美的曲線の有理３次Bezier近似

全文

(1)2006-ＣＧ－１２５（５）. 社団法人情報処理学会研究報告. 2006／11／1６. IPSJSIGTbchnicalReport. 美的曲線の有理３次Ｂ色zier近似吉田典正＊斎藤隆文*＊＊日本大学＊＊東京農工大学. E-mail：norimasa◎acm・orgtxsaito◎cCtuataojp. 美的曲線は，曲率変化の単調な美しい曲線であるが，積分形式で表されるため従来のＣＡＤシステムとの互換性を. 持たず，特別な形式で表現しなければならない本報告では，一つの美的曲線セグメントを，曲率の単調性を保証した－つの有理３次B6zier曲線に近似する手法を提案する．曲率の単調性を保証するために，有理３次B6zier曲線の曲率の単調性を確認する手法についても述べる．また，提案手法を実装し，種々の美的曲線セグメントに適用. したところ，方向角の変化が９０度以内の場合に，一つの美的曲線セグメントを曲率の単調性を保ちながら－つの有理３次B6zier曲線セグメントに近似できることを確認した．. Approximationo盃ａｎＡｅｓｔｈｅｔｉｃＣｕｒｖｅＳｅｇｍｅｎｔ. ｂｙａＲａｔｉoｎａｌＣｕｂｉｃＢｃｚｉｅｒＣｕｒｖｅＳｅｇｍｅｎｔ NorimasaYbshida＊andnkafUmiSaito*＊. ＊NihonUniversity. ＊＊TbkyoUniversityofAgricultureandTechnology. Anaestheticcurveisacurveofmonotonecurvaturerepresentedbythequadraturefbrm、Ａｎａｅｓｈ力etic. curveinitsquadraturefbrmisnotcompatiblewithcurrentCADsystemslnthispaper，wepresenta methodthatapproximatesoneaestheticcurvesegmentbyonerationalcubicB6ziercurvesegment・Ｗｅ. ａｌsopresentamethodfbrcheckingthemonotonicityofar帥ionalcubicB6ziercurvesegment，ＷｅｈａＮ/e implementedouralgorithmandverifiedthatoneaestheticcurvesegmentcanbeapproximatedbyone rationalcubicB6ziercurvesegmentwhenthechangeoftangentialangleisleｓｓｔｈａｎ９０ｄｅｇ．. 曲率の単調性を保証した３次有理B6zier曲線で表現. １. する手法を提案する．曲率の単調性を保証するため. はじめに美的曲線は,原田ら[5,61によって独自に調査され. た性質（曲率対数分布図の直線性）に基づく新たな曲線である．原田は，自然物や人工物における様々な. 美しい曲線の多くはその曲率対数分布図が直線で近. 似できるという性質を見出した．三浦[7]は，美的曲線の一般式を示した．吉田と斎藤は，三浦によって. に，３次有理B6zier曲線の曲率の単調性を確認する手法も示す．提案手法により，方向角の変化が90度. 以内の１本の美的曲線を，曲率対数分布図の直線をほぼ保ったまま，１本の３次有理B6zier曲線で近似することが可能となった。. ２関連研究. 示された一般式に基づき，曲線の全体像を解明すると. 美的曲線に特殊な場合として含まれる対数螺旋お. ともに，対話的に制御する手法を考案した[12,131．. よびクロソイド曲線をスプライン近似する研究がす. 既存のＣＡＤシステムは多項式・有理式曲線・曲面を用いているため，積分形式で表される美的曲線を取り込んでも，多くの機能がそのまま利用できないという問題がある．そこで，本研究では，美的曲線を. でに行われている．BaumgartenとＦＭｎの対数螺. 旋を３次の有理Bezierで近似する研究[1]は，優れた近似を行うものであるが，対数螺旋の特殊な`性質を用いているためそのまま美的曲線に一般化させる. －２５－.

