中学校数学科における現実場面を扱った教材の特性に関する研究 : 学習指導過程と数学化の過程に基づく教材の分析と開発

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Title

中学校数学科における現実場面を扱った教材の特性に関す

る研究 : 学習指導過程と数学化の過程に基づく教材の分析

と開発( 本文(Fulltext) )

Author(s)

浦田, 憲一; 益子, 典文

Citation

[岐阜大学カリキュラム開発研究] vol.[27] no.[1] p.[77]-[89]

Issue Date

2009-11

Rights

Version

熊本市立竜南中学校 / 岐阜大学総合情報メディアセンター

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12099/31044

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中学校数学科における現実場面を扱った教材の特性に関する研究

－学習指導過程と数学化の過程に基づく教材の分析と開発－

浦田憲一

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_{・益子典文}

*2 本研究は，中学校数学科の授業において，学習者の学習意欲を喚起し，学習効果を高めるために，身近な素材から開発された現実場面を扱った教材の特徴を明らかにすることと，そのような現実場面を扱った教材を開発するためには，どのように取り組めばよいのか，その方法を明らかにすることを目的としている．調査研究 1（授業設計に即した教材分析方法の開発）では，現実場面を題材にしながら授業において数学の学習を展開する教材の開発方法を検討するために，まずは，そのような教材の特徴を明確にする必要があると考え，平成元年（1989 年）から平成 18 年（2006 年）に至る 18 年間分の「熊本県中学校数学教育研究会研究集録」に記載された，全ての公開授業学習指導案を分析対象とし，授業において学習者に期待されている個々の「学習活動の質」，ならびに，授業の流れに即した「学習活動間の関係性」の2 点に着目し，授業における教材の扱い方の構造を明らかにした．調査研究2 では，第 2 章での分析の結果，グループ B（現実場面教材）と分類されたものを実際に利用し，中学生を対象とした授業実践を行った．その実践の中で学習者の反応を評価し，そこから，確立した教材分析方法の妥当性や，グループ B（現実場面教材）の開発方法の検討を行った．調査研究3 では日常の現実場面から数学に関する新たな教材を開発し，中学生を対象とした授業実践を行った．その実践の中で学習者の反応を評価し，今後の課題について考察した．〈キーワード〉数学教育，現実場面，授業構造図，学習意欲，Ｖ字型グラフ Ⅰ 問題の所在と目的 1 現実場面を扱った教材開発の必要性「先生，何のために数学を勉強するのですか」とか「社会に出てから，数学って必要なのですか」といった，大変素朴ではあるが，数学教師としては少し寂しく感じるような疑問や質問を，時折，学習者から問いかけられることがある．しかしながら，日々の授業において，最初は退屈そうな表情で授業に臨んでいる学習者が，クイズやパズル，あるいは日常的な現実場面の事象に関連付けた数学の話題に触れた瞬間に，目を輝かせたり，思わず声に出して答えたり，その後の学習展開の中で意欲的に取り組むことできたりしたことが，これまでに何回も経験してきたというのも事実である．このように，日々の授業において，学習者が楽しいと感じる教材や，日常的な現実場面の事象に関連付けた適切な教材を用いて授業を行えば，「数学はおもしろい」とか「数学は役に立つ」といった数学に対する興味・関心が高まるものと考えられる．また，もしもそうであるならば，その結果，学習者の学習意欲は喚起され，学習効果を高めることができるのではなかろうかと考えられる． 2 研究の目的学習者にとって現実場面を扱った身近な素材を選択し，教材化することにより，現実世界と結びつけて考えさせることで，学習者にとって数学をより身近なものとしてとらえさせることができるし，自分自身とのかかわりの中で学習内容を理解することができるため，学習者は意欲的に課題に取り組むことができるはずである．また学習した内容が，我々の身のまわりの生活の中でいろいろと役立っているということが実感できるような教材を教師が開発することで，学習者の「数学は役に立つ」という意識を，これまで以上に高めることができ岐阜大学カリキュラム開発研究 2009.11, Vol.27 No.1, 77-89 *1 熊本市立竜南中学校 *2 岐阜大学総合情報メディアセンター

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るという意義があると考える．そこで，本研究では学習者の学習意欲を喚起し，学習効果を高めることが期待できる現実場面を扱った教材を作成するために，次のことを目的とする． ① 身近な素材から開発された現実場面を扱った教材の特徴を明らかにする． ② そのような現実場面を扱った教材を開発するためには，具体的にどのように取り組めばよいのか，その方法を明らかにする． Ⅱ 調査研究1（授業設計に即した教材分析方法の開発） 1 調査の目的現実場面を題材にしながら，授業において数学の学習を展開する教材の開発方法を検討するために，まずは，そのような教材の特徴を明確にする必要がある．一般に，現実場面を扱った数学授業の教材とは，学習者が解決すべき問題が現実の世界にあり，数学化サイクルによって解決されることを目的として開発された教材ということができる．本研究では，特に，授業において学習者に期待されている個々の「学習活動の質」，ならびに，授業の流れに即した「学習活動間の関係性」の 2 点に着目し，授業における教材の扱い方の構造の明確化から，現実場面を扱った教材の特徴記述を試みる． 2 調査の方法 (1) 調査対象平成元年（1989 年）から平成 18 年（2006 年）に至る18 年間分の「熊本県中学校数学教育研究会研究集録」に記載された，全ての公開授業学習指導案を分析対象とする．これらの公開授業は，あらかじめ地域から推薦された中学校数学教師が，時間をかけて準備し，公開した授業の指導案のみが記録されている．指導案の総数は 101 本である．これらをもとに，それぞれの授業がどのような構造になっているのか，その特徴を分析する．その特徴をもとにして，現実場面を扱った教材を開発するためには，どのような視点から素材を捉えることが必要であるかなど，教材を開発するための手順や方法を明らかにする． (2) 分析方法個々の指導案に記載されている，目標，授業の流れなどをデータとして，一つ一つの授業における教材による学習活動を，次の方法で記述していく．本研究では，このようにして完成した学習活動を構成要素とする図を「授業構造図」と呼ぶ（図1）． ⅰ．1 時間の授業を次の 3 つの世界，すなわち「数学の世界」「数学的活動の世界」「現実の世界」に分類し，最上部を「数学の世界」，中央部を「数学的活動の世界」，そして最下部を「現実の世界」とする．ここでいうところの「数学の世界」とは，数学の概念を表した世界で，そこには数学に関する様々な定理や性質などが存在すると考える．「現実の世界」とは，現実場面に存在する様々な事象を扱う世界で，そこには自然現象や社会現象，あるいは買い物のような日常場面における生活行動などが存在する．「数学的活動の世界」とは，「数学の世界」と「現実の世界」の間に位置し，学習課題を操作活動を中心とした数学的な学習活動を通して解決することをめざす世界をいう． ⅱ．1 時間の流れが分かるように，早い時間を「左」，遅い時間を「右」にする． ⅲ．授業構造図における要素の配置は，それぞれの要素が3 つの世界のどこで展開されているかを考え，授業の流れを念頭においてシミュレーションしながら 3 つの世界のそれぞれに配置し，授業展開の構造に従って矢印でリンクを作成していく． ⅳ．授業の流れを表す，「数学的活動の世界」では，学習者の学習活動の内容を楕円で配置し，活動の順序構造に従って矢印でリンクを作成していく．また予数学の世界数学的活動の世界現実の世界早い時間帯遅い時間帯図1 教材分析に用いる授業構造図の枠組み

