デファイナブルファイバー束のデファイナ
ブル
C^{r}
ファイバー束構造について
川上智博 和歌山大学教育学部数学教室1
序文
ここでは、実閉体 R の通常の構造 (R, +, \cdot, <) の順序極小拡張構造 \mathcal{N} = (R,+, \cdot, <, において、デファイナブルファイバー束のデファイナブルC^{r} ファイバー束構造について考察する。順序極小構造は、実数体\mathbb{R}の順序極小拡張構造\mathcal{M}=(\mathbb{R}, +, \cdot, <, \ldots) に限っても、[9] により、非可算無限個存在す
ることが知られている。
デファイナブル集合 デファイナブル写像に関して、[2], [3] などに性質
がまとめられている。また、[10] では、実数体\mathbb{R}の場合において、順序極小 構造より一般化された形でまとめられている。 ここでは、デファイナブル写像は連続とし、特に断らなければ、すべて \mathcal{N}=(R,+, \cdot, <, で考えるものとする。2
準備
R を実閉体とする。 構造\mathcal{N}=(R, (fi), (L_{j}), (c_{k}))
とは、以下のデータで定義されるものである。2010 Mathematics Subject Classification. 14\mathrm{P}10, 03\mathrm{C}64.
Key Words and Phrases. 順序極小構造,実閉体,デファイナブルファイバー束,デファイ ナブルぴファイバー束,デファイナブリーコンパクトデファイナブル群,デファイナブリー
1. 集合R を\mathcal{N}のunderlying set またはuniverse という。
2. 関数の集合\{f_{i}|i\in I\}、ただし f_{i} : R^{n_{\mathrm{z}}}\rightarrow R,n_{i}\geq 1。
3. 関係の集合\{L_{j}|j\in J\}、ただし L_{j}\subset R^{m_{J}},m_{j}\geq 1 。 4. 特別な元の集合 \{c_{k}|k\in K\}\subset R。各c_{k} を定数という。 添字集合 I, J,K は、空集合でもかまわない。 f(L) がm変数関数 (m変数関係) とは、 f : R^{m}\rightarrow R(L\subset R^{m}) となるこ とである。 項とは、以下の3つの規則にしたがって得られる有限列のことである。 1: 定数は項である。 2. 変数は項である。 3. f がm変数関数かつt_{1}, . . . ,t_{m}が項ならば、 f(t_{1}, \ldots, t_{m}) }よ項である。 論理式とは、変数、関数、関係、論理記号、括弧、コンマ、ヨ ,\forallからなる 有限列で、以下の3つの規則にしたがって得られるものである。 1. 任意の二つの項 t_{1},t_{2} に対して、 t_{1}=t_{2} と t_{1} <t_{2} は論理式である。 2. L がm 変数関係かつ t_{1}, . . . , 砺が項ならば、 L(t_{1}, \ldots, t_{m}) は論理式で ある。
3. $\phi$ と $\psi$ が論理式ならば、 \neg $\phi$, $\phi$\vee $\psi$ と $\phi$\wedge $\psi$ は論理式である。 $\phi$が論理
式かつ v が変数ならば、 (\exists v) $\phi$ と (\forall v) $\phi$ は論理式である。
R^{n} の部分集合 X が \mathcal{N} においてデファイナブルとは、論理式
$\phi$( x_{1}, \ldots,x_{n}, yl, . . . ,y_{m}) と b_{1}, . . . ,b_{m} \in R が存在して、 X= \{(a_{1}, . . , a_{n}) \in
R^{n}| $\phi$( a\mathrm{i}, \ldots,a_{n}, bi, . . . ,b_{m}) が \mathcal{N} で成り立つ } となることである。このと
き、Xをデファイナブル集合という。
\mathcal{N}= (R, +, <, \cdots) が順序極小構造 (0‐minimal structure) とは、 Rの任
意のデファイナブル集合が点と開区間の有限和となることである。ここで、
開区間とは、 (a, b)_{R}=\{x \in R|a<x< b\}, -\infty\leq a< b\leq\infty を表すものと する。
実閉体(R, +, \cdot, <) は、順序極小構造であり、デファイナブル集合全体は、
