形態変化を行う構造物の形状決定問題に関する基礎的研究 : 長寿命構造物の実現に向けて

【論　 文

1

　 　 日本 建 築学会 構造系爾文報 告集 第 448 号

・

1993年

・

6 月

』

1．

．

」°vrnat °f 　St「uct

・

C°nstT

．

・



F

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，

．

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・

1993tt

　　　

t

形

態変

化

を

行

う

構

造物

の

_形

_状決定

_問

題

に

_関

す

る

_基

_{礎 的研 究}

〜長寿 命構 造物

の

実

現

に

向

けて

〜

t

AsTuDY

　

QN

　

THE

　

sHApE

　

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TIoN

　

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「

rlyE

　　　 　　　 　　　

METAMORPHOSING

　

BUILDING

．

　　　　　　　

For

　

the

∬eali _ζation 　of　a　

long

．

life

　

building

　　

・

’

．’

1 　 跚 　 踊

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， 忽

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− 。

雅

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M

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．

服 　

ψ

　 燃

，

t

　

We 　

ha

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bden

　_prop

’

osing 　the　

“

Adaptive

　

Metamorphosing

　

Building

（

AMB

）

”

as 　a 　

lon

_琴

life

　

build．

ing．

　

The

　

AMB

　changes 　its　structural 　shape 　and 　

functions

　in　order 　to　adapt 　itself　to　changes 　in　

de−

．

mand 　on　the　

building

．

　

We

　

deal

　wi ヒ

h

　the　shape　optimization 　

problem

　of　the　AMB 　and 　

present

　how to　

decide

　process　and 　quantities　

df

’

the　extension

_，

　repair

_，

　and 　sQ　on

．

　

The

　total　extension 　prQcess of　the　

AMB

　

is

　modeled 　using 　two　

dimensional

　finite　elements 　and 　its　d6pth　distTibution

，

、

which can 　be　tegarded 　as 　its　space 　distribhtion

，

　is　

determine

（

1．

_sothatitsintegl_司tedtotal_寧train_energ

γ

，

is

minimized

．

Keyt・・nk ：召

の

廨 metam ・rPhOsing 　building

，

　 shaPe 　tiPtimizczti・n

，

　 sPace

，

　 C・nStraint ω 鰄 励 π

，

　t・tal 　 　 　 strain 　energ）1 　　　 　　　 適 応 型 成 長 構 造 物

，

形状最適化

，

空 間 量

，

制約条件， 全ひずみエ ネル ギ

ー

　 　

．．

」

1．

・’

は じ め に　 　 　 　1 　近年， 東京などの大 都市圏で は， 廃 棄 物 処 理の問 題が クロ

ー

ズ ア ップされ， 大きな都 市 問 題の

一

_{つ と なっ て い} る

。

建築物の解 体に よっ て も_， 建 築 廃 材とし て産 業 廃 棄 物が生じて い る

。

近 年の建 築 物は

，

めま ぐ る し く変 化 す る社 会

，

経 済 情 勢

，

あ るい は技 術 革 新の影 響に よ り

，

機 能 的な寿 命に至 る と

，

た と え構 造的に は十 分に寿 命が あ り

1

，

利用価値が あっ て も，

t

再利用や増 改 築 を繰り返すこ と な く

，

解 体 を 余 儀な く され て い る例が少な く ない。　

・

　こ の よ うな現状の な か で我々 は

，

増 改 築 等を繰 り返 し なが ら社 会や環 境の変 化に うま く 適_応してい

’

く

、

t

『適 応 型 成 長 構 造 物 亅

』

を提 案 することに よ り

，

構 造 物の_長寿命 化 を目指し て い る2）

・

3 ）

。

　従 来の構 造 物にお

・

い て_に

，

社 会

，

経 済 的 状況等か ら

，

大 規模な増 改 築

・

を行っ て いる例は余り見られない。 とこ ろ が

，

『適 応 型 成 長 構 造 物 亅におい ては

，

その耐用

．

年 数 は 100年 以上

_，

理 想的に は半永 久 的 な もの を 想 定 してい るこ_とか ら

，

利用期間中に数回 か ら十

_数

回の増 改 築やリ サイ ク1ル等

，

構 造 物の形 態その もの を 変 化させ る必 要が 生じて くる

。

’

そ し て

，

利用期間中に形態 が変 化す るこ_の よ う な構 造 物 を設 計 する場 合に_臨 その_{概 念 設 計}の_{段 階} か ら あ ら か じ め

，

形 態変化 を あ る 程 度 想定して お く必要 が あ る。 もち ろ ん

，

将来の社会， 経済情勢 を予測し， 解 体に至 る まで の形態変化の過 程 を決 定す ること は か な り 難しい_問題で

’

あ る が

，

あ る 程度の展望を もっ て 設計して お くことは_{不 可欠}である

。

．

ま た

，

当 然の こ とな が ら， 『適 応 型 成 長 構 造 物 亅 を実 現 する に は

，

構 造 物の形 態 変 化を

，

ミ クロ _的に とら え て

，

柱， 梁

，

壁

，

基 礎な どの各 部 位につ い て

，

細 か く検 討す ること は 必要で あ り

，

避 けて通るこ と はで き ない_。 し か し

，

そ の

一

方で

，

『適 応 型 成 長 構 造 物』を設 計す るにあ たっ て は

，

大 規 模 な 増築 等を行っ た と きの構 造 物 全 体の性 質 をマ クロ的に と ら え て お くこと が， 各 部位の検 討を行う

「

こ と以 上に重要と な る

。

そ れ は

_，

「構 造 物に 要 求さ れ る 空間量 が絶 対的な 不 足 を生じた 場合な どに は

_，

大 規 模な 増 築 （ド ラス テイッ グ な形態変化 〉を余儀な く さ れ る。 そ して

，

大規 模な増築を行えば

，

設 計時に設 定 し た以 上

1

の荷 重 が 構 造 物に作 用 し

，

かつ

_，

_力の伝達メ カニ ズムが ドラス ティ

．

』

ック に変 化し て し ま うこ とによっ てtt 構 造 物 全 体の力 学 的 安 定 性が損な われて しまうこと が想 像に か た く

．

な い

。

」と い う理由か

．

ら である。 こ れ は

、

t

現 存す る 構 造 物の設 計で は

，

考 慮す る 必要の な かっ た

，

『適応 型 零 清水建 設 大 崎 研 究 室

・

工 修 ＊＊ 清 水 建 設 大 崎 研 究室

・

tt

．

re

Ohsaki

　Research　Institute

，

　

Shimizu

　

Corpora

巨Dn

，

　M

．

Eng

．

成 長 構 造 物亅に特 有の新しい問 題であるといえる。 　 以 上 を要 約すると

，

『適 応 型 成 長 構 造 物亅の実 現に は

，

そ の形態発 展の プロセ ス を 決定する こと と

，

構造物のマ クロ的な力 学 的特性を把握 すること が必 要と な る。 し た がっ て

，

本 研 究で は

，

『適 応 型 成 長 構 造 物 』の実 現に向け

，

長い利 用 期 間の な か で

，

ドラス _{テ ィ}ッ ク な形態変 化を繰 り返す構 造 物の形 態 発 展 プロセスを決定す る方 法 論を構 築す る た めの_{基礎 的}な検討と

，

こ の_構造物の_力学的特性 を 把 握 す る た めの_検討 を行う

。

そ して

，

本 論 文では

，

以 下に示す ように， 最適化手法を用い て

，

増 築の み を考 慮 した構造物の形 態 発 展の プロ セ ス の決定 方法とそ のマ ク ロ_的な力 学 的 特 性につ い て検 討して いる。   増 築 を考 慮 し た評 価 関 数と して

