【PDF】Schwarzschild解の導出過程

Schwarzschild

解の導出過程

本稿の他にも理論物理の各種ノートを以下のページで公開している．

1

ランダウ

=

リフシッツ『場の古典論』§

100

Schwarzschild解は中心対称な重力場を表すEinstein方程式の解である．本章では エリ・デ・ランダウ，イェ・エム・リフシッツ，2015，ランダウ=リフシッツ理論物理学教程 場の古典論(原書第 6版)(恒藤敏彦，広重徹訳)，東京図書株式会社，東京，333–336 におけるSchwarzschild解の導出について，省略された計算過程の詳細を示す． 中心対称な重力場に対して，ds2_の表式が ds2= eνc2dt2− r2(dθ2+ sin2θdϕ2)− eλdr2, λ = λ(r, t), ν = ν(r, t) (100.2) という形になるような極座標(x0, x1, x2, x3) = (ct, r, θ, ϕ)をとれる．このとき計量テンソルの全成分は (gµν) =     eν _{0 0 0} 0 −eλ _{0 0} 0 0 −r2 ₀ 0 0 0 −r2_sin2_θ     , ∴ (gµν) =     e−ν 0 0 0 0 −e−λ 0 0 0 0 −_r12 0 0 0 0 −_r2_sin12_θ     で与えられる．ここでλ, νは無次元量であることに注意する．このことは以降の計算を進めていく上で，検 算に役立つ． さて，未知関数λ(r, t), ν(r, t)をEinstein方程式から定めれば，時空の幾何学が決定される．そこでEinstein 方程式に現れるRicciテンソルやスカラー曲率を，未知関数λ(r, t), ν(r, t)を用いて表すことを考える．

Christoffel

記号の計算

まずλ(r, t), ν(r, t)を用いてChristoffel記号を表そう．(gµν)の非対角成分はゼロだから，Christoffel記号 Γανλ= 1 2g αµ_(∂ νgλµ+ ∂λgµν− ∂µgνλ) (86.3) のα, ν, λが相異なるものはゼロになる．よってゼロでないChristoffel記号Γµ_νλは，対称な添字ν, λが等し いものと異なるものに分類すると 対称な添字が等しいもの Γµνν=− 1 2g µµ_∂ µgνν (µ, νについて和をとらない) (1) 対称な添字が異なるもの Γµνµ= 1 2g µµ ∂νgµµ(= Γµµν) (µ̸= ν, µについて和をとらない) (2) に限られる．以下，x1_{= rによる微分をプライムで，x}0_{= ctによる微分をドットで表す．} 式(1)の形のChristoffel記号は以下の16個である． Γ000= 1 2e −ν_∂ 0eν = ˙ ν 2, Γ 0 11= 1 2e −ν_∂ 0eλ= 1 2˙λe λ−ν_, Γ022= 1 2e −ν_∂ 0r2= 0, Γ033= 1 2e −ν_∂ 0(r2sin2θ) = 0, Γ1₀₀=1 2(−e −λ_)(−eν₎′₌ ν′ 2e ν−λ_{, Γ}1 11= 1 2(−e −λ_)(e−λ₎′ ₌λ′ 2, Γ1₂₂=1 2(−e −λ_)(−r2₎′ _=−re−λ_{, Γ}1 33= 1 2(−e

Γ2₀₀=1 2 ( −1 r2 ) ∂θeν= 0, Γ211= 1 2 ( −1 r2 ) ∂θe−λ= 0, Γ2₂₂=1 2 ( −1 r2 ) ∂θ(−r2) = 0, Γ233=− 1 2 ( −1 r2 )

∂θ(−r2sin2θ) =− sin θ cos θ,

Γ300=− 1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂ϕeν = 0, Γ311=− 1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂ϕ(−eλ) = 0, Γ3₂₂=−1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂ϕ(−r2) = 0, Γ333=− 1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂ϕ(−r2sin2θ) = 0. 式(2)左辺の形のChristoffel記号は以下の12個である． Γ0₁₀=1 2e −ν_∂ reν/2 = ν′ 2, Γ 0 20= 1 2e −ν_∂ θeν= 0, Γ0₃₀=1 2e −ν_∂ ϕeν= 0, Γ101= 1 2(−e −λ_)∂ 0(−eλ) = ˙λ 2, Γ1₂₁=1 2(−e −λ_)∂ θ(−eλ) = 0, Γ131= 1 2(−e −λ_)∂ ϕ(−eλ) = 0, Γ2₀₂=1 2 ( −1 r2 ) ∂θ(−r2) = 0, Γ212= 1 2 ( −1 r2 ) ∂r(−r2) = 1 r, Γ2₃₂=1 2 ( −1 r2 ) ∂ϕ(−r2) = 0, Γ303= 1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂0(−r2sin2θ) = 0, Γ313= 1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂r(−r2sin2θ) = 1 r, Γ 3 23= 1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂θ(−r2sin2θ) = 1 tan θ. 以上で教科書の式(100.3)に与えられている，ゼロでないChristoffel記号の全成分が網羅されている．

