3次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤差解析

(1)

3次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤差解析

著者成清勝博, 高田等

雑誌名鹿児島大学工学部研究報告

巻 37

ページ 35‑42

別言語のタイトル A Formal Linearization Method by the Cubic

Hermite Interpolation and its Error Analysis

URL http://hdl.handle.net/10232/12362

(2)

3次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤差解析

著者成清勝博, 高田等

雑誌名鹿児島大学工学部研究報告

巻 37

ページ 35‑42

別言語のタイトル A Formal Linearization Method by the Cubic

Hermite Interpolation and its Error Analysis

URL http://hdl.handle.net/10232/00002199

(3)

3次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤差解析

成清勝博＊・高田等

（受理平成７年５月31日）

AFormalLinearizationMethodbytheCubicHermite InterpolationanditsErrorAnalysis

ＫａｔｓｕｈｉｒｏＮＡＲＩＫＩＹＯａｎｄＨｉｔｏｓｈｉＴＡＫＡＴＡ

Inthispaper，acomputationalmethodofformallinearization，usingapiecewisecubic Hermiteinterpolationisproposed・Anonlinearsystemrepresentedbynonlinearordinary differentialequationsisconvertedintoanapproximatedlinearsystem･Numericalcomputations areeasilycarriedoutwiththeaidofcomputers・Erroranalysisofthelinearizationisalso

discussed，ａｎｄｉｔｉｓｖｅｒｉｆｉｅｄｔｈｒｏｕｇｈｓｏｍｅｎｕｍｅricalexamples．

１．まえがき

非線形システムに対する制御問題や状態推定問題は一般にそのアルゴリズムが複雑になり，計算機使用時の計算誤差や計算時間の増大等の難点がある。一方，

非線形システムを何らかの手法で線形化し，既存の線形理論を適用する方法も研究されてきた。例えば局所線形化法として，テイラー展開の１次近似法があるが，

展開点近傍でしか十分な精度が得られず，特に非線形性の強い系では実用に供さないことがあった。また，

広域線形化法として座標変換を用いた線形化法も研究されてきた。この変換は，原非線形システム方程式に強く依存するもので，現実の様々な非線形システムに対処するのが容易でない。この一対処法として，計算機により，機械的に線形近似システムへ変換する方法が考察され始めた。本論文では，区分的に，しかし，

原非線形方程式を滑らかに近似する手法である，３次エルミート補間近似を使って関数近似を行った。具体的には，与えられた非線形微分方程式の定義域を小領域に分割し，領域毎に状態変数の３次までの多項式で近似する。この補間法の特長は滑らかに接続する区分的多項式である。しかも，各多項式は，その小領域の端点の関数値と導関数値だけで局所的に決定される。

＊広島商船高等専門学校電子制御工学科

したがって，小領域の数が増えても計算量と必要メモリ量は共に増大しない利点がある。また，本手法の誤差についても考察し，いくつかの数値実験により，領域幅を小さくすれば近似誤差が減少することを確認した。

２．問題の設定

つぎの非線形システムが与えられたとしよう。

２１:３t(Z）＝／(jr(Z)）（１）

ｚ(o）＝ｚＯＥＤただし，

ｚ＝［工,,…,鰯]T:ｎ次元状態ベクトル，

ＺＥＤ＝11W=,い,ｐｉ＋9i)ｃＲ卿：長方形定義域，

/＝[/１，…,〃T：連続微分可能な非線形ベクトル値関数

ここで，線形化関数

｡(Z）=Ｍ(Z),…,ゆjv(Z),…]Ｔ(2)

を与えれば

州=筈砦(亜）

より，右辺を伽こ関し，

(z)＝Ａの＋Ｂ

託二響)伽

線形近似表現すれば

(3)

(4)

[ 裂謹蓑 ) B 戸 [ 識］

（11)式がつぎの形式的線形化システム 3６

Ａｊ＝

となり，(1)式がつぎの形式的線形システムとなる。ｇの定義域を節点畠(０≦ｊ≦〃）で分割し，

(5) ０＝易く畠く … ＜烏＝１（ 1 2 ）

〃j＝鳥十,−烏

小区間鴎,島十,)毎にＧ(9)の各要素を３次エルミート補間近似すれば

Ｚ２:Ｚ(j）＝Ａｚ(t)＋ＢＺ(O）＝妙(Zo）

ただし，Ａ：定数行列，Ｂ：定数ベクトルへ変換される。また逆変換は

３３３

〃︾〃︾〃︾

脇羽調

︒８．＃ｏ２

ａαα ＋＋＋２２２

″︾Ｕ︾″︾

︒８︒８︑８

１２３２２２ａαα ＋＋＋

〃︾Ｕ︾〃︾

１１１

・８・８・２

１２３ａαα 十＋＋

・８︒８︒＃

０００１２３ａαα

一一一一一一

︑ノ︑ノ︑ノ鋤９Ⅳ︾〃︾ｒ︑／︑ｒｋ

ｌ２３

０︾向Ｈ○︾

ｚ＝の '(z） (6)