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想される学習者の反応や教師の手だて，学習形態などは，該当する学習活動へ細線でリンクを作成する． ⅴ．「数学の世界」では，「数学的活動の世界」で展開される学習活動と関連する数学的概念や数学的課題を配置し，数学的課題は楕円で表現した上で，それらが授業の流れに沿って導出される場合には，学習活動と同様の矢印で，学習活動に非明示的に含まれる場合には細線でリンクを作成する． ⅵ．「現実の世界」には，家の構造やモデルとなる天秤，物理的な物体への具体的操作など，その実体が現実に存在する要素や操作を配置し，操作を表す場合には楕円で表現した上で，「数学的活動の世界」や「数学の世界」の要素とリンクを作成する．ここでも，授業の流れに沿って導出される場合には，学習活動と同様の矢印で，学習活動に非明示的に含まれる場合には細線でリンクを作成することとした． ⅶ．授業構造図においては，リンクされた要素間の関係は，矢印が右上がりの場合には「数学の世界」の要素に接近していることを表し，右下がりの場合には「現実の世界」の要素に接近していることを表すこととする．この授業構造図を1 つの指導案あたり 1 つずつ作成する．作成を進める中で，既に授業構造図が作成済みの授業に見直しが必要と判断した時は，再度授業構造図を作成する． 3 調査結果授業構造図を作成していく中で浮上してきた教材のカテゴリーは，グル－プA（総合的教材），グル－プ B （現実場面教材），グル－プ C（活動重視教材）の 3 種類である．グル－プA（総合的教材）は，数学に関する具体的なものの関係から，抽象的なものの関係へとステップを高めて考えることを通して，そこに潜む規則性や定理を見出したり，自ら考え，解決しようとしたりする能力を育てようとしている教材である．教材の特徴として具体的には，ゲームやパズルなどを活用した新しい課題や数学に関するクイズなどが課題として設定されている．グル－プB（現実場面教材）は，現実場面から数学に関する問題を見つけ，その問題の解決を通して数学の楽しさ，有用性を感得することを目的としている教材と考える．具体的には，現実場面の日常性に目を向け，そこに存在する問題を数学的に解決することの不思議さやおもしろさなどを体験し，数学に興味・関心を持つことができると考えられる教材である．グループC（活動重視教材）は，数学に関する具体的操作活動や実験を多用したり，学習形態や学習過程を工夫したりすることで学習効果を高め，主体的に数学を学ぼうとする態度や思考力を育てることを目的としている教材である．具体的には，教科書などで扱われている内容を主とするが，その課題の提示方法や授業での焦点の当て方を工夫して，生徒の主体性や数学的な見方・考え方を伸ばすことを中心に授業展開することが可能な課題が設定されたものである．また，それぞれのグループの授業構造図において，ある特徴が存在することが判明した．グル－プA（総合的教材）は，現実の世界と数学の世界の間を往復する学習活動が見られる．多くの場合は図 3 のように数学の世界からスタートするが，題材によっては，現実の世界からスタートするものもある．グル－プB（現実場面教材）は，現実の世界から課題解決のために直線的に授業が進む場合もあれば，数学の世界と現実の世界を何回か往復しながら課題解決に向かう授業もあるが，最終的には現実の世界と数学の世界の両方へ枝分かれしていくような授業が多い．グル－プC（活動重視教材）は，現実の世界と数学の世界を往復する授業は少なく，どちらかといえば，数学の世界における課題を活動を通して解決し，その活動の数学の世界数学的活動の世界現実の世界早い時間帯遅い時間帯グループC （活動重視教材）グル－プB （現実場面教材）グル－プA （総合的教材）グル－プB （現実場面教材）図2 授業構造図におけるグラフのパターン