Rの位相は、開区間を開基とする位相とする。 R^{n} の位相は、積位相とす る。このとき、 R^{n} はハウスドルフ空間となる。
実数係数 Puiseux 級数\mathbb{R}[X]^{\wedge}、すなわち、
\displaystyle \sum_{i=k}^{\infty}a_{i}X^{\frac{i}{q}},
k\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N},a_{i}\in \mathbb{R}と表されるもの全体は、実閉体となり、非アスキメデス的である。
実数体\mathbb{R}、 \mathbb{R}_{alg}= {x\in \mathbb{R}|x は \mathbb{Q} 上代数的である }は、アルキメデス的 である。
以下の事実が知られている。
定理2.1. (1) 実閉体の標数は0 である。
(2) 可算以上の任意の濃度 $\kappa$ に対して、 2^{ $\kappa$}個の同型でない実閉体で濃度 $\kappa$
のものが存在する。
定義2.2. X \subset R^{n}、 Y \subset R^{m} をデファイナブル集合とする。連続写像 f :
X\rightarrow Y がデファイナブル写像とは、 f のグラフ (\subset R^{n}\times R^{m}) がデファイナ
ブル集合となることである。
デファイナブル集合 X \subset R^{n} がデファイナブリーコンパクトと
は、任意のデファイナブル写像 f : (a, b)_{R} \rightarrow X に対して、極限点
\displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}f(x) , \displaystyle \lim_{x\rightarrow b-0}f(x) がX内に存在することである。
デファイナブル集合X\subset R^{n} がデファイナブリー連結とは、Xの二つの
空でないデファイナブル開集合 Y,Z で、 X=Y\cup Z かつ Y\cap Z=\emptyset となる
ものが存在しないことである。
コンパクトデファイナブル集合は、デファイナブリーコンパクト集合で あるが、デファイナブリーコンパクト集合は、コンパクト集合とは限らない。 連結デファイナブル集合は、デファイナブリー連結集合であるが、デファイ
ナブリー連結集合は、連結集合とは限らない。たとえば、 R=\mathbb{R}_{alg} ならば、
[0, 1]_{\mathbb{R}_{alg}}=\{x\in \mathbb{R}_{alg}|0\leq x\leq 1\}
は、デファイナブリーコンパクトかつデファイナブリー連結であるが、コンパクトでも連結でもない。
定理2.3 ([8]). R^{n}のデファイナブル集合 Xに対して、Xがデファイナブリー
コンパクト集合であることと有界閉集合であることは同値である。
コンパクト集合、連結集合の連続写像のよる像が、それぞれ、コンパク
ト集合、連結集合となることのデファイナブル版が以下である。
命題2.4. X \subset R^{n}、 Y\subset R^{m} をデファイナブル集合、 f : X\rightarrow Y をデファ
イナブル写像とする。Xがデファイナブリーコンパクト (デファイナブリー
連結) ならば、
f(\mathrm{X})はデファイナブリーコンパクト (デファイナブリー連結)
例2.5. (1)\mathcal{N}=
(\mathbb{R}_{a}i_{g}, +, \cdot, <)
とする。 f : \mathbb{R}_{a}i_{g}\rightarrow \mathbb{R}_{alg}, f(x)= 磐は定義されない ([11])。
(2) \mathcal{N}= (\mathbb{R}, +, \cdot, <) とする。 f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x) = 禦は定義されるが、デ
ファイナブル関数でない。また、正弦関数h : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},h(x)=\sin x は定義さ
れるが、デファイナブル関数でない。
3
結果
G\subset R^{n} がデファイナブル群とは、 G が群であって、デファイナブル集合で
あり、群演算G\times G\rightarrow G,G\rightarrow G がデファイナブル写像となることである。
G\subset GL(n, R) とならないデファイナブル群が存在することが知られている。
