問題解決における学習者の工夫の様相に関する研究

ISSN 1881!6134

http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu

vol.13, no.9

Mar. 2011

鳥取大学数学教育研究

Tottori Journal for Research in Mathematics Education

問題解決における学習者の工夫の様相に関する研究

小村 亮 Ryo Komura

2 目 次 １ ． 本 研 究 の 目 的 と 方 法 １ ． １ 研 究 動 機 と 目 的 １ ． ２ 研 究 方 法 ２ ． 調 査 の 実 施 ２ ． １ 問 題 解 決 過 程 の 調 査 ２ ． １ .１ 調 査 の 目 的 ２ ． １ .２ 調 査 問 題 ２ ． １ .３ 調 査 対 象 ２ ． １ .４ 調 査 の 実 施 過 程 ２ ． ２ 被 験 者 の 解 決 過 程 ２ ． ２ .１ 被 験 者 Ａ ２ ． ２ .２ 被 験 者 Ｂ ２ ． ３ 問 題 解 決 過 程 の 分 析 ２ ．４ 調 査 の 考 察 と リ サ ー チ ク エ ス チ ョ ン の 導 出 ３ ． 先 行 研 究 の 考 察 ３ ． １ ポ リ ア の 発 見 法 ３ ． １ .１ 発 見 法 と ス ト ラ テ ジ ー ３ ．１ . ２ 問 題 解 決 方 法 に お け る 先 行 研 究 ３ ． １ .３ 工 夫 と の 関 連 ３ ．１ . ４ 問 題 解 決 時 に お け る ス ト ラ テ ジ ー ３ ． ２ 工 夫 と ス ト ラ テ ジ ー ３ ． ２ .１ 工 夫 や ス ト ラ テ ジ ー の 指 導 ３ ６ ３ ． ２ .２ 発 見 学 習 と 有 意 味 受 容 学 習 ３ ．２ . ３ 問 題 解 決 能 力 と ス ト ラ テ ジ ー ３ ． ３ 工 夫 の 利 用 と 問 題 解 決 ３ ． ３ .１ 問 題 解 決 ３ ． ３ .２ 工 夫 の 分 析 的 働 き ３ ． ３ .３ 問 題 文 の 理 解 ４ 本 研 究 の 結 果 と 今 後 の 課 題 ４ ． １ 本 研 究 の 結 果 ４ ． ２ 今 後 の 課 題

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第 １ 章

本 研 究 の 目 的 と 方 法 １ ． １ 研 究 動 機 と 目 的 １ ． ２ 研 究 方 法 第 １ 章 で は 、現 在 の 学 校 に お け る 授 業 の 問 題 点 か ら 、「 工 夫 」の 研 究 の 動 機 ・ 目 的 を 示 す 。

4 １ ． 本 研 究 の 目 的 と 方 法 １ ． １ 研 究 動 機 と 目 的 平 成 19 年 度 か ら 始 ま っ た 全 国 学 力・学 習 状 況 調 査 の 結 果 や 2009 年 の 学 習 到 達 度 調 査 等 、 新 聞 ・ テ レ ビ な ど で も 教 育 関 連 の ニ ュ ー ス は 大 き く 取 り 上 げ ら れ ， 学 習 指 導 要 領 改 訂 に 向 け て 学 力 低 下 の 改 善 や ゆ と り 教 育 の 見 直 し が 話 題 と な っ た 。 ま た 中 学 受 験 ， 高 校 受 験 が 過 熱 し ， こ う し た こ と か ら も 現 場 の 教 師 は 点 数 と い う 結 果 を 求 め ら れ ， 即 効 性 の あ る 指 導 法 を 実 践 し て し ま う と い う 状 況 で あ る 。 受 験 を 控 え た 子 ど も か ら も 「 理 屈 よ り も 解 き 方 を 教 え て ほ し い 」 と 言 わ れ る こ と も 珍 し く は な い と 聞 く 。 確 か に 問 題 の 解 法 を 教 師 側 が 見 せ れ ば 、 子 ど も は そ れ を 忠 実 に 実 行 す る こ と に よ り 答 え を 導 く こ と は 可 能 で あ ろ う 。 し か し そ れ で は そ の 問 題 を 理 解 す る こ と が で き た と い う 事 に は な ら な い 。 指 導 す る 教 師 に 求 め ら れ て い る こ と は ， 正 確 に 答 え を 出 し ， 点 数 を 取 れ れ ば よ し と す る 子 ど も を 育 て る こ と で は な い は ず で あ る 。 教 室 で 算 数 を 学 ぶ と い う こ と は ど う い う こ と か ， と い う 原 点 に 戻 っ て ， 授 業 を 見 直 し て い く こ と が 重 要 で あ る だ ろ う 。 上 述 の よ う な 状 況 下 で は 、 算 数 に 対 し て 相 当 な 苦 手 意 識 を 持 っ て い る 児 童 が 増 え て い る の で は な い か と 考 え る 。 多 様 な 解 き 方 よ り も 効 率 の よ い と き 方 を 追 求 し 、 間 違 っ た 答 え を 頭 ご な し に 否 定 す る こ と で 、 子 ど も た ち は 正 し い 根 拠 を も と に 幾 通 り も の ア プ ロ ー チ で 同 じ 結 果 に た ど り 着 く こ と が あ る こ と や ， 間 違 え て し ま っ て も 数 学 的 な 根 拠 を 使 お う と す る こ と を 知 ら な い ま ま で は な い だ ろ う か 。 そ の た め 、 初 め て み る よ う な 問 題 に 直 面 す る と 「 解 け そ う に な い 」 と 挫 け て し ま う 子 が 多 い よ う に 思 う 。 も ち ろ ん 現 在 の 多 く の 小 学 校 に お け る 算 数 学 習 は で は 、 新 し い 課 題 で あ っ て も ま ず 児 童 自 身 に 考 え さ せ る よ う な 授 業 形 式 で あ り 、 単 に 問 題 を 解 い て 解 法 を 理 解 し ， そ し て ま た さ ら に 多 く の 練 習 問 題 に 取 り 組 ま せ る と い う も の で は な い だ ろ う 。 そ こ で は 既 知 の 知 識 を 利 用 し 、 難 し い 問 題 も 工 夫 を す れ ば 多 く の 課 題 を 解 決 で き る と い う 態 度 を 身 に つ け 、 そ の よ う な 考 え 方 を 実 践 で き る よ う に な っ て ほ し い と い う 思 い が 実 現 さ れ て い る の で あ る 。 現 実 で は 、 多 く の 子 ど も に と っ て 算 数 ・ 数 学 の 問 題 の 解 決 が 困 難 で あ る と い っ た 状 況 は 今 日 で も 依 然 と し て 続 い て い る 。 計 算 力 は 改 善 し て も 応 用 力 は 低 い 、 知 識 や 経 験 に 基 づ い た 解 決 が で き て い な い と い っ た 一 面 が 見 て 取 れ る 。 そ こ で 本 稿 で は「 ど の よ う に す れ ば 問 題 は 解 け る の か 」「 も っ と 上 手

5 い 方 法 は な い だ ろ う か 」「 ど ん な 問 題 に も 対 抗 で き る 力 や 考 え 方 は な い だ ろ う か 」 そ の よ う な 「 問 題 を 解 く 際 の 工 夫 」 に つ い て 考 え る と 同 時 に 、「 工 夫 す る 」と い う こ と は そ も そ も ど の よ う な こ と な の か 、考 え て い く こ と に す る 。 本 研 究 の 目 的 は 工 夫 と い う も の に 焦 点 を あ て 、 問 題 解 決 活 動 を 行 う 際 に そ れ が ど の よ う に 活 用 さ れ て い る の か を 明 ら か に し ， そ れ に 沿 っ た 問 題 解 決 の プ ロ セ ス を 考 え る こ と で あ る 。 ま た 、 工 夫 を 行 う 必 要 性 や 問 題 解 決 時 に お け る 位 置 づ け 、 学 習 者 に 与 え る 効 果 な ど を 考 察 し て い く 中 で 、 工 夫 と い う 学 習 者 の 中 の 見 え な い 思 考 過 程 を ど の よ う に し て 捉 え て い け ば よ い の か と い う こ と を 考 え て い き 、 自 力 解 決 を 引 き 出 す こ と を ね ら い と し た よ り よ い 指 導 を 考 え て い く も の で あ る 。 そ れ に よ り 、 算 数 ・ 数 学 的 な 活 動 の 質 の さ ら な る 向 上 に つ な が る と 考 え る 。

6 １ ． ２ 研 究 の 方 法 以 上 の 目 的 を 達 成 す る た め ， 本 研 究 で は 以 下 の よ う な 方 法 を と る 。 本 研 究 で 工 夫 に つ い て 議 論 す る た め ， ま ず ， 従 来 漠 然 と 使 用 さ れ て い る 「 工 夫 」 と い う も の を 再 定 義 す る 。 事 前 に 調 査 を 行 い 算 数 の 問 題 解 決 過 程 を 観 察 す る こ と に よ り 、 解 決 時 に 解 決 者 は ど の よ う な 思 考 を も っ て 問 題 を 解 い て い る の か 明 ら か に す る 。 解 決 者 が 問 題 の 解 決 に お い て ど の よ う な 方 略 を ど の よ う に 用 い る か に 焦 点 を 当 て な が ら 分 析 す る 。 そ し て 問 題 解 決 過 程 を 分 析 し て い く こ と で 、 ま ず 「 工 夫 」 と は 何 か を 定 義 し 、 そ こ か ら 本 研 究 で の 工 夫 に 関 す る リ サ ー チ ク エ ス チ ョ ン を 導 出 し て い く 。 ２ 章 で 導 出 さ れ た リ サ ー チ ク エ ス チ ョ ン を ３ 章 で 達 成 し て い く 。 そ の た め に こ れ ま で の 先 行 研 究 に お い て 為 さ れ た ス ト ラ テ ジ ー や 方 略 指 導 の ア プ ロ ー チ の 手 法 に つ い て 吟 味 し ， 本 研 究 に お け る リ サ ー チ ク エ ス チ ョ ン を 考 察 す る 。 そ し て ， 考 察 か ら 得 ら れ た 問 題 解 決 過 程 に 対 す る 分 析 に 基 づ い て ， 工 夫 を 捉 え て い く 。

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第 ２ 章

調 査 の 実 施 ２ ． １ 問 題 の 解 決 過 程 の 調 査 ２ ． １ .１ 調 査 の 目 的 ２ ． １ .２ 調 査 問 題 ２ ． １ .３ 調 査 対 象 ２ ． １ .４ 調 査 の 実 施 過 程 ２ ． ２ 被 験 者 の 解 決 過 程 ２ ． ２ .１ 被 験 者 Ａ ２ ． ２ .２ 被 験 者 Ｂ ２ ． ３ 問 題 解 決 過 程 の 分 析 ２ ． ４ 調 査 の 考 察 と リ サ ー チ ク エ ス チ ョ ン の 導 出 第 二 章 で は 、 本 研 究 に お け る 調 査 の 概 要 を 説 明 す る 。