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中で数学の理解をさらに発展させる小文字のｖ字型の授業展開が多い． A，B，C の各グループのグラフのパターンは図 2 の通りである． 4 現実場面を扱った教材開発方法に関する考察ここまでの分析および考察から，豊かな学習活動を含んだ，グループB の教材をどのように開発すればよいのか，その概略の記述を試みる． (1) 現実場面を教材として扱った授業の条件 ⅰ 学ぶべき概念は何か．授業において学習者が学ぶべき，あるいは学ばせたい数学的概念を教師が明確にすることは，教材を開発する上で不可欠である．その部分が不明確であると教師が作りたいと思っている教材を開発することが非常に困難である． ⅱ 現実場面とどのような関係があるか．現実場面を扱った数学教材を開発するために必要なことは，その教材が現実場面とどのような関係があるのかを明確にすることである．特に現実場面を扱った問題解決のためには，どのような数学的概念が必要であるかがカギとなる． ⅲ 授業のそれぞれの指導過程で期待するものは何か． ①授業の導入段階では学習者が「問題」に対し，実感をもって理解できるものでなければならない． ②授業の終末段階では「解」が，現実場面の解として意味を持つものでなければならない．その解が，学習者にとって意外性，驚き，おもしろさなどを喚起するものであれば効果的である． ③同様に，授業の終末段階では「解決すること」を通して，学習者が数学的概念の「価値」を理解することができるものでなければならない．上記②と合わせて考えると，現実場面において意外性，驚き，面白さをもたらす解の導出において，数学的概念が効果的に用いられることを知ることにより，現実場面に対する意外性などと合わせ，同時に数学的概念の価値も理解可能となる． ①～③の条件を満たすものが，現実場面を扱った数学教材を開発するのに適した素材であると考えられる．そこで次に，教材化するための素材をいかに選択すればよいか，素材選択のための条件を考察する． (2) 現実場面を扱った教材のための素材選択の条件現実場面を扱った数学教材を開発するためにはいくつかの段階があると考えられるが，その中の最初の段階が「素材選択」である．つまり現実世界に存在する無数の事象から数学で扱う教材に適した素材を選択することは非常に重要であると考える．「素材選択」をするための条件として学習者，授業の流れ，素材（事象）候補立案（アイデア）の3 つの側面から，条件を考える． ⅰ 学習者学習者，すなわち中学生にとってどのような素材が適切であるかを考える必要がある．つまり，現実世界に存在する様々な事象の中から，「中学生にとっての現実性」が存在する素材であるかどうか，換言すればその素材に対して学習者が学習活動を行う意味を感じることができるかどうかは，素材選択をする上で非常に重要な条件であると考えられる．現実世界には学習者がよく知っている現象は数多く存在するし，そのどれもが素材として数学の授業で扱う教材になりうる可能性は持っている．しかし，実際に教材に適した素材であるかどうかというのは，学習者がその素材に対して1 つのルールを見いだすことが可能であるかどうか，すなわち数学的な見方をすることが可能である素材であるかどうかというのが，素材選択の上で重要な条件となってくると考える．このルールについては，規則性であったり，普遍的なものであったりと様々なものが考えられるが，中学生にとって発見が可能な難易度であることが大切であり，適当な難易度のルールが学習意欲を喚起するための重要な条件であると考えられる． ⅱ 授業の流れ「授業の流れ」という観点から教材を見た場合，どのような素材が授業構成に適した教材になりうるかというのは重要な視点であると考える．つまり授業の導入の段階では現実場面を扱った素材が，授業の流れに従って数学の本質に迫る教材へと形を変えていくことができる，すなわち数学的な見方が深まり，数学的な考え方（概念）を高める授業内容にすることができる素材であるかどうかを考える必要がある．換言すれば「現象の数学的

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な見方の導入」から「数学的な見方に基づく概念導出」へと進化する授業構成が可能な素材であるかどうかというのが，素材選択の上で重要な条件となってくると考える． ⅲ 素材（事象）候補立案（アイデア）上記ⅰ，ⅱをふまえた上で，どのような素材（事象）が教材となりうるのか，候補立案をすることが必要になってくる．これは現実場面における現象（素材）がどのようにして，あるいはどのような理由からおきているのか，その因果関係を数学的表現や数学的概念（学習目標）との関連から授業を通して追及することが可能な素材であるかどうかという条件である．例えば現実世界に数多く存在するいろいろな種類の木の葉を例にすると，木の葉の縦と横の長さの間に何か関係があるだろうかという疑問（因果関係）を解明するのに，木の葉の縦の長さと横の長さの相関図（数学的表現）を用いて解明するという授業展開が考えられる．授業を通して，木の種類によってその強さは異なるが，木の葉の縦の長さと横の長さの間には確かに相関関係が成り立つ（数学的概念）ということを発見できる授業展開が考えられる．このように数学的表現や数学的概念（学習目標）と関連させながら，授業を通して現象の因果関係を解明できるような素材を選んだり，考えたり（アイデア）することが必要である．ⅰ～ⅲをまとめたものが図 3 である．現実場面を扱った教材開発においては，まずは，授業の流れの中で，学習者の認識を高める展開にできるかどうか，具体的には，本章で分析してきたグループ B の教材のように，授業構造図で表現した際に，終末場面において枝分かれする展開をイメージしながら授業を構成できるかどうか，という点に着目し，素材選択や教材化をする必要があろう．さらに，この過程の中で，対象となる事象の因果関係に数学的概念が関与しているかどうか，さらに中学生がその事象および導出されるルールが既有知識・既習事項によって十分に理解できるかどうか，などを検討しながら，素材選択から教材化を行う必要があるだろう． Ⅲ 調査研究 2（教材開発のための基礎的調査） 1 調査の目的現実場面から数学に関する問題を見つけ，その問題の解決を通して数学の楽しさ，有用性を感得することを目的としている教材を，「グル－プB（現実場面教材）」と定義した．このようなグループB（現実場面教材）が，授業においてどのような効果を示すかについては，考案し，分析してきた構造図が一つの目安になるだろう．しかし，考案した構造図の流れが，実際の授業においても，学習者の反応として引き出すことができるかどうかについては未検証である．もしも，構造図の流れの通りに，学習者の反応も高まり，学習意欲が観察されれば，現在の分析方法がそのまま教材開発方法として利用できるだろう．しかし，実際の学習者が，分析結果と異なる反応を示した場合，分析方法の見直しや，教材開発方法の工夫が必要になるだろう．そこで，グループB（現実場面教材）と分類されたものを実際に利用し，中学生を対象とした授業実践を行う．その実践の中で学習者の反応を評価し，そこから，確立した教材分析方法の妥当性や，グループB（現実場面教材）の開発方法の検討を行うことを目的とする． 2 調査の方法 (1) 調査時期及び対象者調査時期：平成19 年 5 月 31 日（木）第 3 校時対象者：熊本市立竜南中学校第 2 学年選択数学受講者（27 名） (2) 調査に用いる教材の特性調査に用いる教材は，第2 学年「式の計算」の課題学素材選択授業構成現象の数学的な見方の導入数学的な見方に基づく概念導出中学生にとっての現実性（学習活動の意味）ルール（数学的な見方）よく知っている現象現象（素材）の因果関係数学的表現ダイヤ，相関図，グラフ数学的概念（学習目標）関数，交点，相関学習者授業の流れ素材（事象）候補立案（アイデア）図3 現実場面を扱った数学教材の開発方法