(2) ことはできないＷａｎｇらは,積分式をテイラー展開. お=、. して近似することによって，クロソイド曲線をスプ. ライン近似する手法を示している[14]・美的曲線の近似は，三浦らによって３次の（多項式の）B-spline. による近似が行われている[8]、美的曲線は円弧を含. ツ. （a)anacsdBcticcuwesCgmcnt（b)ovcmaUshapc. むことから，特に曲線セグメントが近い場合に有理図１α＝－１の美的曲線セグメントとその全体像. 式で近似したほうが誤差が少なく（従って，少ないセグメント数)近似できることが期待される．また，上記いずれの手法も近似対象の曲線は曲率単調である. 点の位置を決める変数であり，α＝１の場合には曲. が，近似された曲率単調性は保証されていない本. 線形状を決定するパラメータである．美的曲線セグ. 研究では，美的曲線セグメントを有理３次B6Zier曲. メントは，αと３個の制御点位置が指定されたとき. 線セグメントで近似するともに，近似された曲線が. に，制御点位置からＡを決定し，標準形の美的曲線. 曲率単調であることを確認する手法を示す．. にアフィン変換を施すことにより描かれる．図１に. B6zierの曲率単調性の条件は,特定の次数の多項式. α＝－１の美的曲線セグメントと曲線の全体像を示. または有理曲線に関して求められてきた．Sapidisと. す．美的曲線は，α＝－１のときにクロソイド曲線，. Ｈｅｙは，２次の多項式B6zierに関する必要十分条件. α＝１のときに対数螺旋，α＝２のときに円のイン. を示している[101ＦｒｅｙとFieldは２次有理B6zier. ボリュート曲線になり，これらの曲線の一般化とし. に関する曲率単調性の条件[4]を示したDietzと. て捉えることもできる．. Piperは，数値計算によって３次のBezier曲線が螺旋になるように（従って，曲率単調になるように）. ４有理３次B6zierの曲率単調性. コントロールする手法を提案した[21．彼らの手法では，与えられた位置と接線方向を補間するために事. 前に作成された表を利用している．Ｗａｎｇらは，３次および、次の多項式B6zierに関する曲率単調性の十. 本節では，有理３次B6zier曲線が曲率単調である. か否かを確認するための手法を示す．有理式の場合，非常に式が複雑になり，その式全てを示すことはできないので，概要のみを述べる．. 分条件を述べている[15]、有理式は，多項式の式と. 有理３次B6zier曲線を，. 比べて，導関数が非常に複雑になる．曲率の単調性. 刈薑器一二霊器`ＥＩｑ１'②. を調べるためには３階導関数が必要であり，非常に. 複雑な形式になる．我々の曲率単調性の確認の手法. を防ぐために工夫をしている点，およびＷａｎｇらは. によって表すＢ;(t)はBernstein多項式であり， P,＝１０川ｂ`(ｅＥ２)は制御点ベクトル,ｕｊｄ(ＥＲ+）. 曲率単調性の必要条件のみを利用しているが，より. はウェイトである．. はＷａｎｇらの手法に基づくが，式が爆発的になるの. 厳密に曲率の単調性を調べる手法を示している点で. △ＴＰｊ＝△r-1Pj＋１－△ｒ－１Ｐｊ， △７mﾉﾌﾞ＝△r-1tUj＋１－△r-1tqj，. 異なっている．. ３美的曲線. (3). (4). によって定義されるjtemted/ｍｕｑｍｄｄ縦menceopemtor△ｒ[３１を用いると，ｐ(t)andlu(t)は，. 標準形における方向角０の美的曲線上の点ＨＥ(0）. は次式によって与えられる[12,13]．. ｐ(t)＝△OPO＋3△'Pot＋3△2Pot2＋△3Pot3，（５）. Mの-{,w(ぃ翌)i(測当州鯨遙. ｕ）(t)＝△omo＋3△lujot＋3△2ujot2＋△3ujot3．（６）. （１）. となる．後に述べるように，式をｔのべき乗によっ. ここに，ｊは虚数単位，αは曲率対数分布図におけ. る直線の傾き，Ａはα≠１の場合には標準形の基準. て整理する必要があるため，本研究では，ｐ(t),⑩(t）をBernstein基底ではなく，べき乗によって表す．. －２６－.