Ricci

テンソル，スカラー曲率の計算

曲率テンソル Rλµνρ≡ ∂νΓλµρ− ∂ρΓλµν+ ΓλσνΓσµρ− ΓλσρΓσµν (91.4) に対して，Ricciテンソルとスカラー曲率はそれぞれ Rµν ≡Rλµλρ, (92.6) R≡gµνRµν (92.9) で定義される．先に求めたChristoffel記号の表式を用いて，Ricciテンソルとスカラー曲率は以下のように計 算される．ここで次のことに注意を促しておく． • 対称性 Rµν = Rνµ ⇒ Rµν= g µλ_R λν = gµλRνλ= Rνµ. • 添字の記号について，以降，本節では教科書の表記にならい， 0,1,2,3の4つの値をとる添字にはギリシア文字ではなく，ラテン文字i, k, l,· · · を用いる． ■R00の計算 R00= Rl0l0= ∂lΓl00− ∂0Γl0l+ ΓllnΓn00− Γl0nΓn0l の最右辺について， • 第1項のΓl 00，第2項のΓl0lがゼロでない値を持つのはいずれもl = 0, 1のときである． • 第3項のΓn₀₀がゼロでない値を持つのはn = 0, 1のときであり，

– n = 0に対してΓl lnがゼロでない値を持つのはl = 0, 1のとき， – n = 1に対してΓl lnがゼロでない値を持つのはl = 0, 1, 2, 3のときである． • 第4項のΓl 0nがゼロでない値を持つのは(l, n) = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)のときである． よって R00=  ∂0 ˙ ν 2 + ∂1 ( ν′ 2e ν−λ ) ⇐ ∂lΓl00 −∂0 ˙ ν 2 − ∂0 ˙λ 2 ⇐ −∂0Γ l 0l Z Z ZZ + ( ˙ ν 2 )2 + ˙λ 2 ˙ ν 2 + ( ν′ 2 + λ′ 2 + 1 r× 2 ) ν′ 2e ν_{−λ ⇐ Γ}l lnΓ n 00 −2 ×ν′ 2 · ν′ 2e ν−λZZ ZZ − ( ˙ ν 2 )2 − ( ˙λ 2 )2 ⇐ −Γl 0nΓ n 0l = ( ν′ 2e ν−λ )′ −¨λ 2 + ˙λ ˙ν 4 − ν′2 4 e ν−λ₊ ( λ′ 2 + 2 r ) ν′ 2e ν−λ₋ ˙λ 2 4 = ( ν′′ 2 + ν′2 4 − ν′λ′ 4 + ν′ r ) eν−λ− ¨ λ 2 + ˙λ ˙ν 4 − ˙λ2 4 . ■R01の計算 R01= Rl0l1= ∂lΓl01− ∂1Γl0l+ ΓllnΓn01− Γl1nΓn0l の最右辺について， • 第1項のΓl₀₁，第2項のΓl_0lがゼロでない値を持つのはいずれもl = 0, 1のときである． • 第3項のΓn₀₁がゼロでない値を持つのはn = 0, 1のときであり， – n = 0に対してΓl_lnがゼロでない値を持つのはl = 0, 1のとき， – n = 1に対してΓl_lnがゼロでない値を持つのはl = 0, 1, 2, 3のときである． • 第4項のΓn 0lがゼロでない値を持つのは(l, n) = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)のときである． よって R01=∂0 ν′ 2 @ @ @ +∂1 ˙λ 2 ⇐ ∂lΓ l 01 −∂1 ˙ ν 2 @ @ @ −∂1 ˙λ 2 ⇐ −∂1Γ l 0l + ( C CC ˙ ν 2 S SS +˙λ 2 ) ν′ 2 + (