(13）である。この種の形式的線形化問題では，簡便で，高

精度な計算機による計算法の開発が重要である。これまでの(z）として，三角関数列[1]，チェビシェフ直交関数列[2]等を用いた研究が報告されの(工）の次元を増加することによって近似精度が向上することが確認されている。本論文では非線形関数の定義域を分割し，小領域毎に３次エルミート補間多項式で近似を行う。また，①(工）として状態変数の３次までのべき項列を用いるので， (工）の次元は状態ベクトルの次元によって決定される。

３．形式的線形化計算法

３．１スカラーシステム

つぎの非線形スカラーシステムが与えられたとしよう。

となる。（13)式を (9)を用いて表現すると，

G(z/)=A紗(zﾉ)+Bi＝HXzﾉ)

ただし，

(14）鹿児島大学工学部研究報告第３７号（ 1 9 9 5 ）

(8)

であり，

き ( z ）＝Ａｉｚ ( t ) ＋Ｂｉ（ 1 5 ）ｚ(0）＝ (g(0)）

に変換される。係数ＡｉとＢｉは関数氏(9)がＧ(zﾉ）とその小区間の端点で関数値と導関数値が等しくなるように決定するので，

葛(畠）＝Ｇ(畠)，昼(畠十,）＝Ｇ(畠十,）（16）

Ｂｉ'(畠）＝Ｇ'(畠)，Ｈ１'(島十,）＝Ｇ'(烏十,）

ただし，ノー。/叩

より求める。なお逆変換は，(8)，（10)式より，

企(t）＝／(z(j)） (7) ただし，ｚ(t）Ｅ［p,ｐ＋9）ｃＲ：定義域，

／：連続微分可能な非線形関数

まず，状態変数の高次項を取り扱いやすくするため，

以下の変数変換を行う。

ｇ＝（z‑p)/９

ｚ＝〃＋ｐ＝９K (､ﾉ)＋ｐ (17） (8)式を(7)式に代入すると，

' () = 器筈 = ｼ ( " () + ' ) 雲 ' ( 抑 ) ) ( 9 )

となり，定義域はｇＥ［0,1）となる。ここで線形化関数として， (9)を

州‑[卿‑[#］側

とする。このの(9)を時刻ｔで微分すると

ただし，Ｋ＝［1,0,0］

となる。したがって，形式的線形化を介して得られる z(t)の近似解垂(t）は

ｆ(j）＝qKZ(t)＋ｐ（18）で求められる。

３．２多次元システム

スカラーシステムの場合と同様に，まず，以下の変数変換をおこなう。

ｚノーＱ − １ ( ｚ − Ｐ）（ 1 9 ）ただし，Ｚノー［ y , , … ， Z ﾙ , ] T ，

Ｑ＝。(9,,…,ｑ"),Ｐ＝［p,,…,ｐ,,]Ｔ

鰐 ‑ [ 参 ] 刈聯 ] 雲叩

j(9)

(１１）

(5)

成清・高田：３次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤差解析 ³^７

(19)式を(1)式に代入すると，

，=器愈=Q‑畑十P)=，(,）（20）

となり，（20)式の定義域はｇＥ瓜＝,[0,1)となる。

スカラーシステムの場合を拡張して，線形化関数

（９）をｇｉのべき項列を用いて定義する◎

の ( Z / ) ＝ m l O O … 0 ) ( Z / ) ，幻 2 0 0 … 0 ) ( Z / ) ，幻 3 0 0 … 0 ) ( Z / ) ，餌 0 , ｡ … 0 ) ( 9 ) , 幻 , , 0 … 0 0 ) ( z ﾉ ) , … ，