(3) 凡のｓによる微分は，. と，. ｄパdet(大,x(3))丈･ｘ－３ｄｅｔ(X,犬)文･父（７）ｌｘＩ６. ５. ル”,＝Ｚα`ザル"2＝Ｅβit‘. ｄｓ. ｉ＝ｏ. によって表される[3,9]、ここに，Ｘ,え,x(3)は，そ. ｉ＝ｏ. る．ここで，高次の項の係数は打消しが生じ，予想さ. 率単調の定義は,ｔｅ[０，１１において差＝Ｏで一定. れるよりも次数が低くなっていることに注意された. の場合も含むので，曲率一定の円も含めていること. いＫＷ)は13次になることが予想されるが,１３次. に注意されたい. の項において打消しが生じ係数がＯになるため，実. 制御点位置がすべて異なると仮定することによ. 際には１２次式となる．. り，実際には式(7)の右辺の分子のみを調べれば. よいdet(X(t),x(3)(t)),太(t).Ｘ(t),det(太(t),え(t))，. ＫＷ)がｔｅ[0,1]の範囲で，Ｋｈ(t)ｚＯまたは. 文(t)･え(t)を計算し整理すると，次式を得る．. Ｋｈ(t)≦ｏであるならば,対象とする曲線は曲率単調. det(太(t),x(3)(t)）. である．曲率の単調性の確認は，Ｋｈ(t)をBernstein 多項式Ｂ;2(t)によって. ＝((“(#)妙3(#)-鋤(t)趣(t))｡．t(p(‘),p(t)）. ＋3⑩(ｔ)zdet(p(t),P(ｔ))一tu(t)⑩(t)det(p(ｔ),p(3)(t)）. １２. Ｋh(t)＝ＺＢ;2(t胸. －３uj(t)⑩(t)det(p(t),p(t)）. （15）. 。＝Ｏ. ＋"(#)2..t(P(‘),p(3)(`))沖(`)４（８）ｘ(t)鮒)-("(t)2p(＃)p(‘） -2妙(t)⑩(#矩(f)p(t)刊(`)2p(f)p(t)沖(f)`(9) det(え(Ｍｵ))-(趣(ﾎﾟﾙt(p(ｵ),p(t))十ｍ(*)｡．‘(P(ｔＷ))-⑩(t)det(p(t）t，($))沖(t)(`(10）大(t)鮒)=((迦($)⑩(`)⑰(`)-2⑳(t)3)p(')p(t）. の形式に書き直すことＩこよって行う．もし全てのｂｊが０以下または0以上であるならば，B6zier曲線の凸閉包性より，対象とする曲線が曲率単調であるこ. とが分かる．この条件を，曲率単調性の十分条件と. 呼ぶ．606,2＜０であれば，必ずＫＷ)＝Ｏとなるｔが存在するので，即座に曲率単調でないと判断することができる．この条件を，曲率単調でない条件と. ＋(4u)(it)（１）(t)２－ｍ(t)2.>(t))p(t).ｐ(t）－ｍ(t)z⑩(t)p(t)ｐ(t)－２t､(t)⑩(t)2p(t).p(t）. 呼ぶ．. 曲率単調でない条件および曲率単調性の十分条件. ＋"(f)sp(#)p(t))/"(`)。（'1）. のどちらも満たさない場合，deCastejlau[3]アルゴリズムによって曲線を分割し，分割されたいずれか. 式(8),(9),(10),(11)の右辺の分母と分子をそれぞれ’んね1110.1,A，z21hd2州3,ｈ.3,ｈ”4’んｄ４と置くと，式 (7)の分子は (12）. となる．hdlhd2＝ADd3hd4＝⑩(t)8であるので，曲率単調性を調べるためめにはＫ(t)の分子ＫＷ)＝ん"1ん"2-3A,”3A"４. ｆ＝Ｏ. を得る．ここに，αi,βDyγi,〃iはtdの項の係数であ. ば，曲線は（厳密ではなく）曲率単調である．この曲. kollhd2Ad3Ad4. １０. 府"3＝工械A"4＝工〃`t‘（'4）. ｔｅ[0,1]において器ｚＯまたは藷≦ｏであるなら. 座些－３堕坐. ｆ＝０. ３. れぞれ，ｘのｔによる１階，２階，３階微分である．. Ｋ(t)＝. ８. （13）. のセグメントが曲率単調でない条件を満たす場合には，対象とする曲線セグメントは曲率単調でないと. 決定できる．分割されたどちらのセグメントも，曲率単調の十分条件を満たす場合には，対象とする曲線は，曲率単調であると決定される．どちらの条件. も満たさない場合には，繰り返しdeCastejlauアルゴリズムによって分割を行い，同様の処理を繰り返す．分割されたすべてのセグメントが曲率単調性の. 十分条件を満たせば対象とする曲線は曲率単調であ. を調べればよい. たれ11A"21A吟331A"４をｔのべき乗に関して整理する. り，－つでも曲率単調でないセグメントが存在すれ. ば対象とする曲線は曲率単調ではない．. －２７－.