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習「誕生日当て」である．この教材は，佐々木公久により平成2 年度熊本県中学校数学教育研究大会研究授業において発表されているものであり（佐々木公久，1990），第2 章における分析のための資料の 1 つであった． a.「誕生日当てクイズ」の解決過程の特徴本教材「誕生日当てクイズ」の解決過程は，PISA の「数学化サイクル」（経済協力開発機構，2004）の図式を用いると図4 のようになる．図4 の(a)は，授業の導入段階で，学習者が「どのように当てているのか」という原理を知らずに，誕生日を当てている場面である．この場面では，学習者は数学の世界の知識や技能を用いずに，算数的な活動のみで計算を行う．この活動により，「なぜ当たるのだろう」「不思議だ」という情意面の効果が期待されており，次のステップの数学的問題に取り組む意欲を持つことが期待されている．次に(b)では，トリック数のしくみを解明するために，誕生日を文字式で表現し（100A+B），その文字式に計算方法として形式的操作を加えることにより，結果の式が【誕生日±トリック数】という形に変形できることから，一見無意味に見えた計算方法が，きちんとした原理に基づいていることを知る段階である．この段階では，計算方法の原理を知ると同時に，文字式を用いているからこそ形式的な処理で意味のある結果を得ることが可能だという事実から，文字式のよさを知ることも期待されている．最後の(c)では，文字式によって証明できた原理を用いて，学習者自身が問題作成活動を行う活動であり，これは，数学化サイクルを逆にたどる，つまり，結果から問題へと遡ることを意味しており，このような活動が可能になるのは，文字式によって一般的な性質が証明されたからこそ可能となることを知ると同時に，文字式表現の意味づけを知ることにもつながっている．このように，数学化サイクルから本教材を見た場合，質的に異なるサイクルが一つの授業の中で順序付けられ提示され，活動を行うことで，文字式の学習につながる構成であることが分かる． b．数学化サイクルに基づく教材構造分析図5 に，数学化サイクルの分析に基づき，本教材がどのような授業構造を持っているのか，第Ⅱ章での構造分析方法を適用した結果を示す．図4 で示した，数学化サイクルの3 つの質的に異なる活動が，左から順に対応するよう，関連づけを示してある．本教材の最大の特徴は，中央上部にある「文字式を立式変形してトリック数を探し出す」活動にある（図4 の (b)に対応する）．この部分において，さらに上向きの「文字式の有用性を知る」ことと，誕生日当てクイズの「課題を解決する」という二重の目標が期待されているからである．したがって，本教材のこの部分が，第2 章で分類した B 教材の特徴を備えている部分ということができる． 3 調査内容本授業を授業の流れという観点から見てみると，誕生日を当てる，という現実の世界の問題は，「なぜあたるのだろう」「不思議だ」という情意面の反応を引き出し，図4 数学化サイクルによる「誕生日当てクイズ」の学習プロセス算数的問題当てるための定数がある算数的回答定数を逆算現実世界の問題無意味な計算で誕生日が当たる現実的回答計算方法の明確化数学的問題文字式による表現数学的回答文字式の変形結果現実世界の問題無意味な計算で誕生日が当たる現実的回答（月日）±（トリック数）の式数学的問題文字式による表現数学的回答文字式の変形結果現実世界の問題無意味な計算で誕生日が当たる現実的回答（月日）±（トリック数）の式 (a)算数的解決段階 (b)数学的解決段階 (c)問題作成段階図 5 「誕生日当てクイズ」教材の授業の構造数学の世界数学的活動の世界現実の世界誕生日当てクイズを計算する課題を知る「誕生日当て」トリック数を探し出す方法を考える課題を解決するトリック数を考え、誕生日当てクイズを作る文字式を立式変形してトリック数を探し出す文字式の有用性を知る課題を解決するトリック数を求める課題を解決する文字式を立式変形してトリック数を探し出す

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解決へ向けての意欲を生起させることをねらいとしていると考えられる（主に図5 における上向きの→）．また，実際に計算したり，文字式を変形して証明したりした後は，「なるほど，確かにそうか」という日常場面の問題に対する納得感覚（下向きの→）や，数学的なよさに関する理解度の向上（上向きの→）などを期待している教材であるといえる．そこで，図5 の授業の構造の中で，個々の活動が何をねらいとしているのかを詳細に検討しながら，次のような調査を行うこととした．調査は 6 件法（全然思わない 1～とても思う 6）及び自由記述形式で行った．なお，本授業における授業の流れをよりわかりやすく考えるために，図4 において，（a）計算による問題導入段階を「算数的解決段階」，（b）文字式による証明段階を「数学的解決段階」，（c）文字式を利用した問題作成段階を「問題作成段階」とした． 4 手続き調査は，授業の進行に合わせて，学習者にワークシート形式での調査用紙に答えさせる形で実施した．なお50 分間の授業終了後，全員の調査用紙を回収した． 5 調査の結果今回の調査は，身近な素材から開発された日常場面を扱った教材を使った授業の方が，日常場面を扱っていない授業に比べて，学習者の学習意欲を喚起し，学習効果を高めることができるという仮定のもとで行っている．つまり，日常場面を扱っていない授業，いわゆる教科書中心の授業では，あまり学習意欲を示さず，結果としてテスト結果が芳しくない学習者たちが，本教材「誕生日当てクイズ」を扱った授業において，どの程度学習意欲を喚起し，学習効果を高めることができたかについても調査するものである．もちろん，教科書中心の授業でも学習意欲が高く，テストの結果もよい上位グループの学習者たちは，日常場面を扱った教材を使った授業において，さらに学習意欲を喚起し，学習効果を一層高めることが期待できる．そこで，学習者を平成19 年 6 月 20 日に実施した数学科第2 学年 1 学期期末テストの結果に基づき，学習者自身の得点が平均点（50 点満点で 30 点）より高いか低いかに従って，上位グループと下位グループの2 つに分けた．その上で，「意欲1」「自信度 1」「納得度 1」「意欲2」「自信度 2」「理解度 2」「納得度 2」「おもしろさ2」「有用性 2」「意欲 3」「作成可否 3」「解決可否 3」「おもしろさ 3」の各調査項目において，6 件法による学習者の反応の平均値をとり，上位グループと下位グループのそれぞれのプロフィールを比較してみた．表 1 はその平均値を求めたものである．また図6 はそれをグラフ化したものである．（1）調査項目反応変化と課題解決意欲今回の調査結果から見てみると，表1 に見られるように，1 番目の質問項目「意欲 1」から 2 番目の質問項目「自信度1」への反応の変化の差異を見てみると，上位グループは1 ポイント下がり，下位グループは 0.9 ポイント下がっている．その後，2 番目の質問項目「自信度 1」から3 番目の質問項目「納得度 1」までに，上位グルー意欲１自信度１納得度１意欲２自信度２理解度２納得度２面白さ２有用性２意欲３作成可否３解決可否３面白さ３上位（n=19） 4.4 3.4 5.4 4.1 2.9 4.8 5.2 4.9 4.5 3.5 3.3 3.6 4.8 下位(n=8) 3.0 2.1 3.2 2.6 1.4 2.4 2.3 2.6 2.5 2.1 1.7 2.4 2.6 算数的解決数学的解決問題作成表1 学習者の各調査項目における反応の平均 1 2 3 4 5 6 意欲１自信度１納得度１意欲２自信度２理解度２納得度２面白さ２有用性２意欲３作成可否３解決可否３面白さ３上位下位算数的解決段階数学的解決段階問題作成段階図6 学習者の各調査項目における反応の平均値グラフ