幻 ' i 1 2 吋 … 端 ) ( Z / ) ' … ' 幻 3 3 3 … 3 ) ( 9 ) ] Ｔ（ 2 1 ）ただし，Ｔｂｉ吃…,h)(9)を

餌,i吃…端)(Zﾉ)＝ⅡgKI （22）

Ｏ≦'ﾙ≦３(?1＋…＋聯≠０）

と定義する。｡(9)を時刻ｚで微分すると

( ' ) = 器， (）

≦剛,]雲叩側

となる。ここで，定義域11%＝,[0,1)を加個の小領域

Ｄｉ(１≦ｊ≦ｍ）

Ｄｉ＝Ⅱ[α雄,α餓十姓）（24）

ＵＤｉ＝ Ⅱ [ o 1 ）（ 2 5 ）ＤｉｎＤｊ＝０（ｉｆｊ≠ｊ）

^（²⁶^）

（27）

△ k ＝ , 哩鰹 " 6 i ｋ

で分割し，この小領域毎に線形化を行う。（23)式の

Ｇ(9)を小領域Ｄｊで３次エルミート補間近似し，

妙（９）に関し線形近似表現すれば，

Ｇ(zﾉ）＝Ａ妙(9)＋Bi＝Ｈ;(z/）（28）

となり，（23)式がつぎの形式的線形化システム

き ( t ）＝Ａｉｚ ( t ) ＋ B ｉ（ 2 9 ）

ｚ(0）＝の(g(0)）

に変換される｡係数A,とBiは関数HXg)がG(Zﾉ)と

その小領域の端点で関数値と，導関数値が等しくなる

ように近似する。具体的には

民 ( 嘘 … ， h ) ( p ）＝Ｇ ( γ ' 功 … ' h ) ( p ）

Ｈ;('i'2…'１m)(9)＝Ｇ(嘘…'h)(9)（30）

ただし，

ｐ＝［ α 小 α j 2 , … , α ｍ ] T ，

ｑ＝［ α 測十 6 ｔ l ， a i 2 ＋＆２， … ， α i " ＋ α " ] ＴＧ ( 0 0 0 … 0 ) ( ｇ）＝Ｇ ( 9 ) ，

G…'(,)=念G(，）（３Ｄ c… ' ( , ) = 念 c ( ' 〃、

６

Ｇ ( ' ' 0 … 0 ) ( 9 ) ＝殉 , 〃

２

2 Ｇ ( z / ) ' … ，Ｇ ( ｌｌｌ … ! ) ( z / ）＝殉 ,

６

… 伽Ｇ ( 9 ) ，

７ルーＯｏｒ１，１三ｋ≦〃

を満たすように決定する。なお逆変換は(19)，（21)式より，

ｚ＝ＱＫゆ(9)＋Ｐ ⁽³²^）ただし，Ｋは定数行列（〃×(4"−１)）で，その要素

k ヴは，

k 嚇 = { ; 蛎患 ( ! ≦ i ≦ " ）

となる。したがって，形式的線形化を介して得られる z(t）の近似解ｆ(j）は

ｆ(t）＝QKZ(z)＋Ｐ（33）で求められる。

４．誤差解析

(1)式の解ｚ(t）と，形式的線形化を介して求められた(33)式の解企(#）の誤差について考察する。以下ベクトルのノルムⅡ．'￨は通常のユークリッドまたは最大値ノルムとし，行列についてはその作用素ノルムとする。まず，線形化関数ゆ(9)とその近似関数ｚとの誤差伝播について考える。時刻j(０三ｔ≦ｔ,）に，

Ｗ)が小領域Ｄｉにあるとする｡この間の誤差伝播は,

最 (() 一息 ) = ｊ ( , ) − ２

＝Ｇ(9)一Ａｉｚ−Ｂｉ

＝Ａｉ(の(Zﾉ)一z)＋(Ｇ(ｇ)一Ａiの(9)−Ｂｉ）（34）

この方程式を解けば (g(t))一z(t）

(6)

3８鹿児島大学工学部研究報告第３７号（ 1 9 9 5 ）

＝ e A i z [ 妙 ( ｇ ( O ) ) − ｚ ( O ) ] ＋

ルＡｉ ( ' ‑ r ) E i ( g ( r ) ) 伽

⁽³⁵^）

ただし，

Ｅｉ(z/）＝Ｇ(zﾉ)−Ａiの(9)−Ｂｉ（36）

(35)式の両辺のノルムをとれば誤差が

｜￨の(抑))一z(#)'

三 l l g A i j l l l l の ( g ( 0 ) ) 一 z ( o ) ￨｜

＋￨￨層 , ￨ l J W l l g 4 i ( r ) ￨￨血（ 3 7 ）

となる。ここで，（36)式の関数近似誤差の全領域でのノルムをＥとする。ユークリッドノルムでは，（24)一 (26)式を考慮して，

Z l l E i l l : ＝ E （ 3 8 ）

ｉ＝ｌ

となり，

￨￨唇ﾙ≦1/吾１１言1盲= （39）

ｊ＝ｌ

であり，最大値ノノレムでは，

llEル三,1聡鯛￨￨弓￨'｡｡＝ぞ（40）

である。また，係数行列Ａｉのノルムの最大値を α＝maxllAill （41）

三ｉ ≦ 、

と表せば，（37)式は，全領域で，

｜￨(抑))−z(t)'