，

構 造 物の全 利 用 期 間にわ たる累積全ひずみ エ_ネル ギ

ー

（後述 ）を提 示す る。 そ して

，

設 計 変 数と して は

，

構造物の_{計画 的}な 空間量 を 用い， 累積全ひずみエ ネルギ

ー

を停留さ せ ること に よっ て， 全 利用期間に わたっ て力 学 的に安 定 し た構 造 物の空 間 分 布 を決 定する

。

  増 築 を考 慮しない従 来 型の設 計 手 法 とこ こで提 案し た評 価 関 数を用いた手 法との違いや

，

空 間 量に対 する制 約条件や外 力条件の違いが

，

構 造 物 全 体の力 学 的 安 定 性 に与え る影 響につ い て の検 討を得ら れ た最 適 解やひずみ エ ネル ギ

ー

分布な どを 比較すること によっ て行 う。 　実 際の解析におい ては

，

構 造 物を平 面応力の有 限 要 素 法を用い て モ デル化し

，

各 要 素の厚さ を設 計 変 数に し て いる。 これ は

，

設計変数と して用い る厚さ が

，

単に厚さ の意 味を もつ _{だ け}で はな く

，

後にも示す と お り

，

構 造 的 に は_{剛 性}

_，

_{計画 的}には 空間量 と し ての_{意 味}も持ち あ わ せ てい る か ら で あ る

。

つ ま り， 平面 応 力の有限要素法を用 いて

，

最 適 設 計 問 題 を 解 くことにより

，

空 間 量の制 約 を 受け な が ら構 造 物の形 態が ドラ ス テ ィッ ク に変 化すると きの _{構 造 物 全 体}の力学 的 性 質を把 握する こ と がで き るの で あ る

。

2．

問 題の設 定と定式化 　 本節で は

，

本論 文で対象と す る最 適 設 計 問 題の設 定 方 法と その定式化につ い て述べ _る

。

_{建築物は平面応 力場}の 2 次元有限要素を用い て

Fig，

1の よ うに モデル_化を行 う9， 。 つ ま り

，

建築物を間口方向に構造的に 分割し

，

奥 行き 方向は 分割を せず

，

これ を間口方 向に分割さ れ た要 素の_厚さ と と らえ ることに よ り

，

平 面 問題 に_置き換える こと が で き る

。

これを

FEM

の平 面 応 力 問 題 として解 析 を行う

。一

方

，

逆か ら見れ ば

，

平 面 応 力 問 題に お け る 要 素の厚さ は

，

要 素 位 置で の奥 行き と見な す こと がで き るの で， さ ら に要 素寸法が

一

定と す れば， 構造物の空間 量で ある とい え る

。

ま たモデル化は_， 各増 改 築ステ ップ につ い て別々 に行う

。

　ま た， 最 適 化 問題の解 法と し て は変 分 法によ り

，

汎 関

一

₁₆₄

一

数か ら停 留 条 件 式 を 導 き 停 留 解 を 求 める方 法 を 用い る5）

。

2

．

1　 問題の設定 　こ こ で は

，

最適設計問題に用いた評価関数，設計 変数， 制 約 条 件の それ ぞ れの物理的

，

ある い は計 画 的 側 面にっ い て述べ る

。

2．

1．

1

　 評 価 関 数 　評 価 関 数 として以 下に示 す よ うに 2通りの_{評価 関}数 を 設 定し， それ ぞれを変 位と厚さに関 して停留 さ せ

，

その 停 留解， ひずみエ ネルギ

ー

に及 ぽ す影 響 を検 討す る。 objective　

function

（

1

） 　　　 u（圃

，

1

魁｝） objective 　funct重on _（

2

_）

　

　

　

蝋

1

蜩 〉

一

∬

σ（｝

dl

，

1

・｝）

d

置 →

Min ……

_（1

−

1_） 　 　 　 Ns 　　 　　　 　　

＝

Σ〔乃（

ld

｝，

1

鉱

D

ら　→

Min ……

（1

−

2 ） 　 　 　 丿

昌

I subject 　to 　　 　Σ

de

［Ke ］

iul

−

lp

｝

＝

0

− ・

…

　

一 一 一 ……

（2）

　　　

e 　　 　恥

＝

Σ　_TeAede

………・

一

…・

一 …・

・

…………

_{（3 ）} 　 　 　 e 　　 　

dE

≦

de

≦

d5−・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

…



一・

・

・

…

_（

4

_） 　こ こに

，

　　 　［

Ke

ユ＝ Ae［Beユτ［1）］［B『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5 ） 　こ こ に

，

（2） 式は力の釣 合 式

，

（3）式は総 重 量 貼 に 関す る制 約条 件式

，

（4 ）式は要素の厚さ

de

に関す る制 約 条件式であ る

。

ま た

，Ae

は要 素の面 積

，

　

iul

は節 点 変 位，

Ur

，　

U

，，　

t

」は そ れ ぞ れ， 累 積 全ひずみエ ネル ギ

ー，

j

段 階で の構 造 物の全ひずみ エ ネルギ

ー，

_{ノ段 階} で の構 造 物の存 続 期 間を示 し

，

T【は寿 命

，

　

Ns

は寿 命に 至る までの_{増 築}の回 数 を示 す。 　 （1

−

1）式は

，

各 増 築 段 階で新たに追 加され た部分のみ を最 適 化してい くことを考えた場 合の評 価 関 数である

。

式の上で は通 常の ひずみエ _ネル ギ

ー

を表し て い るが， 最 適 化 を施 す 要 素が各ス_テップで異 なっ て いる点に特 長 が あ る。 例え ば Fig

．

1を用い て説 明 する と

，

　 A で は a の 要 素を

，

Bで は bの要 素を

，

　 Cで は c の要素だ けをそ れ ぞれ最 適 化 することにな る。 　（1

−

2）式は

，

評 価 関 数と して「累 積 全ひずみエ ネル ギ

ー

」 を 用い て い る

。

_「累積全ひずみ エ _ネルギ

ー

」とは

_，

_{各 段} 階で の全ひずみエ _ネルギ

ー

防の ある段 階ま での_{時 間積} 分 を施し た総ひずみエ _ネルギ

ー

量と定 義 してい る

。

（1

−

1） 式 と同 様に Fig

．

1を用い て説 明す る と

，

建 物がA とい う形態で ti期 間 存 在し

，

その _後

B

とい _{う形 態}で t，期 間 存 在し

，

最 終 的に

C

とい う形 態で

t3

期 間 存 在 し てい た と す れ ば

，

その間の累 積全ひず みエ _ネル ギ

ー

Ur は各 段 階で の全ひずみエ _ネル ギ

ー

を

U

，とすれ ば

，

U

．

＝

U

，　

ti

＋

U

，　

t

，十

Ui

　tsで表わ さ れ る。 こ れに よっ て

，

初 期か らあ

る段 階ま_での構 造 物の形態変化に伴っ て変化する全ひず みエ _ネルギ

ー

を総 括し て評 価 するこ と ができ る。 ま た

，

』

こ こ での_{モ デ}ル化は

，

構 造 物のそ れ ぞ れ の増 築 段 階で の 形態を

一

っ

一

つ の構 造 物と考え

，

そ れ らを時 間という重 みを付けをし な が ら→ つ の構 造 物と

．

し てま とめて し まう という方 法 をとっ てい る6 ただし

，

ある段 階で増 築され た要 素は_， その後は変 数 を従属化する ことによ り同じ要 素 （

Fig．

ユ の 1と3 と7

，

_．

’

