プ）are two arbitrary functions of r．

    We consider here two cases． In case I we take the condition（7）， which implies that the temparature at the outer boundary r＝a is zero．

    The solutions of the differential equations（1）and （2）are given in the form

（8）and（9）， where Aα、 and Bα、 are two integration constants of the differential equation（1）which may includeα1， and Cα， and Dα2 are two integration constants

of the differential equation（2）， whigh may includeα2．ゐ（κ2α1ア）， J，（κ2α17う， Jo（rclα2tう

tlons．

    Puttings the time factors in（1）and（2）equa1， we get the condition（10）．

   Inserting the boundary conditions（3），（4），（7）in（8）and（9）we get（16）． From

＊ 理工学部物理学科教授 物理数学

1） この論文は本学第8期生森英一君が著者の指導の下に行った卒業論文の不適当な点を正し，体  裁を整えたものである

（10）and （16）we can determine eigenvaluesκ2α1 andκ1α2． If we draw the graphs（10）and（16）takingα1 andα2 as the coordinates， we get the intersections of these two curves as shown in Fig．2． These intersections determineα1 andα2 satisfying（10）．ahd・（16）．  VKアe denote the 5th positive roots ofα1 andα2 asα1，，

andα2，s， from whicll we can calculate the eigenvaluesκ2α1，8 andκ1α2，s．

   By using these eigenvalues， the eigenfunctions X，，s（r）and X，，s（r）are given by

（22） and （23）．

   The expansions of the arbitrary functions in series of eigenfunctions are obtain．

ed in the form（44）and（45）， where V（α1，s，α2，s）is given by（42）．

   Using． these expansions， the solution of the problem is given by the expressions

（46） and （47）．

   Next we consider tlle second case II in which the boundary condition atプ＝a is given by（48）． This means that the heat supplied from tlle outer boundary of the ring raises the temperature of the thin film on the boundary．

   The other conditions are same as in case I．

   In this case the values ofα1 and α2 are calculated l〕y（10）and（50）． These two curves are shown in Fig．3． The intersections of these curves give the values ofα1 andα2， which determine the eigenvalues of tlle problem． Denoting the∫tll positive roots of αi andα2 byα1，s andα2，s respectively， we get the eigenfunctions

X，，8（rl） and晃，t（r）given by （56） and・（57）．

   The expansions of the two arbitrary functionsプ三（1 ）and f，（1うare given by（73）

and（74）， where ttn（ア，5）is given by（60）and O（α1，s，α2，s）1）y（72）．

    The solution of the problem is given by（75）and（76）．

  半径aの薄い円板があり，その中の半径alなる部分 が他の物質より成っているとする（図1）。半径alまで

物質より成るとし，これらの物質に関する物理的の量 には脚符に1又は2を附けて，夫々それらの量に対する ものであることを示すこととする。温度をUl，〃2を以 て表わし，板の両面から板の温度に比例する熱の放散が

∵∂莞一・・2（；き1＋当9−・12・・［・く・く・1］，

      雲一・22（∂2u2 1∂〃2∂r2＋7∂r）−C22…，［・1＜・く・］

第1図 Fig．1

………

^（1）

………

^（2）

の如く書くことができる。温度は平面内の極座標r，θを用いて表わしているので，（1），

（2）は温度はθ方向には無関係であると仮定している。τは時間，rc12，κ22は熱拡散係数，

C12， C22は熱の放散の度合を示す常数である。

  二つの物質の境界r＝a1においては

       17

   （u1）r＝al＝（u2）r＝al，      ・・σ右・一・・（3）

   k，（∂tt．1∂r）r．al−k・（雲）r．。、       一・…（・）

なる境界糸件が成立するとする。k，， k2は二つの物質に対する熱伝導度である。又初期条 件としては，次の如く与えられるとする：

   （tt1）t．． o＝f （1う，      … ……（5）

   （μ2）t＝o＝f2（〆）．       ・・… −・… （6）

 この論文では二つの問題を取扱うこととする。

 問題1 先づ第一の問題としてr＝α1なる境界に於ける温度は0であるとし，  t  tt

   （tt2）r．・a＝0      ・・・・・・… （7）

とする。

 偏微分方程式（1），（2）の特解は

   Ul＝e−（c・2＋κ・2 22α・2）t｛A・、ゐ（・・αlr）＋B。、】1。（rc、α、r）｝，      ………（8）

   π2＝e−（c22＋κ・2x22α22）t｛Cα2 Jo（rc1α2r）十Dα2Yo（κ1α2r）｝       ……… （9）

なる形に書ける。α1，α2は境界条件から決定される固有値，」6（κ2αユア），」0（κ1α2r）は0次 のBessel関数， yo（rc2αlr）， Yo（rclα2r）は0次のNeumann関数を表わし， A。、， Bα、，