三 e ･￨￨の ( , ( 0 ) ) ‑ z ( 0 ) ￨￨ + E J W e ｡ (‑ 種 ) ｡「

＝＠｡￨￨の(g(O))−z(0)￨￨＋E(9｡−１)/ａ（42）

となり，第１項は時刻#＝０における初期誤差，第２項は関数近似誤差に起因する誤差伝播を表す。したがって，（32)，（33)式より，

｜￨工(z)−ｆ(t)￨｜

＝￨￨(QKの(Ｗ))＋Ｐ)一(QKZ(t)＋P)￨｜

≦￨￨QKllll(抑))−z(t)￨｜

≦￨￨ＱＫ￨￨｛e･￨￨の(g(0))−z(0)￨｜

＋ E ( g α − １ ) / α ｝（ 4 3 ）となる。

本手法で用いた３次エルミート補間近似の誤差のノ

ルムＥは，Ｇ(9)が十分になめらかな関数（Ｃ4級）で

あれば，

△＝ｍａｘ△ん_{ｌ ≦ ｋ ≦ 〃} としたとき，

［スカラーシステム］

ユークリッドノルムでは，

… ‑＆皇￨券 , １，

最大値ノルムでは，

盾≦が隅￨券'ilL

[２次元システム］

ユークリッドノルムでは，

蔭 ≦ 湖堂 ! ( ' ' 論 , , ￨， + ￨時最 , ル￨￨急 , , l ｐ

最大値ノルムでは，

僧 ≦ 志幽脇 ( I 制Ｌ剛￨時差 ,￨ L + ￨急 , Ｉ｡）

(44）

(45）

(46）

(47）

(48）

であり（付録参照)，△を小さくすれば関数の近似誤差も小さくなることがわかる。なお，３次元以上のシステムに対しては今後の検討を要する。

５．数値実験

[例題１］（スカラーシステム）

次のスカラーシステム

Ｚ＝−Ｚ＋工2,Ｚ(O）＝０．８

（49）を考える。これは原点収束の単調減少関数であり，区間をＤ＝［−１，１）とした。まず，(8)式の変数変換を

行い，区間［0,1）を等間隔〃＝２ｊｖＸ１≦jV≦5）

で分割した。また比較のため従来法として，原点を展開点としたテーラー展開の１次近似による線形化

ｚ＝ − z , ｚ ( O ）＝０．８（ 5 0 ）を行った。図１は(49)式の解析解ｚ(t)(True)，本手

(7)

成清・高田：３次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤差解析 3９

法によって求めた近似値毎(t)，および比較のために計算した(50)式の解析解の時間変化曲線である。図２はこの時の絶対値誤差ﾉ(z）を表す。

ノ( )＝JWl垂(r)‑ｆ(で)￨dで（５１）

[例題２］（多次元システム）

次の電力系統の同期機動揺方程式

Ｍ６＋Ｄ６＋Ｒｍｓｉｎ６＝Ｒ（ 5 2 ）

を考える。負荷角６と角速度６に対し，ｚ,(j）＝

6(t)−６(0｡)，Ｚ２(Z）＝６(t）を状態変数に選べば，２

次元非線形システムが得られる。

剛二謡い ( 州 ( ｡｡ ) ) + … ( 5 3 ）

ただし，Ｚ!(0）＝６(O)−６(｡o）＝0.6‑6(｡○),Ｚ２(O）

＝６(0）＝0.2,Ｍ＝0.0265,,＝0.005,Ｒ、＝１．０，

R"＝０．８，α0＝Ｒ"/肌αl＝−Ｒ,,,/Ｍａ２＝−Ｄ/Ｍ

６ ( ｡｡）＝ｓｉｎ − ｌ ( R ,/ Ｒ , , , ）

まず，領域をＤ＝［−１，１)×[−２，２）に設定し，（24）

式の小領域幅を曇,＝６i2＝２−Ⅳ,（１≦Ⅳ≦５）とした。

また比較のため従来法として，原点を展開点としたテーラー展開の１次近似による線形化

協二謡 … () + " 蝋 (）（ 5）

を行った。図３，図４は(53)式の解工(Z)(True)，本手法によって求めた近似値ｆ(ｊ)，および比較のために計算した(54)式の解の時間変化曲線である。図５，

図６はこの時の絶対値誤差

ハ(′)＝JWlzI(で)一公(r)￨d「（55）

を表す。なお，微分方程式の解はルンゲクッタ法で求めた。

以上の数値実験の結果，領域幅を小さくすれば近似解の精度が向上した。

６．結言

非線形微分方程式で与えられるシステムを，計算機により，自動的に形式的線形化する手法を考察した。

従来の形式的線形化が線形化係数ＡとＢの要素計算にやっかいな積分計算を必要としていたのに対し，本手法は単に節点の関数値と導関数値を与え，それらの代数計算のみで済み，極めて機械的である。また，線形化関数妙(9)が一定の有限次元に自動的に決定されるのも本手法の有利な点である。数値実験より，領域幅縮小による近似精度の向上も確かめられた。今後，

３次元以上のシステムの誤差解析を含む詳細な検討を行い，状態推定問題等に適用していきたい。

参考文献

[ｌ］小松，高田，辻：離散フーリエ展開による非線形システムの形式的線形化法とその応用'，，電気学会論文誌，Vol､114‑Ｃ，No.7/８，ｐｐ､789‑795,

1994．

[2］小松，高田，辻：チェビシェフ補間近似による非線形システムの形式的線形化計算法，'，電気学会論文誌，Vol､114‑Ｃ，No.7/８，ｐｐ､835‑840, 1994．

[3］MartinHSchultz:SplineAnalysis''，

Prentice‑Hall，Inc.，1973．

[4］丹慶他訳： NumericalRecipesinC［日本語

版]"，技術評論社，1994．

[5］入江：線形数学Ⅱ ，共立出版，1969.