8 ２ ． 調 査 の 実 施 ２ ． １ 問 題 の 解 決 過 程 の 調 査 ２ ． １ ． １ 調 査 の 目 的 本 調 査 で は 算 数 の 問 題 解 決 過 程 を 観 察 す る こ と に よ り 、 解 決 時 に 解 決 者 は ど の よ う な 思 考 を も っ て 問 題 を 解 い て い る の か 明 ら か に す る こ と を 目 的 と す る 。 解 決 者 が 問 題 の 解 決 に お い て ど の よ う な 方 略 を ど の よ う に 用 い る か に 焦 点 を 当 て な が ら 分 析 す る 。 そ し て 解 決 過 程 を 分 析 す る こ と で 、 そ の 過 程 に お け る 特 性 を 考 察 し 、 現 象 と し て の 「 工 夫 」 が ど の よ う に 表 れ て い る か を 特 定 し よ う と す る も の で あ る 。 そ し て 問 題 解 決 過 程 を 分 析 し て い く こ と で 、 ま ず 「 工 夫 」 と は 何 か を 定 義 し 、 そ こ か ら 工 夫 に 関 す る リ サ ー チ ク エ ス チ ョ ン を 導 出 し て い く 。 ２ ． １ ． ２ 調 査 問 題 本 調 査 で は ２ 問 を 調 査 問 題 と し て 実 施 し た 。 以 下 に そ の 問 題 を 示 す 。 【 問 題 １ 】 あ る 神 社 に は 長 い 階 段 が あ る 。 様 々 な 登 り 方 を し て み よ う と 思 い 、 い ろ い ろ な 方 法 を 考 え 階 段 を 上 っ て み る こ と に し た 。 ⅰ ） ３ 歩 上 っ た あ と ２ 歩 下 が る 、 こ れ を 繰 り 返 し て 階 段 を 上 っ て み る 事 に し た 。 ① 何 歩 目 で は じ め て ５ ０ 段 目 に 着 く か 。 ② ５ ０ 段 目 に い る と き の 歩 数 を 全 て 求 め よ 。 ⅱ ） 階 段 を １ 歩 上 が る → ２ 歩 上 が っ て １ 歩 下 が る → ３ 歩 上 が っ て ２ 歩 下 が る → ４ 歩 上 が っ て ３ 歩 下 が る → と 登 っ て い く 。 ① ５ ０ 段 目 に 初 め て 着 く の は 何 歩 目 か ② ４ ０ ０ 歩 目 の と き 何 段 目 に い る か

9 【 問 題 ２ 】 台 形 の 面 積 が 折 れ 線 に よ っ て 分 か れ て い る 。 ⅰ ） 左 右 の 面 積 を 変 え る こ と な く 、 折 れ 線 を 直 線 に 直 せ 。 ⅱ ）こ の 図 形 の 面 積 を ２ 等 分 す る よ う な 線 を 引 き な さ い 。（ Ｐ を 通 る こ と ） Ｐ 【 問 題 １ 】 で あ れ ば 問 題 文 を と 読 み 何 が 問 わ れ て い る か き ち ん と 把 握 す る 必 要 が あ る 。 既 習 の 知 識 を 用 い 、 そ れ ぞ れ の 状 況 設 定 の 中 で 、 数 量 の 関 係 を 見 い 出 し て 、 そ の 関 係 を 活 用 す る 力 を 求 め る 問 題 と し た 。 ま た 【 問 題 ２ 】 で は 既 習 の 三 角 形 の 求 積 方 法 を 基 に し て ， 台 形 の 面 積 の 求 め 方 を 発 展 的 に 考 え る 問 題 を 出 題 し た 。 こ の 問 題 で は ま ず 、 折 れ 線 を 直 線 に す る 方 法 を 解 答 さ せ た 。 さ ら に そ の 上 で ， 台 形 面 積 を 等 分 す る 求 積 方 法 を 考 え さ せ た 。 台 形 は ， 三 角 形 や 四 角 形 を 組 み 合 わ せ た 図 形 で あ る こ と か ら 、 こ の 問 題 で は 既 習 の 図 形 の 性 質 を 理 解 し て そ れ ら の 求 積 の ア イ デ ア を 発 展 さ せ る こ と を ね ら い と し た 。 ２ ． １ ． ３ 調 査 対 象 （ １ ） 本 調 査 で は よ り 多 様 な 思 考 の 過 程 が 見 や す い よ う 国 立 大 学 理 工 学 系 学 生（ Ａ ）と 教 育 学 系（ 文 系 ）（ Ｂ ）学 生 の ２ 名 に 被 験 者 と な っ て も ら っ た 。 両 者 と も 【 問 題 １ 】【 問 題 ２ 】 の 両 方 を 課 し た 。 （ ２ ） 思 考 の 過 程 を と ら え る の を 目 的 と す る た め 、 自 ら の 考 え を 言 語 化 ・ 顕

10 在 化 す る こ と の で き る 能 力 が あ る 大 学 生 を 被 験 者 と し た 。 本 来 な ら ば 小 中 学 生 を 対 象 と す べ き で あ る が 、 小 中 学 生 で は 思 考 を 顕 在 化 す る こ と が 難 し い と 判 断 し た た め に 本 調 査 で は 大 学 生 を 被 験 者 と し た 。 ２ ． １ ． ４ 調 査 の 実 施 過 程 調 査 は 被 験 者 と 調 査 者 の 面 談 形 式 で 行 う 。 被 験 者 に 調 査 者 が 紙 に 書 か れ た 問 題 を 提 示 し 、 被 験 者 が そ の 問 題 を 解 決 す る 。 問 題 解 決 の 際 に 使 用 し た メ モ や 計 算 用 紙 は 消 さ ず に 残 し て お い て も ら い 、 そ の 後 イ ン タ ビ ュ ー を 被 験 者 に 行 う 。 ま た イ ン タ ビ ュ ー で は 被 験 者 が 解 決 終 了 時 に 行 っ た 。 イ ン タ ビ ュ ー で は 被 験 者 が 解 決 時 に 使 用 し て い た メ モ 等 を 元 に 質 問 を 行 い 、 調 査 者 は こ れ ら の 資 料 を 元 に 被 験 者 の 解 決 過 程 を 被 験 者 自 身 の 言 葉 を 元 に 顕 在 化 を 狙 う 。 調 査 者 は こ れ ら を 元 に 何 が 「 工 夫 」 に つ な が る か を 明 ら か に す る こ と を 狙 い と す る 。 被 験 者 へ の イ ン タ ビ ュ ー は Ｉ Ｃ レ コ ー ダ ー に 記 録 す る 。

11 ２ ． ２ 被 験 者 の 解 決 過 程 ２ ． ２ ． １ 被 験 者 Ａ の 解 決 過 程 【 問 題 １ 】 (ⅰ )-­① 調 査 者 （ 以 下µ調 µ） と 被 験 者 Ａ （ 以 下 µ被 Ａ µの 会 話 で あ る ） 調 Ａ01:こ の 下 の 「 → 」 で 表 し て あ る 数 字 の 流 れ は 何 ？ 被 Ａ02:実 際 の 人 の 動 き を 数 字 で 表 し て み た も の で す 。 調 Ａ03:な ぜ こ の よ う な も の を 書 い た の ？ 被 Ａ04:文 字 だ け だ と わ か ら な か っ た か ら 、自 分 が 見 て 何 か 行 わ れ て い る か わ か り や す い よ う に 。<1> 調 Ａ05:ど う い う 風 な 書 き 方 で 書 い て あ る ん で す か ？ 被 Ａ06:上 か ら 【 試 行 の 回 数 最 初 の 位 置 → 一 番 上 の 段 数 → 一 番 下 の 段 数 】 に な る 。 調 Ａ07:こ れ か ら 何 を 導 い た の ？ 被 Ａ08:試 行 1 回 目 で １ 段 、２ 回 目 で ２ 段 に い る 。こ れ か ら ５ 歩 で １ 段 あ が っ て る っ て こ と が わ か っ た 。<2> 調 Ａ09:そ れ だ け ？ 被 Ａ10:あ と は ４ ７ 段 目 ま で 上 が れ ば 、あ と は ３ 段 上 が れ ば ５ ０ 段 目 に 到 達 す る か ら 、 ４ ７ 段 目 ま で の 歩 数 が 分 か れ ば 解 け る か な と<3>。 被 験 者 は ま ず 、 実 際 に 上 っ た 段 数 と 下 が っ た 段 数 を 図 の よ う に 書 き だ し た 。 ４ 段 目 の 動 き ま で 書 い た と こ ろ で 、 登 っ て い る 人 は 5 歩 で 1 段 ず つ 上 が っ て い く こ と に な る と 判 断 し た と み ら れ る 。（ 図 1）の 右 下 の 計 算 よ り ４ ７ 段 目 ま で の 歩 数 を 求 め 、 そ こ に ３ 歩 を 足 し 答 え を 導 い た 。 (ⅰ )-­② 図 1

12 調 Ａ11:こ れ は ど う や っ て 解 い た の ？ 被 Ａ12:ま ず は ① で 50 段 目 ま で の 歩 数 が 分 か っ た か ら そ こ を 基 準 に 解 い た 。<4>１ つ め の 答 え が ２ ３ ８ 歩 目 に な る か ら 、と り あ え ず ２ ３ ８ 歩 目 以 下 は 違 う な っ て 。 調 Ａ13:じ ゃ あ そ こ か ら １ 段 ず つ 考 え て い っ た の ？ 被 Ａ14:は い 。50 段 目 に 到 達 し た 後 、２ 歩 下 が っ て ４ ８ 段 目 、こ こ か ら ス タ ー ト す る と き 、 ま た ３ 歩 上 が る う ち の ２ 歩 目 で ５ ０ 段 目 に 着 く の で 、 こ れ が ２ つ 目 の 答 え 調 Ａ15:こ の 図 （ 図 ２ ） は そ れ を 表 し た も の な の ？ 被 Ａ16:そ う で す 。① と 同 じ よ う に 書 い た け ど 、間 で ５ ０ 段 目 に 着 く と こ ろ は ど こ か っ て 探 し な が ら 書 い た 。 調 Ａ17:最 終 的 に 答 え は ど う 出 し た の ？ 被 Ａ18:52 段 目 で 、 そ の 後 2 歩 下 が っ て 50 段 目 に つ く の で 、 246+2+2=250 と で き る 。 こ こ が 最 後 に な る か な 。 ま ず ① よ り 、 初 め て ５ ０ 段 目 に 到 達 す る の が ２ ３ ８ 歩 目 の と き で あ る 。 よ っ て １ つ め の 答 え は ２ ３ ８ 歩 で あ り 、 ま た こ の 歩 数 以 下 の 答 え は 考 え ら れ な い と 判 断 し た 。【 被 Ａ06】 ・ 次 は ４ ８ 段 目 に い る 場 合 を 考 え る と 、 ４ ７ 段 目 ス タ ー ト で 50 段 目 に 到 達 し た 後 、そ こ か ら ２ 歩 下 が っ た と き で あ る 。 ４ ８ 段 目 か ら ス タ ー ト す る 際 、 ま た ３ 歩 上 が る う ち の ２ 歩 目 で ５ ０ 段 目 に 着 く の で 、 こ こ が ２ つ 目 の 答 え と し た 。 ま た 、 こ の と き 238+2+2=242 と い う 式 が 立 つ の で 、 ２ ４ ２ 歩 目 だ と い う 答 え に 至 る 。 ・ 同 様 に ４ ８ 段 目 か ら ５ １ 段 目 ま で 登 っ た 時 、 下 が り 切 る と ４ ９ 段 目 ス タ ー ト と な る 。ま た 51 段 目 に か ら そ の 後 1 歩 下 が っ て 50 段 目 に つ く の で 、242+1+1=244 と い う 式 が 立 つ と し た 。 そ し て 49 段 目 か ら ス タ ー ト し た と き 、 そ の 後 1 歩 上 が っ て 50 段 目 に つ く の で 、 図 2

