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微積分◇演習
(情報メディア学科1年次科目)
樋口さぶろお
1配布: 2003/10/15 Wed 更新: Time-stamp: ”2003/10/16 Thu 11:34 hig”
4
無限大と極限の恐怖
保存版
.関数の極限の性質
関数
f(x), g(x)が
x →aで収束して, lim
x→af(x) =A,lim
x→ag(x) =B
だとする. ただし,
a=±∞でもよいが,
A, B 6=±∞とする.
¨§薩摩p.45¥¦x→alim(f(x)±g(x)) =A±B. (き1)
x→alim(f(x)×g(x)) =AB. (き2) B 6= 0
のとき
limx→a
µf(x) g(x)
¶
= A
B. (き3)
f(x)5g(x)
ならば
A5B. (き4)f(x)5h(x)5g(x)
かつ
A=Bならば
limx→ah(x) =A. (はさみうちの原理) (き5) (き4), (き5)
は
¤£薩摩¡¢に載ってません.
保存版
.連続関数の性質
関数
f(x), g(x)が連続であるとする. (どの点で連続, ということをいいかげんに書い
てます. 正確には
¨§薩摩p.47¥¦を見てね.)
f(x)±g(x)
も連続.
(れ1-1)f(x)×g(x)
も連続.
(れ1-2)g(x)6= 0
のとき
f(x)g(x)
も連続.
(れ1-3)合成関数
h(x) = g(f(x))も連続.
(れ2)逆関数
f−1(x)も連続.
(れ5)f(c)>0
のとき, x
=cの近くでは
f(x)>0. (れ6)また, 関数
f(x)が閉区間
[a, b]で連続であるとする.
(
れ
3)中間値の定理
f(a) < f(b)のとき,
f(a) < k < f(b)となる任意の
k ∈Rに対し て,
f(c) =kを満たす
c∈(a, b)が存在する.
(れ4)
最大値最小値の定理
f(x)が
[a, b]で最大, 最小となる
x∈[a, b]が存在する.
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5階
508.微積分◇演習
04回めの問題
(2003/10/15 Wed) 24.1
お奨め問題
次の極限を求めよう
(存在しないかも).1. lim
x→1
x2+x−2 x2−1 2. lim
x→+∞
1 +x 3 +x2 3. lim
x→+∞e−xsinx 4. lim
x→−∞e(1−i)x
4.2
よく出てくる極限
次の関数について, 極限
x → +∞, x →−∞
を求めよう
(存在しないかも).1. f(x) = cosxx 2. f(x) = ex1 3. f(x) = ex1+1
4.3
極限左極限右極限
次の関数について, 極限
x →0−0, x→ 0 + 0, x→0を求めよう
(存在しないかも).1. f(x) = x14
2. f(x) = |x|x (x6= 0) 3. f(x) = e−x1
4.4
複素数に値をとる関数の極限
次の関数について, 極限
x → +∞, x →−∞
を求めよう
(存在しないかも).1. f(x) = eix 2. f(x) = e(−1−i)x 3. f(x) =|e−ix|
4.5
極限の不定形
(かなり難しい かも
)次の極限を求めよう
(存在しないかも).1. lim
x→0
sin(4x) x 2. lim
x→−∞
³ xsina
x
´
3. lim
x→+∞
³√
x+ 1−√ x
´
4. lim
x→0
Arcsin(2x) x