Cα2，Z）。2は夫々α1，α2を含む積分常数である。

 ttlはr ＝0で有限でなくてはならないから，（8）においてBαi＝0でなくてはならな

い。

 境界条件は如何なる時刻に対しても成立すべき条件であるから，（8），（9）に於ける時

を含む係数が同じでなくてはならない，即ち

   c12＋rc12κ22αi2＝c22＋κ12κ・2α・2       ………（10）

が成立する。

 境界条｛牛（7）から

   C・，」・（nla 2a）＋D。，】i。（κユα2のニ0

が成立しなくてはならない。これは新しい定数．E。，を用いて

   Ca2−」。（隠の・砺一一琉畿。）      一・…（1・）

と置けぽ，満足される。

Ba、＝O，及び（11）により（8），（9）は

    π1＝Aα・e−（c12＋κ12x22α！2）t elo（rc2αlr），       ………（12）

   u2−E・・e−・・22・r12・・…2・）t（鷲≡1  −u笥）    ………（13）

となる。

境界条件（3），（4）はJo （x）＝一ぬ＠）， Yo （x）＝−Yl（x）なる関係を用いて A・・J・（・・2a ・ai）−Ea2（鷲器一碧｛：留），

kitr2cr1Aai」i（⑭一k2rcia2E．2（鷲器一；｛：謝 と書ける。これら二つの関係から

・・… 一一・く14）

・・・… ∵・（15）

      JI（κ1α2α1） yl（rCtα2al）

      」。（rc1α2a） Y・（κ・α2α）

      」，（rc2αlal）

      ・・・・・・… （16）

       ＝＝ k2 rCiα2

      ゐ（rClα2al） Yo（rClα2al）

      」6（rc2αlal）

      ゐ（κ1α2の  yb（κ1α2a）

が得られる。

 この式から固有値κ2α1，κ1α2が決定される。（16）においてはα1＝0，α2＝0もあり得 る際が，この前の論文2）において示したように，このような場合を考える必要はない。こ

の場合を除きα1，α2の凡その値を示す図を作ってみると第2図のようになる。（10）は

いる。これら二曲線の交点からα1，α2が決定される。このような正根は無限に多くある

ことが分るであろう。（図にはk1＝1， k2＝2，κ1＝1，κ2＝1．2， al＝1， a＝1．2， cl＝1，

c2＝1．2としてある。）

→一α2

第2図 Fig．2

（10）と（16）とから得られるα1，α2の正根を大きさの順序に並べて∫番目のものを夫 々α1，，，α2，，と書くこととすれぽ，Ul， U2は次のように書かれる：