_e

と4

・

と8， 5と

9

，

6

と

10

） と見な せ る

．

よ う に 工夫して いる。 　そ し て

，

’

こ れ ら の評 価 関 数を変 位と厚さに関レて _停留 させ るこ とに より

，

・

各 増 改 築 段 階でエ _ネル ギ

ー

的に安 定 な形 態を求め るこ とがで き る。 ま た， （

2

）式中の外力

　　　

t 項

1P

｝ば

，

今回は節点外力と物体力 を用い る が

，

将 来 的 に は1地 震 力の よ うな動 的 外 乱を考慮する必 要が あ る と 考えて い る。 2

．

1

．

2

，

設計 変数



₁



_．



．



、

　 　 　

　

　　 　　　　 　　　　 　　　　　

’，

　 　 　

’

　　

，

　　　 　　　　　 　　　　

．

1

，

　　 t　

’

　 設 計 変 数は厚 さ

de

と し

，

評 価 関 数を厚ざ

d・

e _と 節 点

褒

位

lul

に関して停 留さ せ る。

．

先にも述べ た が

，

各 要素 の寸 法 （こ の場 合は面 積 ）が

一

定と す れば

，

評価 関数 を 停 留さ せ る厚 さ を決 定 することば

，

エ ネル ギ

ー

的に_安定 し た 空間量

．

（こめ場 合は奥 行き）を決 定す ること に ほ か な ら_ない

。

　な お本 論 文で は

，

評価関 数 （2 ）の_{時 間項}は既 知量と し， 設 計変数ではな く

与

条 件と してい る

。

2

．

1

．

3　 制 約 条

f

牛

　

（2 ＞，（3

』

』

），（4）

匸

式は制 約 条 件で

，

（2）式 は 力の釣 合 式， （

3

）， （4 ）式は厚 さに関す る条件で，

d5

，

，

dE

は 厚 さの許 容 上 下 限 値で あるe （3

．

）式は総 重 量 を制 約し て い るが

，

単 位 厚さ当た り の重 量 を各 要素で

一

定と す れ ば_， 全 要 素の厚さの総 和の制 約 条 件と見な すことがで き る

。

つ まり

，

実 際の構 造 物に おいて

，

これ ら の制約条件 （（3）， （4）式 ）は

，

構 造 物 全 体と構 造 物 各 部 のス ペ

ー

ス に対 する条 件である と見な すこ とがで き， 法規や構造 物の計 画 的 側 面か ら課せ ら れ る条件で あ る といえ る

。

し た がっ て以 下 で は

，

重量の制 約 条 件 （（3） 式 ）を

，

総 厚の制 約 条 件と呼ぶ こどに し

，

（3）式 を以 下の よ うに 書き換え て お く。

．

　 　　 　

・

1

．・

　 　　

・

　

、

｝

d7r

Σ de

・

ゐ

……一 ・

_：

・

_r

・

・

…

t

……・

・

…・

…・

：

…

《6） 　 　 　 e 　 　r

／

．幽

₁

・

「’』



』”



・

　　　　　

gge

　

i

・

P

、

　

驪

・b

　

口

・c

・．

　 Ul

「

U2

愈

工

懿

乳

・

．

_〔ノ t3 呻

嬲

嬲

　 嬲

’

　 shaρ¢A shape　Bshape 　C

Fig

。

1　An　exarnpte 　of　arL　extension

’

process

　 ま た

，

同様に （2 ）式を力の釣 合方程 式

，

（4 ）式を

．

要素厚の_{制 約 条 件 式}と

．

呼ぶことにする

1

。 こ こで

，

これ ら の対 応を以 下に示してお く。

・

（2）式 ：力の釣 合 方 程 式　 　 　 　　

．

　 　 　 　 常に力の釣 合 状 態 を保つ ための制 約 条 件 式 （

6

）式 ：総 厚の制 約 条 件 式　 　

．

　

・

　 　 　 　　

、

　 　　 　 構 造物全 体で の総 空 間量 を規定す る制 約 条 件 式 （4 _）式 ：_{要 素 厚}の_{制 約 条 件 式} 　 　　 　 構 造 物 各 部分の空間 量 を規 定す る制約 条件式 　 また， 要 素 厚の制 約 条 件 式 （（4） 式 ）

』

_は ， 不 等 式 制 約 条 件 式に なっ て い る の で_， 以下の よ うな等 式 条件に_置

・

き換えて

，

評 価 関 数に加 算 する方 法

．

を用い る

。

　 　 　 　

　

　　　　　　　

　

　　

　

・

_f

，

r

− 

Uo

｛

2

（

が

一dE

噛d7

）

一

・

1

．

2r ：

…・

・

…一 ・

（・）

　

　

　

f

・

一

　

Uo

　

（

・

（

de− d

呂 　　

d

，

，

）

＋

1r

埋

・ ………・

……・

_（・_）

　

（7）式は厚さの_{下 限 値}に

_，

_（

8

_）式は上 限値に_{対 し}て 　 　 　 l

．

　　

　

　　

　

置き換え た も の で あ る。 こ こに，

U

。は初 期値を与え た と きの全ひずみエ ネルギ

ー

，

「

ま た

．

，

N

は十 分に大き な 自然数であ る

・

。

_（7

．

_{）， 〔8 ）}式 を図に示すと

Fig．

2の よ う に な る

。

点 線 部 分 が 不 等 式 を満た す範囲で あ る。 こ の 関数は

，

その範 囲 内に解が存 在す

Q

_．

どき は ほ ぼ0 とな る

_．

ため， 1 不 等 式 条 件 式を含まな い汎 関 数の値がそ のま ま 反 映され た停 留 解が得られ

，

停 留 解が範 囲 外

，

あ るい は存 在 しない場 合に は

，

不 等 式条件式の上 限値

，．

あ る

、

い は下 限 値で停 留 解が得ら れ る よ うに設 定 さ れ た

，

いわ ば

一

種 の Penalty 関 数4 ，で あ る。 し た が っ て

，

』

要 素 厚の制 約 条 件を

0

〈

．

de

く

dr

と お け ば

，

この制 約 条

_件

が ない場合と 同じ解が得ら れ る。 ∫

．

　L

ら

∫₁



’

_ち

∫₁ …　 allowable 　bound 「 1

i

』

i 「 毛 毫　 　

．

PI

_∫

脚

％   〜

唱

　

　

」

  ’ 」 x

、

　　　 　　

〆

〜

　一

＿

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

’

　

　．

．

1

_04z

　