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プは2 ポイント上がり，下位グループは 1.1 ポイント上がっている． 1 番目の質問項目「意欲 1」から，2 番目の質問項目「自信度1」に至る時に下がっているのは，最初解決意欲が高かったにもかかわらず，課題に適当な負荷（難易度）があるため，「そう簡単には解けそうもないな」とか「解きたいけど，自分に解けるかな」といった感情が働き，解決の自信度が低下しているためであると考えられる．しかし，解決する内容が非常に難しいと思われた課題に対して，苦労しながらも粘り強く，順序よく，そして論理的に解決していく探究活動を通して，その結果やっと解くことができた時，「そうか，そういうことだったのか」とか「なるほど，やっとわかった」といった，解に対する納得度が非常に高まったものと思われる．このような観点でそれぞれの学習プロセスにおける各調査項目反応変化をグラフで見てみると，大きさや角度（開き具合）は多少異なるものの，それぞれＶ字型を示している．つまり，各調査項目反応変化をグラフで表した場合，「意欲」で始まり，しかも高い値を示した後，課題の適当な難易度により一旦「自信度」が下がる．その後探究活動を通して「納得度」では高い値に戻るようなＶ字型（図7）を示していれば，その教材はそれぞれの学習プロセスにおいて課題解決意欲を持つことができる教材であると考える．このように考えると，授業を構成する学習活動の単位（ここでは，算数的解決段階，数学的解決段階，問題作成段階）において，Ｖ字型の調査項目反応変化を示す教材が課題解決意欲を持つことができる教材であると考えられる．（2）課題解決意欲を高める「誕生日当てクイズ」教材ところで，算数的解決段階と数学的解決段階における「自信度」と「納得度」，問題作成段階における「作成可否」と「解決可否」の関係は，次のように考えることができる．まず「自信度」と「作成可否」については，学習内容の理解度という側面から同じような観点として扱うことができると考えられる．つまり，これまで学習したことをもとにして，自分で問題を作成するという学習活動は，与えられた問題を解くこと以上に難しい学習活動であると考えられる．しかし，問題を作るという難易度の高い学習活動も，学習内容を十分に理解することができていれば可能であるし，学習内容を十分に理解していることが，自分で問題を作ることができるに違いないという学習者の自信につながるであろう．次に「納得度」と「解決可否」についても，学習内容の理解度という側面から同様に考えることができる．つまり学習内容が十分に理解できていれば，学習内容について十分に納得することができるであろうし，その結果学習課題を解決することができると考えられる．つまり学習内容を十分に納得することが学習課題を解決することにつながると考える．以上の理由から，「納得度」と「解決可否」については関連する調査観点として扱うことができると考え，図 6 を見てみると，算数的解決段階，数学的解決段階，問題作成段階の3 つの段階における「意欲」と，算数的解決段階，数学的解決段階の「自信度」，「納得度」および，問題作成段階の「作成可否」，「解決可否」の反応の平均値のグラフは図8 のように，図 7 と同じようなＶ図7 課題解決意欲を持つことができる学習プロセスにおける各調査項目反応変化意欲自信度納得度算数的解決段階数学的解決段階問題作成段階意欲１意欲２意欲３自信度１自信度２作成可否３納得度１納得度２解決可否３図 8 「誕生日当てクイズ」教材の学習プロセスにおける各調査項目反応変化