(8)

‑２ 4０

‑２０

０１２オ３４５

図３電力系統工,の近似値

２^』０．８

０．６ 1次近似線形化 _１

０

︵︾︶園筒︽︵や︶ざく

４２００００

︵﹃︶筒辱︵や︶筒．

>=3,7刀Uｅ

̲ﾉV=２

こ＝ − − − ＝

‑１雫、ｊＶ=７

−０．２

‑２

０２４オ６８１０

○

図１スカラー系の近似値

０１２ f ３４５

図４電力系統工2の近似値

０１２ r ３４５

図６電力系統工2の近似誤差

−１０１次近似線形化

jZ(言フンーー

胸一一一脚

１次近似線形化

毒

ﾉV=７

−８０

鹿児島大学工学部研究報告第３７号（ 1 9 9 5 ）

００００︑

︑●●

脚一隅一隅Ｑ︶ベ自切○一

Ｑ︶﹃︒一切○︷

‑４ ‑４

−６ −６

‑８ ‑８

‑10 −１０

０２４ｆ６８１０

図２スカラー系の近似誤差

０１２ｔ３４５

図５電力系統jrlの近似誤差

−０．４

−２

蕊

０ Ⅳ＝７ 0.4

２０２０００

︵や︶一周︒︵君︶一周くＱ︶骨宮切○一

‑４

−６

一■﹄■由一■一■

一

■

■ ０・ＩＵＩ０１

１．ｌＯＩｏＩ

●

ー

一

b

＝

ｐ

ー

■ ＩＯＵ・ＵロＩ

ｌＱＧｌｎｌｑ

(9)

成清・高田：３次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤差解析 ⁴^１

[ 付録］関数近似誤差について

ベクトル値関数

〃(〃）＝［パ(工)'…'九(z)]Ｔ（56）

ただし，

麺＝[z,,…,z]T,ＺＥＤ＝Ⅱ:=,[0,1）

の各要素内(z）は(24)−(27)式の小領域毎に定義される区分的関数で，

パ(z）＝パノ(z）（ｉｆＺＥＤｊ）（57）

であるとする｡関数爪z)のL2ノルムの２乗は

加

￨￨￨￨ ; = J : e o 伽 = , ｚ , J : 佳今伽（ 5 8 ）

であり，小領域Ｄｊでのｆ(z）のユークリッドノルム

￨￨釧2の２乗は

〃

l l j ; ￨￨ ; = J f 僅吟湘鍾 = ' 二 , J : 叫枇（ 5 9 ）

である。′(z）のユークリッドノルムの２乗は，

７２

１１ ' ￨￨ ; ＝Ｚ￨￨￨￨；

ｊ＝ｌ

〃ｍ刀

= , 栗 , J : Ｅ , , 伽 = Z ' '

^ｊ＝１

' ' ;

ｍ邦、

＝ j 栗 1 J : Ｅ , , 伽＝Ｚ ' ' J ;