’』

dε 　　ひ

1

煽

4

Fig

．

2　Penalty垣nctiQn

2．

2

　問題の定 式 化 と解 法 　 次に 2

．

1節で掲 げた問 題の定 式 化とそ の解 法 を示 す

。

な お_， こ こ で の定 式 化は_， 評 価 関 数 （2）の場 合を示せ ば （

1

）も同 様に行え るので評 価 関 数 （2）だけに限っ て行う

。

　まずFig

．

3に示す よ うな長 方 形 要 素を考える。 こ の 時， ひずみ

一

_{変 位 関 係 式}

_，

_{応 カ}

ー

_{ひずみ関 係 式は次 式で与} え られ る

。

ひず み

一

変 位 関 係式 　　 　

i

ε

1

＝

［

B

］

iul

−・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

9

＞ 応 カ

ー

ひずみ関 係 式 　　 　

1

σ｝＝ ［

D

］

1

ε

1

……・

・

………・

…・

……・

……・

・

一 ・

・

（10） 　こ こに，

lul

は変 位，　

IEI

は ひずみ， 同は応 力 を示 して い る

。

［

D

］は平 面 応 力状 態の場 合

，

次 式で与え ら れる

。

喘

［

一

一

一

_{（11 ）} 　こ こに

，E

は ヤング係 数

，

レ は ボア ソ ン比で あ る

。

　こ れ よ り

，

評価 関数で ある全ひ_ずみエ _{ネル ギ}

ー U

_は 形 式 的に次式で与え られる

。

　　　

u 一

_写

ひ・

一

易

d

・ 囘・ ［

lil

・e ］［・

1

・

・

……・

……

（12 ） 　こ こに

，

　 　 　［

Ke

］；

Ae

［

Be

］T［

D

］［

Be

］ 　次に等 式 制 約 条 件で あ る力の釣 合 方 程 式は_{次 式}で_表さ れ る

。

　 　 　

IF

｝≡ _Σ

d ε

_［

Ke

_］

i

_包ト

IP

_｝＝

IO

｝

……一………・

（

13

） 　 　 　 e 　こ こ に

，

IP

｝は前 節で も述べ たと おり

，

外 力 項 を示 し てお り

，

節点外 力と物 体 力の 2通りの外 力 を考え ている

。

そ して

，

外 力と して物 体 力を考え た場 合は

，

こ の項 も厚 さの 関 数にな ることに注 意す る 必要が ある

。

　な お

，

評価関数 （1

−

2）式は

，

積分の _形で与え ら れて い るが

，

制 約 条 件 を付 帯 条 件と し て汎 関 数に取 り入 れ る 場 合

，

こ の条 件は各 時 間におい て成 立 すべ _{き条 件 とな る} の で

，

こ れ らを汎 関 数に取り 入 れ た形で積分 する こ と に する。 　そ こ で

，

（12）

、

（13）式と前 節で 考 慮し た総 厚の制 約 条 件 （（6）式 ）と要 素 厚の制 約 条 件 （（7）

，

（8＞ 式 ） よ り

，

Lagrange 定 数 λ。

，

1

λ，

1

を用い て汎 関 数 」 は以 下 の よ うに表現で き る

。

　 　 　 　 　 　 　 　」

＝

Σコ丿_ン

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

（14） 　 　 　 　 」

＝

1 　 こ こ に

，

　　　

」・

一

［

u

＋）

1

］　

Cfr

＋

fS

）＋

h

（

d

・

−

4d

・

）

　　　　

WI

_小

一 ・

・

………・

………・

・

…・

…

_（15）

一

₁₆₆

一

　こ こ で

，

（

15

）式の ［］内は

，

j

回 目の増築を行っ た 場 合に

，

その増 築さ れ た要素だ け を考 慮し た時の評 価 関 数 を表し て いる。 つ まり

，

各 増 築ス テッ プご との 評 価 関 数 （

1

）で あ る。 　（14）式 を 変 位

lul

， 厚さ

de

と

Lagrange

定 数 λ。

，

　

i

λ1｝ の関 数と し て そ れ ぞ れ につ い て の第

一

変 分 をと る

。

・・

一

魚

（

論

・

1

・

1

・

3

書

｝・

1

・｝

　

　

・

暮

耄

…

論

・

1

小

一

…

…・

……・

（16＞ これ か ら

，

停 留 条件式と して以 下の式を得る。

　＆

／

’

1

−

i

・

t

_，

覇

書

｝

−

1

・

L

｛

誌

一

・

，

論

一

1

・｝ こ こ に

，

　 　∂ゐ

・

・

卜

・

・

…



一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（17） ∂

de

　2　 　 　 ∂

de

　 　 　

一

λo

−

1

λ，｝ ’ ［Ke］

iul

　（θ

＝

1

，

2

，…

　ハ弓） 　 　 　 　　 　 　

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（19 ）

咎

一

_・・

一

￥

・・

…・

…一 ・

…一 ……一 …・

・

（・・）

3

完

｝

1

・ト

4

・

側

i

・｝

…

・

・

……・

…・

…・

_（

₂₁

_） 石

r

ζ

d

て躙

1

・

H

λ1｝ τ

写

聞 κ9 ］

’

’

’

”…

（18 ）

型

L

_｝

₁

_。

_i

・ ［

k

・ ］

1u

｝＋∂（ノ

f

＋

f

£） 　こ こ に

，

莇 は

，

」段 階で の全 要 素 数を表す。 　 （18 ）式か ら （21 ）式まで の停 留 条件式を連 立して解 くこ と によ り停 留 解が得られ る。 た だ し

，

これらは

，

変 位

lul

，

厚さ

de

と Lagrange 定 数 λ。

，

｛λ，

1

に関 して の非 線形方程 式とな る た め

，Newton−Raphson

法を用い て収 斂 計 算 を行 う。 2

．

2

．

1　 精 度 検 証 　こ こ で は

，

簡 単な モ デル を使っ て要 索厚の制_約条_件 （（4 ）式）の_範囲 を徐々 に変化さ せ た場 合の_停留解の 変 化の ようすを 調べ る ことに よ り解の精 度の検 証 を 行 う

。

　Fig

．

4に示す よ う な長 方 形の 2_{要 素}モ デル を考え， 総 厚を

一

定に し た う えで

，

要素厚の制約条 件 を徐々に厳し くした と きの_停留解の_様子を調べ _た

。

_{外 力 条件は節点 外} 力と し， 各要 素の境 界条件は すべて水平ロ

ー

ラ

ー

と して 水平方 向 だけの 自由 度 を 考え た

。

こ こでは_{tPenalty 関}

P

42

P

P

ゴ

1

P

多 Fig

．

4　Two

・

element 　model

1

．

00

，

8

、

ミ

ζ

o

・

6 、 0

．

4 　 　 　 　 0

．

2

．

　　　　ρ

　 　 　 　 0

，

0 　 　

、

　　

．

　　

・

1

．

0

・

_Q．

9

1

0

．

8

・

0_き7

_．

・

0

．

61

．

・

05 

tt

；

　　

玩

一

齟

．

i

”

_d

’ ・！

dt

・

憾

　

．

　

．

Fl_“

₅

_！

謙

，

器

i

：

謙

1

噛

ゆ

_四

噸

_鯉

a

Th6ie　1ド Resu［ts　dfFig

、

5

’



t／

・

’

z

」

　　 1　　

．

　 　　　 　　 　　　 　　 　　　 　　 　　　 　　 　　　 　　

．

　 　

・

さ

，

　 　 　

ド

　

幽

1　

1

　　　　　　　 ，

　

．

、

　 　　 　

．

・

　 　 　

・

　

Vl

　“_L

’

_、

”



・

 1

．

｝，

数の 指 数 を κ

＝

600 と し

「

た

6

〜そ の 結果 をTable　l _と

Fig．

5に示 す

。

解は 2要 素の 厚さの総 和

dr．

で無 次 元 化 し てし_）る。

Fig

：

5t

が

，

’

t 制 約 条 件 を変化さ せ た と

・

きの結 果 であ る

。

縦軸に

dli

の停 留 解を

．

tt 横軸に

di

に対 する制 約 条 件の上限 値

d

｝，を

，

そ れ ぞれ

d7

で無 次 元 化し た値 を取っ てい る。

，

Table

　1は；

’