13 244+1+1=246 歩 目 だ と 言 え る 。 ・ さ ら に 上 が り き っ た 先 が 52 段 目 で 、そ の 後 2 歩 下 が っ て 50 段 目 に つ く の で 、246+2+2=250 と で き る 。 こ れ 以 上 は も う ５ ０ 段 目 以 降 の ス タ ー ト と な る の で 、「 ３ 歩 上 っ た あ と ２ 歩 下 が る 」 を 繰 り 返 し て も 、 明 ら か に 50 段 目 に は 来 な い と 判 断 し た 。よ っ て 答 え は 、238 歩 目 、242 歩 目 、244 歩 目 、 246 歩 目 、 250 歩 目 で あ る と 答 え を 導 い た 。 (ⅱ )-­① 調 Ａ19:図 が だ ん だ ん 複 雑 に な っ て き た け ど 、 何 に 注 目 し た の ？ 被 Ａ20:「 ｎ 歩 上 が っ て 」 の 歩 数 と 段 数 に 着 目 し て み る <5>と 少 し 導 き 方 が 見 え て く る の で は な い の だ ろ う か と 考 え た 。 そ れ で 実 際 に 図 に し て 書 い て み ま し た 。 調 Ａ21:図 を 説 明 し て み て く だ さ い 。 被 Ａ22:（ 図 ３ 下 部 ）線 の 上 は 人 の 動 き 方 、下 は い る 位 置 の 最 小 段 数 と 最 大 段 数 を 書 き ま し た 。 調 Ａ23:書 い て み て 何 か 手 掛 か り に な っ た ？ 被 Ａ24:何 か 式 で 表 せ る も の は な い か な っ て 探 し て み た ら 、例 え ば ２ 段 目 に い る と き は 最 大 ５ 、 ３ 段 目 に い る と き は ７ だ か ら 、 ｎ 段 目 は ２ ｎ ＋ １ に な る<6>こ と を 見 つ け た 。そ れ と 、歩 数 を 見 た ら 下 が り 終 わ っ た 歩 数 は 着 い た 段 数 の ２ 乗 に な っ て る 。 こ れ を 使 っ て 解 い て い き ま す 。 調 Ａ25:具 体 的 に は ど う や っ た の ？ 被 Ａ26:２ ｎ ＋ １ が ５ ０ を 超 え る と き の ｎ の 値 が 、５ ０ 段 目 を 超 え る た め の ス タ ー ト 位 置 に な る か ら 、こ れ に 数 を 当 て は め 考 え た<7>。答 え は ２ ５ 段 目 に な っ た の で 、 ２ ５ 段 目 に い る と き の 歩 数 は ２ ５ の ２ 乗 で ６ ２ ５ 歩 。 そ こ か ら ２ ５ 歩 上 に 上 が れ ば ５ ０ 段 目 で す 。

14 被 験 者 は 、「 ｎ 歩 上 が っ て 」の 歩 数 と 段 数 に 着 目 し て み る と 少 し 導 き 方 が 見 え て く る の で は な い の だ ろ う か と 推 測 し た 。【 被 Ａ10】 ま ず は 手 掛 か り が つ か め な い の で 、 実 際 に 各 段 数 に 歩 数 を 記 録 し て い っ た 。（ 図 ３ ） 記 録 し て い く う ち に 次 の こ と を 発 見 し た 。 ア ） ｎ 段 目 に い る 場 合 、 次 に 1 番 上 ま で 上 っ た 時 の 段 目 は 2ｎ ＋ 1 で あ る 。 イ ） 下 が り 終 わ っ た と き の 歩 数 は 段 数 の ２ 乗 に な っ て い る 。 こ の（ ア 、イ ）を 利 用 し て い く こ と で 、問 題 を 解 決 し よ う と し て い た 。 【 被 Ａ12】 ま ず ２ ｎ ＋ １ が ５ ０ を 超 え る と き の ｎ の 値 が 、 ５ ０ 段 目 を 超 え る た め の ス タ ー ト 位 置 で あ る と 被 験 者 は 考 え た 。 そ こ で （ ア ） を 利 用 し て ２ ｎ ＋ １ ≧ ５ ０ と 式 を 立 て 、 こ れ を 解 き ｎ ≧24.5 と し た 。ｎ は 整 数 な の で 、 初 め て ５ ０ 段 目 に 足 を 乗 せ る こ と が で き る の は ２ ５ 段 目 ス タ ー ト の と き で あ る と 導 き 出 し た 。 こ こ か ら （ イ ） を 利 用 し て 、 ２ ５ 段 目 に い る と き の 歩 数 は ２ ５ の ２ 乗 で ６ ２ ５ 歩 、 そ こ か ら ２ ５ 歩 上 に 上 が れ ば い い わ け だ か ら 、 ６ ２ ５ ＋ ２ ５ と 式 を 立 て た 。 こ れ よ り 、 答 え は ６ ５ ０ 歩 に な る と 答 え を 導 き 出 し た 。 (ⅱ )-­② 図 3

15 調 Ａ27:② に 関 し て は ど う で す か ？ 被 Ａ28:こ れ は ２ 乗 の 関 係 か ら <8>、 ２ ０ 段 目 と す ぐ に 答 え が 出 た 。 イ ） を 見 る と 、 ４ ０ ０ は ２ ０ ２ ０ な の で 、 ２ ０ 段 目 と す ぐ に 答 え に 至 っ た 。 【 問 題 ２ 】 (ⅰ ) 被 Ａ29:こ れ は 図 形 の 問 題 で す が 、 ど の よ う に 解 き ま し た か ？ 被 Ａ30:折 れ 線 を ど の よ う に 面 積 を 変 え ず に 変 化 さ せ る か を 考 え た と き 、 三 角 形 の 底 辺 と 高 さ の 関 係 を 思 い 出 し ま し た 。 底 辺 と 高 さ の 値 が 同 じ な ら 、 形 を 変 え て も 面 積 は か わ ら な い<9>と 思 い ま し た 。 調 Ａ31:そ れ か ら ど う し ま し た か ？ 被 Ａ32:（ 図 ４ を 見 な が ら ）ま ず 折 れ 線 の 中 に △ Ｐ Ｔ Ｑ を 作 り 、Ｔ を 移 動 さ せ て △ Ｐ Ｒ Ｑ と し ま し た 。 調 Ａ33:確 か に 底 辺 と 高 さ は 同 じ で す ね 。 被 Ａ34:（ 図 ５ を 見 な が ら ） 同 様 に △ WPR も 同 様 に し て 、 線 分 WR と 平 行 な 線 PU を 引 く 。 △ WPR と △ WUR が で き る の で 、 あ と は Ｕ と Ｗ を 結 べ ば で き る と 思 う 。 ま ず は こ の 折 れ 線 を ど の よ う に し て 直 線 に す る か 考 え る と き 、 被 験 者 は 折 れ 線 の 中 に △RTQ を 作 り 、△ PTQ の 面 積 そ の ま ま に 折 れ 線 P-­T-­R を 直 線 に す る こ と が で き な い か と 考 え た よ う だ 。【 被 Ａ15】線 分 PQ と 平 行 な 線 SR を 作 図 し 、 △ PRQ を 作 図 し た 。 △ PTQ と △ PRQ は 高 さ も 底 辺 の 長 さ も 等 し い の で 、 こ の 二 つ の 三 角 形 の 面 積 は 等 し い と 言 え 図 4 （ 手 書 き の 図 を 再 現 ） 図 5 （ 手 書 き の 図 を 再 現 ）

16 る と し た 。 次 は △WPR も 同 様 に し て 、線 分 WR と 平 行 な 線 PU を 引 く 。【 被 Ａ17】 線 分 WR を 底 辺 と し て 考 え る と 、△ WPR と △ WUR は 高 さ も 底 辺 の 長 さ も 等 し い の で 、 こ の 二 つ の 三 角 形 の 面 積 は 等 し い と 言 え る 。 よ っ て 折 れ 線 W-­P-­R を 線 分 WU に 変 更 し て も 土 地 の 面 積 は 変 わ ら な い 。従 っ て 解 答 者 は こ の 線 分 Ｗ Ｕ が 求 め る 直 線 の で あ る と し た 。 (ⅱ ) 調 Ａ35:こ れ は ど の よ う に 行 い ま し た か ？ 被 Ａ36:最 初 は ど の よ う に し て い い の か わ か ら な か っ た の で 、様 々 な 補 助 線 を 引 い て み た<10>。引 い て 行 く う ち に 、 ① と 同 じ く 四 角 を 三 角 形 に 変 え て し ま え ば い い ん じ ゃ な い か と 思 っ た 。 調 Ａ37:で は そ れ は ど う い っ た 解 き 方 で す か ？ 被 Ａ38:点 P を 頂 点 と す る 三 角 形 に 変 え 、そ の 底 辺 の 中 点 と 点 P を 結 ぶ こ と を 思 い つ い た 。（ 図 ６ ） △ABP を １ つ の 図 形 と み て 等 積 変 形 を 行 い 、△PEB を 作 り 出 し た 。△ DCP に つ い て も 同 じ く 等 積 変 形 を 行 い 、四 角 形 ABCD を △ PEF に 面 積 を そ の ま ま で 変 化 さ せ た <11>。 PQ が 四 角 形 ABCD の 面 積 を ２ 等 分 す る 線 だ と 結 論 づ け た 。 被 験 者 ① は 、 こ の ま ま で は 足 が か り が な い と し て 様 々 な 補 助 線 を 引 い て み た 。 ２ 等 分 す る 線 を 作 図 す る と き の 出 発 点 で あ る P か ら 図 形 下 部 の 点 B・C に そ れ ぞ れ 補 助 線 を 引 い て み た 際 、「 例 題 １ の よ う に 面 積 を 変 え ず に 図 形 の 形 を わ か り や す い よ う に 変 え た ら ど う か 」 と い う 観 点 を 持 ち 、 今 度 は こ の 四 角 形 自 体 を 点 P を 頂 点 と す る 三 角 形 に 変 え 、 そ の 底 辺 の 中 点 と 点 P を 結 ぶ こ と を 思 い つ い た 。【 被 Ａ 18】 図 6