^ノー１

' ' ；

⁽⁶⁰^）

(60)式より，

〃１

１１'￨￨;＝Zll￨￨;＝ZllJ;￨￨；（６１）

ｊ＝ｌｊ＝ｌ

となる。したがって，／(z）のユークリッドノルムは，

l l r l l , ＝ , / 、 ? 手荒〒 1 面 i アー,、Ｆ言千ｍ『

≦￨￨(''2+…+￨￨刺2 ^（⁶²^）となる。また，関数パ(z)のLooノルムは

｜￨￨'｡｡＝!鯉９，，期￨jｌ（63）

であり,小領域Ｄｊでの/(z)の最大値ﾉﾙﾑ￨￨釧・･は

｜￨巧''｡｡＝,哩魁型Ｒ￨jｌ（64）

である。／(工）の最大値ノルムは，

￨￨'￨'｡｡＝maxlllloo

l ≦ ｊ ≦ 〃

＝ ! ' ２１努 , , ! g Ｉ鰹 , , 淵 ' j ' ＝ , 聖魁 ' ' ' ' ｡。

= 1 1 腿 , , 1 1 2 1 懲恕 ' j ' = ! 喫小 ; ' ' ｡｡

となる。（65)式より

(65）

l l r l l ｡｡＝ , ２１鰹 , , ￨￨巧 ' ' ｡｡＝ , 聖魁 l l ￨ ' ｡。（ 6 6 ）

である。

一方，１変数関数/("）ＥＣ４が与えられ，この関数

を区間［０，１）で３次エルミート補間近似したときの区分的多項式〃の近似誤差のノルムは参考文献［3］

(ｐ34)より，

I 州 ' に rざ￨￨烏 ' ￨￨ ' げ ‑ 州 ‑ 重歳 A 1 1 蒜ｆｌｌ −

(67）

(68）

また，２変数関数/(Zl,Ｚ２）ＥＣ４が与えられ，この

関数を区間［0,1)×[０，１）で双３次エルミート補間近似したときの区分的多項式〃の近似誤差のノルムは参考文献[3］（ｐ39）より，

' 州に州 ( ￨￨蓋 ' ｜ +鳴蓋小￨￨制）

' ' ﾉｰ州 ≦ が ( ￨￨蓋 ' ￨Ｌ + 2 4 1 1 蓋釜 / ￨ ̲ + ￨￨急 ' ￨￨ ̲ ）

である。

以上より，本手法の関数近似誤差を考察する。

(69）

(70）

［スカラーシステム］

非線形スカラーシステム(7)式が与えられたとき，（11）

式を補間近似するので，近似誤差ベクトルは，

＝畦三叢Ｈヨ伽

であり，このベクトルのユークリッドノルムは，（39)，

(61)，（62)，（67）式より，

(10)

4２鹿児島大学工学部研究報告第３７号（ 1 9 9 5 ）

= , , 層 Ⅱ , = , / 高 1 E i 盲

ｊ＝ｌ

＝ , /芸 1 E i i 7 ≦ 量 , , 9 , ‑ 釦ル

ｊ＝ｌｊ＝ｌ

≦ 湖 , i 1 l l 券 , ￨￨，

また，最大値ノルムは(40)，（66)，（68）式より

Ｅ＝￨￨ E ￨ ' ｡｡＝１１蕊 $ " ￨￨弓￨ ' ｡。

＝ l 哩警 3 1 1 E i l l ｡｡＝ l 聖署 3 1 1 9 i − 歯 i l l ｡。

≦ が脇￨￨券 ,l Ｌ

となる。

(72）

(73）

［２次元システム］

２次元非線形システム（１）式が与えられたとき，

(23)式を補間近似するので，近似誤差ベクトルは，

一噸傭Ｈ真］他）

であり，このベクトルのユークリッドノルムは，（39)，

(61)，（62)，（69)式より，

E = , , 層 , , , = , / 冨而三 i 肩

ｊ＝１

＝ , / 蚕 1 i 三 1 盲 ≦ 量 , , g‑ 歯ル

ォーｌｊ＝１

≦ 湖 , 重 ( ￨蒜眺￨￨， + ￨￨暴瓢十￨急 ,L ）

また，最大値ノルムは(40)，（66)，（70)式より

E ＝￨ l E l l ｡｡＝ , 理轟 Ⅱ 弓￨ ' ｡。

＝ , 醜 1 5 1 1 E i l l ｡｡＝ i 鯉 1 5 1 1 g i ‑ 歯 i l l ｡。

≦ が脇( ￨蒜 , ｲＬ + ' ４１暴最 , ル￨￨急 , 願￨ ̲ ）

となる。

(75）

(76）

3次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤 差解析

3次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤 差解析

著者 成清 勝博, 高田 等

雑誌名 鹿児島大学工学部研究報告

巻 37

ページ 35‑42

別言語のタイトル A Formal Linearization Method by the Cubic

Hermite Interpolation and its Error Analysis

URL http://hdl.handle.net/10232/12362

3次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤 差解析

著者 成清 勝博, 高田 等

雑誌名 鹿児島大学工学部研究報告

巻 37

ページ 35‑42

別言語のタイトル A Formal Linearization Method by the Cubic

Hermite Interpolation and its Error Analysis

URL http://hdl.handle.net/10232/00002199

3次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤差解析

成 清 勝 博 ＊ ・ 高 田 等

AFormalLinearizationMethodbytheCubicHermite InterpolationanditsErrorAnalysis

１．まえがき

２．問題の設定

２１:３t(Z）＝／(jr(Z)）（１）

ｚ＝［工,,…,鰯]T:ｎ次元状態ベクトル，

ＺＥＤ＝11W=,い,ｐｉ＋9i)ｃＲ卿：長方形定義域，

/＝[/１，…,〃T：連続微分可能な非線形ベクトル値関数

｡(Z）=Ｍ(Z),…,ゆjv(Z),…]Ｔ(2)

州=筈砦(亜）

(z)＝Ａの＋Ｂ

託二響)伽

[ 裂 謹 蓑 ) B 戸 [ 識 ］

３３３

脇羽調

ａαα ＋＋＋ ２２２

１２３ ２２２ ａαα ＋＋＋

１１１

１２３ ａαα 十＋＋

０００１２３ ａαα

ｌ２３

３．形式的線形化計算法

G(z/)=A紗(zﾉ)+Bi＝HXzﾉ)