ν′ 2+ λ′ 2 + 1 r × 2 ) _˙λ 2 ⇐ Γ l lnΓ n 01    −˙λ 2e λ−νν′ 2e ν−λZ ZZ −ν′ 2 ˙ ν 2 @ @ @ −˙λ 2 ν′ 2− λ′ 2 ˙λ 2 ⇐ −Γ l 1nΓ n 0l =˙λ r(= R10). ■R02の計算 R02= Rl0l2= ∂lΓl02− ∂2Γl0l+ ΓllnΓn02− Γl2nΓn0l の最右辺について， • 第1項におけるΓl 02，第3項におけるΓn02の形のChristoffel記号は全てゼロである． • 第2項について，x2_{= θ依存性を持つChristoffel記号はΓ}2 33, Γ323, Γ133のみであり， いずれもΓl_0lの形ではない．

• 第4項のΓl 2nがゼロでない値を持つのは(l, n) = (1, 2), (2, 1), (3, 3)のときであり， いずれに対してもΓn 0l= 0となる． よって R02= 0(= R20). ■R₀₃の計算 R03= Rl0l3= ∂lΓl03− ∂3Γl0l+ Γ l lnΓ n 03− Γl3nΓn0l の最右辺について， • 第1項におけるΓl 03，第3項におけるΓn03の形のChristoffel記号は全てゼロである． • 第2項は，x3_{= ϕ依存性を持つChristoffel記号が存在しないからゼロになる．} • 第4項のΓl 3nがゼロでない値を持つのは(l, n) = (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)のときであり， いずれに対してもΓn_0l= 0となる． よって R03= 0(= R30). ■R11の計算 R11= Rl1l1= ∂lΓl11− ∂1Γl1l+ ΓllnΓn11− Γl1nΓn1l の最右辺について， • 第1項のΓl₁₁がゼロでない値を持つのはl = 0, 1のときである． • 第3項のΓn11がゼロでない値を持つのはn = 0, 1のときであり， – n = 0に対してΓl_lnがゼロでない値を持つのはl = 0, 1のとき， – n = 1に対してΓl lnがゼロでない値を持つのはl = 0, 1, 2, 3のときである． • 第4項のΓl 1nがゼロでない値を持つのは (l, n) = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)のときである． よって R11=∂0 ( ˙λ 2e λ−ν )   +∂1 λ′ 2 ⇐ ∂lΓ l 11 − ∂1 ( ν′ 2+ λ′ 2 + 1 r× 2 ) ⇐ −∂1Γl1l + ( ˙ ν 2 + ˙λ 2 ) ˙λ 2e λ−ν₊ ( ν′ 2 @ @_@ +λ ′ 2 + 1 r× 2 ) λ′ 2 ⇐ Γ l lnΓ n 11 Z Z Z ZZ − ( λ′ 2 )2 − ( ν′ 2 )2 − ˙λ 2e λ_−ν ˙λ 2 × 2 − ( 1 r )2 × 2 ⇐ −Γl 1nΓ n 1l =∂0 ( ˙λ 2e λ−ν ) −ν′′ 2 @ @_@ +2 r2 + ˙ ν 2 ˙λ 2e λ−ν₊ ( ˙λ 2 )2 eλ−ν+λ ′_ν′ 4 + λ′ r − ( ν′ 2 )2 @ @_@ −2 r2−2 ( ˙λ 2 )2 eλ−ν =∂0 ( ˙λ 2e λ_−ν ) + ˙λ 2 ( ˙ ν 2 − ˙λ 2 ) eλ−ν−ν ′′ 2 + λ′ν′ 4 + λ′ r − ν′2 4 = { ¨ λ 2 + ˙λ 4( ˙λ− ˙ν) } eλ−ν−ν ′′ 2 + λ′ν′ 4 + λ′ r − ν′2 4 . ■R12の計算 R12= Rl1l2= ∂lΓl12− ∂2Γl1l+ Γ l lnΓ n 12− Γl2nΓn1l の最右辺について，