_IF．

_ig

_，

₅

中 の各点で の

db

／

’

d．

ii と停留解

d

ソ砺 の値を示

、

レてい る

。t．

t．

　t

_．．・

　この 結 果よ

、

り

，

停 留 解が許 容 範 囲 外に な る と （d』

fdr

〈0

．

667）

，

解は制 約 条 件の上限 値に十 分な精 度で収 束 じ ているこ と

’

が 分が る。

．

　 囗 　

・

11

．

　

、

　

』

　

・

1 「

3．

数値 解析例と考察　 　

・ ’

1

’

　

．

1

・ ．

　　 　　 ∴ 　

／

t

　

tt

’

卜

次に

，2

章で導いた停 留 条 件 式 を 用い て行っ た数値解 析の結果 を示す

。

　 　 　

1’

・

　

．

　 　

・

　 　

．・ ．

・『

．

・

』

，

3tl

：

．

解析内容 　

『

∵ 　　　

、

一

　

．

’

　

・

．

　　　　　

，

　 本論 文で は

，、

Fig．

6に示す よ う な6 要累の

FEM

モ デ ル を建 築 物の_{最 終}形状と し

．

て

，

その形 状に至 る5っの増 築

TYPE

（

Fig，

7．

）を仮 定し た場合の；

．

評価関 数

．

（

・

（1

−

1＞ 式

，

（1

−

2）式）や制 約条件 （（

．

4 ）

，

、

e6

）式）の設 定 方 法

，

あるい は外 力 条 件の相違 が

1

停留解やひずみ エネルギ

ー

に及ぼ す影 響につ い て考 察す る。 1 こ

・

の と き

，

各 要 素の厚 さ以 外の パ ラ メ

ー

タ （面 積

，

材 料物性）は すべて同 じ も の と す る

。

．

ま た

，

・

各 要 素の境 界 条件は_， すべ て水平ロ

ー

−

L ラ

ー

と して水 平 方向だ けの 自由 度 を考える

。

な お，

、

今回 は最終形状に至る途 中 段 階で の比 較は行わ

_ず

，

；

すべ _て最 終 段階で iの解 （厚さの分 布 ）と ひずみエ _ネルギ

←

を比 較 す る。　

tt

　まず

，

評 価 関 数は以 下に示 す よ

』

うな

2CASE

にっ い て比較を行っ た

。．・

　　　 　

・，

　 　

．

　 　

・

　

・

 

CASE

　

1

：

・

_{評 価関数 （}（

1・1

式）

』

を用いて， 各 段 階 ご とに追 加 され た

1

増 改築 等 ）

．

要素の み に最 適 化 を 施す

。

1 2 3 4

_み

_妨

LOOO

　唱

α

6670500

．

「

幽

7

　　　

1 ■

噛

₀

_．

₆₆₇

　　　℃

广

0

　

．

　　　」

667 　 「

0．

5001

PPPPPP

　 22222

“

　 　

_の

ρ

0

_・

　 　 凰 ー 1 　 F P

，

　

、

，

2P2P2P2P2P

　 　 　　 　 　Analysjs　model 　of　f亘na 且shapU

’

　　

匚

　　　　　　

t　

・

t　

／

tt

　　

，

　　

i

．

　　　　　　

L

　 　 　

　

　

，

　　　 　　　

　

　 　

ロ

　＋　　 　　　

　

　　　

し

　

　

ロ

　

　

，

　 　　　　

　

tt

．

／

　　　

口

・

1em

・_典ts　t・

be

・_ptimized　

iri

　’neW 　st・p

一

署

岬

・

卿

ゆ

_吶

・・…

P

・

　　　　　　レ

　 　 　

畠

　　　

．

蟹

・

　　　　

」

駕

，　　　

・

，

　

．

 」

　　　　1

：

　TYPEO l

ト

y

　 　 　 　

’

‘ t 　 　 　 　

’

舮



_」

_{F 「}

．

_、

，

1　

」

’　

噛

1

．

「

t尸

／

i

、

一 　

，

， 　 彡タ

・

、

ド 　 ∫

YPEl

k：

・

一

、

「 　 　 　 づ

易

／

TYPE3 ・

、

」

　　

匹

TYPE2

　 　

tt

，

一 一

t1

彡

易

蕩

　　 　 　 　

・．

1、

．

　　 LTYPE4

，、



_，

一

：

乍ig

．

₇Analy≦is　m6d 削s　con 』ld6ring　extensi6n 　of　

bulVd

　thgs　

tl

 

・

CASE

　

2’

：_評価_{関 数} （（ユ

ー

2

_式）を_用いる

。

こ の とき 各 段 階の構 造 物の存 続 期 間

』

t」は

一

定で既 知と する

ト

。

tt

_．

外 力 条 件は_{節 点 外 力}と物 体 力の

2

通 りを考え る』 節 点 外 力は

，

各 要素に同 じ物体力が加わ つ た と仮 定じ で

，

そ れ を各 節 点に等分 配 し た と きの合力 と し

・

て与え る。

’

例え ば_， 各 要 素に 4P の 物 体 力が加わ っ て い 葛 と す る と

，

．

各 節 点に加わる節 点 力は

，

最 上 層の 節 点に

P ，

．

それ 以 外の節点に は

『

2P 加わ る ことに な る （

Fig，

6参照）

。

．

．・

　ま た

，

要 素 厚の_{制 約 条 件 （（}4 _{）式 〉}はザ 与え な い場 合と

，

許 容 範 囲を；6要 素の厚さの合 計 をD。とし た と ぎに

，

_要素に_関係な く厚さの_{平均値 D ，／}6に対 し てボ± ユ0％

，

±

30

％

，

±50％ の

．

3通り で与えた場 合の計 4通 り で解 析し た。 た だ し

，

物体力を与え た場合は評価 関数 の性 質 上

，

要素厚の制 約 条件無しの場合には解が存在し

6

輔・

_initial　value6543 　 　 　 　0

膠

2　　

冒

1　　0　　1　　2　　　　0 ぴノ♂ 5　 　 0　 　 　 　5 　 　 　 ぴ Fig

．

8_Distribution　of　optima 正50】u 巨ons　and　strain 　energy 　of 　 　 　TYPEOw 重th　the　nodak 　force　given_（Broken　lines　in

．

　 　 　idicate　initial　values 　of　thickness

．

）

ないので これ を省いた

。

ま た，総 厚の制 約 条 件 （（

6

）式 ） は

，CASE

　

I

と

CASE

　

2

で与え方 が 異 なっ て い る。

CASE

　1は_，最終形状で の総 厚を

一

定とするだ けで な く

，

各 増築段階で増築さ れ る要素に対して総 厚の制 約 を課 し てい る

。

そ して

，

各 段 階で の最 適 化 を行 う要 素の総 厚 を 変化さ せ て

，

停 留 解と その ひずみエ _ネルギ

ー

分 布の変 化 の様子を調ぺ _る 。

一

方，

CASE2

で は， 途中段 階での総 厚

dr

の_{制 約条件}は与えてお らず

，

最 終 形 状の 6要 素に 対 しての み制 約 条 件を与えてい る

。

そ して_， 途 中 段 階の 総 厚

d

アは自動 的に決 まるもの とし た

。

ただし， 両 ケ

ー

ス共に

，一

度 付 加され た要 素は

，

それ以 降の段 階では

，

従 属 変 数 化す る こ とに よ り同じ性質の もの とし て取 り 扱っ て い る。

3．2

解 析 結 果 　以下に

，

_解析結果 を示す

。Fig．

8は

_，

　