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字型の連続形になっている．具体的にいうと，まず算数的解決段階においては「意欲1」から，「自信度 1」まで一旦下がり，その後「納得度1」では上昇に転じている．次に数学的解決段階においては「意欲2」から，「自信度 2」まで一旦下がり，その後「納得度2」では上昇に転じている．そして問題作成段階においては「意欲3」から，「作成可否 3」まで一旦下がり，その後「解決可否3」では上昇に転じていると見ることができる．つまり図8 のように，算数的解決段階，数学的解決段階，問題作成段階の3 つの学習プロセスにおいて，各調査項目の反応変化がＶ字型を示している．このことは，「誕生日当てクイズ」教材がそれぞれの学習プロセスにおいて，学習者に課題解決意欲を持たせることができる有効な教材であることを示していると考える． 6 考察と教材開発への示唆（1）学習者にとって課題解決意欲を高める教材（身近であると感じる教材）「誕生日当てクイズ」教材は，各学習プロセスにおいて課題解決意欲を持つことが期待できる教材であると述べた．しかし，最初の調査項目「意欲1」に注目してみると，上位グループは4.4 ポイント，下位グループは 3.0 ポイントと解決意欲にかなり大きな差異が認められる．特に下位グループにとっては，今回の「誕生日当てクイズ」が，授業の最初の段階から課題に対する解決意欲をあまり持つことができなかった教材，つまりそれほど解きたいとは思わない教材，あるいは解く必要性を学習者がそれほど感じることができなかった教材であったのかもしれない．では一体どういう教材が，学習者にとって課題解決意欲を大いに感じさせる教材であるといえるのであろうか．これについては今後，教材を作成する上で，非常に重要な条件になることが考えられる．これまでの教材開発の経験から考えてみると，学習者にとって直面する課題（それはせっぱ詰まった時ほど顕著であるが）を解決することによって得られた解が，学習者にとって大きな価値を見いだすことができたと感じたときに，その課題は「大変ためになった」とか「これを解いてよかった」という感情が生まれることが多かったように感じられる．つまり，与えられた学習課題を解くという活動や，学習課題を解くことによって得られた解が，学習者にとって大きな価値を見いだすことができる教材であることが，課題解決意欲を高める教材であるということができよう．学習者が課題解決意欲を大いに感じる教材の1 つの例として考えられるのは，学習者にとって非常に身近であると感じることができる教材であること考えられる．ここでいうところの身近な教材とは，学習者がこれまでの生活経験してきたことと大いに関連・密着している教材であったり，学習者が時間的・空間的に身近であると感じる生活圏内に存在する素材を扱った教材であったりすると考えられる．特に，今回の調査からは，数学の学力が低い学習者にとって，授業の導入段階でその差が顕著に現れていることから，日常の世界からすぐに数学的活動の世界に導入し，疑問を解決する素材ではなく，学習者自身が日常の世界の中で様々な疑問を感じている素材を選択し，疑問を引き出した時点で数学的活動の世界へ抽象化して行くことができる素材が有効であろうと考えられる．「グル－プB 素材（現実場面教材）」を教材化した教材とは，日常世界に存在する様々な素材を学習用に教材化したものであるが，学習者にとっての，「身近さ」を十分に考慮した素材選択が必要である．（2）授業形態や授業方法の工夫表1 及び図 6 の学習者の各調査項目における反応の変化，すなわち学習者のプロフィールの変化を見てみると，上位グループ，下位グループともに低い値を示していた「自信度 1」から，「納得度 1」では高い値に転じている．これは「誕生日当てクイズ」のトリックの仕組みを教師が解説するのではなく，代表生徒が考えたことを生徒のことばで説明させることで，各自が疑問に思っていたことに対して，学習者と同じ目線で疑問を解決することができ，より理解度が増し，その結果，十分納得することができたものと思われる．このように授業を展開する中で，学習者がお互いに教えあい，生き生きと活動する学習場面を多く取り入れることが，学習意欲を喚起させ，高い学習効果が期待できると考える．また「自信度 2」が急激に低下しているのは，解決方法が全くわからない生徒が多数いたことを示している．

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ところが次の「意欲2」は高くなっている．このことから，たとえ解決に対する見通しがすぐに立たなくても，教師が何らかのヒントとなるアイデアを与えることによって，あるいは数学的活動を試行する中で解決の見通しを立ってくるような題材であったとしても，学習意欲を高めることは可能であることが示唆される．次に上位グループ，下位グループとも「意欲 1」から「意欲2」そして「意欲 3」と徐々に低下している．これは学習プロセスの移項がスムーズに行われなかったためであると考える．つまり，算数的解決段階において，「なるほどそうなのか」といった納得度が得られたにも関わらず，次の数学的解決段階にもっていく過程で，文字式の持つ普遍性や利便性を学習者が十分に感じ取ることができなかったためであると考えられる．今回の教材のように，複数の類似の活動を累積することで，数学的概念の形成やよさを感得するための教材を利用した授業では，数学的概念と学習活動とのかかわりを十分に理解する時間を設定するとともに，事前に，活動間のつながりを設計しておく必要があるだろう． (3) 現実場面を扱った教材を作るための 12 の基準 2 つの調査研究をもとにして，現実場面を扱った教材を作るための12 の基準を考えてみた．（表 2） Ⅳ 調査研究 3（日常の現実場面を扱った教材作り） 1 調査の目的調査研究2 ではグループ B（現実場面教材）の開発方法の検討を行った．そして，学習者にとって課題解決意欲を高める教材（身近であると感じる教材）とは，第一に既有知識を利用できる課題であり，第二に「解いてみたい」という面白さがある素材であり，第三に適度な困難性がある課題である，ということが明らかとなった．しかし，この考察が，新たな教材を開発する際に有用であり，しかもその教材でもねらい通りの効果が得られるかどうかについては未検証である．そこで本章では，日常の現実場面から数学に関する新たな教材を開発し，中学生を対象とした授業実践を行う．その実践の中で学習者の反応を評価し，そこから，第Ⅲ章における考察の妥当性を検証することで，グループB（現実場面教材）の教材開発方法を確立することを目的とする． 2 調査の方法 (1) 調査時期及び対象者調査時期：平成19 年 11 月 6 日（火）第 6 校時対象者：熊本市立竜南中学校第 2 学年選択数学受講生徒（25 名）（※ 調査研究2 とは違う学習者集団である） (2) 調査に用いる教材の特性調査研究1，2 においては，ある教材がグループB 教材としての条件を満たしているかどうかを判断するための基準として12 の基準を考えた．これらの基準をできるだけ多く満たすような，日常の現実場面を扱ったグループB 教材として，今回，第 1 学年「一次方程式」及び第表2 現実場面を扱った教材を作るための 12 の基準問題の基準説明 ⅰ.数学的概念授業において学習者が学ぶべき数学的概念、あるいは学習者に学ばせたい数学的概念を明確にしているか。 ⅱ．数学的概念の必要性現実場面を扱った問題解決のために、どのような数学的概念が必要であるか明確か。 ⅲ．導入時の現実感授業の導入段階で学習者がその問題に対して、実感を持って理解できるものであるか。 ⅳ．解の日常場面性授業の終末段階で得られた「解」が、日常場面の｢解」として意味を持つものであるか。 ⅴ．解の意外性その解は学習者にとって意外性、驚き、おもしろさ等を喚起するものであるか。 ⅵ．数学的概念の価値学習者が授業の終末段階で、その問題を解決することを通して、数学的概念の価値を理解することができるものであるか。 ⅶ．中学生にとっての現実感学習者である中学生にとっての現実性が存在する素材であるか。つまりその素材に対して、学習者が学習活動を行う意味を感じることができる素材であるか。 ⅷ．ルールの発見学習者がその素材に対して１つのルールを見いだすことが可能であるか。つまり数学的な見方をすることが可能である素材であるか。 ⅸ．適当な難易度学習者である中学生にとって、１つのルールの発見が可能な難易度であるか。つまり適当な難易度のルールが存在する素材であるか。 ⅹ．考え方を高める展開「現象の数学的な見方の導入」から「数学的な見方に基づく概念導出」へと進化する授業構成が可能な素材であるか。つまり授業の導入の段階では現実場面を扱った素材が、授業の流れに従って数学的な見方が深まり、数学的な考え方（概念）を高める授業内容にすることができる素材であるか。 ⅹⅰ．日常場面の因果関係現実場面における現象(素材)がどのようにして、あるいはどのような理由からおきているのか、その因果関係を数学的表現や数学的概念(学習目標）との関連から授業を通して追及することが可能な素材であるか。 ⅹⅱ．自信度と納得度授業の各学習プロセスにおいて、学習者が課題解決意欲を持てるように教材化できる素材であるか。つまり課題に対して最初は高い｢解決意欲｣を示し、課題の適当な難易度により一旦｢自信度」を下げ、その後探求活動を通して高い｢納得度」を示すように教材化できる素材であるか。