  Ul＝ΣA。、，、e−（・12＋・・2n22…52）t Jlo（rc2α1，sr），

    s＝1

  u・一。；i）IDa2，se−（C22・ri2x22a2，s2）t（霊芸ll；一；綴；：鶏）．

境界条件（3）から得られる関係により，

A・・，・J・（・・2αi，sal）−D・・．s（召畿駕9｛ll：；1裟）≡A4s

・・・・・・… （17）

………^（18）

・・・・・・… （19）

2）小平吉男：相異なる物質の二つの部分より成る円柱の熱伝導，第4頁参照，明星大学研究紀要   （理工学部）第12号，1頁一14頁，昭和51年1月

19

とおく。これより

   炉菖・4・e−・ci・＋・一勘綴嵩・

・一…

^く20）

       」。（κ、α2，，プ） Y。（κ、α2，，r）

   炉ヨ屹侮・＋・一機蕊罐1笥  …一・（21）

       」。（rClα2，，a） γ。（κ、α2，・α）

と書くことができる。      L

 更に又

   Jo（κ2αエ，sr）

         ＝Xl，s（r），       ………（22）

   J。（rc2α1，、al）

   」。（κ、α，，sr） Y。（re、α2，・プ）

   」。（κ1α2，sa）  Y。（κ1α2，a）

      ＝X，，s（r）       ………（23）

   」。（rc、α2，、al） γ。（rc1α2，、al）

   」。（κ、α2，，の  γ。（rc、α2，、a）

と置くと，境界条件を満足する微分方程式（1），（2）は次hように書かれる：

   Ul＝＝ΣA4， e−（c・2＋x12t22α・・52）tXl，、（r），       …・…・・（24）

     5＝1       

   tt2 ・＝ 2 A4se−（c22＋r12x22α2・s2）tX2，t（1う．       ………（25）

     5＝1

 （24），（25）に夫々初期条件（5），（6）を入れると         

   f，（プ）＝ΣMs Xi，8（r），      ………（26）

      s＝1         

  f，（r）＝ΣM，X，，8（プ）      ………（27）

      ぷ＝1

となる。M、は（26），（27）を満足するように決定されなくてはならない。 M，を決めるに は711を正の整数とし（26）にklrc22Xl，m（r）rを掛けて0からa1まで積分したものに（27）

にk2rCi2×2，m（r）rを掛けてalからaまで積分したものを加え合わせる：

    s＝1尚

   駕芸笥一蒜隠3一礁の

の如く書くことをすれば，

   y％xm鷲s）−ue）−u・（al・・）・

   謡隠部一糞篇器c−ttl（al・・）  、

となる。又（16）のα1，α2の代りにα1，s，α2，．を入れたものは

   ぷ・隠1：ii iigl，−k…ia2・・畿：3

と書かれ，

kl…∫11魚）X，，m（・）㎡・＋k・・12 SZ， f2（・）ぷ働

一自M（klrc・・∫1 x・，・（r）Xi，・（・）rdr＋k…2∫：晃・・（・）X…（・）rdr）．……（28）

・t・・・・… （29）

………^（30）

………^（31）

………^（32）

       tto（r，∫）

    x2，、（r）＝

       ………（33）

       Uo（a， s）

と書くことができる。

 まつ5キ・711とする

    ∫1  X，・・（r）X，・・n（・）rd…＝＝・」6（。，α1，、α、）銑（。、α1，mal）∫1  ・・（・・α1・・r）」・（・・α1，・働

となる。Cn（αXl）， Z。（βx）を円柱関数とすれば

    （α2一β2）∫x Cn（αエ）Zn（βx）dr＝βx Cn（αx）Zn．、（βx）一αx C。．．i（αx）Zn（βx）

       ・・・・・… く34）

なる関係がある。これに」．1＠）＝−」，（x），J1（0）＝0であることを考慮に入れると

    ∫1  ・・（・・α1，・・）ゐ（・・α・，・r）rdr

    −［・・α1・…r Jo（・・α…r）J−1（・・α1，m・）一・・α1，・〃−1（・・αい・）」・（・・α1，…）］1

κ22

一［一・・α1…ゐ（・・α1…）ぬ（・・α1…）＋・・α副（・・α・・のゐ（・・α1，・・）］1

       κ22（α1，s2一αi，m2）

−

      κ22（α1，，2一αi，m2）

となる。次に

    ∫1、晃・・（r）X・・r・（・）・dr−tt。（a，，）姜。（a，．，，、）∫1、・・（・・）U・（r…n）rdi

を計算する。

    u・（r・・）一畿：：鶏一」｛麗；：㍊

であるから，Uo（a．， s）＝0である。同様にπo＠〃z）＝0であることも容易にわかるであろ う。J．，（x）＝−J，（x）， y．1＠）＝−yエ（x＞であるから 〃LI（r，5）＝ −ltl（r，めが成立する。