G をデファイナブル群とする。デファイナブルG集合とは、デファイナ
ブル集合 X と G作用 $\phi$ : G\times X \rightarrow X からなる組 (X, $\phi$) であって、 $\phi$ がデ
ファイナブル写像となるものである。ここでは、 (X, $\phi$) と書く代わりに X と
書く。
X \subset R^{n}, Z\subset R^{m} をデファイナブル集合とし、 f:X\rightarrow Z をデファイ
ナブル写像とする。 f がデファイナブル同相写像とは、デファイナブル写像
h:Z\rightarrow X が存在して、 f\circ h=id_{Z} かつ h\circ f=id_{X} となることである。
\mathrm{X}, ZをデファイナブルG集合とする。デファイナブル写像f : X\rightarrow Zが
デファイナブルG写像とは、 fがG写像となることである。デファイナブル
G写像 f : X\rightarrow Zがデファイナブル G 同相写像とは、デファイナブルG写
像h:Z\rightarrow X が存在して、 f\circ h=i吻かつ h\circ f=id_{X} となることである。
デファイナブル空間とは、有限個のデファイナブル集合をデファイナブ ル開集合に沿って貼りあわせて得られるものである。デファイナブル空間の
間のデファイナブル写像も同様に定義できる。([2] の1 0章)。デファイナブ
ル空間は、[1] の意味のセミアルジェブリック空間の一般化である。
デファイナブルファイバー束の定義を思い出そう [7] 。
定義3.1. (1) ファイバ束 $\eta$= (E,p, X, F, K) がX上のデファイナブルファ イバー束でファイバーがF、構造群がK とは、次の二つの条件を満た すことである。 (a) 全空間 E がデファナブル空間、底空間 Xがデファイナブル集合、 構造群Kがデファイナブル群、ファイバー Fが効果的デファイナ ブルK作用をもったデファイナブル集合で、射影p : E\rightarrow X が デファイナブル写像である。(b) $\eta$の有限個の局所自明化
\{U_{i}, $\phi$_{i}:p^{-1}(U_{i})\rightarrow U_{i}\times F\}_{i}
が存在して、 各￠がXのデファイナブル開集合、 \{U_{i}\}_{i} がXの有限開被覆である。各 x\in U_{i} に対して、 $\phi$_{i,x} : p^{-1}(x) \rightarrow F を $\phi$_{i,x}(z) =$\pi$_{i}\circ$\phi$_{i}(z)
とする。ただし、 $\pi$_{i} は射影￠ \times F\rightarrow F とする。 U_{i}\cap U_{j} \neq\emptyset と
なる各
i,jに対して、変換関数砺
:=$\phi$_{j,x}\circ$\phi$_{i,x}^{-1}
:
U_{i}\cap Uj \rightarrow Kが
デファイナブル写像である。この局所自明化をデファイナブルと
いう。
両立するデファイナブル局所自明化をもつデファイナブルファイ バー束を同一視する。
(2) $\eta$= (E,p, X, F, K) と $\zeta$=(E^{r},p', X', F, K) をデフィナブルファイバー
束とし、そのデファイナブル局所自明化を
\{U_{i}, $\phi$_{i}\}_{i}
と
\{V弓 ,
$\psi$_{j}\}_{j}とする。
デファイナブル写像 f : E\rightarrow E^{r} がデファイナブルファイバー束写像と
は、次の二つの条件を満たすことである。
(a) f はデファイナブル写像をカバーする、つまり、デファイナブル
写像f : X\rightarrow X^{r} が存在して f\circ p=p'\circ f である。
(b)
U_{i}\cap f^{-1}(V_{j})\neq\emptyset
となる各 i, j に対して、各x\in U_{i}\cap f^{-1}(V_{j})
に対して、写像f_{ij}(x)
:=$\psi$_{j,f(x)}\circ f\circ$\phi$_{i,x}^{-1}
: F\rightarrow F がK の元による作用であり、fij : U_{i}\cap f^{-1}(V_{j})\rightarrow K がデファイナブル写像である。