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2 学年「一次関数」の課題学習である「お買い得のルールを発見しよう」を開発した．この教材は，学習者にとって日常の現実場面として，冬休みの家庭生活における「買い物」を題材として教材化したものである．場面設定に現実味を持たせるためにはストーリー性が必要であると考え，パワーポイントとワークシートを併用し，特にパワーポイントを用いることで紙芝居のような教材提示を行った．授業においては，問題の解答や解説もパワーポイントを用いる．なおこの教材は表 4－1 に示したように，3 問の小問からなり，それぞれ導入問題解決段階（問題 1），一次方程式活用段階（問題 2），一次関数活用段階（問題 3）の 3 つの問題解決場面で構成してある． (3) 調査内容第Ⅲ章において，学習活動の各段階における反応の変化をグラフで表した場合，高い「解決意欲」を示した後，課題の適当な難易度により一旦「自信度」が下がり，その後探究活動を通して「理解度」や「納得度」では高い値に戻るようなＶ字型（図7）を示していれば，その教材はそれぞれの学習プロセスにおいて課題解決意欲を持つことができる教材であると考えた．この結果をふまえれば，今回作成した教材がこのようなＶ字型のグラフを示していれば，この教材が課題解決意欲を持つことができる教材であるということができる．そこで第Ⅲ章で実施したように，学習活動の各段階においてどのような反応を示すかを明らかにするために，次のような調査を行うこととした．調査は6 件法（全然思わない 1～とても思う 6）及び自由記述形式で行った．具体的には次の5 つの場面を設定した．まず導入問題である問題1 を読んだ直後を場面1 とした．次に問題 2 を読んだ直後を場面2，問題 2 の解決活動直後を場面 3，問題 3 を読んだ直後を場面4，問題 2 の解決活動直後を場面5 とした．それぞれの場面において学習者に回答を求めたものを整理すると，次のようになる．場面1：問題 1 に対する「解決意欲」「解決の可能性」場面2：問題 2 に対する「解決意欲」「解決の可能性」場面3：問題 2 に対する「理解度」「納得度」「おもしろさ」場面4：問題 3 に対する「解決意欲」「解決の可能性」場面5：問題 3 に対する「理解度」「納得度」「おもしろさ」「一次方程式，一次関数の有用性」および授業で分かったことの自由記述それぞれの場面における調査項目は，第Ⅲ章における「誕生日当てクイズ」で実施したものとほぼ同一のものであり，高い「解決意欲」，低い「解決の可能性」，高い「理解度」「納得度」を示す，いわゆるＶ字型のグラフを示しているかどうか調査することになる． (4) 手続き調査は，授業の進行に合わせて，学習者にワークシート形式での調査用紙に答えさせる形で実施した．なお50 分間の授業終了後，全員の調査用紙を回収した． 3 調査の結果今回の調査は，現実場面を扱った教材として開発した「お買い得のルールを発見しよう」による授業が，調査2 の結果を踏まえたものとなるかどうか検証するために行ったものである．つまり，日頃あまり学習意欲を示さず，その結果としてテスト結果が芳しくない学習者たちも，本教材「お買い得のルールを発見しよう」を扱った授業においては，扱っている題材が現実場面であるが故【１】【１】【２】【２】　　【３】　　【３】【３】【４】【４】【５】【５】【５】【５】解決意欲解決の可能性解決意欲解決の可能性理解度納得度おもしろさ解決意欲解決の可能性理解度納得度おもしろさ一次方程式、一次関数の有用性上位（n=19） 2.3 5.9 2.8 5.1 5.7 5.7 2.9 2.9 4.0 5.6 5.4 3.4 4.5 下位(n=6) 2.5 4.7 2.5 4.0 4.8 4.4 2.8 3.8 3.2 4.5 4.8 3.0 3.0 問題1 問題2 問題3 表3 学習者の各調査項目における反応の平均値 1 2 3 4 5 6 解決意欲解決の可能性解決意欲解決の可能性理解度納得度おもしろさ解決意欲解決の可能性理解度納得度おもしろさ一次方程式、一次関数の有用性上位（ｎ＝１９）下位（ｎ＝６）図9 学習者の各調査項目における反応の平均値グラフ