17 △ABP を １ つ の 図 形 と み て 等 積 変 形 を 行 い 、△ PEB を 作 り 出 し た 。△ DCP に つ い て も 同 じ く 等 積 変 形 を 行 い 、 四 角 形 ABCD を △ PEF に 面 積 を そ の ま ま で 変 化 さ せ た 。 三 角 形 は 高 さ が 同 じ な ら ば 底 辺 の 長 さ に よ っ て 面 積 が 決 定 さ れ る の で 、 点 P と 底 辺 EF の 中 点 で あ る 点 Q を 結 び △ PEQ の 面 積 と △ PFQ を 等 し く さ せ た 。△PEQ と △ PFQ は そ れ ぞ れ 四 角 形 PABQ、四 角 形 PDCQ と 面 積 が 等 し い は ず な の で 、解 答 者 は PQ が 四 角 形 ABCD の 面 積 を ２ 等 分 す る 線 だ と 結 論 づ け た 。 ２ ． ２ ． ２ 被 験 者 Ｂ の 解 決 過 程 【 問 題 １ 】 (ⅰ )-­① 調 Ｂ01:こ の 問 題 は ど の よ う に 考 え ま し た か ？ 被 Ｂ02:と り あ え ず 最 初 ３ 段 目 ま で 上 が っ て 、そ こ か ら ス タ ー ト と 考 え ま し た 。 ２ 歩 下 が っ て ３ 歩 上 が る と い う 感 じ で す 。 つ ま り 、 ３ 上 が っ た ら 次 は ５ 歩 で １ 上 が る と い う 流 れ で 。 調 Ｂ03： ふ む 。 被 Ｂ04:だ か ら 、４ ７ 段 を ５ 歩 か け て 上 が っ て 、最 初 の ３ 段 の 歩 数 を 足 せ ば 出 る の で は な い か と 。あ 、図 は 適 当 に 書 い て み た ん で す が 、 本 当 に ５ 歩 で １ 段 あ が っ て る か な っ て 。 被 験 者 は 、 ま ず 最 初 に ３ 歩 上 っ た 時 点 を ス タ ー ト と し 、 そ こ か ら 考 え 始 め た そ の 後 は ２ 降 り て ３ 歩 上 が る こ と を １ セ ッ ト と し て と ら え 、 ５ 歩 ご と に 到 着 段 数 が １ 増 え る と 見 た 。【 被 Ｂ02】 よ っ て(50-­3) 5+3 = 238 ２ ３ ８ 歩 図 7

18 調 Ｂ05:こ れ は ど う で し た ？ 被 Ｂ06:こ れ も ま ず は ス タ ー ト は ど う な る ん だ ろ う と い う と こ ろ か ら 攻 め ま し た 。今 初 め て ５ ０ 段 目 に い る と す る と 、さ っ き の 問 題(ⅰ -­② )の と お り に 考 え て 、２ ３ ８ 歩 目 で 、３ 歩 進 ん で い る 状 態 の と こ ろ で 待 っ て る よ っ て こ と に な り ま す 。 そ こ か ら 考 え て い け ば い い の か な 。 調 Ｂ07:こ の 図 （ 図 ８ ） は 何 で す か ？ 被 Ｂ08:た だ 歩 い た 道 筋 を 書 い て い っ た だ け で す 。５ ０ 段 目 か ら ２ 歩 下 に 降 り る と こ ろ か ら 始 ま っ て 、 次 ３ 歩 上 が る と い う 風 に 。 ５ ０ 段 目 か ら ３ 段 上 が っ た と こ ろ で 終 了 で す ね 。 も う あ と は ２ 下 が る し か で き な い し 。 (ⅰ )-­② 問 題 の と お り 、 ５ ０ 段 目 に い る 瞬 間 を 書 き 連 ね て い っ た 。（ 被 Ｂ08） ５ ０ 段 目 に 着 い た 直 後 、2 歩 下 が っ て 48 段 目 。 そ の 後 2 歩 上 が れ ば 図 8

19 50 段 目 に つ く の で 、 238+2+2=242 さ ら に 1 歩 上 が っ て 51 段 目 (本 当 は 50 段 ま で し か な い の で す が )に つ き 、 そ の 後 1 歩 下 が っ て 50 段 目 に つ く の で 、 242+1+1=244 さ ら に 1 歩 上 が っ て 49 段 目 に つ き 、そ の 後 1 歩 上 が っ て 50 段 目 に つ く の で 、244+1+1=246 さ ら に 2 歩 上 が っ て 52 段 目 に つ き 、そ の 後 2 歩 下 が っ て 50 段 目 に つ く の で 、246+2+2=250 こ れ 以 上 い く ら 「 ３ 歩 上 っ た あ と ２ 歩 下 が る 」 を 繰 り 返 し て も 、 明 ら か に 50 段 目 に は 来 な い と 判 断 し た よ う だ 。（ 被 Ｂ 08） よ っ て 答 え は 、238 歩 目 、242 歩 目 、244 歩 目 、246 歩 目 、250 歩 目 と 出 し た 。 (ⅱ )-­① 調 Ｂ09:こ れ （ 図 ９ ） は 階 段 で す か ？ 被 Ｂ10:は い 。ま ず は ど う 上 が っ て い る か わ か り や す く す る た め 、階 段 を 書 い て ど れ だ け 上 が っ て ど れ だ け 下 が る か 書 い て み ま し た 。 調 Ｂ11:右 の 方 に 書 い て あ る の は 何 で す か ？ 被 Ｂ12:日 付 み た い な の は 、「 何 歩 上 が っ て 何 歩 下 が る か 」 で 、 そ の 隣 が 、 一 番 上 の 段 数 と 一 番 下 の と き の 段 数 で す 。 で 、 線 の 横 が 歩 数 と 。 調 Ｂ13:こ こ か ら わ か っ た こ と は な ん で す か ？ 被 Ｂ14: １ 段 目 に い る と き の 上 る 最 大 値 は ３ 、 ２ 段 目 に い る と き な ら 次 の 最 大 値 は ５ だ か ら 、Ｘ 段 目 に い る 場 合 、次 の 最 大 値 は 段 目 は 2 Ｘ ＋1 と お け る ん じ ゃ な い か な 。 で 、 歩 数 は も う 回 数 の 二 乗 で す ぐ で る と 思 う 。 調 Ｂ15:問 題 は ど う 考 え て 解 い た の ？ 被 Ｂ16:要 す る に ５ ０ を 超 え れ ば 良 い ん だ か ら 、２ Ｘ ＋ １ ＝ ５ ０ を 考 え る 。 ２ ４ ． ５ は 小 数 な ん で 、 実 際 は ２ Ｘ ＋ １ ≧ ５ ０ か な ？ で 、 ２ ５ 段 目 が 答 え だ か ら 、 ２ ５ 段 目 の 歩 数 と 上 に 上 が る た め の ２ ５ 歩 を 足 せ ば 多 分 答 え で す 。

20 １ 回 目 １ 段 上 ／ ０ 段 下 ・ 最 大 段 数 １ ／ 最 小 段 数 ０ 歩 数 １ ２ 回 目 ２ 段 上 ／ １ 段 下 ・ 最 大 段 数 ３ ／ 最 小 段 数 ２ 歩 数 ４ ３ 回 目 ３ 段 上 ／ ２ 段 下 ・ 最 大 段 数 ５ ／ 最 小 段 数 ３ 歩 数 ９ こ れ か ら 上 ろ う と す る 時 Ｘ 段 目 に い る 時 次 1 番 上 ま で 上 っ た 時 の 段 目 は 2Ｘ ＋ 1 で あ る と み た 。 よ っ て 2Ｘ ＋ 1＝ 50 の 時 Ｘ ＝ 24.5 こ れ は 整 数 で は な い の で こ れ よ り 大 き く て 24.5 に 1 番 近 い 数 は 25 で あ る 。 （ ２ Ｘ ＋ １ ≧ ５ ０ Ｘ ≧ ２ ４ ． ５ ）（ 被 Ｂ16） よ っ て Ｘ ＝25 の 時 、 次 上 れ ば 50 段 目 に い け る と 見 た よ う だ 。 よ っ て ２ ５ の 二 乗 は ６ ２ ５ な の で 、 ６ ２ ５ ＋ ２ ５ ＝ ６ ５ ０ ６ ５ ０ 歩 (ⅱ )-­② こ れ は 先 ほ ど の 問 題 解 決 時 に 、 回 数 二 乗 ＝ 歩 数 と い う 事 を 導 い て い た の で 、２ ０ の 二 乗 が ４ ０ ０ と な り 、２ ０ 段 目 と 答 え を 出 し て い た 。(被 Ｂ14) 【 問 題 ２ 】 (ⅰ )-­① 図 9

21 被 B17::折 れ 線 の 問 題 で す が 、 ど の よ う に 考 え た ？ 被 B18:折 れ 線 を 三 角 形 に し て 考 え ま し た 。 調 Ａ19:そ れ は ど の よ う な 考 え 方 で す か ？ 被 B20:ま ず 折 れ 線 の 中 に 平 行 線 を 書 い て い っ て 、出 っ 張 り を 無 く し ま し た 。 三 角 形 の 高 さ の 移 動 み た い な 感 じ で す 。 う ま い 具 合 に 一 本 線 に な る よ う に し ま し た 。 調 B21: 根 拠 と か は あ り ま す か 。 被 B22:底 辺 が 同 じ だ か ら 高 さ が 変 わ ら な け れ ば 面 積 は 等 し い と 思 う 。 だ か ら こ れ で 正 解 じ ゃ な い か な 。 被 験 者 Ｂ も 被 験 者 Ａ と 同 じ く 等 積 変 形 を 使 い 解 い て い っ た 。(被 B20) （ 描 い て い た 図 も ほ ぼ 同 じ だ っ た た め 図 ４ ・ ５ を 参 照 ） 折 れ 線 の 中 に 平 行 線 を 書 き 、 中 の 三 角 形 を 移 動 さ せ て い っ た 。