これらの関係により       ．

    ∫1、・・（r，S）t・・（・，m） rdr      ・

    一［κ、α2，inプUO（プ，5）・−i（r・…1・）一…α・・s・・t−1（r・・S）・t・（ち・・）］1，

      κ12（α2，，2一α2，m2）

［・1α・，・・〃・（・，・）・1（・，・D＋・・α・，…1（ち・）・・（ち…）一 a

al       κ12（α2，・2一α2，m2）

      κ1α2，r・altt・（a，5）π1（al，m）−rClcr2，，a、〃1（al，S）1・．。（al，711．）

       κ12（α2，、2一α2， 、2）

となる。以上の計算により

    k…2∫9  X，・・（r）Xl・・（r）・⌒・・2∫：．馳）X・…（・）・dr

    −di，m・（−klrc・α1・・織惣＋k・κ・α1・・綴｛：≡三｝）

      ＋。，，￡。，、，，；・（k・・1α…畿1；；一・・κ・α・・殼芸3）

・・・・・・… （35）

       21

    C12＋κ12κ22α1，s2＝C22→−tCi2iC22α2，，2，

    C12＋rc12rs22crl，。、2＝C22＋κ12κ22α2，tn2

であるから

    α1，s2一αi，7・t2 ＝a 2，s2−a 2，m2       ………（36）

である。又（32）から

    k1κ・α1・器；：xaS−−k・・1α…畿：1；・     ………（37）

    k・κ・α一鷲ll瓢一…1α…畿；；；；     ・…一・（38）

なる関係が成立することが分る。（36），（37），（38）により（35）の右辺は0となる。即ち s≒771の場合には，

    k・r・22∫91 Xi・・（r）X，…（・）…＋・…一・2 Sl、 X2，・（r）X・，・（r）・rd・一・ ………（39）

であることが言われる。

 次に5＝111の場合を考えるo

    ∫：  X1・・n・（・） イ −T76（試。、。1）｝，∫11嚥α1…う｝2ノィ・

である。一般に

    ．Y ・・｛Cn（… ）｝・ゐ一老2［｛C・・ （・・）｝・＋（1一農，）｛C・（・・）｝・］ ………（・・）

であるので，今の場合x＝7 ，〃＝0，Co（αx） ＝＝ Jo（κ2αエ，，。1うとすれぽ，

    ∫11 XI…（・う・・d・・−1癒1。研［丁｛（J・ （・・a1・7nr））・＋（」・（・・α1・・r））・｝］II

      一て雁、｝示、）品2［｛・J・ （・・2αS・r・α1）｝・＋｛」・（・・α1・7n・1）｝・］

が得られる。同様にtto（a，1〃）＝0なることを考慮に入れて

    ∫1、 X…n2（r）・σ一磁≒，，汀・一∫Z1｛・・（・・・…）｝・rdr

      −｛ 。（t 、）｝・［Z ｛（・・ （ち7〃））・＋（・・（ち〃・））・｝］1、

      一｛tt。（tff）r・一［穿｛・♂（・…）｝2一膓2｛（Uot（・；・・））2＋（…t（…〃））・｝］

が得られる。上の計算によりs＝mの場合にはJo （x）＝−Ji（x）， tto （a，x）＝−Ul（a，x）

なることを考慮に入れて

    ・1κ・2∫91 X・…（・）rd・＋k…2∫1、 X・，…（・）・dr

    一百忌鷲）Pt［｛J・（・・α1…1）｝・＋｛」・（・一）｝・］

     ＋−2蒜ll万）｝，［・・｛・1（a…）｝・一・12｛（u・（a・1）1）｝・＋（・・（・，・・））・］・…・・…（41）

    ≡V（α】，弼， α2，m）       ………（42）

なる結果が得られる。（41）の右辺は複雑であるので伯単のためにVi（α1，fn，α2，m）と害い てある。

上の計算によって（28）は

   kirc・・∫：  f，（2）X，，・（2）・d2＋k…2 Sl， f・（・）X…（2）ZdR ＝M・V（・・・・・・…）

       ・・・・・・… （43）

となる。これによりハ4m（nt＝1，2，…）が計算された。

 （26），（27）に此処で得られたMsの値を代入すれぽ任意の関数f，（r）， f，（r）の展開式 は次のようになる：

  f，（r）＝ΣMs Xl，8（r）

      3＝1

     一ξ、v蕊念，）（k・κ・2∫91，，，（・）x，・s（2）・dR＋k・…2∫1， f2（z）x…（・）・∋

        Jo（κ2α1，、r）