• 第1項のΓl 12がゼロでない値を持つのはl = 2のときである． ところがl = 2のとき，∂lΓl12= ∂21_r = 0となる． • 第2項について，x2_{= θ依存性を持つChristoffel記号はΓ}2 33, Γ323, Γ133のみであり， いずれもΓl 1lの形ではない． • 第3項のΓn₁₂がゼロでない値を持つのはn = 2のときであり， n = 2に対してΓl_lnがゼロでない値を持つのはl = 3のときである． (l, n) = (3, 2)のとき，Γl_lnΓn12= cot θr となる． • 第4項のΓl2nがゼロでない値を持つのは(l, n) = (1, 2), (2, 1), (3, 3)のときであり， (l, n) = (1, 2), (2, 1)に対してはΓn 1l= 0となる．(l, n) = (3, 3)のとき，−Γ l 2nΓn1l=− cot θ r となる． よって R12= cot θ r − cot θ r = 0(= R21). ■R13の計算 R13= Rl1l3= ∂lΓl13− ∂3Γl1l+ ΓllnΓn13− Γl3nΓn1l の最右辺について， • 第1項のΓl₁₃がゼロでない値を持つのはl = 3のときである． ところがl = 3のとき，∂lΓl13= ∂31_r = 0となる． • 第2項は，x3_{= ϕ依存性を持つChristoffel記号が存在しないからゼロになる．} • 第3項のΓn13がゼロでない値を持つのはn = 3のときであり，n = 3に対してΓlln= 0となる． • 第4項のΓl 3nがゼロでない値を持つのは(l, n) = (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)のときであり， いずれに対してもΓn 1l= 0となる． よって R13= 0(= R31). ■R22の計算 R22= Rl2l2= ∂lΓl22− ∂2Γl2l+ Γ l lnΓ n 22− Γ l 2nΓ n 2l の最右辺について， • 第1項のΓl22がゼロでない値を持つのはl = 1のときである． • 第2項のΓl_2lがゼロでない値を持つのはl = 3のときである． • 第3項のΓn 22がゼロでない値を持つのはn = 1のときである． • 第4項のΓl 2nがゼロでない値を持つのは(l, n) = (1, 2), (2, 1), (3, 3)のときである． よって R22=∂1(−re−λ) ⇐ ∂lΓl22 − ∂2(cot θ) ⇐ −∂2Γl2l + ( ν′ 2 + λ′ 2   +1 r× 2 ) (−re−λ) ⇐ Γl_lnΓn₂₂ −(−re−λ)1 r−  1 r(−re −λ_{)− cot}2_{θ ⇐ −Γ}l 2nΓ n 2l =∂1(−re−λ) + ( ν′ 2 + λ′ 2 )

(−re−λ)− ∂2(cot θ)− cot2θ

= { −1 + r ( λ′ 2 − ν′ 2 )} e−λ+ 1. ( ∵ −∂2(cot θ)− cot2θ = 1 sin2θ− cos2_θ sin2θ = 1 )

■R23の計算 R23= Rl2l3= ∂lΓl23− ∂3Γl2l+ ΓllnΓn23− Γl3nΓn2l の最右辺について， • 第1項のΓl 23がゼロでない値を持つのはl = 3のときである． ところがl = 3のとき，∂lΓl23= ∂3cot θ = 0となる． • 第2項は，x3_{= ϕ依存性を持つChristoffel記号が存在しないからゼロになる．} • 第3項のΓn₂₃がゼロでない値を持つのはn = 3のときであり，n = 3に対してΓl_ln= 0となる． • 第4項のΓn_2lがゼロでない値を持つのは(l, n) = (1, 2), (2, 1), (3, 3)のときであり， いずれに対してもΓl3n= 0となる． よって R23= 0(= R32). ■R33の計算 R33= Rl3l3= ∂lΓl33− ∂3Γl3l+ Γ l lnΓ n 33− Γl3nΓn3l の最右辺について， • 第1項のΓl 33がゼロでない値を持つのはl = 1, 2のときである． • 第2項は，x3_{= ϕ依存性を持つChristoffel記号が存在しないからゼロになる．} • 第3項のΓn 33がゼロでない値を持つのはn = 1, 2のときであり， – n = 1に対してΓl lnがゼロでない値を持つのはl = 0, 1, 2, 3のとき， – n = 2に対してΓl lnがゼロでない値を持つのはl = 3のときである． • 第4項のΓl 3nがゼロでない値を持つのは(l, n) = (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)のときである． よって

R33=∂1(−r sin2θe−λ) + ∂2(− sin θ cos θ) ⇐ ∂lΓl33

+ ( ν′ 2 + λ′ 2   +1 r× 2 )

(−r sin2θe−λ) + cot θ(− sin θ cos θ)

| {z } − cos2θ ⇐ Γl lnΓ n 33

−(− sin θ cos θ) cot θ × 2

| {z } 2 cos2_θ   −(−r sin2_θe−λ₎1 r× 2 ⇐ −Γ l 3nΓ n 3l

=∂1(−r sin2θe−λ) + ∂2(− sin θ cos θ) +

( ν′ 2 + λ′ 2 )

(−r sin2θe−λ) + cos2θ

=− e−λsin2θ { 1 + r ( ν′ 2 − λ′ 2 )} + sin2θ. ■Ricciテンソルの全成分 以上でRicciテンソルの全成分が得られたことになる．これを混合テンソルRi_k の形に書き換え，以下にまとめる．その際(gik)は対角的なので，例えば R0₀= g0iRi0= g00R00 のように計算できることに注意すれば良い． R0₀=g00R00= e−νR00, R00= ( ν′′ 2 + ν′2 4 − ν′λ′ 4 + ν′ r ) eν−λ− ¨ λ 2 + ˙λ ˙ν 4 − ˙λ2 4 , R01=g00R01= e−ν ˙λ r,