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に学習意欲が喚起され，学習効果を高めることができるであろうことが予想された．もちろん，教科書中心の授業でも学習意欲が高く，テストの結果もよい上位グループの学習者たちは，現実場面を扱った教材を使った授業において，さらに学習意欲を喚起し，学習効果を一層高めることができると考えたのである．学習者を平成19 年 10 月 15 日に実施した数学科第 2 学年2 学期中間テストの結果に基づき，学習者自身の得点が平均点（50 点満点で 21 点）より高いか低いかに従って，上位グループ（19 名）と下位グループ（6 名）の 2 群に分けた．その上で，問題1 解決場面では「解決意欲」「解決の可能性」，問題2 解決場面では「解決意欲」「解決の可能性」「理解度」「納得度」「おもしろさ」，問題3 解決場面では「解決意欲」「解決の可能性」「理解度」「納得度」「おもしろさ」「一次方程式，一次関数の有用性」の各調査項目において，6 件法による１学習者の反応の平均値をとり，上位グループと下位グループのそれぞれのプロフィールを比較してみた．表3 はその平均値を求めたものである．また図9 はそれをグラフ化したものである．（1）低い解決意欲結果を見ると，いずれの問題も予想に反し，「解決意欲」が低い．まず問題1 については，学力下位グループの学習者の意欲喚起をねらいとしていたが，上位，下位，ともに極端に低い値である．学習者にとっては一次方程式の基本であるといよりも，問題を見ただけですぐに回答できる内容であり，実際，授業中の学習者からは「問題が簡単すぎる」「これは小学生の問題ですか？」「こんなの解かなくてもわかる・・・」という反応が見られた．このことから，問題の持つ難易度が当初教師が考えていたものよりも学習者にとっては低すぎたようである．また問題2，問題 3 については，問題 1 と比較して急激に難易度が高くなったため，解決するための学習準備が整わず，そのため「解決意欲」が高まらない，つまり低い「解決意欲」を示している．このことから，本教材「お買い得のルールを発見しよう」については，小問間の難易度が学習者にとって適度とは言えず，難易度による学習意欲の制御が想定したように進まなかったといえる．（2）低いおもしろさ問題2，問題 3 についての「おもしろさ」は低い値を示している．つまり学習者にとって，「お買い得のルールを発見しよう」教材は「おもしろい」と感じるものであったとはいえなかったことを示している．授業中の学習者の様子は次の通りである．まず問題1 については先に述べたように，あまりにも簡単であったため「全然おもしろくない」とか「こんなの誰でもわかる」といった反応が見られた．これは問題の解を求めることにおもしろさを見いだすことができなかったことを表している．また問題2 と問題 3 については，問題1 と比較して急激に難易度が高くなったため，「ものすごく難しい」「どのように解いていいのか全くわからない」「問題2 は問題 1 を使って解くのですか」といった困惑した様子や，問題を解くことをあきらめるような学習者もいた．このことから問題1 から 3 に至る，問題に内包されている連続性を理解することが困難であり，それ故，本教材は既有知識をうまく活用することができなかったと考えられる．それ故に，学習者にとって意外性，驚き，おもしろさを喚起するものとならなかったのであろう．（3）高い理解度と納得度低い解決意欲にも関わらず，「理解度」と「納得度」は高い値を示している．これは今回の教材の提示及び解説にパワーポイントを利用することで，課題の焦点化ができたことと，グラフを利用したことで視覚的に理解することが容易であったことを示している．また，学習者どうしの話し合い活動を取り入れ，お互いに意見交換をしあい，代表者に解説させたことにより，より理解が深まったことを示している．学習者からも，代表者の解説を聞きながら「なるほど，そういうことなのか」とか「やっと解き方がわかった」という意見が聞かれ，十分に理解し，納得する様子が見られた．（4）低い現実性問題に対する学習者の反応，つまり意見，質問，つぶやき等から，本教材「お買い得のルールを発見しよう」の現実性について次のように考えられる．問題2 について，学習者からは次のような質問等があった．「それぞれのお店には何回も行っていいのか？つまり，買い物と精算を何回も繰り返すことはできるのか？」，「A と B の店には，どちらへも自由に買い物に行くことはできる

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のか？」，「買い物は今日だけなのか．2 日以上かけて行くことはできるのか？」次に，問題3 については次のような質問等があった．「商品は 4 個買う必要があるのか．問題 2 とは違うのか？」，「おまけの4 個に対して，さらに 1 個おまけはつくのか？それとも，買った4 個にしか，おまけはつかないのか？」．このことから考えると，本教材で扱った題材の持つ現実性については，現実に買い物に行ってお得である条件を考える場合と比較すると，まだ条件の検討が不十分であり，学習者にとっては特別に設定された場面，それは教科書にでてくるような，限定された条件の下での「お買い物の問題」と何ら変わりはないととらえさせてしまったようである． Ⅴ 研究のまとめと今後の課題本研究においては，学習指導過程と数学化の過程に基づいた，教材の分析と開発を通して，中学校数学科における現実場面を扱った教材の特性について考えてきた．それは，現実場面を扱った教材を用いた授業が，そうではない授業に比べて，学習者が授業中に課題解決意欲を持つことができ，高い学習効果を示すことができると考えたからである．本研究を通して，学習活動の各段階における反応の変化をグラフで表した場合，Ｖ字型のグラフを示していれば，その教材が課題解決意欲を持つことができる教材になりうるということが明らかになったことは1 つの成果であると考える．また，現実場面を扱った教材を開発する際，教材の日常性だけで「おもしろさ」を捉えるのではなくて，学習者の先行知識を，「数学的な学習内容」と「日常的な経験」の2 つの側面から，妥当な水準を決定することによって「おもしろさ」を規定する必要があることや，学習者が「おもしろさ」を感じるためには，その問題を解くことによって得られた解が，学習者にとって「意外性」「驚き」等を喚起するものでなければならないことなど，現実場面を扱った教材を開発するために必要な条件を示すことができた．しかしながら，第Ⅳ章でも述べた通り，第Ⅱ章，第Ⅲ 章の研究結果に基づいて作成した，日常の現実場面を扱ったグループB 教材「お買い得のルールを発見しよう」では，残念ながらＶ字型のグラフを示すことはなく，この教材は学習者に課題解決意欲を持たせることができる現実場面を扱った教材にはならなかったと言わざるを得ない．教材作りの難しさを強く感じたところである．また，「お買い得のルールを発見しよう」教材による調査結果をもとに，新しい買い物教材を作成したが，このような枠組みで開発した教材をさらに蓄積し，その学習効果の検証を実施していきたい．今回明らかになった，現実場面を扱った教材を開発するために必要な条件に基づき，それぞれの学習指導過程において，全ての学習者が課題解決意欲を持つことができ，その結果，それぞれの学習指導過程においてＶ字型のグラフを示すような，現実場面を扱った教材の開発に，今後取り組んでいきたいと考える．引用・参考文献熊本県中学校数学教育研究会 1989～2006 熊本県中学校数学教育研究会研究集録経済協力開発機構 1998 PISA2003 年調査評価の枠組み OECD 生徒の学習到達度調査国立教育政策研究所訳株式会社ぎょうせい島田茂 1990 教職数学シリーズ実践編 10 教師のための問題集共立出版株式会社長崎栄三 2001 算数・数学と社会・文化のつながり－小・中・高校の算数・数学教育の改善を目指して－明治図書文部省 1998 中学校学習指導要領大蔵省印刷局文部所 1998 中学校学習指導要領（平成 10 年 12 月）解説－数学編－大阪書籍株式会社