     一顯漂鵠（J。（蕊1）∫1  f （・）J・（・・2ai・・a）2dR．

      ＋。綴，）∫1， f・（2）・・（2・s）Z・12）・  ………（44）

  f，（プ）＝ΣMsx2，8（r）

      s＝1

     一γ謙蕊、）（k・κ… ！9  f，（・）X…（・）・⌒κ・2 S：， f・（・）X…（・）2d2）

         th（r， s）

     一証芸誓2，）（   klrc22」6（κ2α1，。al）∫1 f，（・）J・（r・・al…）・d・

      ＋蕊、）∫1，f2（・）u・（2・・）2d・・）・  ………（・・）

 （44），（45）によって本問題に必要な任意の関数の展開式が得られたから，本問題の解は 次のように書かれる：

      J。（κ2α1，，r）

   領一パ慧・一一・悟漂鶉｛」。（蕊妨∫：五（・）」・（・・2a…R）・d・

    ＋み甑。砺竺量胸，⊇∫：鼠・）（ゐ（κ1α2，、2）  y。（κ1α2，、え）ゐ（rc、α2，、め  Yo（κ1α2，，の）2d2｝，

     J。（rc、α2，sa） Y・（κ・α2，・a）

      ・… 一一一・（46）

   炉ひ鷺〆輌・当1器ll部一蘂晋誇

       v（α1，、，α2，、）

    ・｛n（畿a∫gtf，（2）」・（r・2a・・2）2d2

    ＋必値、ぱ豊働吻）∫1，f2（・）（驚；ll3一蘂㍊）2d・｝．

     Jo（κ1α2，sa）  Yo（rc1α2，、a）

      ・・・・・… ＜47）

問題ll 第二の問題として境界条件に時の微係数を含む場合を考える。即ち境界条件（7）

の代りとして

   （∂tt2  ∂吻∂彦十6∂r）r．i・         ………（48）

       23

を採る。Cは新しい定数である。微分方程式及び他の境界条件及び初期条件は上の場合と

 微分方程式（2）の解（9）に上の境界条件（48）を入れれぽ，

   （c22＋κ12κ22α22）｛C。，J。（rClα2a）＋Z）。、】㌔（rc、α2a）

      −crclα2｛C。、J。「（rclα2a）＋D。、 Yb （κ2α2α1）｝＝0

となる。或はこれは

       （C22＋κ12κ22α22）｝㌔（rCiα2a）＋crc1α2 Yl（rc1α2a）

と置けば満足される。

上の置き方により境界条件（3），（4）は

   A。tJo（rc2αlal）

       Jo（relα2al）

   C。，｛c22＋rc、2rc22α22）J。（rClα2a）＋α1α2」1（relα2a・）｝

       ＋Z）α2｛（c22＋κ12κ22α22）Y。（rc、α2a）＋6κiα2 Y1（rc1α2a）｝＝0

となる。この関係は新しい定数E。、を用いて

   Ca2−（C，2＋。、2。♂。22）J。（誌）＋C、、ta，」i（。、α，a）・

      Ea2    Dα2＝一

・… 一… （49）

一Ea2（

（C22＋rCi2rc22α22）Jo（rClα2a）＋crc1α2Ji（relα2a）

      Yo（rClα2a1）

         （612＋rcユ2κ22α22）Y。（rClα2a）＋0κ1α2 y1（rClα2a）・

Aαikirc2a idi（κ2α1α1）

       J，（rClα2al）＝＝Da2k2rciα・（

︶

（C22→−rc・i2rc22α22）Jo（rCiα2a）＋crc1α2Ji（rc1α2a）

      yl（rClα2al）

       （C22＋κ12κ22α22）】㌔（rClα2a）＋εκ1α2 y1（rClα2a）

となる。これら2式から

      J，（κ2α、al）

       ＝ゐ2κ1α2    kirc2α1

      Jo（rc2α1al）

        J，（rc1α2al）       Yl（rc2α2al）

︶

・・・・・…

 ＜50）

・◆・・・…

 く51）

 （C22＋κ12κ22α22）」・（rClα2a）＋εκ、α2Ji（rClα2α） （C22＋κ、2κ22α22）γ。（κエα2α）＋6κ、α2 y1（relα2a．）

        」。（rClα？al）      Yb（rc2α2al）×

 （C22＋κ、2κ22α22）J・（rC、α2の＋6κ、α2Ji（rClα2a） （C22＋κ、2κ22α22）Y。（rClα2a）＋εκ、α2 Y1（rClα2a）

