(第26回 地 震 工 学 研 究 発 表 会 講 演 論 文 集(2001年8月))
因果性 を有 す る地 震 波 の
位 相 と振 幅 の 関係 に つい て
本 田 利 器1・ 澤 田 純 男2 1正 会員 工 修 京都 大 学 防 災研 究 所(〒611-0011京 都 府宇 治市 五 ヶ庄) 2正 会員 工博 京都 大 学 防 災研 究 所(〒611 -0011京 都 府 宇治 市五 ヶ庄) 地 震 波 等 の 波 形 の フ ー リエ 変 換 は 広 く用 い られ て い る概 念 で あ る が,そ の 位 相 と振 幅 ス ペ ク トル の 関 係 に つ い て は 明 らか で な い 点 も 多 い.本 検 討 で は,離 散 化 され た 時 刻 歴 波 形(複 素 信 号 ま た は 実 数 信 号)が 因 果 律 を 満 た す こ と を 条 件 とす る こ とに よ り,位 相 と フ ー リエ 振 幅 の 間 に 成 立 す る 関 係 を 定 式 化 で き る こ と を 示 す.ま た, そ の 定 式 化 を用 い て,位 相 の 値 の み か ら 元 波 形 を復 元 す る 手 法 を提 案 し,数 値 計 算 に よ り妥 当 性 を示 す.さ ら に,数 値 シ ミュ レ ー シ ョ ン に よ り,位 相 が 変 化 す る こ と に よ る振 幅 ス ペ ク ト ル の 変 化 に つ い て 検 討 す る.Key Words : causality, phase, amplitude, signal synthesis
1.は じ め に 地 震 波 形 の 合 成 は,地 震 工 学 に お い て 重 要 な 課 題 の ひ とつ で あ る.非 定 常 過 程 で あ る 地 震 波 の 合 成 に お い て は,地 震 動 の 周 波 数 特 性 を 表 す フ ー リエ振 幅 と,時 間 的 な 変 化 を 表 す 位 相 の 両 者 を考 え る こ とが 重 要 で あ る.一 方,こ れ らは 独 立 に 決 定 さ れ る も の で は な い 可 能 性 も指 摘 さ れ て お り,位 相 の 情 報 か ら 波 形 を合 成 す る 手 法 に つ い て の 報 告1)も あ る. こ の よ う な 背 景 をふ ま え,本 研 究 で は,離 散 信 号 波 形 を対 象 と し て,そ の 波 形 が 因果 性 を有 す る と い う 条 件 を用 い る と,位 相 の 情 報 の み か ら 元 波 形 を 合 成 で き る 事 を 示 し,ま た,位 相 の 変 化 が 波 形 の 諸 特 性 に 与 え る 影 響 に つ い て も検 討 す る. 2.位 相 か ら の 波 形 合 成 方 法 (1)因 果 性 を有 す る 時 系 列 信 号 長 さN(Nは2の 階 乗)の 離 散 時 系 列 信 号Sn(n= -N/2+1 ,...,-1,0,1,...,N/2)を 考 え る.そ の フ ー リ エ 級 数 を3(ωn)と す る.た だ し, で あ る.こ こ で, (1) (2) と お く.時 刻tn=nΔtに お け る 信 号 の 値 は, (3) と表 され る.こ こ で,iは 虚 数 単 位 を表 す. 離 散 時 系 列 の 場 合,因 果 性 を 有 す る 時 系 列 は,n= -N/2＋1 ,...,-1に つ い て (4) を 満 た す 信 号 と考 え られ る. 以 下,こ の 因 果 性 に 起 因 す る 条 件 を 用 い る こ と に よ り,実 信 号 及 び 複 素 信 号 に つ い て 位 相 スペ ク トル の み か ら振 幅 ス ペ ク トル を算 出 す る こ とが で き る こ と を 示 す. 位 相 は 与 え ら れ て い る の で,振 幅 ス ペ ク トル が 算 出 さ れ れ ば,時 刻 歴 波 形 を合 成 す る こ とが 可 能 とな る. (2)複 素 信 号 の 場 合 まず,対 象 とす る 時 系 列 信 号 が 複 素 数 の 場 合 に つ い て 述 べ る. 式(3)を 式(4)に 代 入 し,実 部,虚 部 そ れ ぞ れ が0と な る こ と を 独 立 に 記 す と,n=-N/2＋1,...,-1に つ い て (5) (6) と な り,2(N-1)個 の 式 が 得 ら れ る.い ま,位 相 θn,(n= n=-N/2＋1,...,-1,0,1,...,N/2)が 既 知 で あ る と す ―173―