22 ２ ． ３ 問 題 解 決 過 程 の 分 析 今 回 の 調 査 で は 、 言 葉 や 式 を 読 み 取 り な が ら イ メ ー ジ を 作 り 、 筋 道 を 立 て て 考 え て い く こ と を 要 求 し た 問 題 と な っ た よ う だ 。 こ の た め 、 解 き 方 の パ タ ー ン を 習 得 し 、 再 生 す る よ う な 問 題 解 決 の 方 法 に 慣 れ て い て は 、 難 し く 感 じ ら れ た で あ ろ う 。 被 験 者 Ａ ・ Ｂ と も 、 何 ら か の 既 習 の 解 き 方 に 当 て は め よ う と す る の で は な く 、 ま ず は 様 々 な 手 掛 か り と な る も の を 模 索 し て い た 。 被 験 者 の 解 決 過 程 を 分 析 し て い く と 、 問 題 解 決 時 の 思 考 過 程 と し て 次 の ４ つ が 挙 げ ら れ る 。 ① デ ー タ を 集 め る 。 ② デ ー タ 間 に 共 通 の ， き ま り や 性 質 を 見 付 け る 。 ③ 見 付 け た き ま り は ，そ の デ ー タ を 含 む 集 合 で 成 り 立 つ で あ ろ う と 推 測 す る 。 ④ そ の ル ー ル を 使 っ て 問 題 を 解 く 。 今 回 の 調 査 を 見 る と 、 解 決 者 は 何 か し ら の 「 工 夫 」 を こ れ ら の 思 考 の 過 程 の な か で 行 っ て い る と 推 測 さ れ る 。 今 回 の 調 査 を 見 る と 、 具 体 的 な 例 を あ げ る と す る と 例 え ば 解 決 者 Ａ は ＜ １ ＞ ∼ ＜ １ １ ＞ よ う な 「 工 夫 」 を 思 考 の 過 程 の な か で 行 っ て い る と 推 測 さ れ る 。 そ し て そ の 工 夫 は 思 考 過 程 に 照 ら し て 合 わ せ て み る と 次 の よ う に ま と め ら れ る 。 ① ＜ １ ＞ ＜ ４ ＞ ＜ ５ ＞ ＜ １ ０ ＞ ② ＜ ２ ＞ ＜ ６ ＞ ＜ ９ ＞ ③ ④ ＜ ３ ＞ ＜ ７ ＞ ＜ ８ ＞ ＜ １ １ ＞ 【 問 題 １ 】 で は 、 解 決 の 仕 方 が 見 付 か ら な い と き に ， ま ず ， 一 般 的 ル ー ル や 性 質 を 見 い だ し ， そ れ を 用 い て 問 題 を 解 決 し て い た 。 試 行 錯 誤

23 的 に 歩 数 や 立 ち 位 置 の 変 化 を 求 め て 、 実 際 に 階 段 の 昇 り 方 や 降 り 方 を 図 に 表 し て 考 え る こ と で 、 そ こ で 行 わ れ て い る 行 為 の 決 ま り や パ タ ー ン を 探 し て い た 。 こ こ で は 次 の よ う な 道 筋 で 考 え る こ と が 多 く 見 ら れ た 。 ま た 【 問 題 ２ 】 で は 、 あ る 事 柄 Ｘ に つ い て ， そ の 性 質 又 は 法 則 を 考 え る 際 ，Ｘ と よ く 似 て い る 、ま た は 考 え 方 が 同 じ 既 知 の Ｘ ´を 思 い 出 し ， A に つ い て も P´と 同 様 な 性 質 又 は 法 則 P が 成 り 立 つ の で は な い か と い う よ う に 思 考 を 進 め て い く 考 え 方 で あ る 。 こ の 考 え 方 は 問 題 Ｂ で 見 ら れ た 。 三 角 形 の 等 積 変 形 と い う 既 知 の 知 識 を 利 用 し て 問 題 を 解 決 し て い る こ と が 読 み 取 れ る 。

24 ２ ． ４ 調 査 の 考 察 と リ サ ー チ ク エ ス チ ョ ン の 導 出 今 ま で の 自 分 の 知 識 で 解 け な い 場 合 、 問 題 の 中 に あ る 情 報 や 既 知 の 知 識 を 用 い て 新 た な パ タ ー ン を 考 え だ す 。 そ れ を 使 っ て 問 題 に ア プ ロ ー チ し て い く と い う 姿 が 多 く み ら れ た 。 い ず れ の 考 え 方 も 、 最 小 限 の エ ネ ル ギ ー で 最 大 限 の 効 率 を 引 き 出 そ う と し て い る 。 最 小 限 の エ ネ ル ギ ー と は 時 間 や 計 算 に か か る 労 力 な ど の こ と で あ る 。 そ し て 得 よ う と す る の は 効 果 で は な く 効 率 で あ る 。 効 率 と は 最 小 限 の 入 力 で 最 大 限 の 出 力 を 得 る こ と と 考 え ら れ る 。 当 面 す る 問 題 を 解 決 し よ う と す る 場 合 に 、 な る べ く 効 率 の よ い 問 題 解 決 の 全 般 的 な 手 順 や 解 法 発 見 を 導 き 出 す こ と が 「 工 夫 」 と 考 え ら れ る の で は な い か 。 今 回 の 調 査 、 分 析 か ら 、 次 の よ う な 疑 問 が 浮 か び 上 が っ て き た 。 ○ 児 童 が 問 題 の 中 の 情 報 を 分 析 し て 新 た な パ タ ー ン を 作 り 上 げ る 中 で 、 子 ど も た ち は 問 題 の 何 に 注 目 さ せ る べ き な の か 。 ○ 子 ど も た ち が 問 題 を 工 夫 し て 解 い て い る 際 に 、 教 師 は ど の よ う な 支 援 が 必 要 な の か 。 ○ 工 夫 を 導 く 際 、 何 が 大 切 に な る の か 。 「 工 夫 す る こ と 」 を 今 後 考 え て い く 際 こ れ ら の こ と を リ サ ー チ ク エ ス チ ョ ン と し て 置 き 、 考 察 し 明 ら か に し て い く 必 要 が あ る 。

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第 ２ 章 要 約

本 章 で は ， ま ず 筆 者 が 行 っ た 事 前 調 査 の 説 明 を す る 。 本 調 査 の 目 的 は 算 数 の 問 題 解 決 過 程 を 観 察 す る こ と に よ り 、 解 決 時 に 解 決 者 は ど の よ う な 思 考 を も っ て 問 題 を 解 い て い る の か 明 ら か に す る こ と で あ る 。 調 査 問 題 を 被 験 者 が 解 く 際 の 過 程 を 分 析 ・ 考 察 す る こ と に よ り 、 リ サ ー チ ク エ ス チ ョ ン を 導 出 し た 。 今 回 導 出 さ れ た リ サ ー チ ク エ ス チ ョ ン と し て 、 ○ 児 童 が 問 題 の 中 の 情 報 を 分 析 し て 新 た な パ タ ー ン を 作 り 上 げ る 中 で 、 子 ど も た ち は 問 題 の 何 に 注 目 し て い る の か 。 ○ 子 ど も た ち が 問 題 を 工 夫 し て 解 い て い る 際 に 、 教 師 は ど の よ う な 支 援 が 必 要 な の か 。 ○ 工 夫 を 導 く 際 、 何 が 大 切 に な る の か の ３ つ が 挙 げ ら れ る 。 こ れ ら の リ サ ー チ ク エ ス チ ョ ン を 解 決 し 、 考 察 か ら 得 ら れ た 問 題 解 決 過 程 に 対 す る 分 析 に 基 づ い て ， 工 夫 を 捉 え て い く 。

26 研 究 の 流 れ 事 前 調 査 研 究 課 題 の 導 出 と 工 夫 の 仮 定 義 各 研 究 課 題 の 考 察 【 研 究 課 題 １ 】 工 夫 を 導 く 際 何 が 大 切 か 【 研 究 課 題 ２ 】 教 師 の 支 援 と し て 必 要 な も の は 何 か 【 研 究 課 題 ３ 】 問 題 解 決 時 ど ん な こ と に 注 目 さ せ る か 「 工 夫 」 の 定 義 ど の よ う に「 工 夫 」を 授 業 に 生 か す か

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第 ３ 章

３ ． １ ポ リ ア の 発 見 法 ３ ． １ .１ 発 見 法 と ス ト ラ テ ジ ー ３ ． １ .２ 問 題 解 決 方 法 に お け る 先 行 研 究 ３ ． １ .３ 工 夫 と の 関 連 ３ ． １ .４ 問 題 解 決 時 に お け る ス ト ラ テ ジ ー ３ ． ２ 工 夫 と ス ト ラ テ ジ ー ３ ． ２ .１ 工 夫 や ス ト ラ テ ジ ー の 指 導 ３ ． ２ .２ 発 見 学 習 と 有 意 味 受 容 学 習 ３ ． ２ .３ 問 題 解 決 能 力 と ス ト ラ テ ジ ー ３ ． ３ 工 夫 の 利 用 と 問 題 解 決 ３ ． ３ .１ 問 題 解 決 ３ ． ３ .２ 工 夫 の 分 析 的 働 き ３ ． ３ .３ 問 題 文 の 理 解 ３ ． １ で は 、 ス ト ラ テ ジ ー 研 究 を 基 に 問 題 解 決 時 に ど の よ う な 工 夫 が 行 わ れ て い る か 、 子 ど も が 問 題 の 何 に 注 目 し て い る の か を 考 察 す る 。 ３ ． ２ で も 、 ス ト ラ テ ジ ー の 先 行 研 究 を 基 に 進 め て い く 。 こ の 章 で は 授 業 で 「 工 夫 」 を 導 き た い 場 合 ど の よ う な 指 導 が 有 効 か 考 察 し て い く 。 ３ ．３ で は 、問 題 解 決 の 際 に「 工 夫 」を 利 用 す る 場 合 ど の よ う な 注 意 が 必 要 か 考 え る 。 ま た そ の 際 の 教 員 や 子 ど も の 注 意 点 も 考 察 し て い く 。

28 ３ ． 先 行 研 究 の 検 討 ３ ． １ ポ リ ア の 発 見 法 ３ ． １ ． １ 発 見 法 と ス ト ラ テ ジ ー ポ リ ア は 『 い か に し て 問 題 を と く か 』 に 以 下 の リ ス ト を 記 載 し て い る 。 第 １ に 問 題 を 理 解 し な け れ ば な ら な い 問 題 を 理 解 す る こ と ◇ 未 知 の も の は な に か 。与 え ら れ て い る も の（ デ ー タ ）は 何 か 。 条 件 は 何 か ◇ 条 件 を 満 足 さ せ う る か 。条 件 は 未 知 の も の を 定 め る の に 十 分 で あ る か 。又 は 不 十 分 で あ る か 。 又 は 余 剰 で あ る か 。 又 は 矛 盾 し て い る か 。 ◇ 図 を か け 。適 当 な 記 号 を 導 入 せ よ 。 ◇ 条 件 の 各 部 を 分 離 せ よ 。 そ れ を か き 表 す こ と が で き る か 。 第 ２ に デ ー タ と 未 知 の も の と の 関 連 を 見 つ け な け れ ば な ら な い 。 関 連 が す ぐ に わ か ら な け れ ば 補 助 問 題 を 考 え な け れ ば な ら な い