R0₂=g00R02= 0, R0₃=g00R03= 0, R1₀=g11R10=−e−λ ˙λ r, R11=g11R11=−e−λR11, R11= { ¨ λ 2 + ˙λ 4( ˙λ− ˙ν) } eλ−ν−ν ′′ 2 + λ′ν′ 4 + λ′ r − ν′2 4 , R1₂=g11R12= 0, R1₃=g11R13= 0, R2₀=g22R20= 0, R2₁=g22R21= 0, R2₂=g22R22=− 1 r2R22, R22= { −1 + r ( λ′ 2 − ν′ 2 )} e−λ+ 1, R2₃=g22R23= 0, R3₀=g33R30= 0, R3₁=g33R31= 0, R3₂=g33R32= 0, R3₃=g33R33=− 1

r2_sin2_θR33, R33=−e−λsin 2_θ { 1 + r ( ν′ 2 − λ′ 2 )} + sin2θ. ■スカラー曲率Rの計算 以上よりスカラー曲率Rは R =gikRik= 3 ∑ i=0 giiRii =e−λ ( ν′′ 2 + ν′2 4 − ν′λ′ 4 + ν′ r ) + e−ν ( −¨λ 2 + ˙λ ˙ν 4 − ˙λ2 4 ) ⇐ g00_R 00 +e−λ ( ν′′ 2 + ν′2 4 − ν′λ′ 4 − λ′ r ) + e−ν ( −λ¨ 2 + ˙λ ˙ν 4 − ˙λ2 4 ) ⇐ g11_R 11 + e−λ ( ν′ 2r − λ′ 2r+ 1 r2 ) − 1 r2 ⇐ g 22 R22 + e−λ ( ν′ 2r − λ′ 2r+ 1 r2 ) − 1 r2 ⇐ g 33_R 33 =e−λ ( ν′′+ν ′2 2 − ν′λ′ 2 + 2 ν′ r − 2 λ′ r + 2 r2 ) + e−ν ( −¨λ + ˙λ ˙ν 2 − ˙λ2 2 ) − 2 r2 と求まる．

■Einsteinテンソル Einstein方程式の左辺(Einsteinテンソル)

Ri_k−1 2δ i kR≡ G i k

はi̸= kに対してGi k = Rikとなる．このうちゼロでない成分は，上記のようにR01とR10がある．これ以 外のゼロでないEinsteinテンソルGi kの成分として，i = kの成分を計算する．まず， G0₀=    e−λ ( ν′′ 2 + ν′2 4 − ν′λ′ 4 + ν′ r )XXX XXXXX_XXX X +e−ν ( −λ¨ 2 + ˙λ ˙ν 4 − ˙λ2 4 ) ⇐ R0 0 + e−λ (   −ν′′ 2 − ν′2 4 + ν′λ′ 4 − ν′ r + λ′ r − 1 r2 )XXX XXXXX_XXX +e−ν ( ¨ λ 2 − ˙λ ˙ν 4 + ˙λ2 4 ) + 1 r2 ⇐ − 1 2δ 0 0R =− e−λ ( 1 r2− λ′ r ) + 1 r2, G1₁=    e−λ ( ν′′ 2 + ν′2 4 − ν′λ′ 4 − λ′ r )XXX XXXXX_XXX X +e−ν ( −¨λ 2 + ˙λ ˙ν 4 − ˙λ2 4 ) ⇐ R1 1 + e−λ (   −ν′′ 2 − ν′2 4 + ν′λ′ 4 + λ′ r − ν′ r − 1 r2 )XXX XXXXX_XXX +e−ν ( ¨ λ 2 − ˙λ ˙ν 4 + ˙λ2 4 ) + 1 r2 ⇐ − 1 2δ 1 1R =− e−λ ( ν′ r + 1 r2 ) + 1 r2 である．次に R2₂=−1 r2 [{ −1 + r ( λ′ 2 − ν′ 2 )} e−λ+ 1 ] =− 1 r2_sin2_θ [{ −1 + r ( λ′ 2 − ν′ 2 )} e−λsin2θ + sin2θ ] = R3₃ に注意すると， G2₂=G3₃ =e−λ ( ν′ 2r− λ′ 2r+ 1 r2 ) @ @_@ −1 r2 ⇐ R 2 2= R 3 3 + e−λ ( −ν′′ 2 − ν′2 4 − 1 r2+ λ′ r − ν′ r + ν′λ′ 4 ) + e−ν ( ¨ λ 2 + ˙λ2 4 − ˙λ ˙ν 4 ) @ @_@ +1 r2 ⇐ − 1 2δ 2 2R =− 1 2δ 3 3R =−1 2e −λ ( ν′′+ν ′2 2 + ν′− λ′ r − ν′λ′ 2 ) +1 2e −ν ( ¨ λ + ˙λ 2 2 − ˙λ ˙ν 2 ) を得る．