TYPEO

の モ デ ル を用いて要素厚の_制約条件を与えず， 節点 外 力 を与え た場 合の  停 留解

de

，   単 位厚さあた りの ひずみエ ネ ルギ

ー

分布

ue

／

de，

お よび  ひずみエ ネルギ

ー

分 布

ue

の_結果であ る。 ま た，   の点線は厚さの初 期値 を示す

。

縦 軸は層

，

横軸は厚さ お よび， ひずみエ ネルギ

ー

を示 し て いる。 厚さ は

，

軸 対象に分布す る ものと して

，

軸の中 心 を

0

と して分 布 を示し た。 ま た

，

材 料 定 数お よ び面積 は各要素で

一

定と し た

。

この場合， 増 築を せずに

一

_度に すべ _ての要 素 を最 適 化す るの で，

CASE

　

1

と

CASE

　

2

の いずれ の評 価 関 数を用い ても停 留 解は同じ になる。 　これより

，

厚さの分 布は最上層か ら順に

，

1：3：5 ：7 ：

9

：

11

の 比 に なっ て お り

，

こ れ は そ の ま ま

，

各 要素が 負担してい る 力の大き さの比率と

一

致し ている

。

そ して_， 各要素の_単位厚さ当た りの ひずみエ ネルギ

ー

は_，

一

定に なっ てい ることがわか る

。

つ まり， 各要 素の単 位 厚さあ た りの外 力の負 担量 が

一

定， ひい て は

，

単 位 厚さ あた り の ひずみエ ネルギ

ー

が

一

定に な るように厚さ の分 布が決 まっ てい る といえ る

。

本論文では こ の モデル を以 下の結 果の基 準 値と す る。

一

₁₆₈

一

゜

ミ p 21

．

81

．

61

．

41

．

2 e

．

8eso

．

40

．

2

■ TYpeo 　　圏TYPE1　　圏TYPE2　　口 　TV？E3　　口TYPE4

Fig

．

　gComparisen　of　total　strain　energy 　with　the　nodaHorce 　 　 　9］ven

3，

2

．

1　 評 価 関 数の停 留 解に与え る影 響

　各 評 価 関 数を用い た場合の解析結果 を

Fig．

9，10に示

す。

Fig．

9は

，

各

CASE ，

　

TYPE

の 全ひずみエ ネルギ

ー

の結 果 を示して いる。 ま た

，Fig．

10 （

1

）は

CASE

　1

，

TYPE

　

3，

　

Fig．

10

_（【

1

_）は

CASE

　

1

_，　

TYPE4

_，　Fig

．

10（  ）

は　

cAsE

　2

，

　

TYPE

　

3，

　

Fig，

10 （】

V

）　は

CAsE2 ，

TYPE4 の結 果で

，

左か ら順に  _停留解 de，   単 位 厚 さあ た りの ひ ずみエ ネル ギ

ー

分布

ue

／

de

，   ひずみ エ ネル ギ

ー

分 布

ue

を示 して お り

，

最 初の 図の 点 線は TYPEO の _{停 留 解 （}

Fig．

8  の実 線）を示し て い る。 こ こで

CASE

　Iの 場 合に は_， 各 最 適 化 段 階で最 適 化を行 う要 素に関する総 厚の制 約 条 件 （（6 ）式 ）が 必要と な る

。

今

，

全要 素数 6での厚 さの総 計 をD，

，

最 適 化を行う 要 素数 を n。と す る と， dr

＝

　（Dτ／6）ne を制 約 条 件と して与 え た

。

ま た外 力 条 件 として は

，

節 点 外 力 を与え た

。

要 素 厚の制 約 条 件 （（4＞式 ）は与え な かっ た

。

ひずみエ _ネル ギ

ー

の 値は すべ て TYPEO で の ひ ずみ エ _ネルギ

ー

U° で無 次 元 化 して い る。 これら の結 果か ら

，

最 終 形 状だけ の最 適 化 を施した

TYPEO

が

，

他の TYPE よ りもエ _ネ ル ギ

ー

的に_{安 定}して い る こと が分か る

。

これは ご く_当然 のことであ る が

，

他の

CASE

の よ うに厚さの_{制 限}を受 け たり

，

増改築 等に よ る 要素に加わ る荷 重 条 件の変化 が ない こと が大き な要因である

。

　次に

CASE

　

I

では

_，

薄い要 素の上に厚い要 素が載っ て いる よ うな いびつ な形 態が得ら れ

，

ひずみエ _ネル ギ

ー

もか な り大き く なっ ており

，

形状で も

，

ま たエ _ネル ギ

ー

的に も

TYPEO

に比べ _{て不安 定で あ る} こと が分か る。 ま た

，

増 築を行っ た （要素を追 加し た）部分の 直 下の _要 素の単 位 厚 さ当た りの ひずみエ _ネル _ギ

ー

が

，

他の要素に 比べ_{て とび抜け て大き く な}っ て お り， こ の部 分に か な り の ひずみ が生じてい るこ と が分かる

。

これ は最 適 化 を行 う段階で

，

将 来の増 改 築 等の ステップを考 慮してい ない た め に生 じ た と考え ら れ る

。

もし， 評 価 関 数 （1 ）を用 い て設計を行う場合には

，

増築を行う直下の要素の補 強 など を容 易に行え る よ うに配慮 す るこ と が 必要で あ る。

…



’

_TYPEO o

_・

　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　o 2 　

−

1012 　0 　 　 15 　0 　

剛

　 ♂　 　 　 ぴ！

8

　 　 　 （

1

＞

幽

CASE 　1

，

　TYPE3 ぴ 10 654321

…

TYPEO

　　　 

o

・

2　

・

1　0　 1 　 　 　 0 2　 　0　 　 　 　5　 　 0 　 　 　 ぴ1di （皿 ）　CASE2

，

　TYPE3 び 5 4 2 20

一

゜

鱒

_TYP 耳0 32 654321

…

_TYPEO

 

　

6 　 　 54321 　 　 　6

＠

、

　 　

’

5 　 　 　 0　 　 　 0　 　 　 0 　 　 　 　0

−．

1　 0　 1 　 　 　 　 2　　　　0　　　　　　　15　　　0　　　　　　　10　　　　　　

−

2　　

−

1　　0　　1　　2　　　　0 　 　 　 5 　 　 　 ぴノ

di

　 　

d

　 　 　

「

び1dt　 　 　 ぴ

　 　 　 　　（ll）_CASE 　1

，

　TYPE4 　　　　　　　

、・

　　　　　（

W

）　CASE 　2

，

　TYPE4 　 　 　 　Fig

．

10　1nfluences　o 正objective 　functions　on　opti

．

ma 【selutions 　andstrain erLergy

〔Broke

_唄

in，s　indicate　optimal 　solutiQ 皿s　Qf　TYPEOc 。［respQndent 　te  　in　Fig

．

　S

．

）

432 Oo

　

ぴ 5 ま た_， 増 築の TYPE に よっ て も 解

，

ひずみ エ ネルギ

ー

の変 動が大きい の で

，・

増 改 築の方 法が設 計 変 数 （位 相 決 定 ） の

一『

？とな る ことも考え られ る。 　

一

方

，

CASE 　2の場合はい ず れの TYPE において も

，

停 留 解

，

ひずみエ ネルギ

ー

分布と も

TYPEO

に 近い値 を示し て いること か ら

，

か な り最 終 形 状の 影 響 を 受けて い ること が 分 か る

。

ま た， 増 築のパ タ

ー

ンに はそれ ほ ど 影 響を受け ていない こと が 分 か る

。

ま た， こ の方 法は， 各ス テッ

’