る.DC成 分 が0で あ る と し て,S0=0と す る と,未 知 数 は2N-1個 のS.と な る.振 幅 の 絶 対 値 は 求 ま ら ない た め,あ る整 数Mに つ い て フ ー リエ 振 幅SMは 与 え る もの とす る.こ のSMの 項 を右 辺 に 移 行 す る と, (7) (8) が 得 られ る.例 え ば,M=1,3M=1.0と お くこ とが で き る.こ れ は,2N-1個 の 未 知 数 に 対 す る 同 数 の 連 立 一次 方 程 式 に な る の で 解 く こ と が で き る.こ れ を 解 く こ とに よ り振 幅 の 情 報 が 得 られ,既 知 の 位 相 情 報 とあ わせ る こ とに よ り フ ー リエ 振 幅 が 算 出 され る.こ れ を フ ー リ エ 逆 変 換 す る こ と に よ り時 系 列 波 形が 得 られ る. (3)実 信 号 の 場 合 こ こで は,対 象 とす る 時 系 列 信 号 が 実 信 号 の 場 合 に つ い て 述 べ る.こ の 時, (9) (*は 複 素 共 役 を 表 す.)で あ る た め,j=1,...,N/2-1 に つ い て, (10) とな る.ま た,虚 数 部 が0に な る こ と を示 す 式(6)は 考 え な くて よ い.し た が っ て,式(5)に 相 当 す る 式 の み を 考 慮 す れ ば 良 く,こ れ は (11) とな る.虚 数 部 が0と な る こ と よ り (12) で あ る こ とか ら, (13) と し て よ い.こ こ で, (14) で あ る こ と,及 びDC成 分 を含 まな い と仮 定 してS0=0 とす る こ と を考 慮 す る と式(1)は, (15) (a)元 波 形 (b)合 成 波 形 図-1 元 波 形 と提 案 す る手 法 で合 成 した波 形(実 信 号)と の 比 較 とか け る.複 素 信 号 の 場 合 と 同様 に,あ る 整 数Mに つ い て フ ー リエ振 幅3Mは 与 え る もの とす る と, (16) が 得 られ る.(M=N/2と し た 場 合 は 別 途 適 切 な 変 形 が 必 要 とな る が,そ の 変 形 は ほ ぼ 自 明 で あ り,ま た, 必 要 性 も小 さい の で こ こ で は 述 べ な い.)以 上 に よ り, N/2-1個 の 未 知 数 に対 す る 同 数 の 連 立 一 次 方 程 式 が 得 ら れ る.こ の 解 を 用 い て 得 ら れ る フ ー リ エ 振 幅 を逆 フ ー リエ 変 換 す る こ と に よ り時 系 列 信 号 が 得 ら れ る. (4)数 値 計 算 例 上 記 の 手 法 を,兵 庫 県 南 部 地 震 の 時 の ポ ー トア イ ラ ン ド 記 録 に 適 用 し た 結 果 を示 す.元 波 形 と し て は,強 震 記 録 を リサ ンプ リ ン グ し,離 散 時 間 間 隔Δt=0.01秒 とみ な し て,デ ー タ数256と し た 実 信 号 を, (17) とな る よ うに正 規 化 した もの を用 いた. 元波 形 と,提 案 す る手法 に よる合成 波 を正 規化 した 波 形の比 較 を図-1に 示 す.同 図か ら,元 波 形 と合 成 波 形が 完 全 に一致 してい る こ とが 分 か る.こ れ は提 案す る手法 の妥 当性 を示 す もので あ る. 3.位 相 の 変 化 が 周 波 数 特 性 に 及 ぼ す 影 響 提 案 した手 法 を用 い て,因 果性 を有す る時刻 歴波 形 の位 相が 変化 す る こ とに よ り周 波数 特性 が 受 け る影 響 ―174―