全単射デファイナブルファーバー束写像 f : E \rightarrow E^{r} がデファイナブ ルファイバー束同値写像とは、 f がデファイナブル写像f : X \rightarrow X^{r} をカバーし、 (f)^{-}’ : E^{r}\rightarrow E がf^{-1} : X' \rightarrow X をカバーするデファイ ナブルファイバ束写像である。デファイナブルファイバー束同値写像 f : E\rightarrow E^{r} がデファイナブルファイバー束同型写像とは、X =X^{r} か つ f=id_{X} となることである。 (3) デファイナブルファイバー束 $\eta$=(E,p, X, F, K) の連続切断s:X\rightarrow E
がデフィナブル切断とは、各i に対して、 $\phi$_{i}\circ s|U_{i} : U_{i}\rightarrow U_{i} \times F がデ
ファイナブル写像なることである。
(4) デファイナブルファイバー束 $\eta$ = (E, p, X, F, K) が主デファイナブル
ファイバー束とは、 F=K かつ F の K作用がK の積になることであ
る。このとき、 (E,p, X, F, K) と書く代わりに、 (E,p, X, K) と書く。
(1) デファイナブルファイバー束 $\eta$=(E,p, X, F, K) がデファイナブルC^{r} ファイバー束とは、全空間E と底空間 X がデファイナブルC^{r} 多様体で、構 造群KがデファイナブルC^{r}群、ファイバー Fが効果的作用をもったデファ イナブルC^{r}K多様体、射影p : E\rightarrow X がデファイナブルC^{r} 写像で、すべ ての変換関数がデファイナブルC^{r} 写像となることである。主デファイナブ ル C^{r} ファイバー束も同様に定義される。 (2) デファイナブルC^{r} ファイバー束写像、デファイナブルC^{r} ファイバー 束同値写像、デファイナブルC^{r} ファイバー束同型写像、デファイナブルC^{r} 切断も同様に定義される。
定理3
\cdot3 (デファイナブル商空間の存在 ([2])).
Gをデファイナブリーコンパ
クトデファイナブル群、XをデファイナブルG集合とする。このとき、 X/G はデファイナブル集合として存在して、射影 $\pi$ :X \rightarrow X/G は、全射デファ イナブリー固有デファイナブル写像である。 命題3\cdot4. (E,p, X, K) を主デファイナブルファイバー束、 F を効果的デファ イナブルK作用をもったデファイナブル集合、 Kをデファイナブリーコンパ クトデファイナブル群とする。このとき、 (E\times KF,p', X, F, K) はデファイ ナブ)レファイバー束である。ただし、 p':E\times KF\rightarrow X をp^{r}([z, f])=p(z)
で 定義される射影とする。 命題3\cdot5. (E,p, X, K) を主デファイナブルC^{r} ファイバー束、 F を効果的デ ファイナブルC^{r}K作用をもったデファイナブル集合、 Kをデファイナブリー コンパクトデファイナブル C^{r} 群とする。このとき、(E \times KF,p', X, F, K)
はデファイナブル C^{r} ファイバー束である。ただし、 p^{r} : E\times {}_{K}F\rightarrow X を p'([z, f])=\mathrm{p}(z) で定義される射影とする。 命題3.6. \mathcal{B}_{K}= (B_{K}, p_{K}, X_{K}) を Kの n‐普遍主ファイバー束、 F を効果的デ ファイナブルC^{r}K作用をもったアフィンデファイナブルC^{r} 多様体とする。 このとき、同伴東\mathcal{B}_{K}[\mathrm{F}] :=(E,p, X_{K}, F, K) はデファイナブルぴファイバー 束である。定理3.7 ([4]). X\subset R^{n},Y\subset R^{m} をデファイナブルC^{r} 多様体とし、 0\leqq s<
r < \infty とする。このとき、任意のデファイナブル C^{8} 写像 f : X \rightarrow Y はデ ファイナブル C^{s} 位相において、デファイナブルぴ写像h : X\rightarrow Y で近似 できる。 定義3.8. (1) デファイナブルファイバー束 $\eta$=(E,p, X, F, K) が強デファイ ナブルとは、 n‐普遍束\mathcal{B}_{K} とデファイナブル写像f : X \rightarrow X_{K} が存在して、 f^{*}(\mathcal{B}_{K}[\mathrm{F}]) と $\eta$ がデファイナブルファイバ束同型となることである。
(2) デファイナブルぴファイバー束