プで の構 造 物の状 態 と最 終 的な構 造 物の状 態の 両 方を考慮し ているので，

CASE

』

1

に見ら れ る よ う な 不 安 定な形状や， ひずみエ ネルギ

ー

の特定の要素へ の偏り を回避でき る評価関 数と して今 後か な り有 効に利用でき る。 3

．

2

．

2

_．

制 約 条件の停留解に与え る影響



厂

．

　本 節では

，

制約条件の解に対す る影 響につ いて考 察す る

。

具 体 的に は

，

厚 さの許 容 範囲 を変え た り （要 素厚の 制約条 件 式 （（4） 式 ）の範 囲 を 変え る）

，

与え る厚さの 総 量 を 変え る （総 厚の制 約 条 件 式 （（

6

）式 ）の総 量

d

， を変え る）こ

’

とによっ て

，

停留 解

，

ひずみエ ネル ギ

ー

が どの よ うに変 化す る か を調べ _る 。 　厚ざ の許容範囲 は，（a）厚さの平 均 値 （

DT

／

6

）±

10

％

，

（

b

） 平 均値±

30

％

，

（c_）平均 値土

50

％の

3

通りで_行っ た。 外 力は節点外 力を与えている。

Fig．

11は各

TYPE

の無 次 元 化し た全ひずみエ ネル ギ

ー

の_結果を示し てい 　 2 　 L8 　L6 　1

．

40L2

書

1 　 0

．

80

．

60

，

40

．

2 　 0 圏　T

’

VPEO　阻　胃PE】_母TYPE2 　口　胃 陀_3　口  E4 1

「

三

炉

【

｝

7

「

：

”

1：

「

”

「

．

艦

．

．

「

　

凵

．

」

±

．

置o％

”

雫

’

齟

’

　

「

．

r−−r．

　

　

　

　

　

、

−’

f

．

”

・

・

ウ

」

・

・

」

」

幽

．

．

．

　

　

　

　

　

、

・

卜

・

・

7

CAS田 　 　CASE2 　　 （a） CASEI　 CASE2 　　　（b）士3G％ CASEI　 　CASE2 　　（の 士50％ FigJ1

_．

C。mp ・ri・・n ・ft・t・1・t・ai・ ・n・ ・gyu

_呻

・thg

F

・d・l 　 　 　 force　and　the　constraint 　conditions 　of　element 　thick

−

　 　 　 neSS る

。Fig．

12（

1

｝は

TYPEO

の モ デル に制 約 条 件 （a＞ を与え た場 合と各

CASE

の

TYPE

　

3

の停 留 解の結 果

，

Fi9．

12（

n

）は

TYPEO

の モ デル に制 約 条 件 （c）

’

を与 え た場 合と各

CASE

　Iめ TYPE3 の 停 留 解の 結_果を示 す

。

点 線が要 素 厚の制 約 条 件 式 （（4）式 ）を与え ない

TYPEO

の結 果で あ る。 ま た

，

　

Fig．13・

は

TYPE3

を 用

い た と きの厚さの許 容 範 囲の違い による

単

位厚さ あ た り

の ひずみエ _ネル ギ

ー

分 布 を示 して いる

．

。 これ よ り

．

以 下の

　

…

TYPEO （no 　constraint　condition　

Eq．

（

4

）） 6　 　 　 6 4 4 0

_・

　 　 　 　0 2

−

1012 　

−

2

−

1012 　

，

2

−

1012 　 　 　

CASEl

　　　　　　

CASE2

　 　TYPEO 　　　　　　 TYPE3 　 　 　 （

1

）　D7／6±10 ％

…TYPEO

（no 　constraint　condition　Eq

．

（4））

654321 654 　 　 　 0

−

2

’

1 °

〆

2

’

2

’

t °

di

　12

−

2

−

1 °

di12

　 　 　

CASEI

　　　　　　

CASE2

　 　

TYPEO

　　 　　 　 　　 　　 　　TYPE3 　 　 　 〔］ ）　　P

τ

／6±50％

Fig

_．

₁₂

1nf1皿ences 　of 　the　censtraint 　conditions 　of 　 element 　 　 　 thickness　on　optimal 　solutions ｛Broken　hnes　indicate 　 　 　 。ptimal　sDLutions 　of 　TYPEOco 【resp 。ndent 　to   in

　 　 　 Fig

．

8

．

） 　

TYPEO

あ るい は

CASE2

で は

，

要 素 厚の制 約 条 件 が厳し く な る ほど， 全ひずみエ ネルギ

ー

_{が増 大し ている} の に対して

，CASE

　

I

では

TYPE

に より差がある。 こ れ は

，CASE

　1は制 約 条 件を 設 ける こ と によっ て特 定の 要素の ひずみエ_ネル ギ

ー

が過 大に な るの を 回避し， 全ひ ずみエ ネル ギ

ー

を減少さ せ る場 合がある か らである

。

　ま た

，

上層 部は要素厚の_制約条件の下 限値で

，

下 層部 は 上限 値で制 約さ れて いる。 こ の こと は， 要 素厚の制約 条件な しの 場 合の 停 留 解か ら推 測で きるe これ よ り全 体 的傾向と して_， 上層部の単 位 厚さ あた りの ひずみエ _ネル ギ

ー

は小さ く， 逆に下 層 部は大 きく なっ て い るこ と が わ か る。 　これら の こ と か ら

_，

要素 厚の制約条件を与え ることに よっ て

，

各 要素の過 大な変化 を抑制で き る （

CASE

　l）

一

_方で ， 最 適 解に至る こと を拘 束 して しまう （

CASE

　2） とい う現 象が生 じてい ること が分か る

。

　次に

CASE

　

1

の場 合， 各 段 階で最 適 化さ れ る要 素に 与え る総厚を変化さ せ ることに よっ て， 停 留 解， ひずみ エ ネル ギ

ー

が どの ように変 化 する かを 調べ た

。

結 果は

一

₁₇₀

一

65432 O　 　 　 　O O　 　 　 5　 　 0　 　 　 5　 　 0　 　 　 5 　 　 び1d 　 　 　 　u

‘

tde 　 　 　

crldi

　〔a）±

10

％　 　 （

b

）±

30

％　 　 （c）±50％ 　 　 　 〔

1

）　CASE 　l 65432 65432 O　 　 　 　O 　O　 　 　 5　 　 0　 　 　 5　 　 0　 　 　 5 　 　 　び1ず　　　 　　　　

u ”

tde　　　　 　　 びfdt 　 （a）±10％_（b_）±30％_（c_）±50％ 　 　 　 （∬）　CASE 　2

Fig

_．

₁₃1nfluences　of　constraint 　conditiQns 　of　element 　thick

・

　　　 ness　on　stra 孟n　energy 〔Broken　

Ilnes

　indicate　optimal 　 　 　 §。lutions　of 　TYPEOcQrresp 。 駐denけ 。  in　Fig

，

8

．

_）

43

．

s32

．

5

覧

2 ⊇ 　 1

．

51o

．

s   25％ 50％ dTXDT ｝ 7S％

Fig

．

14　A　reLationship 　between

d

．　and　σ　（The　results　are

　 　 　normalized 　by　these 　Qf 　TYPEO

．

_〕

TYPE 　I

〜3

にっ い て示す。 こ こ で は

，

第1段 階で与え る総 厚を

d

。と して最 終 形 状での 総 厚

Dr

の

25，50，

75 ％の 3通 り の 条 件で 解 析を行っ た

。Fig．

14 は

，

各

TYPE

の_与え た総厚と全ひずみエ ネル ギ

ー

の_変化の様 子 （細 線 ｝を示し てい る

。

ま た，

Fig．

14に は第 ユ ステッ プで与え られた総 厚

d

，と

TYPEO

の制 約 条 件な しで得 られた停留 解での その部分の総 厚 鷁 との比 d，／畊 （太 線 ）も示し て あ る。

Fig．15

（

1

）は，　TYPE3 を 用い た場 合の

25

％ の _結果

_，Fig．

15（艮 ）は 75％の 結 果 を

654321

… TYPEO

　　　

d

　