29 そ う し て 解 答 の 計 画 を た て な け れ ば な ら な い 。 ◇ 似 た 問 題 で ，す で に と い た こ と の あ る 問 題 が こ こ に あ る 。 そ れ を つ か う こ と が で き な い か 。 そ の 結 果 を つ か う こ と が で き な い か 。 そ の 方 法 を つ か う こ と が で き な い か 。 そ れ を 利 用 す る た め に は ， 何 か 補 助 要 素 を 導 入 す べ き で は な い か 。 ◇ 問 題 を い い か え る こ と が で き る か 。 そ れ を ち が っ た い い 方 を す る こ と が で き な い か 。 定 義 に か え れ 。 ◇ も し も 与 え ら れ た 問 題 が と け な か っ た な ら ば ， 何 か こ れ と 関 連 し た 問 題 を と こ う と せ よ 。 も っ と や さ し く て こ れ と 似 た 問 題 は 考 え ら れ な い か 。 も っ と 一 般 的 な 問 題 は ？ も っ と 特 殊 な 問 題 は ？ 類 推 的 な 問 題 は ？ 問 題 の 一 部 分 を と く こ と が で き る か 。 条 件 の 一 部 を の こ し ， 他 を す て よ 。 そ う す れ ば ど の 程 度 ま で 未 知 の も の が 定 ま り ， ど の 範 囲 で 変 わ り う る か 。 デ ー タ を や く だ て う る か 。

30 未 知 の も の を 定 め る の に 適 当 な 他 の デ ー タ を 考 え る こ と が で き る か 。 未 知 の も の 若 し く は デ ー タ ， あ る い は 必 要 な ら ば ， そ の 両 方 を 変 え る こ と が で き る か そ う し て 新 し い 未 知 の も の と ， 新 し い デ ー タ と が ， も っ と 互 い に 近 く な る よ う に で き な い か 。 ◇ デ ー タ を す べ て つ か っ た か 。 条 件 を す べ て つ か っ た か 。 問 題 に 含 ま れ る 本 質 的 な 槻 念 は す べ て 考 慮 し た か 。 第 ３ に 計 画 を 実 行 せ よ 。 計 画 を 実 行 す る こ と ◇ 解 答 の 計 画 を 実 行 す る と き に ， 各 段 階 を 検 討 せ よ 。 そ の 段 階 が 正 し い こ と を は っ き り と み と め ら れ る か 。 第 ４ に え ら れ た 答 を 検 討 せ よ 。 ふ り 返 っ て み る こ と ◇ 結 果 を た め す こ と が で き る か 。 議 論 を た め す こ と が で き る か ◇ 結 果 を ち が っ た 仕 方 で み ち び く こ と が で き る か 。 そ れ を 一 目 の う ち に 捉 え る こ と が で き る か 。 ◇ 他 に 問 題 に そ の 結 果 や 方 法 を 応 用 す る こ と が で き る か 。 ポ リ ア 自 身 は は こ れ を 、「 数 学 的 な 考 え 方 」 と も 、「 ス ト ラ テ ジ ー 」 と も 呼 ん で お ら ず 、 後 の 人 々 が こ の ポ リ ア の 考 え を 「 ポ リ ア の

31 strategies」 な ど と 言 う よ う に な っ た 。 算 数 ・ 数 学 教 育 に お け る 問 題 解 決 ス ト ラ テ ジ ー を 大 須 賀 康 宏 ・ 石 田 淳 一 氏 は 、 「 当 面 す る 問 題 を 解 決 し よ う と す る 場 合 に 、 助 け と な る 問 題 解 決 の 全 般 的 な 手 順 や 解 法 発 見 の 手 が か り を 与 え る 方 法 」 と 捉 え て い る 。 問 題 を 解 く こ と が で き な い の は 、其 の 問 題 を 解 く 方 法 を 見 つ け る た め の 前 段 階 と し て の 「 足 が か り 」 が 掴 め な い た め で あ り 、 そ の 方 法 を 見 つ け る た め の ヒ ン ト が 問 題 解 決 ス ト ラ テ ジ ー 、 と い う こ と で あ る 。 ① デ ー タ を 集 め る 。 ② デ ー タ 間 に 共 通 の ， き ま り や 性 質 を 見 付 け る 。 ③ 見 付 け た き ま り は ，そ の デ ー タ を 含 む 集 合 で 成 り 立 つ で あ ろ う と 推 測 す る 。 ④ そ の ル ー ル を 使 っ て 問 題 を 解 く 。 筆 者 が 調 査 問 題 か ら 導 出 し た 、 問 題 解 決 時 の 思 考 の 流 れ で あ る 。 こ れ を ポ リ ア の リ ス ト に 当 て は め て 考 え て み る と 問 題 を 理 解 す る こ と ① ② 計 画 を 立 て る こ と ③ 計 画 を 実 行 す る こ と ④ （ 振 り 返 っ て み る こ と ） と 考 え る こ と が で き る 。 ３ ． １ ． ２ 問 題 解 決 方 法 に お け る 先 行 研 究 横 山 氏 は 、 問 題 解 決 ス ト ラ テ ジ ー を 「 解 法 の 中 で 主 要 に 用 い ら れ る 考 え 方 や 解 決 の 方 法 」 と 定 義 し て い る 。 シ ェ ー ン フ ェ ル ド は 、「 も し 、 あ る や り 方 が ２ 度 目 も う ま く で き 、 そ の や り 方 を う ま く 使 っ た こ と を 思 い 出 し て 、 別 の 似 た 問 題 そ れ を 使 っ て み よ う と 考 え た と き に 、 そ の や り 方(method)は 方 略 に な る 」 と 述 べ て い る 。 彼 ら を は じ め と す る 多 く が 、 問 題 解 決 ス ト ラ テ ジ ー を 定 義 し て い る が 、本 稿 で は 、「 手 が か り を 掴 む た め 」の 問 題 解 決 ス ト ラ テ ジ ー の 役 割 も 重 視 し 、「 当 面 す る 問 題 を 解 決 し よ う と す る 場 合 に 、助 け と な る 問 題 解 決 の 全 般 的 な 手 順 や 解 法 発 見 の 手 が か り を 与 え る 方 法 」 と 定 義 す る

32 こ と に す る 。 様 々 な 研 究 者 が ス ト ラ テ ジ ー と し て 挙 げ る 内 容 は 多 岐 に わ た り 、 統 一 さ れ て い な い 。 数 も 相 当 な も の に な る 。 例 え ば 上 野 （1986） に よ る と 、 古 く か ら 問 題 解 決 ス ト ラ テ ジ ー 指 導 を 実 践 的 に 研 究 し て い る 愛 知 県 幸 田 小 学 校 で は 、Lenchner の 文 献 に あ る １ ２ 個 の ス ト ラ テ ジ ー か ら 、 ７ つ の ス ト ラ テ ジ ー を 選 択 し 発 達 段 階 を 考 慮 し な が ら 指 導 し て い る 。 Lenchnerに お け る ス ト ラ テ ジ ー ① 整 理 さ れ た リ ス ト を 作 る ② 絵 や 図 を か く ③ パ タ ー ン を 見 つ け る ④ 表 を 作 る ⑤ 簡 単 な 場 合 か ら 考 え る ⑥ 試 行 し 検 討 す る ⑦ 実 演 （ 劇 化 ） す る ⑧ 実 験 す る ⑨ 逆 向 き に 考 え る ⑩ 方 程 式 を 作 る ⑪ 観 点 を 変 え る ⑫ 演 繹 的 に 考 え る 幸 田 小 学 校 の ７ つ の ス ト ラ テ ジ ー ① 試 行 し 、 検 討 す る ② 絵 や 図 を か く ③ パ タ ー ン を 見 つ け る ④ 表 を 作 る ⑤ 整 理 さ れ た リ ス ト を 作 る ⑥ 簡 単 な 場 合 か ら 考 え る ⑦ 逆 向 き に 考 え る 布 川 氏 は 、問 題 解 決 ス ト ラ テ ジ ー を 、「 解 法 的 ス ト ラ テ ジ ー 」と「 分 析 的 ス ト ラ テ ジ ー 」 の 二 つ の 型 と し て と ら え て い る 。 解 法 的 ス ト ラ テ ジ ー を「 解 法 に お け る 主 要 な 考 え 方 」と し 、分 析 的 ス ト ラ テ ジ ー を「 困 難 な 状 況 解 消 の た め の 手 だ て 」 と と ら え て い る 。 ま た 、 布 川 氏 以 外 に も 多 く が 、 「 問 題 を 解 決 す る 際 の 計 画 や 手 順 に 関 す る も の 」 と 「 そ れ ら の 計 画 や 手 順 を 実 行 す る と き の 具 体 的 な 方 法 に 関 す る も の 」 と い っ た 二 つ の タ イ プ に 分 類 し て い る。

33 ３ ． １ ． ３ 工 夫 と の 関 連 小 林 氏 ら は 、 以 下 の よ う に 捉 え て い る 。 「 「 数 学 の 考 え 方 」 と は 、 数 学 を 生 成 ・ 発 展 さ せ て い く 過 程 に あ ら わ れ る 考 え 方 で あ り 、そ の 過 程 を 、(1)数 学 の 問 題 を 開 発 す る 、(2)そ れ を 解 決 す る 、(3)知 識 を 体 系 化 す る こ と の ３ つ の 場 面 と し て と ら え ら れ る 。 一 方 、 「 問 題 解 決 の 方 略 」 と は 、 問 題 を 解 決 す る 際 の 構 想 、 着 想 、 方 策 （ 手 立 て ） と い っ た も の の こ と を い う 」 と と ら え る と 、 両 者 は 図 の よ う な 包 含 関 係に あ る 。」（ 図 １ ０ ） 図 10 b） Ａ ∩ Ｂ の 関 係 片 桐 重 男 は 、 『 数 学 的 な 考 え 方 の 具 体 化 』 の 中 で 、G.L.Musser & J.M.Shaughnesseyの strategiesに 関 し て こ の よ う に 言 及 し て い る 。 「 こ の ス ト ラ テ ジ ー に は 、 数 学 的 な 考 え 方 の 特 徴 と 同 じ も の が い く つ も 示 さ れ て い る し 、 ま た 表 現 は 異 な っ て い て も 「 あ の 数 学 的 な 考 え 方 と 同 じ だ 」 と 読 み 直 せ る も の が 多 く あ る 。 し か し 中 に は 、 考 え 方 と は 考 え ら れ な い 、 単 な る 技 能 、 手 順 と み ら れ る も の も あ る 。 し た が っ て 、 数 学 的 な 考 え 方 と ス ト ラ テ ジ ー と は 、 次 の よ う な 関 係 の も の と み ら れ る 。 」 （ 図 １ １ ） 図 11 問 題 解 決 の 方 略 （ ス ト ラ テ ジ ー ） 数 学 的 考 え 方 数 学 的 考 え 方 ス ト ラ テ ジ ー