Ｂｉ'(畠）＝Ｇ'(畠)，Ｈ１'(島十,）＝Ｇ'(烏十,）

' () = 器 筈 = ｼ ( " () + ' ) 雲 ' ( 抑 ) ) ( 9 )

州‑[卿‑[#］側

ｚ ノ ー Ｑ − １ ( ｚ − Ｐ ） （ 1 9 ） た だ し ， Ｚ ノ ー ［ y , , … ， Z ﾙ , ] T ，

Ｑ＝。(9,,…,ｑ"),Ｐ＝［p,,…,ｐ,,]Ｔ

鰐 ‑ [ 参 ] 刈 聯 ] 雲 叩

，=器愈=Q‑畑十P)=，(,）（20）

の ( Z / ) ＝ m l O O … 0 ) ( Z / ) ， 幻 2 0 0 … 0 ) ( Z / ) ， 幻 3 0 0 … 0 ) ( Z / ) ， 餌 0 , ｡ … 0 ) ( 9 ) , 幻 , , 0 … 0 0 ) ( z ﾉ ) , … ，

幻 ' i 1 2 吋 … 端 ) ( Z / ) ' … ' 幻 3 3 3 … 3 ) ( 9 ) ] Ｔ （ 2 1 ） ただし，Ｔｂｉ吃…,h)(9)を

餌,i吃…端)(Zﾉ)＝ⅡgKI （22）

( ' ) = 器 ， (）

≦剛,]雲叩側

となる。ここで，定義域11%＝,[0,1)を加個の小領域

Ｄｉ＝Ⅱ[α雄,α餓十姓）（24）

Ｕ Ｄ ｉ ＝ Ⅱ [ o 1 ） （ 2 5 ） ＤｉｎＤｊ＝０（ｉｆｊ≠ｊ）

△ k ＝ , 哩 鰹 " 6 i ｋ

Ｇ(9)を小領域Ｄｊで３次エルミート補間近似し，

Ｇ(zﾉ）＝Ａ妙(9)＋Bi＝Ｈ;(z/）（28）

き ( t ） ＝ Ａ ｉ ｚ ( t ) ＋ B ｉ （ 2 9 ）

に変換される｡係数A,とBiは関数HXg)がG(Zﾉ)と

民 ( 嘘 … ， h ) ( p ） ＝ Ｇ ( γ ' 功 … ' h ) ( p ）

Ｈ;('i'2…'１m)(9)＝Ｇ(嘘…'h)(9)（30）

ｐ ＝ ［ α 小 α j 2 , … , α ｍ ] T ，

ｑ ＝ ［ α 測 十 6 ｔ l ， a i 2 ＋ ＆ ２ ， … ， α i " ＋ α " ] Ｔ Ｇ ( 0 0 0 … 0 ) ( ｇ ） ＝ Ｇ ( 9 ) ，

G…'(,)=念G(，）（３Ｄ c… ' ( , ) = 念 c ( ' 〃 、

Ｇ ( ' ' 0 … 0 ) ( 9 ) ＝ 殉 , 〃

2 Ｇ ( z / ) ' … ， Ｇ ( ｌ ｌ ｌ … ! ) ( z / ） ＝ 殉 ,

… 伽 Ｇ ( 9 ) ，

k ヴ は ，

k 嚇 = { ; 蛎 患 ( ! ≦ i ≦ " ）

４．誤差解析

Ｗ)が小領域Ｄｉにあるとする｡この間の誤差伝播は,

最 (() 一 息 ) = ｊ ( , ) − ２

＝Ａｉ(の(Zﾉ)一z)＋(Ｇ(ｇ)一Ａiの(9)−Ｂｉ）（34）

＝ e A i z [ 妙 ( ｇ ( O ) ) − ｚ ( O ) ] ＋

ル Ａ ｉ ( ' ‑ r ) E i ( g ( r ) ) 伽

三 l l g A i j l l l l の ( g ( 0 ) ) 一 z ( o ) ￨ ｜

＋ ￨ ￨ 層 , ￨ l J W l l g 4 i ( r ) ￨ ￨ 血 （ 3 7 ）

Z l l E i l l : ＝ E （ 3 8 ）

3次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤差解析

3次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤差解析

著者成清勝博, 高田等

雑誌名鹿児島大学工学部研究報告

3次エルミート補間近似による形式的線形化法と誤差解析

著者成清勝博, 高田等

雑誌名鹿児島大学工学部研究報告

成清勝博＊・高田等

[ 裂謹蓑 ) B 戸 [ 識］

ａαα ＋＋＋２２２

１２３２２２ａαα ＋＋＋

１２３ａαα 十＋＋

０００１２３ａαα

' () = 器筈 = ｼ ( " () + ' ) 雲 ' ( 抑 ) ) ( 9 )