6 　 　 　 54321

ト

5 　 　 　 　

『

61

　   ．

　 　 　 　 5

層

₄₃₂ −

」

O 　 　 　 　 2

 

　

， 1

．

8 o

_．

　　 　　 　　 　　 　　 　o 2　　

・

1　　0　　1　　2　　　　0 　 　 　 50t　 O 　 　 　 10 　 　 　 　

’

ぴ1♂

』

　 　 　 び

．

　 　 　 　

・

〔

1

）　

d

霧

d

甼

＝

25 ％ 　 　 　

：

　　　　　　　

．

　

F

　6

セ

　54

．

32t ∵

・

，

TYPEO

・

1



 

　

6’ 　 　 　 5

・

4 1

．

61

．

4 321 　 1

．

2

巻

1

：

：

：

0

．

20

圏 　TrPEO　　 圈 　TYPET 　　 国　TTPEI 　　団 　胃PE3　　

’

口　WP 困

 

「

6

・

　 　 54

　 1321

　　　　　　；

・

 



Fig

・

16　C・mpa 「is°n°f

　t°taL　stTain　ene「gy　with　the　b°dy

，

［

°「ce 　

．

　

．

　　　　　　　　　91ven　　　　　　　　

｝

　　

、

0　 　 　　 　 　 　　 　0 　

₋

　 　 　 　0 2

−

1

_．

°

〆

2 °

・

・

’

ぴ、

ゲ

゜

’

°

．

層

ぴ 5 　 　 　 （皿 ）　　d7／d甼

＝

75％　　

’

Fig

．

15



1nftue_＃ces

ρ

f

　the 　con 等traint　conditions

・

of 　total　t

_与

ick

曾

　 　 　n色ss　on　strhip　energ ゾ （Brbken　

hnes

　indicate　opti皿al

　 　 　solutions 。f　TYPE 　O　cor ｝esponddent 　tq（

D

　in　Fig

．

8

．

_）

　　　　　　　

1 示し てい る

。．

これより

，

_智

改 築を

_考

慮し た場合に は_{， 総} 厚の制 約 もt

、

停 留 解

，

ひずみエ ネ丿ヒギ

ー

に か な りの影 響 を及ぼ す こと が分か っ た ε

．

そ し て

，

その比

d

ヲ碍 が 1 に近い， つ まゆ

TYPEO

に条件が近い もの ほど特 定の 要素

K

の ひずみエ ネルギ

L

の集 中 度や

，全

ひずみエ ネル ギ ＝ が小さく な る

’

こ

．

とが

秀

が

る。

、

　　　

’「

∴

　

ま た， 実 際の構 造 物で は空 間 的な要素厚の制約 条 件， あるい は総 厚の制 約 条件は 必ず必要であり，

．CASE

　

1

の ような評 価 関数 を 用い さ る を 得 ない こ ともあ る の で

，

そ の際にはこ れ らの_制約条 件の与え方が重 要と な る。

．

3．2．3

　 外 力 条 件の停 留 解に与え る影 響 　次に外 力 条 件 を 物 体 力とした場 合の結果 を

Fig．

16

，

17 に示す

。

物 体 力の場 合

，

評価関 数の性質 上

，

停 留 解 は

，

最下層の要 素にすべ て の重 量が集 約し た と き

，

す な わ ち 最下 層以 外のすべて の要 素の厚さ が0になっ た と きで あ り

，

現実問題に そ ぐわ ない。 し た がっ てそ れ を防ぐ た め に

，

要素厚の制 約 条 件 を与えて解 析 を行 うことにする。 そ し て

，3．

2

．

2節と 同 じ制 約 条 件を_与え る ことに よ り

，

物 体 力と節 点 外 力で の停 留 解や ひずみエ _ネルギ

ー

の相 違 を調！くる

。

』

し たがっ て

，

初 期 条 件では

，

各 節 点 力に置 換 し た と きに

，

3

．

2

．

2節の節 点 外 力と同じ大 き さ に な る よ うに物 体 力 を与え る

。

　

解 析は

，

要 素 厚の制約

条

件を節点 外 力の場 合 と 同 様に_， （a）厚さ の平均値 （

D

，／

6

）±10％， （

b

）平 均 値±30％， 5 6 4 654 2

　　　　　　　　　 　

ヨ

…

_bpdy 　

fo

・ce

−

h

・

d

・

l

　

f

・ ・ce 　 　 　

b

’

　 54 　 　 　 　

．

0

厂

2

−

1012 　0 　 　

・

5 　0

： ’

　 5

　　　　

ct

’

　

_{． ．}

』

u

”

tde



_．



_．

ぴ



_，

Fig

・

17

・

1・fl… c・S

．

。f_‘

h

・

．

_．

19

・

di

・g岬 iti… 。・

rt

・ai・ ・n

_．

9

・gy

：

〔Sqlid　li・

9

・and　

b

・・

．

k

・・ 1｛… i・

di

・a… hr・

ll

・e ・f

_、

．

・h・

’

　　　

noda 且force　and　th

’

at　of　the

’

bodiy

’

force

．

　And　the　con

．

　 　 　 straint　conditi 。n 。f　element 　thickness　is　D_．／6土50 　 　 　 ％

．

）　

卜

．

　

．

　 ド

．



「

』

．

（c） 平 均 値±50％ と じ

・

た と

・

きで行っ だδ

Fig

，

．

16は各 CASE

_，

　TYPE での全ひずみエ ネル ギr の比較で あ る

。

ま

1

た

，Fig．

17

は

CASE

　

2

_で

TYPE

　

3

の モデルを用い， 要 素厚の制 約 条 件 （

b．

）を与え た場 合の節 点 外 力と物 体 力での  停 留

ge

　de

，

  _{単 位 面 積あ}た り の ひずみ エ _ネル ギ

ー

分 布

U

” ／

de

，

  ひずみエ _ネル ギ

ー

分 布 ue を 示 し てい る。 実 線が節 点 外 力を与え た場 合

，

点線が物 体 力を 与え た場合であ る。 　これらの結 果からt 物 体 力を与え た場 合の全 体 的な傾 向は

，

節 点 外 力を加え た場 合と同じで あ ること が

分

か る。 Fig

．

16 とFig

，

17の 結 果より

，

_物体力を与える と

，

節 点 外 力 を与えた場 合に比べ て全 体 的に ひずみエ _ネルギ

ー

が 減 少し ており

，

その差は

_，

要 素 厚の制 約 条 件が緩い ほ ど大きい こと が分か る

。

Fig

．

］7は そ の顕 著な例で ある

。

こ の理 由は

，

物 体 力 をか けた場 合

，

厚さの分 布の変 化に 応じ て

，

各 節 点に加わ る物 体力自体も変化するた め

，

そ れ にともなっ て全ひずみエネル ギ

ー

が減少し た と考え ら れ る。