Einstein

方程式，

Schwarzschild

解

以上よりEinstein方程式(95.6):Rµν−12δ µ νR = 8πkc4 T µ νは，未知関数λ(r, t), ν(r, t)に対する式 8πk c4 T 1 1=− e−λ ( ν′ r + 1 r2 ) + 1 r2, (100.4) 8πk c4 T 2 2= 8πk c4 T 3 3=− 1 2e −λ ( ν′′+ν ′2 2 + ν′− λ′ r − ν′λ′ 2 ) +1 2e −ν ( ¨ λ + ˙λ 2 2 − ˙λ ˙ν 2 ) , (100.5) 8πk c4 T 0 0=− e−λ ( 1 r2 − λ′ r ) + 1 r2, (100.6) 8πk c4 T 1 0=− e−λ ˙λ r (100.7)

になる．真空中，すなわち，場を生ずる質量の外側での中心対称な場を考えTµ ν = 0とおくと， 式(100.4) ⇒ e−λ ( ν′ r + 1 r2 ) − 1 r2 = 0, (100.8) 式(100.6) ⇒ e−λ ( λ′ r − 1 r2 ) + 1 r2, (100.9) 式(100.7) ⇒ ˙λ = 0 (100.10) が得られる．式(100.8)と式(100.9)を辺々足すと，f (t)を時間だけの関数として λ′+ ν′ = 0, ∴ λ + ν = f(t) (100.11) となる． ところでds2_{の表式(100.2)の形を壊すことなく，時間にt = f (t}′_{)という形の任意の変換を施すことがで} きる．これはνに任意の時間の関数を加えることと同等である．この任意性を利用すると，一般性を失うこと なく λ + ν = 0 とおくことができる．ここで式(100.10)よりλは時間に依らないからν =−λも時間に依らず，真空中の中 心対称な重力場は静的な場となることが結論される． 式(100.9)は 1 = e−λ(1− rλ′) = (re−λ)′, ∴ e−λ = 1−rg r と積分される(rgは積分定数)．重力源となる星の質量をmとすると，重力場が弱いときの式(87.12):g00= 1 + 2ϕ_c2 における重力ポテンシャルϕに対してNewtonの万有引力の法則(99.4):ϕ =− km r が満たされるため にはrg= 2km_c2 ととれば良い*1．定数rgは重力半径と呼ばれる．こうしてSchwarzschild解 ds2= ( 1−rg r ) (cdt)2− r2(dθ2+ sin2θdϕ2)− dr 2 1−rg r (100.14) が得られる(r > rg)． *1ここで ds2_{の表式 (100.2) における極座標 r を，Newton の万有引力の法則 (99.4):ϕ =−}km r における r と同一視した．

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あらかじめ静的な場を仮定した場合

本章ではSchwarzschild解(100.14): ds2= ( 1−rg r ) (cdt)2− r2(dθ2+ sin2θdϕ2)− dr 2 1−rg r を導くにあたって，真空中の中心対称な重力場としてあらかじめ静的な場を考える．すなわち適当な球座標 (ct, r, θ, ϕ)を用いたときの世界間隔の表式(100.2): ds2= eν(cdt)2− r2(dθ2+ sin2θdϕ2)− eλdr2 において，ν, λがtに依らないような座標系(x0_{, x}1_{, x}2_{, x}3_{)≡ (ct, r, θ, ϕ)をとれると仮定する:} ν = ν(r), λ = λ(r). これにより第1章の計算は大幅に簡略化される．そこで第1章との内容の重複を厭わずに，未知関数ν(r), λ(r) を真空中のEinstein方程式Gµ ν ≡ Rµν− 1 2δ µ νR = 0から定める計算を以下で行う．その際，以降で明らか になるように，Schwarzschild解を導くにはG0 0= 0, G11= 0だけ用いれば十分であることにも注意する． 計量テンソル (gµν) =     eν(r) _{0 0 0} 0 −eλ(r) 0 0 0 0 −r2 0 0 0 0 −r2_sin2_θ     , ∴ (gµν) =     e−ν(r) 0 0 0 0 −e−λ(r) 0 0 0 0 −_r12 0 0 0 0 −_r2_sin12_θ     の非対角成分はゼロだから，Christoffel記号(86.3): Γα_νλ=1 2g αµ_(∂ νgλµ+ ∂λgµν− ∂µgνλ) のα, ν, λが相異なるものはゼロになる．よってゼロでないChristoffel記号Γµ_νλは，対称な添字ν, λが等し いものと異なるものに分類すると 対称な添字が等しいもの Γµ_νν=−1 2g µµ_∂ µgνν (µ, νについて和をとらない) (3) 対称な添字が異なるもの Γµ_νµ=1 2g µµ_∂ νgµµ(= Γµµν) (µ̸= ν, µについて和をとらない) (4) に限られる．以下，rによる微分をプライムで表す．