ｚノーＱ − １ ( ｚ − Ｐ）（ 1 9 ）ただし，Ｚノー［ y , , … ， Z ﾙ , ] T ，

鰐 ‑ [ 参 ] 刈聯 ] 雲叩

の ( Z / ) ＝ m l O O … 0 ) ( Z / ) ，幻 2 0 0 … 0 ) ( Z / ) ，幻 3 0 0 … 0 ) ( Z / ) ，餌 0 , ｡ … 0 ) ( 9 ) , 幻 , , 0 … 0 0 ) ( z ﾉ ) , … ，

幻 ' i 1 2 吋 … 端 ) ( Z / ) ' … ' 幻 3 3 3 … 3 ) ( 9 ) ] Ｔ（ 2 1 ）ただし，Ｔｂｉ吃…,h)(9)を

( ' ) = 器， (）

ＵＤｉ＝ Ⅱ [ o 1 ）（ 2 5 ）ＤｉｎＤｊ＝０（ｉｆｊ≠ｊ）

△ k ＝ , 哩鰹 " 6 i ｋ

き ( t ）＝Ａｉｚ ( t ) ＋ B ｉ（ 2 9 ）

民 ( 嘘 … ， h ) ( p ）＝Ｇ ( γ ' 功 … ' h ) ( p ）

ｐ＝［ α 小 α j 2 , … , α ｍ ] T ，

ｑ＝［ α 測十 6 ｔ l ， a i 2 ＋＆２， … ， α i " ＋ α " ] ＴＧ ( 0 0 0 … 0 ) ( ｇ）＝Ｇ ( 9 ) ，

G…'(,)=念G(，）（３Ｄ c… ' ( , ) = 念 c ( ' 〃、

Ｇ ( ' ' 0 … 0 ) ( 9 ) ＝殉 , 〃

2 Ｇ ( z / ) ' … ，Ｇ ( ｌｌｌ … ! ) ( z / ）＝殉 ,

… 伽Ｇ ( 9 ) ，

k ヴは，

k 嚇 = { ; 蛎患 ( ! ≦ i ≦ " ）

最 (() 一息 ) = ｊ ( , ) − ２

ルＡｉ ( ' ‑ r ) E i ( g ( r ) ) 伽

三 l l g A i j l l l l の ( g ( 0 ) ) 一 z ( o ) ￨｜

＋￨￨層 , ￨ l J W l l g 4 i ( r ) ￨￨血（ 3 7 ）

三 e ･￨￨の ( , ( 0 ) ) ‑ z ( 0 ) ￨￨ + E J W e ｡ (‑ 種 ) ｡「

… ‑＆皇￨券 , １，

蔭 ≦ 湖堂 ! ( ' ' 論 , , ￨， + ￨時最 , ル￨￨急 , , l ｐ

僧 ≦ 志幽脇 ( I 制Ｌ剛￨時差 ,￨ L + ￨急 , Ｉ｡）

行い，区間［0,1）を等間隔〃＝２ｊｖＸ１≦jV≦5）

剛二謡い ( 州 ( ｡｡ ) ) + … ( 5 3 ）

６ ( ｡｡）＝ｓｉｎ − ｌ ( R ,/ Ｒ , , , ）

協二謡 … () + " 蝋 (）（ 5）

６．結言

０１２オ３４５

０２４オ６８１０

０１２ f ３４５

０１２ r ３４５

０２４ｆ６８１０

０１２ｔ３４５

[ 付録］関数近似誤差について

￨￨￨￨ ; = J : e o 伽 = , ｚ , J : 佳今伽（ 5 8 ）

l l j ; ￨￨ ; = J f 僅吟湘鍾 = ' 二 , J : 叫枇（ 5 9 ）

１１ ' ￨￨ ; ＝Ｚ￨￨￨￨；

＝ j 栗 1 J : Ｅ , , 伽＝Ｚ ' ' J ;

l l r l l , ＝ , / 、 ? 手荒〒 1 面 i アー,、Ｆ言千ｍ『

＝ ! ' ２１努 , , ! g Ｉ鰹 , , 淵 ' j ' ＝ , 聖魁 ' ' ' ' ｡。

= 1 1 腿 , , 1 1 2 1 懲恕 ' j ' = ! 喫小 ; ' ' ｡｡

l l r l l ｡｡＝ , ２１鰹 , , ￨￨巧 ' ' ｡｡＝ , 聖魁 l l ￨ ' ｡。（ 6 6 ）

I 州 ' に rざ￨￨烏 ' ￨￨ ' げ ‑ 州 ‑ 重歳 A 1 1 蒜ｆｌｌ −

' 州に州 ( ￨￨蓋 ' ｜ +鳴蓋小￨￨制）

' ' ﾉｰ州 ≦ が ( ￨￨蓋 ' ￨Ｌ + 2 4 1 1 蓋釜 / ￨ ̲ + ￨￨急 ' ￨￨ ̲ ）

＝畦三叢Ｈヨ伽

＝ , /芸 1 E i i 7 ≦ 量 , , 9 , ‑ 釦ル

≦ 湖 , i 1 l l 券 , ￨￨，