34 ３ ． １ ． ４ 問 題 解 決 時 に お け る ス ト ラ テ ジ ー 以 上 の こ と よ り 、 問 題 の 内 容 に 応 じ て ス ト ラ テ ジ ー が 存 在 す る の で は な く 、 初 め て 挑 む 状 況 で あ る 問 題 と 既 に 持 っ て い る 知 識 と の 関 係 で ス ト ラ テ ジ ー は 考 え ら れ な け れ ば な ら な い こ と で あ る 。 数 学 的 な 考 え 方 と 問 題 解 決 の 方 法 は 別 の も の で あ り 、 ス ト ラ テ ジ ー と は 問 題 に 対 し て 発 見 的 に ア プ ロ ー チ す る も の で あ る 。 し た が っ て 、 ス ト ラ テ ジ ー を い か に 使 う か は 、 経 験 と し て 積 み 上 げ た 知 識 に か か っ て い る 。ま た 、既 有 の 知 識 で 及 ば な い 問 題 に 関 し て は 、 数 学 的 考 え 方 を う ま く 使 い な が ら ス ト ラ テ ジ ー に よ っ て 補 っ て い く か 、 も し く は 、 ス ト ラ テ ジ ー に よ っ て 足 が か り を 得 て い く な か で 、 自 分 自 身 の 知 識 や 経 験 を 上 手 く 使 い 、 ス ト ラ テ ジ ー に 乗 せ て い く 、 そ う い っ た こ と が 「 工 夫 」 と し て 現 れ る の で は な い か と 考 え ら れ る 。 こ の こ と か ら 分 か る こ と は 、 ス ト ラ テ ジ ー を 問 題 解 決 の 知 識 と し て 持 っ て い た と し て も 、 初 め て み る よ う な 問 題 を 解 決 し よ う と す る 際 の 役 に は 立 た な い と い う こ と で あ る 。 児 童 ・ 生 徒 は 、 今 ま で の 問 題 解 決 か ら 得 た 経 験 や 知 識 か ら 類 推 し て 、 ス ト ラ テ ジ ー を 用 い て い る 。 つ ま り 、 工 夫 を 上 手 く 行 っ て い く に は 問 題 解 決 を 通 し て 経 験 知 識 を 作 り 上 げ て い く こ と が 必 要 に な る の で あ る 。

35 ３ ． ２ 工 夫 と ス ト ラ テ ジ ー ３ ． ２ ． １ 工 夫 や ス ト ラ テ ジ ー の 指 導 問 題 解 決 ス ト ラ テ ジ ー と は ど ん な も の か 、 様 々 な 観 点 か ら 述 べ て き た 。 そ れ で は ど の よ う な ス ト ラ テ ジ ー の 指 導 方 法 が 有 効 な の で あ ろ う か 。 前 項 ま で に 「 ス ト ラ テ ジ ー を 知 識 と し て 習 得 し て も 、 初 め て み る よ う な 問 題 を 解 決 し よ う と す る 際 の 役 に は 立 た な い 。 問 題 解 決 を 通 し て 経 験 知 識 を 作 り 上 げ て い く こ と が 必 要 に な る の で あ る 。」と 述 べ た 。そ れ を 踏 ま え て 考 え て い く 。 ３ ． ２ ． ２ 発 見 学 習 と 有 意 味 受 容 学 習 学 習 心 理 学 で は 、 発 見 学 習 と 有 意 味 受 容 学 習 が よ く 知 ら れ て お り 、 以 下 の よ う に 定 義 さ れ て い る 。 １ 「 有 意 味 学 習 の 成 立 は 、 学 習 者 の 認 知 構 造 に 関 連 付 け を 与 え る よ う に 学 習 材 料 を 提 示 す る か ど う か に 依 存 し て お り 、 こ の 関 連 付 け を 与 え る に は ど の よ う な 教 授 法 を 採 用 す れ ば よ い の か 、 に つ い て の 見 解 に は 対 立 し た も の が あ る 。 そ の １ つ は 、 発 見 学 習 を 積 極 的 に 推 奨 す る ブ ル ー ナ ー(Bruner,J. S.)に 代 表 さ れ る も の で あ る 。彼 は 、学 習 者 が 自 分 で 探 求 的 に 問 題 を 解 決 す る こ と を 通 じ て 学 習 す べ き 内 容 が 認 知 構 造 の 中 に 位 置 す る と 考 え ら れ る 。こ れ に 対 し て 、オ ー ス ベ ル(Ausubel, D. P.) は 、 具 体 的 な 操 作 期 以 降 に お い て は 、 膨 大 な 有 意 味 な 言 語 的 内 容 を 個 人 に 学 習 さ せ る の に 、 発 見 学 習 を 用 い る こ と は 一 般 に 不 必 要 で あ り 、 不 適 切 で あ る と 考 え る 。 発 見 学 習 は 多 く の 場 合 、 動 機 付 け の 点 で も す ぐ れ 、 学 習 内 容 の 理 解 ・ 把 持 が 優 れ て い る こ と は 認 め る が 、 そ れ ら の 特 徴 は 教 師 に よ る 言 語 的 な 提 示 に よ っ て も 十 分 可 能 で あ る と 考 え る 。 こ の 教 授 法 が 有 意 味 受 容 学 習 で あ る 。 こ の 教 授 は 学 習 さ れ る べ き す べ て の 内 容 が 明 瞭 に 最 終 形 態 と し て 提 示 さ れ る も の で あ り 、 学 習 者 は そ の 内 容 を 各 自 の 認 知 構 造 に 関 連 付 け な が ら 、受 容 し て い く の で あ る 。」 「（ 発 見 学 習 に お い て ）自 分 で 発 見 し た ル ー ル は 転 移 が 大 で あ る か 、 発 見 学 習 に よ り 獲 得 さ れ た 知 識 は 把 持 さ れ や す い か な ど の 点 に つ い て も 、 他 の 学 習 方 法 と の 比 較 実 験 が な さ れ て き た が 結 論 は 出 て い な い 。 い か な る 特 性 を も っ た 教 科 で 、 ど の 発 達 段 階 の こ ど も に 、 ど ん な 反 応 を 学 習 さ せ る と き に 、 発 見 学 習 が 有 効 な の か 、 ま た 、 他 の 学 習 方 法

36 と の 組 み 合 わ せ 方 な ど の 研 究 が 必 要 で あ る 。 」 こ の よ う な 指 摘 は 、 学 習 指 導 一 般 に 関 す る も の で あ る が 、 問 題 解 決 ス ト ラ テ ジ ー の 指 導 に お い て も 、 発 見 的 な 学 習 と 受 容 的 な 学 習 の 差 異 を 比 較 検 討 す る 必 要 が あ る 。 (１ ) 横 山 正 夫 氏 の 研 究 事 例 横 山 氏 は 、 小 学 校 ６ 年 生 を 対 象 に 、 指 導 方 法 の 異 な る 説 明 的 指 導 プ ロ グ ラ ム と 発 見 的 指 導 プ ロ グ ラ ム に よ り 、 問 題 解 決 ス ト ラ テ ジ ー の 指 導 を し 、 そ の 指 導 効 果 を 調 べ る 研 究 を 行 っ た 。 「 こ の 結 果 、学 力 上 位 群 で は 、説 明 群・発 見 群・統 制 群 と も に 得 点 が 向 上 し た 。学 力 中 位 群 で は 、説 明 群・発 見 群 と も に 得 点 が 向 上 し た が 、 統 制 群 で は 変 化 し な か っ た 。 学 力 下 位 群 で は 、 発 見 群 の み 得 点 が 向 上 し 、 説 明 群 ・ 統 制 群 で は 変 化 し な か っ た 。 」 と 結 論 を 出 し て い る 。 発 見 的 指 導 プ ロ グ ラ ム （ ８ 時 間 ） ① 特 徴：最 初 に 問 題 を 与 え 、問 題 を 解 く 過 程 で 多 様 な ス ト ラ テ ジ ー を 発 見 さ せ る （ 問 題 → ス ト ラ テ ジ ー ） ② 内 容：説 明 群 と 同 様 の 問 題 を 使 用 し 、問 題 → 各 自 の 方 法 に よ る 問 題 の 解 決 → 解 決 方 法 へ の 振 り 返 り → 多 様 な 解 決 方 法 を ス ト ラ テ ジ ー と し て ま と め る 、 と い う 構 成 と す る 。 説 明 的 指 導 プ ロ グ ラ ム （ ８ 時 間 ） ① 特 徴：最 初 に 例 題 を も と に ス ト ラ テ ジ ー を 教 え 問 題 に あ て は め さ せ る 。 （ ス ト ラ テ ジ ー → 問 題 ） ② 内 容:： ４ ス ト ラ テ ジ ー を 各 ２ 時 間 ず つ 指 導 し 、 例 題 → ス ト ラ テ ジ ー の 説 明 → 問 題 へ の あ て は め → ス ト ラ テ ジ ー を 用 い た 問 題 の 解 決 → ス ト ラ テ ジ ー の 使 用 の 確 認 → ま と め ， と い う 構 成 と す る 。

37

学 力 上 位 群 は 、教 師 側 か ら ス ト ラ テ ジ ー 指 導 が 行 わ れ な く て も 自 力 で 問 題 解 決 ま で た ど り 着 く こ と が で き た と 考 え ら れ る 。学 力 中 位 群 で は 、ス ト ラ テ ジ ー 指 導 が 有 効 で あ っ た こ と が う か が え る が 、指 導 方 法