(4) 位置(４自由度)，両端点での接線ベクトル方向（２自. ９. 由度）および両端点での曲率（２自由度）を一致させるとすると，残りの自由度は２となる．この２つの. w]＝1.8. 自由度をなんらかの手段によって有理３次B6zier曲. ｗＯ＝1２. 線で近似表現することが可能となる. monotonous. Ｋ. 制御点ｂｚから求まるベクトルｖ`,ｕｄとスカラー Uiを次のように定義する．. Ｓ. K､(0. Ｖｆ. ｖ`＝b‘+１－b，，ｕ`＝両,U`＝|v`｜. ｔ. （｡＝0,1,2）（16）. (a） ■1.0. ＝IHI. まず，１２個のパラメータのうち２つを適当に決める必要があるので，. 1.0. ｕｊ,＝Tu2＝(2.0＊ＣＯＳ(0,/2.0)＋1.0)/3.0（17）. WOml.’. とする．ここに８，は，方向角の変化（ＶＯとＶ２の. nOtmonOtOnOUS Ｋ. なす角）である．ここに設定したｕ）,,ｍ２の値は，円弧を表現する場合の２次B6zier曲線の第２の制御点. Ｓ. のウェイトを次数上げ[3]したものである．両端点で. K､(t）. の位置を一致させることによりbbolb3が定まる. また，両端点での接線方向を一致させることにより，. w1年1.0（b）. UO,Ｕ２が定まる・ここで,ＵＯ,U2が分かっていると. ,０. すると，ｕ１も求まる．有理３次B6zier曲線のパラメータオ＝０およびｔ＝１における曲率凡０，凡，は，ｗＯ=ＯＢ. 次の式によって求めることができる[1]・ det(ＤＭ,）. monotonous Ｋ. （18）. 〃１＝ｕ）３３．. （19）. ｄｅｔ(U,,U2）. Ｓ. Ｕ２. 、. K､(０. '６０＝ｍＯＵｉ. 式(18),(19)をtuo,tu3について解くことにより,Zuo，ｕ３が求まる．以上より，両端点での位置,接線方向，. ｔに）. 曲率が指定された場合，ＵＭ２をなんらかの方法で定めれば，有理３次B6zier曲線が一意に定まる．. 図２有理B6Zier曲線の曲率単調性の確認. ＤＣ,Ｕ２は，点位置の誤差の二乗和を最小化するように最適化手法を使って求める．有理B6zier曲線の. パラメータtoの点をｘ(tα)とする（図3)．Ｘ(O)と. ５美的曲線の有理３次B6zier近似. x(t､)からtoにおける方向角の変化８．が求まる.. 平面上の有理３次B6zier曲線セグメントは，４個. 様々なtαに関して，方向角０｡の美的曲線上の点と. の制御点を持つので１２個のパラメータを持つ．し. X(tA)の差分の二乗和をバリ0,U2)とし，巾O'Ｕ２)を. かし，すべての制御点をスカラー倍しても，あるい. 最小化するｕＯ,U2を求める．. は，制御点を順にある変数s(≠Ｏ)でso倍，ｓ1倍，８２倍，Ｓ3倍しても曲線形状は変わらないので，有理. ６実行結果. 3次B6zier曲線の持つ自由度は１０である．. 美的曲線セグメントを近似する場合に，両端点の. 図４，５，６，７に，α＝-1,0,1,2の様々な曲線を，有理３次B6zier曲線で近似した結果を示す．方向角. －２８－.