       ・・… 一・・（52）

が得られる。

 α1，α2は（10）と（52）とから決定される。（10）は1の場合と同様双曲線であるが（52）は複

雑な曲線である。第3図にはこれら二曲線が画いてある。これら二曲線の交点としてα1，

α2は求められる。（図はk，＝1，k2＝2，κ1＝1，κ2＝1．2， al＝1， a2＝1．2， c2＝1， c＝1．2，

Cl＝0．8としてある）

 図からα1，α2の正根は無数にあることが分る。正根を大きさの順に並べて5番目のも

 α1，，，α2，sを用いて境界条件を満足する微分方程式の解を書けぽ次のようになる：

   Ul＝ΣAcri、te←（c12＋・12・22・1・s2）t Jo（κ2α1，slう，       ………（53）

     s＝1

第3図 Fig．3

α2

    の

U2＝ΣE。，，、e−（C22＋・・2・・2・2・・2）t    5＝1

・

（（C、2＋。12。、2α，，、2）」。（。1隠裟。2，、Ji（。1。，，s。）

       ｝㌔（κ2α2，，7う

       （C22＋κ・2・・2α・，・2）y・（・1α，，、の＋εκ、α，，，a）

境界条イ牛（3）iこより

   A。、，，」。（κ2α1，sal）

   ＿      」・（κ2α2，，α1）E・…（

（・22＋・・2κ・2α・，・2）」・（・1α・，，の＋・・1α，，，」、（・、α，，，の

）．………（・・）

      （C・2＋・・2κ・2α・，s2）Y。（・、α2，，の＋crc、α，，、｝

     ≡b4s       ，

となる。この両辺をM8に等しと置くこととする。更に

     ゐ（κ2α1，，7 ）

       ＝x，，，（・う，

     」6（κ2α1，，αユ）

      ゐ（κ1α2，、プ）

︵

コ（κ1α，，、。））

・・・・・…

 ＜55）

・・一・一一・・（56）

÷v

（C・2＋・・2κ22α・，・2）ゐ（・・α・，sa）＋C・・la ，，，Ji（κ1α，，，の

       ：（。，2＋。12。、2α識畿ll；）＋。。、α，，、、コ幅，α））

       ゐ（κ、α2，、a、）

（C22＋rC12rC22α・，・2）ゐ（rOlα・，・の＋α1α，，、巧（rClα，，、の

      】㌃（κ、α2，，al）    （。22＋。、2。、2α，，、2）y。（。1α，，、a）＋。κ、α，，，Yl（κ1α，，、。））

：＝X2・8（r）      ・一・・・… （57）

25 と居くこととすれぽ，

tll＝ Z Afs 

e−（・・2＋r12・22・1・s2）t X1，∫（γ），

      5＝ユ

   π2＝ΣA4，e−（ ・2＋t・2t・2・…2）tX，，，（r）

      s＝1 と書くことができる。

簡単のために

み（rClα2，sr）

（C22＋rc12rc22α2，・2）」・（κ1α2，sa）＋Cκ1α2，，Ji（κ、α2，、a）

       y。（κ1α2，ぷプ）

一・・・・… （58）

・・・・・・… （59）

       ＝z・n（プ，s）  ………（60）

      （C22＋κ・2κ22α2，S2）｝㌔（κ1α2，・の＋CrC1α2，，y1（rClα2，，a）

と置け1ま（52）は

    k・rc・α1・・隠；ll三｝−k…iα・・鴛：1｝     ・…・…＜61）

と書くことができる。又

      tto（1 ，5）

    x2，s（r）＝

      ………（62）

      tto（a．1，s）

と書ける。

 （58），（59）に初期糸件（5），（6）を入れれば

   f，（r）＝ΣAfs Xi，s（1う，               ………（63）

        s＝1

   ノ）（ア）＝ΣM， X2，・（r）       ………（64）

        s＝1

となる。これを満足するようにA4、を決定しなくてはならない。

 ハ4cを決定するには1の場合と同様に（63）にkirCi2×1，ヵ、（1 ）rを掛けて0からalまで積 分したものに（64）にle2rCi2×2，m（ ）rを掛けてalからaまで積分したものを加え合わせ