につ い て 検 討 す る.周 波 数 特 性 は 振 幅 ス ペ ク トル に よ り評 価 す る. な お,位 相 の 値 につ い て は,こ れ を直 接 与 え る の で は な く,群 遅 延 時 間 を 用 い て 定 め る.群 遅 延 時 間78,は, 位 相 ス ペ ク トル θ(ω)を周 波 数 ω で 微 分 す る こ とに よ り (18) と与 え られ る.群 遅 延 時 間 は,対 応 す る 周 波 数 帯 の振 幅 が 大 き く な る 時 間 を与 え る もの と見 なせ,地 震 動 合 成 の シ ミュ レ ー シ ョ ンで も用 い られ て い る1)の. (1)位 相 シ フ トの 影 響 (0)位 相 シ フ ト な し (1)位 相 シ フ ト あ り 図-2同 一の 群 遅延 時 間を有 す る波形 の フー リエ振 幅 式(18)か ら,群 遅 延 時 間 ス ペ ク トル を ω で 積 分 す る こ とに よ り位 相 ス ペ ク トル θ(ω)が (19) と し て 求 め られ る こ とが 分 か る.こ の 時 の 積 分 定 数,す なわ ち,θ(0)の 値 が 与 え る 影 響 に つ い て 検 討 す る.θ(0) は,初 期 位 相 と も呼 ば れ る3)が,こ こで は 位 相 シ フ ト と 呼 ぶ. 図-2(0)に,2.(4)で 用 い た 波 形 の 振 幅 ス ペ ク トル を 示 し,ま た,同 図(1)に,同 じ 波 形 の 位 相 を π/100,π13 (a)位 相 シ フ ト π/100 (b)位 相 シ フ ト π/3 (c)位 相 シ フ ト2π/3 図-3同 一の 群遅 延 時間 を有 す る波の 時 刻歴 及 び2π/3だ け シ フ トさせ た 場 合 に 算 出 され る振 幅 ス ペ ク トル を示 す.ま た,位 相 を シ フ ト させ た そ れ ぞ れ の 場 合 に つ い て 算 出 し た 時 刻 歴 波 形 を図-3に 示 す. 図-2よ り,位 相 を わず か π/100だ け 変 化 させ た場 合 で も振 幅 ス ペ ク トル が 大 き く変 化 し て い る こ とが 分 か る.位 相 を π/3,2π/3だ け 変 化 させ た 場 合 に は,周 波 数 特 性 は 元 波 形 と大 き く異 な る もの とな っ て い る.ま た, これ に と もな い,時 刻 歴 波 形 も 大 き く変 化 し て い る こ とが 図-3か ら 分 か る. (2)群 遅 延 時 間 の 不 確 定 性 に よ る 影 響 位 相 情 報 を規 定 す る 群 遅 延 時 間 に 不 確 定 性 が あ る 場 合 の 影 響 に つ い て 検 討 し た. 群 遅 延 時 間 の 期 待 値 は 元 波 形 の そ れ と一 致 す る もの とす る.ま た,群 遅 延 時 間 は 完 全 に ラ ン ダ ムで は な く, 異 な る周 波 数 に お け る 値 の 相 関 関 数 が (20) と 与 え ら れ る も の と す る.な お,b=0.5,T0=0.1[sec] と し た.こ の よ う な 不 確 定 性 の 影 響 に つ い て,試 行 回 数1,000回 の モ ン テ カ ル ロ シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り 検 討 し た. シ ミュ レ ー シ ョ ン で 作 成 さ れ た 波 形 の 例 の 振 幅 の 例 ―175―
