数理科学基礎演習 II
（ S1 ターム月曜 3 限、理 2,3 1–7 組）
第 3 回解答
土岡 俊介 2016 年 5 月 23 日
(Y1)
(a b c d
) (x y z w
)
=
(ax+bz ay+bw cx+dz cy+dw )
(Y2) ABは定義されるがBAは定義されない。AB=
(41 −3 30 35 −15 0
)
。
(Y3) 1. detA=−2より正則行列で、A−1= (
2 1
3/2 1/2 )
。
2. detA= 0より正則行列ではない。
3. detA= 1より正則行列で、A−1= (
1 0
−y 1 )
。
(Y4) 1. detA= 3·1−4·2 =−5, 2. detA= cos2θ+ sin2θ= 1.
(Y5) 1. 問題文中のA= (
1 2 3 4 )
を用いてAx=bと書ける。ただしx= (
x y )
,b= (
5 6 )
である。Aが
係数行列で、拡大係数行列は(A,b) =
(1 2 5 3 4 6
)
である。
2. A−1=−12
(4 −2
−3 1 )
.
3. b=A−1x=−12 (
4 −2
−3 1 ) (
5 6 )
= (−4
9/2 )
.
1
(Y6)
(cosθ −sinθ sinθ cosθ
) (cosφ −sinφ sinφ cosφ
)
=
(cosθcosφ−sinθsinφ −cosθsinφ−sinθcosφ sinθcosφ+ cosθsinφ −sinθsinφ+ cosθcosφ )
=
(cos(θ+φ) −sin(θ+φ) sin(θ+φ) cos(θ+φ)
) , (cosθ sinθ
sinθ −cosθ
) (cosφ sinφ sinφ −cosφ
)
=
(cosθcosφ+ sinθsinφ cosθsinφ−sinθcosφ sinθcosφ−cosθsinφ sinθsinφ+ cosθcosφ )
=
(cos(θ−φ) −sin(θ−φ) sin(θ−φ) cos(θ−φ)
) .
(Y7) 定義されるのはuTv,uvTのみであり、
uTv=(
a b c)
·
x y z
=(
ax+by+gz)
, uvT=
a b c
·(
x y z)
=
ax ay az bx by bz cx cy cz
.
(Y8) f1が線型写像で、f2, f3, f4, f5, f6, f7は線型写像ではない。
実際、
f1
((a b )
+ (p
q ))
=f1
((a+p b+q
))
=
((a+p) + (b+q) b+q
)
= (a+b
b )
+ (p+q
q )
=f1
((a b
)) +f1
((p q
)) ,
f1
( c
(a b
))
=f1
((ca cb
))
=
(ca+cb cb
)
=c (a+b
b )
=cf1
((a b
))
なので、f1は線型写像であることが確かめられた。
f :R2→R2が線型写像でないことを示すには、以下のどちらか１つを行えばよい。
(A) うまいu,v∈R2を見つけて、f(u+v)̸=f(u) +f(v)となることを示す、
(S) うまいa∈Rとu∈R2を見つけて、f(au)̸=af(u))となることを示す。
• f2, f3, f4では、u=v=(1
0
)とすることで(A)が達成される。
• f5, f6, f7では、a=−2,u=(1
1
)とすることで(S)が達成される。
(Y9) 1. FA(v) =Avで定義される、写像FA:R2→R2のことであった。
2. f, g:R2→R2が共に線型写像であれば、その合成f◦gも線型写像であることを確認するのは易 しい。今、(FA◦FB)(v) =FA(FB(v)) =FA(Bv) =A(Bv) = (AB)v なので、FA◦FB=FAB となり、C=ABである。
(Y10) 1. 恒等変換 2. x軸への射影
3. y軸成分だけx軸方向へずらす変換
(Y11) 1. A=
(cosθ −sinθ sinθ cosθ
)
で与えられるFA:R2→R2,x7→Ax,
2. B=
(cos 2θ sin 2θ sin 2θ −cos 2θ
)
で与えられるFB:R2→R2,x7→Bx.
2