式(3)の形のChristoffel記号は以下の16個である． Γ000= 1 2e −ν_∂ 0eν = 0, Γ011= 1 2e −ν_∂ 0eλ= 0, Γ022= 1 2e −ν_∂ 0r2= 0, Γ033= 1 2e −ν_∂ 0(r2sin2θ) = 0, Γ1₀₀=1 2(−e −λ_)(−eν₎′₌ ν′ 2e ν−λ_{, Γ}1 11= 1 2(−e −λ_)(e−λ₎′ ₌λ′ 2, Γ1₂₂=1 2(−e −λ_)(−r2₎′ _=−re−λ_{, Γ}1 33= 1 2(−e

−λ_)(−r2_sin2_θ)′_=−re−λ_sin2_θ,

Γ2₀₀=1 2 ( −1 r2 ) ∂θeν= 0, Γ211= 1 2 ( −1 r2 ) ∂θe−λ= 0, Γ2₂₂=1 2 ( −1 r2 ) ∂θ(−r2) = 0, Γ233=− 1 2 ( −1 r2 )

∂θ(−r2sin2θ) =− sin θ cos θ,

Γ3₀₀=−1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂ϕeν = 0, Γ311=− 1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂ϕ(−eλ) = 0, Γ322=− 1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂ϕ(−r2) = 0, Γ333=− 1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂ϕ(−r2sin2θ) = 0. 式(4)左辺の形のChristoffel記号は以下の12個である． Γ0₁₀=1 2e −ν_∂ reν/2 = ν′ 2, Γ 0 20= 1 2e −ν_∂ θeν= 0, Γ0₃₀=1 2e −ν_∂ ϕeν= 0, Γ101= 1 2(−e −λ_)∂ 0(−eλ) = 0, Γ1₂₁=1 2(−e −λ_)∂ θ(−eλ) = 0, Γ131= 1 2(−e −λ_)∂ ϕ(−eλ) = 0, Γ2₀₂=1 2 ( −1 r2 ) ∂θ(−r2) = 0, Γ212= 1 2 ( −1 r2 ) ∂r(−r2) = 1 r, Γ2₃₂=1 2 ( −1 r2 ) ∂ϕ(−r2) = 0, Γ303= 1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂0(−r2sin2θ) = 0, Γ313= 1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂r(−r2sin2θ) = 1 r, Γ 3 23= 1 2 ( − 1 r2_sin2_θ ) ∂θ(−r2sin2θ) = 1 tan θ. ここからG0 0, G11を求めるのに必要なRicciテンソルRµνを定義式 Rµν≡ Rλµλρ, R λ µνρ≡ ∂νΓλµρ− ∂ρΓλµν+ Γ λ σνΓ σ µρ− Γ λ σρΓ σ µν に従って計算すると以下のようになる． R00=Rµ0µ0 =∂µΓ µ 00− ∂0Γ µ 0µ+ Γ µ µνΓν00− Γ µ 0νΓ ν 0µ =∂1Γ100− 0 + Γ µ µ1Γ 1 00− ∑ Γµ_0νΓν_0µ (∑は(µ, ν) = (0, 1), (1, 0)の和) = ( ν′ 2e ν_−λ )_′ + ( ν′ 2 + λ′ 2 + 1 r× 2 ) ν′ 2e ν_{−λ− 2 ×} ν′ 2 ν′ 2e ν_−λ = ( ν′′ 2 + ν′2 2 − ν′λ′ 4 + ν′ r ) eν−λ, R11=Rµ1µ1 =∂µΓµ11− ∂1Γµ1µ+ Γ µ µνΓ ν 11− Γ µ 1νΓ ν 1µ