$\eta$=(E,p, X, F, K)が強デファイナ
ブルとは、 n‐普遍束\mathcal{B}_{K} とデファイナブルぴ写像 f : X\rightarrow X_{K} が存在して、 f^{*}(\mathcal{B}_{K}[\mathrm{F}]) と $\eta$ がデファイナブル C^{r} ファイバ束同型となることである。 以下の結果を得た。 定理3.9 ([6]). $\eta$=(E,p, X, F, K) をアフィンデファイナブルC^{r} 多様体上の 強デファイナブルファイバー束とし、 K をアフィンデフィナブリーコンパク トデフィナブルC^{r}群とする。(1) \mathrm{X} 上の強デファイナブルぴファイバー束 $\zeta$ が存在して、 $\zeta$ と $\eta$ はデ
ファイナブルファイバー束同型である。
(2) $\zeta$' をX上の別の強デファイナブル C^{r} ファイバー束で、 $\zeta$^{r} と $\eta$ はデ
ファイナブルファイバー束同型とすると、 $\zeta$' と $\zeta$ はデファイナブルぴファイ バー束同型である。 特に、(1) と (2) より、 $\eta$ はデフィナブル C^{r} ファイバー束同型を除いてた だ一つのデファイナブル C^{r} ファイバー束構造をもつ。 R が実数体のとき、定理3.9は[5] で証明されている。 References
[1] H. Delfs and M. Knebusch, Semialgebraic topology over a realclo\mathcal{S}edfield
II: Basic theory of semialgebraic \mathcal{S}pace\mathcal{S}, Math. Z. 178 (1981), 175‐213. [2] L. van den Dries, Tame topology and0‐minimal\mathcal{S}tructures, Lecture notes
series 248, London Math. Soc. Cambridge Univ. Press (1998).
[3] L. van den Dries and C. Miller, Geometric categories and 0‐minimal
structures, Duke Math. J. 84 (1996), 497‐540.
[4] J. Escribano, Approximation theorems in 0‐minimal structures, Illinois
J. Math. 46 (2002), 111‐128.
[5] T. Kawakami, Definable C^{r} fiber bundle\mathcal{S} and definable C^{r}G vector bun‐
dles, Commun. Korean Math. Soc. 23 (2008), 257‐268.
[6] T. Kawakami, Definable C^{r} fiber bundle structures of a definable fiber
[7] T. Kawakami, Homotopy property for definable fiber bundle\mathcal{S}, Bull. Fac.
Ed. Wakayama Univ. Natur. Sci. 53 (2003), 1‐6.
[8] Y. Peterzil and C. Steinhorn, Definable compactness and definable
\mathcal{S}ub-group\mathcal{S} of0‐minimal group\mathcal{S}, J. London Math. Soc. 59 (1999), 769‐786.
[9] J.P. Rolin, P. Speissegger and A.J. Wilkie, Quasianalytic Denjoy‐ Carleman classes and 0‐minimality, J. Amer. Math. Soc. 16 (2003),
751‐777.
[10] M. Shiota, Geometry of subanalyitc and semialgebraic \mathcal{S}et\mathcal{S}, Progress in Math. 150 (1997), Birkhäuser.
[11] R. Wencel, Weakly 0‐minimal expansion\mathcal{S} of orderedfield_{\mathcal{S}} of finite tran‐