38 に よ る 差 は な か っ た と 考 え ら れ る 。下 位 群 で は 、説 明 的 な 指 導 で は ス ト ラ テ ジ ー の 理 解 が 表 面 的 で あ っ た と 考 え ら れ る 。そ れ に 比 べ て 発 見 的 な 指 導 で は 、自 己 の 奇 襲 知 識 や 経 験 と 関 連 さ せ な が ら 、問 題 解 決 が で き た と 考 え ら れ る 。 」 （ 再 び 横 山 ） し か し な が ら 、こ の 結 果 は 、布 川 氏 に よ る と 、「 例 え ば 、横 山(こ の 指 導 事 例)の 逆 向 き に 考 え る ス ト ラ テ ジ ー の 事 後 テ ス ト の 問 題 は 試 行 検 討 の ス ト ラ テ ジ ー に よ っ て も 解 決 可 能 で あ る に も 関 わ ら ず 、 彼 の 示 す デ ー タ に よ れ ば 、こ う し た 手 続 き を と っ た 子 供 は い な い 。あ る い は 、 整 理 さ れ た リ ス ト を 作 る ス ト ラ テ ジ ー の 事 後 テ ス ト の 問 題 に 対 し て 、 簡 単 な 場 合 か ら 考 え る ス ト ラ テ ジ ー の （ 場 合 分 け ） を 適 用 す る こ と も 可 能 で あ る が 、 こ う し た 手 続 き を と っ た 子 供 も 報 告 さ れ て い な い 。 」 つ ま り 、 こ の 問 題 の カ テ ゴ リ ー を 特 定 し 、 し か も そ の 問 題 に 対 し て 適 切 な 行 動 ま で も 特 定 し て し ま っ て い る 。 ス ト ラ テ ジ ー を 指 導 し よ う と し な が ら 、 あ る 種 の 行 動 原 理 を 子 ど も に 示 し て し ま っ て い る 可 能 性 が あ る 。 い ず れ に し て も 、 「 ス ト ラ テ ジ ー の 指 導 」 は 、 上 位 群 で は 説 明 的 な 授 業 で も 発 見 的 な 学 習 で も あ ま り 差 は 見 つ か ら な い が 、 下 位 群 で は 発 見 的 学 習 の ほ う が 効 果 が あ る の は こ の 先 行 研 究 か ら 見 て と れ る 。 （ ２ ） 問 題 解 決 方 略 の 使 用 過 程 に 関 す る 上 位 下 位 分 析 石 田 氏 は 、 問 題 解 決 方 略 の 指 導 を ３ 年 間 受 け た 愛 知 県 額 田 郡 幸 田 町 立 幸 田 小 学 校 ６ 年 生 を 対 象 に 問 題 解 決 テ ス ト を 行 い 、 そ の 成 績 に 基 づ い て 現 れ た 上 位 群 と 下 位 群 の 子 供 の 問 題 解 決 過 程 に つ い て 、 以 下 の よ う な 結 果 を ま と め た 。 （ 「 パ タ ー ン 発 見 」 方 略 の 使 用 過 程 ） ① 下 位 群 は 上 位 群 よ り も「 パ タ ー ン 発 見 」方 略 の 選 択 自 体 が 少 な か っ た 。 ② 図 形 の 規 則 性 発 見 問 題 の 解 決 過 程 に お い て 、上 位 群 の「 パ タ ー ン 発 見 」 方 略 の 実 行 手 続 き （ 順 序 よ く 調 べ て 、 変 わ り 方 の き ま り を 見 つ け る 手 順 ） は ル ー チ ン 化 さ れ て い た 。 ③ 図 形 の 規 則 性 発 見 問 題 の 解 決 過 程 に お い て 、素 朴 な 解 決 方 法 を 見 直 し て 効 率 的 な 解 法 を 工 夫 す る 中 で 図 の 構 造 に 着 目 し て パ タ ー ン を 発 見 し 、 そ れ を 解 決 に 利 用 す る 子 供 が 下 位 群 に 見 ら れ た 。 ④ 文 章 題 の 解 決 過 程 に お い て 、 上 位 群 同 様 に 下 位 群 の 「 表 を 作 る 」

39 方 略 の 実 行 手 続 き （ 条 件 に 合 う 場 合 を 順 々 に 調 べ る 手 順 ） は ル ー チ ン 化 さ れ て い た 。 ⑤ 文 章 題 の 解 決 過 程 に お い て 、「 パ タ ー ン 発 見 」方 略 を 使 用 す る た め に 、 変 化 の パ タ ー ン が 現 れ る よ う に 新 し い 変 数 を 探 索 す る 子 供 が 上 位 群 に 見 ら れ た 。 ⑥ 下 位 群 の 子 供 は 不 適 切 な 方 略 を 選 択 す る と 適 切 な 方 略 に 変 更 す る こ と が 困 難 で あ っ た 。 こ れ ら の 結 果 か ら 、 問 題 解 決 方 略 の 指 導 方 法 の 改 善 に あ た っ て 、 次 の よ う な こ と を 述 べ て い る 。 ① 問 題 解 決 方 略 の 指 導 は 数 学 的 な 見 方・考 え 方 の 指 導 と 関 連 づ け て 行 う 。 ② 「 評 価 ・ 改 善 」 活 動 を 重 視 し た 問 題 解 決 方 略 の 指 導 を 行 う 。 ③ い ろ い ろ な パ タ ー ン を 見 つ け る こ と が で き る よ う に 指 導 す る 。 ④ パ タ ー ン 発 見 の た め に 新 し い 変 数 を 設 定 す る こ と を 指 導 す る 。 ⑤ 見 つ け た パ タ ー ン の 意 味 を 考 え る こ と を 指 導 す る 。 ① で は 、 「 「 パ タ ー ン 発 見 」 方 略 を 使 っ て 問 題 を 解 決 す る に は 、 ど ん な 問 題 場 面 で そ の 方 略 を 使 用 し た ら よ い か わ ら か な け れ ば な ら な い 。 そ の た め に は 、 「 パ タ ー ン 発 見 」 方 略 の 使 用 の 背 後 に は 「 依 存 関 係 に あ る 数 量 を 特 定 し て 、 そ の 数 量 の 変 化 や 対 応 の 規 則 性 を 調 べ る こ と に よ り 問 題 を 解 決 す る 」 と い う 「 関 数 的 な 考 え 」 が あ る こ と を 理 解 で き る よ う に 指 導 す る こ と が 大 切 で あ る 。 」 と 説 明 さ れ て い る 。 ３ ． ２ ． ３ 問 題 解 決 能 力 と ス ト ラ テ ジ ー 問 題 解 決 の 経 験 や 問 題 解 決 の た め の 知 識 が 豊 富 に あ る 問 題 解 決 者 で あ れ ば 、「 問 題 に 表 れ て い る 特 徴 を 活 か す 」と い う 題 目 の も と 、な ん と か 問 題 解 決 ま で 辿 り つ け る か も し れ な い 。 し か し そ れ に は 、 そ れ ぞ れ の 問 題 場 面 や 基 礎 知 識 、 そ し て 前 述 の よ う に 自 分 の 知 識 や 経 験 を 軸 に し た 解 決 が 必 要 で あ る こ と を 示 唆 し て い る の で あ る 。 し た が っ て 、 逆 に 、 問 題 解 決 の 経 験 が 少 な い 、 も し く は 学 力 下 位 の 問 題 解 決 者 に な る と 、 １ つ １ つ 違 っ た 問 題 特 有 の 解 法 を 覚 え て し ま う こ と に な り 、 ス ト ラ テ ジ ー は ア ル ゴ リ ズ ム に な っ て し ま う の で あ る 。 問 題 解 決 の 能 力 を 増 す た め の 足 が か り を 示 し て い る は ず が ア ル ゴ リ ズ ム に な っ て し ま い 、 問 題 解 決 能 力 を 育 て る こ と に つ な が っ て お ら ず 、 単 に 教 師 や 他 の 児 童 ・ 生 徒 の 解 決 方 法 の 模 倣 と な り 、 単 に 解 決 方 法 の 暗 記 と な っ て し ま う 事 も あ る 。 つ ま り 学 力 下 位 群 で は 、 問 題 解 決 場 面 で の 豊 か な 経 験 や

40 知 識 が 不 足 し て い る た め に 柔 軟 な 発 想 が 行 え ず 問 題 解 決 能 力 を う ま く 使 い こ な せ な い の で あ ろ う 。 単 に 「 工 夫 を し ま し ょ う 」 と 言 っ た と こ ろ で 、 学 力 下 位 群 で は 効 果 が な か な か 望 め な い 。 ス ト ラ テ ジ ー を 受 容 的 に 学 習 し て 、 効 果 が あ る か ど う か は 、 そ の 児 童 や 生 徒 の 問 題 解 決 能 力 や 知 識 に 依 存 し て い る 。 し た が っ て 、 子 ど も た ち が 工 夫 を 用 い 柔 軟 に 問 題 に 取 り 組 ん で い く た め に は 問 題 解 決 能 力 や 数 学 的 な 考 え 方 と 一 緒 に 、 問 題 解 決 を 通 し て 、 発 見 的 な 学 習 を し て い く こ と が 必 要 と 考 え ら れ る 。 ま た 問 題 に は 、「 問 題 を 解 く 際 の 条 件 」 と い う も の が い く つ も あ る 。 そ こ で 、『 そ の 中 の 一 つ の 条 件 だ け を 変 え て み る 。こ れ に よ っ て 問 題 が ど う 変 わ る か を 考 え て み る 。』こ の よ う に 条 件 の い く つ か を 固 定 し た り 、 他 を 変 え て み た り す る 。 こ れ は 問 題 に 対 し て 、 発 展 的 な 考 え 方 を 行 う こ と で あ る と 同 時 に 、 そ の 問 題 を 含 む 問 題 群 に 対 す る 流 れ を 構 築 す る こ と で あ る と 考 え ら れ る 。こ の よ う に し て 、発 見 的 な 考 え 方 を も と に 、 自 ら 新 し い 問 題 を 作 り 解 決 し て い く と 、 考 え 方 や ス ト ラ テ ジ ー を 組 織 化 ・ 構 造 化 す る こ と が で き る 。 ス ト ラ テ ジ ー や 考 え 方 を 説 明 的 に 教 授 さ れ る よ り も 、 そ の と き に 必 要 な 条 件 な ど を 自 ら の 力 で じ っ く り 考 え る よ う に な り 、 問 題 解 決 能 力 の 向 上 に 結 び つ く で あ ろ う と 思 わ れ る 。 「 自 ら で の 発 見 的 学 習 」 を 薦 め る こ と だ け が 、 の 指 導 で は な い だ ろ う 。教 師 の 発 問 に よ っ て 、発 展 的 な 考 え 方 へ と 誘 導 す る こ と も で き る 。 問 題 か ら 発 見 を 生 み 出 す た め の 変 数 の 役 割 と な る の が 、 数 学 的 な 考 え 方 で あ る し 、ポ リ ア の ス ト ラ テ ジ ー で あ る 。「 何 か と 似 た よ う な 考 え 方 は で き な い か 」「 一 般 化 さ せ て み よ う 」「 規 則 性 が あ る と し た ら ど う だ ろ う か 」 と い っ た 問 い が 自 ら 発 す る よ う に な れ ば 、 数 学 的 な 考 え 方 や ス ト ラ テ ジ ー が 生 徒 に 根 付 い た と い え る の で は な い だ ろ う か 。 そ う す る こ と で 自 ら の 知 識 や 経 験 を 上 手 く 活 か せ る こ と に な り 、「 工 夫 」が 上 手 く 生 み 出 さ れ る た め の 下 地 が 整 う の だ ろ う 。