る：

    klrc・2Sl1 f・（・）X…（r）rd・＋k…2∫1、f （・）X・，・（・）rdr

    一評（…22∫11ぷ・・（r）X…（・）⌒・12∫：瓦・（・・）X・1・（i−）・ d・）．…（65）

 最初にS≒12Zの場合を考える。1の場合と同様にして

    ∫1  ・・（・・α1，・r）」・（・・α・，・・）rdr

    ＿一・・α、，。、a1J。（・、α1，sal）」、（・，α1，mal）＋・、α1，，・a、・Ji（r・1αi，，。1）J。（・、α1，。、al）

      κ22（α1，・2一α、，r、2）       ・

∫1、X…（プ）x，，rn（r） rdr ＝       tto（aエ，s）ha，。）∫：、 t・・（ち・）卿励……・・＜66）

∫1、…（・，・）・・（・，m）…

［一rClα2，r、 rtto（ち∫）・1（ち・・）＋・1α・・・…（ち・）・・（ち〃・）］1，

       κ、2（α2，，2一α2，の

一

rc12

●

     十

       κ12（α2，，2一α2，r、2）

が得られる。

 然るに（62）を（59）に代入し，且つ境界条件（48）に入れて考えれぽ，

    （c・2＋κ12・22α・・噺差1烏＋・・1α…畿烏一・

なる関係の成立することが了解できるので

      C22＋κ12κ22α2，s2

      〃。（a，∫）

・

．

が得られる。同様に

       C22＋rCi2rc22α2，r、2     ttl（a．，711）＝−

       tt。（a，7〃）

       crc1α2，m

が成立することが言われる。

 以上の関係により

     一κ1α2，r、αU。（a，5）Ul（a，クπ）＋κ1α2，，aUl（a， S）π。（a1，？7Z）

κ1α2，r・ai〃O（aエ，∫）Ul（al，ク11）一κ1α1，salU1（a1，∫）tt。（al，711）

       rc、2（α2，s2一α2，m2）

    一。、2（    rClaα2，s2一α2，r、2）｛一・・・・…（…）・・1（・…）＋…s・1（a・S）・・（a・7・1）｝

    一。、2（    rClaα2，s2一α2，m2）坐∫1：1（a・ m）｛（C・2＋・・2・・2α・…）一（C・2＋・・2・・2α…2）｝

    一一￥「c2・t・（・，・）tt・（a，…）         ………（67）

と変形される。

 以上の計算により

    klrc・2∫11Xl・s（・）Xl，rn（・）rdr＋k・・12∫11品，s（・）X・，・（r）i dr

      克1κ22      1

      」・（rc2cr1，・al）」。（rc2crl，。、al）rc12（α1，s2−crl，m2）

     ×｛κ2α1，r、aiJo（κ2α1，，al）」，（κ2α1，maエ）＋rc2αi，・aiJi（κ2α1，sa．1）ゐ（κ1α1，r、al）｝

       為2κ12    ．    1

       UO（al，S）UO（al， m）rc12（α2，・2一α2，m2）

     ×｛κ1α2，r、alUO（a1，S）Ul（a1，・17Z）一κ、α2，salu、（a，S）Uo（a，711）｝

       ak2rc、2rc22 U。（a，S）tt。（a， 1）

         C  UO（a1，5）UO（al，m）

となる。これに1の場合と同様にα1，・2一α1，m2＝α2，s2一α2，m2なることを考慮に入れれば

    klrc・2∫11 Xl，・（r）X，，・（・）rd・ ＋k・κ・2∫Z、 X・，・（・）X・，m（・）・…一

    一。，，S。，，a・（一（klr・2crl・rn−liXi：1：惣酋磯三｝1；；；）

     ＋（k…α1・s鱗a） −kircia2・・畿1；）｝

       ak2rCi2rc22  UO（a，∫）tto（a，711）

         C   π0（al，771）UO（al，721・）

となる。（61）の関係及びそれのsを？71に変えた関係により最初の二つの中括孤内の式は0

      27

となり，最後に

    k，・…∫9  x，・s（・）x，・・ω励・＋k…2∫1、斑，・（r）x・，・（r）idr

        arCi2rc22 tto（a，5）〃。（a，7・Z）

     ＝一・，、。（。1，、）。。（a、，、7n）      … ＜68）

が得られる。

 次にS＝mの場合に移る。

    ∫当…（r）・d・ 一｛J。（。，α忘。、）｝，∫9 ｛J・（・・α1，・r）｝・・ dr

       −｛     1Jo（rc2cr、，mal）｝，［S2｛（」・〃（・・W））・＋（」・（・・α1・・r））・｝］1

       一、｛」。（ ai2「c2α1，rnal）｝，［｛」，（・・α1・…）｝・＋｛J・（・・α1・・al）｝・］・