=∂1Γ111− ∂1Γµ1µ+ Γ µ µ1Γ 1 11− Γ µ 1µΓ µ 1µ = ( λ′ 2 )′ − ( ν′ 2+ λ′ 2   Z Z ZZ +1 r × 2 )_′ + ( ν′ 2 @ @_@ +λ ′ 2 + 1 r× 2 ) λ′ 2 − ( ν′ 2 )2Z Z Z ZZ − ( λ′ 2 )2   HH HH_HH − ( 1 r )2 × 2 =−ν ′′ 2 + λ′ν′ 4 + λ′ r − ν′2 4 , R22=Rµ2µ2 =∂µΓµ22− ∂2Γµ2µ+ Γ µ µνΓν22− Γ µ 2νΓ ν 2µ =∂1Γ122− ∂2Γ323+ Γ µ µ3Γ 3 22− ∑ Γµ_2νΓν_2µ (∑は(µ, ν) = (1, 2), (2, 1), (3, 3)の和) =(−re−λ)′−∂θ(cot θ) + ( ν′ 2 + λ′ 2   +1 r× 2 ) (−re−λ_)−(−re−λ)1  r× 2− cot 2_θ = { −1 + r ( λ′ 2 − ν′ 2 )} e−λ+1, R33=Rµ3µ3 =∂µΓµ33− ∂3Γµ3µ+ Γ µ µνΓ ν 33− Γ µ 3νΓ ν 3µ = ∑ µ=1,2 ∂µΓµ33− 0 + (Γ µ µ1Γ 1 33+ Γ 3 32Γ 2 33)− ∑ Γµ_3νΓν_3µ (∑は(µ, ν) = (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)の和)

=(−r sin2θe−λ)′+∂θ(− sin θ cos θ) +

( ν′ 2 + λ′ 2   +1 r × 2 ) (−r sin2θe−λ)

+ cot θ(− sin θ cos θ) − (− sin θ cos θ) cot θ × 2

  −(−r sin2_θe−λ)1 r × 2 =− { 1 + r ( λ′ 2 − ν′ 2 )} e−λsin2θ+ sin2θ さらにRµ ν = gµαRαν やスカラー曲率R = gµνRµν において(gµν)の非対角成分がゼロであることに注意す ると R00=g 00 R00= e−νR00, R11= g 11 R11=−e−λR11, R2₂=g22R22=− 1 r2R22, R 3 3= g 33_R 33=− 1 r2_sin2_θR33, R =e−λ ( ν′′ 2 + ν′2 2 − ν′λ′ 4 + ν′ r ) ⇐ g00_R 00 +e−λ ( ν′′ 2 + ν′2 4 − ν′λ′ 4 − λ′ r ) ⇐ g11_R 11 + e−λ ( ν′ 2r − λ′ 2r + 1 r2 ) − 1 r2 ⇐ g 22_R 22 + e−λ ( ν′ 2r − λ′ 2r + 1 r2 ) − 1 r2 ⇐ g 33_R 33 =e−λ ( ν′′+ν ′2 2 − ν′λ′ 2 + 2 ν′ r − 2 λ′ r + 2 r2 ) − 2 r2 を得るから，Einstein方程式を書き下すと 0 = G00=e−λ (   ν′′ 2 + ν′2 2 − ν′λ′ 4 + ν′ r ) ⇐ R0 0

+e−λ (   −ν′′ 2 − ν′2 2 + ν′λ′ 4 − ν′ r + λ′ r − 1 r2 ) + 1 r2 ⇐ − 1 2δ 0 0R =− e−λ ( 1 r2− λ′ r ) + 1 r2 (5) 0 = G11=e−λ (   ν′′ 2 − ν′λ′ 4 − λ′ r + ν′2 4 ) ⇐ R1 1 +e−λ (   −ν′′ 2 + ν′λ′ 4 + λ′ r − ν′2 4 − ν′ r − 1 r2 ) + 1 r2 ⇐ − 1 2δ 1 1R =− e−λ ( 1 r2+ ν′ r ) + 1 r2 (6) となる． 式(5) ⇔ 1 = e−λ(1− rλ′) = (re−λ)′, ∴ e−λ = 1−rg r (rgは積分定数). さらに式(5)，式(6)を辺々引くと

(λ + ν)′= 0, ∴ λ + ν = const, ∴ eν = const× e−λ= const× ( 1−rg r ) となる．第3式のconstに対して√const× t → tと時間の尺度を改めると eν(r)c2dt2= const× ( 1−rg r ) c2dt2= ( 1−rg r ) c2dt2 となり，Schwarzschild解(100.14): ds2= ( 1−rg r ) (cdt)2− r2(dθ2+ sin2θdϕ2)− dr 2 1−rg r を得る．