梁の曲げ変形1

1

第１１回 梁の曲げ変形 （８章）

• 弾性曲線法

– 微分方程式による解法

• モールの定理による方法

– 応力を求める方法との数学的アナロジー

• その他の方法

– エネルギーを用いた方法（本講義の範囲外）

• 弾性曲線法

– 微分方程式による解法

p.112~

2

たわみとたわみ角

弾性曲線または たわみ曲線 たわみ：下向き正

v

dx x





d vdv ＊ただし，微小変形では dx dv  





tan x v C’ C



回転角または たわみ角（時計回りを正） 接線 dx dv θ C’ （ブイ：たわみ）

弾性曲線の基本式（７章参考）

3





     dA E ydA EI y M 2 中立軸から距離 y のひずみと応力を求める   y dx dx_   EE_y 1 M EI      近似的に （下側引張のM を正とするため負号） (7.1)式 (7.2)式 (7.3)式 2 2 d v M EI dx    (8.4)式 2 2 d d v dx dx      (8.3)式 P.129 tan dv dx   より 曲率半径



：曲率 1 _  曲率中心 dx dx dx 中立軸



M

y

x

v

図の三角形の相似則より （曲率とMの関係式）

（参考） たわみと曲率の関係（１）

4

p.115

◆曲率の符号について

⇒ 曲率が負であることを示している ⇒ 2 2 d v d dv d dx dx dx dx     _{ }   曲率とたわみ角（たわみ曲線の 接線の傾き）の変化の関係 2 2 d v M EI dx    曲率はたわみ角（たわみ曲線の接線の傾き）の変化を示してい ることから，上図において，下に凸となる曲線は接線の傾きが 徐々に減少することを示している。

（参考） たわみと曲率の関係（２）

5

p.129他

◆曲率の精算式と近似式の精度を確認

3/2 2 2 2 2 2 1 apprx exact d v dv dx dx d v dx       _{  } _ _               _ _   ここで，κexact：曲率（精算式による値）, κapprx：曲率（近似式による値） 相対誤差（Err）を以下のように定義





3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1

apprx exact apprx exact exact Err dv dx                             6

弾性曲線法によるたわみの求め方

C

1

、C

2

は境界条件から定める

境界条件 固定端

0

0

≠ 0

ピン

0

≠ 0

0

ローラー

0

≠ 0

0

v v



vM

二回積分

( ) 1 2 1 C x C dx dx x M EI v



 

基本式

EI x M dx v d ( ) 2 2  

一回積分

( ) 1 1 C dx x M EI dx dv_{  }





たわみ角

たわみ（変形）

x は材軸方向の距離

曲率



7

荷重とたわみの関係

EI x M dx v d ( ) 2 2   2 1 ) ( 1 C x C dx dx x M EI v



  1 ) ( 1 C dx x M EI dx dv_{  }





)

(

)

(

)

(

2 2

x

p

dx

x

dQ

dx

x

M

d







3 (3) 3 ( ) d v Q x v EI dx    4 (4) 4 ( ) d v p x v EI dx  

（荷重に関する式：４章参考）

荷重とたわみは・・・

４階微分方程式で結ばれる

1 ) ( ) ( ) ( D dx x p x Q dx x dM _{  }



2 1 ) ( ) (x p xdxdx Dx D M 



  P.121

（たわみの求め方より）

［積分］

［微分］

［ここでは，v のn 階微分をv(n) _と表す］ 8

微分方程式によるたわみを求める方法

① 反力を求める

② x 地点のモーメント を求める

③ に を代入する

④ 積分する： （たわみ角）

⑤ もう一度積分する： （たわみ）

⑥ 境界条件により積分定数 C

1

，C

2

を定める

⑦ C

1

，C

2

をたわみ角とたわみの式に代入して解が得られる

 

x M

 

x M

 

EI x M dx v d _ 2 2

 

1 C dx EI x M dx dv_{  }





 

2 1x C C dxdx EI x M v



  P.116

9

弾性曲線法の例：単純梁（等分布荷重）

w x wl x w v EI 2 2 2_   3 2 1 6 4 w wl EIv  x  x C 2 1 3 4 12 24 x Cx C wl x w EIv    境界条件より， x0, l  v0 0 2 C 24 3 1 wl C 



3 ₂ 2 3



24 wx v x lx l EI     中央のたわみ 4 5 2 384 l wl x v EI   

例題8.1

P.117 x l x wl x w x M 2 2 ) ( _ 2_ 2 / wl ① wl/2 ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 10

弾性曲線法の例：片持梁（集中荷重）

境界条件より， xl  v0,v0 P Px x M v EI  () 1 2 2 C Px v EI  2 1 3 6 Cx C Px EIv   , 2 2 1 Pl C  3 3 2 Pl C 