(5) 率単調性を，１２次の多項式によって確認できること. ：⑪此. 地. ③jrl3ti…ubicB……s､9,,cｍ. を示した．. １本の有理B6zier曲線によって曲率対数分布図の直線性を（ほぼ）保つことが示せたことより，今後，. (b)tangentialan81Catf＝『．. 従来のＣＡＤシステムと互換性のある自由曲線・曲面形式での美的曲線・曲面表現を考えることができ. ることを示した．今後の課題としては，処理の効率. ●. 化・安定化，曲線の接続や曲面化などがあげられる． ●. 参考文献. (c)CoTTcspondingpointonlhcacsthcticcurvcscgmcnt. [1］OBaumgaJften,GFErin,Approodmationoflogarithmicspirals，ComputerAidedGeometricDesign，ＶＯＬ. 図３有理B6zier曲線上のｔ＝んの点と. 美的曲線上の対応する点. １４，１９９７．. １２]Ａ､Ｄ・DietzandBPiper,Interpolationwithcubicspira1s,ComputerAidedGeometricDesign,ＶＯＬ２１，No.２，ｐｐ､165-180,2004．. の変化が大きくなるほど近似の度合いも悪くなる．. そこで，これらの図において，方向角の変化はすべて，実用的に最も大きいと思われる９０度としてい. る．ＬＣＨは曲率対数分布図を表し，横軸がlogβ，縦. [3]QFErin,CurvesandSurfacefbrCAGD4thEdition， AcademicPress，2001．. [4JＷ・ＨＨｅｙＤ.Ａ・Field,DesigningB6zierconicsegmentswithmonotonecurvature・ＣｏｍｐuterAidedGeo-. metricDesignl7(6),457-483,2000．. 軸がlog(鈴)であるmmsおよびerrMagcは,それ. [5]原田利宣,森典彦,杉山和夫,曲線の物理的性質と自己アフイ. 置の誤差の二乗平均の平方根と最大誤差を表す．制. [6}原田利宣,吉本富士市,森山真光,魅力的な曲線とその創成アルゴリズム，形の科学会誌,ＶＯＬ１３，No.３，pPl49-158,. ぞれ,曲線長が１になるように正規化された，曲線位. 御点の配置が二等辺三角形である場合には，αの値. ン性,デザイン学研究,ＶＯＬ42,ＮＯ２,ｐｐ､33-40,1995．. 1998．. に関わらず円弧を表現することとなり，ｒｍｓおよび. [7]三汕愈二郎,Ｘ』しい曲紬の一般式,VisualComputingグラ. errMaxとも１ｅ－１６（倍精度浮動小数点型の誤差）. [8]三浦憲二郎,藤澤誠,美的曲線の３次元への拡張とB-spline 曲線による近似，VisualComputing/グラフィックスと. 程度となり，円弧を高い精度で表現できることが確. 認できた．なお，B6zier曲線では，曲率β＝Ｏの点を表現できないため，α＞１の美的曲線でβ＝Ｏの. フィクスとＣＡＤ合同シンポジウム,ｐｐ,227-232,2005．. ＣＡＤ合同シンポジウム,ｐｐ､83-88,2006． [9]Ｈ､Pottmann,Curvesandtensorproductsurfa心eswith thirdgeometriccontinuity・Ｉｎ：Slaby，Ｓ､，Stachel，Ｈ・. （Eds.),ProceedingsofThirdlnternationalConfbrence. 近傍を含む場合には，最適化処理が局所解に落ち込. onEngineeringGraphicsandDescriptiveGeometryWo1.. むなどして安定しない場合がある．. 2,107-116,1988．. 図４，５，６，７から，制御点により作られる三角形が. [10]Ｎ､Ｓ・Sapidis,Ｗ・HFreyjControllingthecurvature. 