    ∫1、ぷ励一｛    1Uo（al，rn）｝，∫1、｛…（・ ・…2）｝・rdr

       −｛。。（h｝一，ii）｝・［S2｛… （ち・・））・＋（・・（励）・｝］1、

       一，｛π。（ 1al，711）｝，［a・｛（・・12（・…））・＋（・・（・・77z））・｝

一

a12｛（・1（a…1））・＋（tti（a…1））・｝］

であるから，

    klrc・2∫1 x，…（・）rdr＋k・r・i2 jl、 X2，・・（r）・dr

    −，｛  ai2klrc22」6（rc2α1，r，al）｝，［｛」，（・・α1・r・al）｝＋｛J・（・・α1…al）｝・］

     ＋、｛   克2κ121to（al，721）｝，［a・｛（・・1（a・〃・））・ヰ（・・④・の）・｝

      −a12｛（Ul（al，〃2））2＋（tt。（al，タ刀））2｝］

    ＝1「，（α1，rn， α2，rn）       ………（69）

が得られる。（68）の式は複雑なので簡単のためにVi（α1，rn，α2，m）と置いてある。

 以上の計算により（65）は

    k…2∫1  f （2）X，・・（・）2d・・＋k…2∫1、垣・）X・，・（・）2d・

    一」毘21 2κ22畿：3量砿二鵠

     ＋・咋12κ22（u。（a，111）u。（al，m））2＋MmV（α一・・，rn）   ……・・＜・・）

となる。

 （64）においてr＝aと置けば

   f・（の一菖繊嶋⊇鵠    ………（・・）

となるが，これに

    ak2rc12rc22 tt。（a，〃の       c  tto（al，m）

を掛けて（70）に加えれぼ，

    ・1κ・2∫9 ，・，（・）X，・・㊨＋k・r・，・∫Z、f・（・）X…（・）2d2＋㍗12κ22畿㌶義（の

    一畔竺2（teo（a，771・）lto（al，71z））2＋・・（…r・・…r・）｝

     ≡A4． Cノ（α1，rn，α2，m）      ………（72）

と書ける。最後の中括弧の中の式をU（ cr，，m，α2，，。）と書いてある。

 （72）から展開式の係数Afsが計算されるので， f，（7う， f，（1うの展開式は次のようにな

る：

    餉）一鮎漂曇，，）（k・κ・∫9 ノ〕（2）x，，・（2）・d3−・−le21・−i2 SZ，f2（2）・X・・，…（2 ）2 d2

      ， ＋頑21エ2κ22；；1｛：：鋲（・）），………（73）

    f・（・）一誉隠霊，の（k・κ・∫9 f，（・）X，・s（・）…＋k・κ・2∫Z、f2（砿・）ld2

      ＋αEEk｛i・tt！・：「c2「c2．；；1鵠五（a））．……・・＜74）

（73），（74）によっ．て任意の関数の展開式が得られたので，本問題の解が得られる：

    ・・一・一・12菖監1驚1）蒜篇蕊｛Jle（ゐ1κ22rCICIr2，sζZ工）∫i f，（2）J・（・・α・・sl）ld・

    ＋k…ソ（Jb（κ1α2，sal）（C22＋rCi2rc22α2，，2）」。（κ1α，，sa．）＋、crcla，，、，、Ji（。1α，，sa）

       き驚竃，，2）Yo（。1α，，sa）＋，。1α，，，、コ（。1α，，，。））

    ・∫1， f・（・）（（e，2＋。、2κ22α，，sa，）隠鶏＿，s」i（。、α，，sa）

      ^へ

      （。22ヰ。12κ，，α，，，2）、慧；嶽。κ、α，，sy、（rC、α，，sa））7・…

    ＋afe2rc 2竿脆ω（（。22＋。12。、2α，，s2）蒜：鶏。。、α，，s」i（。1α，，sa）

      （C22＋。12。、2α，，s2）嘉：1鷲1。。1α，，sy、（。1α，，s．））

       ÷（（。22＋rCi2、，22α，，s2）ゐま鷲震。1α，，sJi（。、α，，，a）

       （C，2＋．12．，2α，，，2）y蒜1三蕊κ1α，，，y1（．、α，，sa））｝，

       ・・・・・・… （75）

〃2＝e−c22tΣ        s＝1

e−・12・22α2，s2t

      σ（α1，・，α2，・）

       ゐ（κ、α2，の

・

︵

   （C22＋κ12κ22α2，・2）ゐ（κ1α2，，α）＋crClα2，sJi（κ1α2，，の

       y。（κ1α2，の

（C22＋κ12κ22α2，・2）y。（κ1α2，・の＋crClα2，・y1（κ、α2，・の

︶

29

÷ v

ゐ（Nlα2，saユ）

．（C22＋κ12κ22α2，s2）Jo（κ1α2，sの＋εκユα2，、J，（κ1α2，ta）

       ｝㌔（rc1α2，sal）

      （C22＋rc12rc22α2，s2）｝㌔（κ1α2，sa）＋crClα2，sYi（κユα2，sa）

     ・｛    〃    ｝．   ………（76）

この式の中でU（αi，・，α2，のは（72）で与えられる複雑な式である。

︶