8 略解 : 逆関数法による乱数生成 8.1 略解 : 逆関数法

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計算科学☆演習 II

樋口さぶろお^*1 配布: 2012-06-13 Wed^更新: Time-stamp: ”2012-06-13 Wed 06:40 JST hig”

8 ^略解 : 逆関数法による乱数生成 8.1 ^略解 : ^逆関数法

累積分布関数は

, 1 ≤ a ≤ 3

^に対して

, F (a) =

∫

a

−∞

p(s) ds

=

∫

1

−∞

p(s) ds +

∫

a 1

p(s) ds

=0 −

₁₂¹

(a

²

− 10a + 9).

F

の逆関数

g(y)

を求める

. F (g(y)) =y g

²

− 10g + (9 + 12y) = 0

g = 5 ± √

16 − 12y.

F

の定義域は

1 ≤ a < 3.

よって

, g

の値域は

1 ≤ g(y) < 3

なので

,

符号は

−

^をとる

. g(y) = 5 − 2 √

4 − 3y

1 ≤ g(y) < 3

より

g(y)

の定義域は

0 ≤ y < 1 (

全体

).

#include <math.h>

double getrandom(double y){

return 5.0-2.0sqrt(4.0-3.0y);

}

, http://hig3.net(講義のページもここからたどれます), ^へや:1 号館5^階502.

(2)

8.2 略解 : 連続的な値をとる確率変数

1. ∫

₋2

−4

p(s) ds =

∫

₋3

−4

0 ds +

∫

₋2

−3 1

5

ds =

¹₅

. 2.

E(S) =

∫

2

−3

s p(s) ds = −

¹₂

3. V(S) =

∫

2

−3

(s − ( −

¹₂

))

²

p(s) ds =

²⁵₁₂

4. E(e

^S

) =

∫

2

−3

e

^S

p(s) ds =

¹₅

(e

²

− e

⁻³

)

9 逆関数法による乱数生成 2

今週の目標

■講義

•

区分的に定義された確率密度関数

p(s)

^{が与えられたとき}

,

^{それに従う疑似乱数を} 生成するプログラムを書ける

•

連続的疑似乱数を生成する

double getrandom(double y)

が与えられたとき

,

返り値の従う確率密度関数を求められる

9.1 quiz: ^逆関数法

次の確率密度関数

p(s)

を考える

.

p(s) = {

4

17

| s |

³

( − 1 ≤ s < 2)

0 (

それ以外

)

[0, 1)

一様乱数

(double getuniform()

の返り値

)

を引数として受け取り

,

この確率密度関

数に従う疑似乱数を返す関数

double getrandom(double y)

^を書こう

.

2

(3)

9.2 quiz: 逆関数法

次の確率密度関数

p(s)

を考える

.

p(s) = {

4

17

| s |

³

( − 1 ≤ s < 2)

0 (

それ以外

)

1.

この確率密度関数に従う確率変数

S

の平均

E(S)

を求めよう

.

2. S

について

,

期待値

E(S

²

)

を求めよう

.

3. S

について

,

期待値

E(f(S))

を求めよう

.

ただし

,

f(x) =

 



 

− 1 (x < 0) 0 (x = 0) +1 (x > 0)

9.3 quiz: ^{逆関数法の逆}

次の関数を考える

.

double getrandom(double y){

double s;

s=yy+2y;

return s;

}

s=getrandom(getuniform())

^{で定義される確率変数}

S

の従う確率密度関数

p(s)

を求めよう

.

ただし

, double getuniform()

は

[0,1)

一様乱数を返す

.

3

(4)

講義のレポート R01 のお知らせ

平常点

10

ピーナツのうち

(6–9

ピーナツ

).

締切迫る

. http://www.a.math.ryukoku.

ac.jp/~hig/course/compsci2_2012/report

演習の初夏のプチテストやります !

2012-06-15

金

3.

春と同じのり

(

個人戦

). 30

ピーナツ

.

出題計画

(2012-06-08,13

^{に修正するかも}

)

•

^{連続値確率変数}

S

^の

,

区分的に定数な確率密度関数

p(s)

^{が与えられたとき}

,

^疑似乱数を返す関数

double getrandom(double y)

^を書こう

(cont1,cont2)

•

^{連続値確率変数}

S

の

,

区分的に定数とは限らない確率密度関数

p(s)

が与えられたとき

,

^{疑似乱数を返す関数}

double getrandom(double y)

^を書こう

(cont3,sim2)

•

確率シミュレーションで確率を推定しよう

(sim1,sim2)

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