二等辺三角形から離れるほど，曲線位置の誤差が大. Design,９(2),85-91,1992． [11］Ｔ・WSederberg,Ｔ､Nishita,Curveintersectionusing Bezierclipping・Oomputer-AidedDesign22(9),５３８－. きくなり，従って，曲率対数分布図の直線性も崩れていく様子が分かる．しかし，曲率対数分布図の直線. 性は,原田らの結果[5,6]と比較して十分なものである．従って，１本の有理３次Bezier曲線を，曲率対数分布図の直線性が保たれた１本の美的曲線として利用可能であることを示せた．. ofquadraticB6ziercurve・ComputerAidedGeometric. 549,1990．. [12］，'i田典正，斎lllli降文：Ｘiしい曲線の全体像解りjと対,活的Iliリ御,VisualComputing/グラフィクスとＣＡＤ合同シンポジウム,ｐｐ､77と82,2006． [13]NYOshidaandT､Saito,InteractiveAestheticCurve Segment,TheVisualComputer(PacificGraphics),ＶＯＬ２２，No.9-11,ｐｐ896-905,2006．. [14]Ｌ､Ｗan9,Ｋ.TMiura,Ｅ・Nakamae,Ｔ､Yamamotoand. ７まとめ. T.Ｊ､Wang,Anapprommationapproachoftheclothoid. curvedefinedintheinterval［0,pi/2］anditsoHSet byfreefromcurves，Computer-AidedDesign，VbL33， No.14,ｐｐ､1049-1058,2001．. 本研究では，方向角の変化が９０度以内で，β＝Ｏの近傍を含まない１本の美的曲線を，曲率の単調性. [15]Ｙ,Wang,Ｂ・Zhao,Ｌ・Zhang,Ｊ・Ｘu,Ｋｗａｎ9,ｓ・Wang，. を保証し，１本の有理３次B6zier曲線として表現可. Designingfaircurvesusingmonotonecurvaturepieces・ ComputerAidedGeometricDesign,２１(5),ｐｐ､515-527,. 能なことを示した．また，３次有理B6zier曲線の曲. －２９－. 2004..

(6) ..且 ’. グ. 〆. 〆只. グ､. 、. 、. ＢザのＰ←●ひ●｡￣●●4■い￣￣守句･￣~■。~￣■~￣■～、､●. ロ. ロ. ロ. rms=１．０６－６．errMax＝2.06-6. rms=4.66-6,errMax＝7.3e－６. LCH. LCH. （a）. （a）貝. ジ. 〆･~、. I. ロ. ログ. rms=6.2e-5,errMax＝1.3e－４. rms=３．５８－５．errMax＝6.2e－５. LCH. LCH. （b）. （b）. ロー￣ロ_. rms=7.6e－４，errMax＝2.8e－３. 一一一パ11i､ rms=1.9e-4errMax=3.9e=４. LCH. LCH. （c）. （c）. 図６α＝１の美的曲線の有理３次B6zier曲線近似. 図４α＝－１の美的曲線の有理３次B6zier曲線近似. ．□. /ベ. ンＧロ、. タ. グ. Ｐ. ｡~C 、、. 、. /、. 、. '. □. ロ゛. rms=1.0e-6．errMax＝2.0e－６（a）. ロ. rms=3.4e-aerrMax=5.3e－６. LCH. LCH. （a）ロ. 訶凸. ロ‐. ロ. rms=5.8e-5．errMax＝1.4e－４. rms=6.0e-aerrMax=9.7e－５. LCH. LCH. （b）. （b） r」. 凸」. ロ.-..----.-.---‐ す. rIns=5.8e-4errMax=4.4e－３. rms=2.9e-4errMax=4.8e-4. LCH. LCH. （c）. （c）. 図７α＝２の美的曲線の有理３次B6zier曲線近似. 図５α＝Ｏの美的曲線の有理３次B6zier曲線近似. －３０－.

(7)