を図-4に,ま た,そ れ らの 時 刻 歴 波 形 を 図-5に そ れ ぞ れ 示 し た.こ れ ら の 図 か ら 分 か る よ うに,振 幅 や 波 形 は 群 遅 延 時 間 の 不 確 定 性 に よ り大 き く変 化 す る こ とが 分 か る. モ ンテ カ ル ロ シ ミュ レ ー シ ョ ンに よ り求 め られ た フー リエ 振 幅 の 平 均 及 び 分 散 を 図4に 示 す. これ ら の 図 に は,200回,500回 及 び1,000回 を抽 出 して 算 出 し た 平 均 や 分 散 をプ ロ ッ ト し て い る.こ れ ら の 図 よ り,統 計 的 な性 格 は200回 以 上 の 試 行 で 一 定 の 値 に 収 束 し て い る こ と を示 し て い る.収 束 値 は 図-2(0) に 示 され る元 波 形 の 値 とは 大 き く異 な っ て お り,高 周 波 成 分 を多 く含 む ス ペ ク トル とな っ て い る.(式(20)に お い て,bやT0の 値 を 変 え た 場 合 に も,同 様 の 結 果 が 得 られ た.)こ れ は,群 遅 延 時 間 が ば ら つ きを 有 す る 際 に,こ れ を あ る特 性 を有 す る確 率 過 程 とみ な し て シ ミュ レ ー トす る と高 周 波 成 分 を 多 く含 む波 形 を 生 成 す る 可 能 性 が 高 い こ と を示 唆 して い る と考 え られ る. 図-4モ ン テ カ ル ロ シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り作 成 さ れ た フ ー リエ 振 幅 の例 (a)ケ ー ス0010 (b)ケ ー ス0020 図-5モ ン テ カ ル ロ シ ミュ レ ー シ ョ ン に よ り作 成 され た 波 形 の 例 (a)平 均 (b)分 散 図-6モ ン テ カ ル ロ シ ミュ レ ー シ ョ ン に よ り得 ら れ た フ ー リ エ 振 幅 の 平 均 と分 散 4.お わ り に 因果 律 を満 た す 時 系 列 を 対 象 と し て,位 相 特 性 の 情 報 の み を用 い て,振 幅 特 性 を 算 出 し,時 系 列 信 号 を算 出 で き る こ と を 示 し た.提 案 す る 手 法 は 実 信 号 及 び 複 素 信 号 の い ず れ に も適 用 で き る. ま た,提 案 す る 手 法 を 用 い て,位 相 特 性 が 振 幅 特 性 に 与 え る 影 響 に つ い て 数 値 シ ミュ レ ー シ ョン に よ り検 討 し た.そ の 結 果,位 相 特 性 の 変 化 は,振 幅 特 性 に 大 き く影 響 す る こ と,位 相 特 性 を確 率 過 程 と し て 波 形 を 合 成 す る と(群 遅 延 時 間 に 相 関 性 を 仮 定 し て も)高 周 波 成 分 が 卓 越 す る 波 形 に な る 傾 向 が み ら れ る こ と,等 が 明 ら か に な っ た.今 後 も位 相 と振 幅 の 関 係 に つ い て よ り詳 細 に 検 討 を し て い く予 定 で あ る. 参 考 文 献 1) 佐 藤 忠 信, 室 野 剛 隆: 位 相 情 報 を 用 い た 地 震 動 の シ ミ ュ レ ー シ ョン 法, 土 木 学 会論 文 集, No. 675 / I-55, pp. 113-123, 2001 2) 澤 田 純 男, 盛 川 仁, 土 岐 憲 三, 横 山 圭 樹: 地 震 動 の 位 相 ス ペ ク トル に お け る 伝 播 経 路 ・サ イ ト特 性 の 分 離, 第10 回 日 本 地 震 工 学 シ ン ポ ジ ウ ム 論 文 集, Vol. 1, pp. 915-920, 1998 3) 木 村 正 彦: 模 擬 地 震 動 作 成 に お け る波 形 制 御 に つ い て, 日 本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集, 第367号, pp. 30-36, 1986 ―176―