3 ₃2 ₂3



6 P v x l x l EI     先端のたわみ、たわみ角 3 2 0 , 3 2 Pl Pl x v EI  EI     

演習8.1

P.131 右からだと 反力が必要 x x l Px x M() ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ θ：反時計回り （教科書：EI/ℓ3 _{に比例 ⇒ 誤）} 11

弾性曲線法の例：単純梁(集中荷重）

1 2 2lx C Pb EIv  3 2 2 ) ( 2 2 x a C P x l Pb EIv    ) 0 ( xa ) (axl x l Pb v EI  ) (x a P x l Pb v EI    境界条件 xa で v と v’ は連続（同値） 1 3, 2 4 C C C C   

例題8.2

x l Pb x M()



x a



P x l Pb x M( )   l Pb / Pa /l P.118 教科書のように両支点から x₁，x₂ を求めた方が式は簡 単であるが，A点から求める 教科書P.119の誤 式(1)×a－式(2) 正 式(2)×a－式(1) 2 1 3 6l x Cx C Pb EIv   ① 4 3 3 3 ) ( 6 6 x a Cx C P x l Pb EIv     ② B C l a _b P x A 12

弾性曲線法の例：単純梁(集中荷重続き）

境界条件 x0, l  v0 2 2 1 3 ( ) 6 Pb l b C C l     2 4 0 C C    x l a b P ) 0 ( xa



x l b x



l b EI P v ( ) 6 2 2 3_{ }          (a x l)



3 2 2



3 ) ( 6 ) ( 6 EI x a P x b l x l b EI P v             P.118 0 0 x  v ①式で ②式でx  v0

13

弾性曲線法の例：単純梁(集中荷重続き）

中央集中荷重のとき 2 l b a  中央のたわみ 2 l x 3 3 2 3 12 2 4 2 48 P l l Pl v l EI EI           _{ }   _{ }          _{ }   x l x EI P v 3 2 4 3 12     _{   }   3 2 3 ) 2 ( 2 4 3 12 l x x l x EI P v x l 2 l       2 l       P.118 式は複雑だが特異点を求めることが多い P 14

弾性曲線法の例：両端固定梁(等分布荷重）

w

演習8.3

この梁は

３次の不静定

であるため、つりあい式から反力を

求めてモーメントを求めることができない

⇒ そこで、４階の微分方程式を使う

P.131 15

荷重とたわみの関係

EI x M dx v d ( ) 2 2   2 1 ) ( 1 C x C dx dx x M EI v



  1 ) ( 1 C dx x M EI dx dv_{  }





)

(

)

(

)

(

2 2

x

p

dx

x

dQ

dx

x

M

d







3 (3) 3 ( ) d v Q x v EI dx    4 (4) 4 ( ) d v p x v EI dx  

（荷重に関する式：４章参考）

荷重とたわみは・・・

４階微分方程式で結ばれる

1 ) ( ) ( ) ( D dx x p x Q dx x dM _{  }



2 1 ) ( ) (x p xdxdx Dx D M 



  P.121

（たわみの求め方より）

［積分］

［微分］

［ここでは，v のn 階微分をv(n) _と表す］ 16

弾性曲線法の例：両端固定梁(等分布荷重）

w 境界条件 x0,l で v(1) v 0, v0 4 3 0 C C   

演習8.3

EIv(4)w (3) 1 EIv wx C (2) 2 1 2 2 w EIv  x C x C (1) 3 1 2 2 3 6 2 w C EIv  x  x C x C 4 3 2 2 3 1 4 2 6 24 x Cx C C x C x w EIv     P.131 x l (1) 3 1 2 2 0 6 2 w C EI  l  l C l で除す ⇒ (1)式  0 2 6 24 2 2 3 1 4_{  }  wl C l C l EI で除す ⇒ (2)式 2 / 2 

17

弾性曲線法の例：両端固定梁(等分布荷重）

演習8.3

2 1 2 0 12 3 w C l  lC  2 1 2 0 6 2 w C l  lC  2 1 1 0 12 6 2 w C w l  l C   l 2 2 2 2 0 2 6 4 12 w w wl l  l C  C  たわみ



2 2



2 2 24EI x lx l wx v   たわみ角



2 2



3 2 12EI x lx l wx v   スパン中央（ ）におけるたわみは・・・ 2 l x EI wl l l l l l EI w v 384 2 2 4 4 24 4 2 2 2           P.131 (1) [∵ v’=0] (2) [∵ v=0] (1)式－(2)式 より w 各式を整理すると，