不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生するトルク

(1)

不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生するトルク

著者西山卓夫

雑誌名鹿児島大学工学部研究報告

巻 4

ページ 31‑37

別言語のタイトル ANALYSIS OF THE TORQUE DEVELOPED BY A 3‑PHASE INDUCTION MOTOR OPERATING UNDER UNBALANCED CONDITION

URL http://hdl.handle.net/10232/10773

(2)

不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生するトルク

著者西山卓夫

雑誌名鹿児島大学工学部研究報告

巻 4

ページ 31‑37

別言語のタイトル ANALYSIS OF THE TORQUE DEVELOPED BY A 3‑PHASE INDUCTION MOTOR OPERATING UNDER UNBALANCED CONDITION

URL http://hdl.handle.net/10232/00004509

(3)

(1)

西山卓夫

（受理昭和39年５月３０日）

ＡＮＡＬＹＳＩＳＯＦＴＨＥｒＯＲＱＵＥＤＥＶＥＬＯＰＥＤＢＹＡ３−ＰＨＡＳＥＩＮＤＵＣＴＩＯＮＭＯＴＯＲＯＰＥＲＡＴＩＮＧＵＮＤＥＲＵＮＢＡＬＡＮＣＥＤＣＯＮＤ１ｎ[ＯＮ

ＨｉｄｅｏＮＩＳＨＩＹＡＭＡ

Whena3‑phaseinductionmotorisoperatedunderconditionthatunbalancedcurrentsand voltagesexist，itdcvelopesthetorquepulsatingwithdoublefrequencyofthesource、The evaluationofitsvalueisprettytroublesome，Theauthorhasdevelopedtheexpreｓｓｉｏｎｏｆｔｈｉｓｔｏｒｑｕｅｂｙｍｅａｎｓｏｆｔｈｅｖectorproductofthevectorsofthefhlxinterlinkageandthecurrent，

however，inthispaper，hetreatstheproblembyapplingthevectorthensoranalysis･Theresult of［heanalysisshowsthatresistancelossinthewindingsandthestoredenergyinthemagnetic pathsalsocontain，inadditiontotheconstantvalues，theoscillatingcomponentswithdouble freqUency．

用いて次の如く表わされる．

= 岩 ( た " … ‑ " ）

ここに β ＝のｒ ① ：電気的角速度Ｉ群はＩの共役量を表わすものとする．

三相誘導電動機の各相電流の瞬時値jα，ｊ６，ガｃとその対称分/０，ｊ１，ｉ２とはマトリスクを利用して次の如くに，その変換関係が表わされる．

１．まえがき

三相誘導電動機の電圧及び電流に不平衡が存在するときは，一定値の平均トルクの他に電源周波数の２倍の周波数で変化するトルクが存在することは既知のことであるが，その取扱いが煩雑なためか余り深く論ぜられたものはない．筆者は既に鎖交磁束の回転ベクトルと電流の回転ベクトルとのベクトル積を利用して，

この問題を解析する方法について発表したが')，ここには別の見地からインピーダンステンソルを利用して瞬時電力の式を求め，そのうちに現われる２倍周波数の電力より脈動トルクの等式を導く方法について述べている．そしてまたこの場合には電動機巻線内の抵抗損失及び磁路内に貯えられるエネルギーにも，また２倍周波数で変化する成分を含んでいることを明かにしている．且つ鎖交磁束ベクトルと電流ベクトルとのベクトル積より求めた脈動トルクの等式と，ここに新にインピーダンステンソルを利用して求めた等式との間の関連について論じ，両者は容易に変換しうることを説明している．

ｊＯｉ α

[ﾉﾉ]＝ｊ＝Ａ−'[j］Ａ＝−１ｊＤｉ２ｉｃ

Ｉ

I O l I o ＊

六伽悔

^．Ｊ

・Ｊ

Ｅ６

不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生するトルク

Ｚ２１Ｚｌ＊

ここに

１ α ｜ α ２

Ｚ・不平衡状態の三相誘導電動機の電力の瞬時値この解析には多軸行列法を利用し，対･称座標変換には絶対変換を使用することとする．

正弦波電流の瞬時値ｊはその実効値のベクトルＩを

１元Ａ

ｌｌａ２１ａ

逆に相電流を変換すると

(4)

１ 3２

(7) 対称構造の三相誘導電動機ではＹ接続ならば零相電流は零である．４接続ならばこれを容易にＹ接続に変換して考えることができるので，（７）式から明なる通り何れの場合でも零相分は電力に関与しない．故に零相分は除外して瞬時電力Ｐｚは次の如く表わさ

れる．

０１．Ｊ

１

雲釧抑﹁増一曲．｜薄一娼噌一

・勘・目・唖

Ｉ１１謙一壷厳

如一郵一釦麺一趣一理

ｅｅｅ

｢

『 = 典凹 = Ａｌ浩

^{ＪＯＭＯ:!：} ｜奴一割

︲トー

１１１１１１

Ｇ１０

1 . 1 = ￨号￨憾繍電圧の瞬時値 1 鋤

(5)

伽一か側

１１１

１１１１２＊ ^ｅ２０

̲

ｊ２ノ'＊１１１ α ２ａ ell

１

一I/す

１１１１ α ｜ α ２

（２）電圧についても同様な変換を行なうことができる．

elC ｅｌ２

α ２１ａ１

g2b e２１

i

：

１ α｜α２

e2c ｅ2２

鹿児島大学工学部研究報告第４号

１｜石Ａ

ＧＡ

｜印一助一

α α ２

EblEIj:：

１１

α ２口

i

；

卵一割

(6)

■旬｡D■

E，唖:、 ⁽³⁾ i

e］

(5)，（６）式を（４）式に代入して計算すると次の結果をうる．

方２１厳

Ｃｆ

ここに

ｉｆ

ａ

(8)

１

卸しＯＵ４

ゆぜ″歩

ｅＩｂ

ｂｌｏＺ

１

α２

ｅＯ

ｅ，はｵ目電

9２

Ｐ礼＝

蝦一鮒何町一喝｜喝

１

Ｉ − ｇＪ｜皇｜

Ｐー

圧の対称座標分の瞬時値である．

次に固定子と回転子の電流，電圧はｊ或はｅの右下にそれぞれ接尾字１，２を添付して区別することと

する．

瞬時電力Ｐｊは固定子，回転子関係を一つのマトリスクにまとめて，次の如く表われことができる．

e2２ 1

１

I／３

︒︼２︐７レ

１ａ

１

細行弧一ｍ涯惣一刑死弘一の六訓一釧砧﹄幻闘

α２

α１．Ｊ

ｅｌａ

α⑨︒７Ｆ

e2a

１

相電流，相電圧の対称座標分への変換は次の如く書

ける．

(4)

j

｝ i

ｆ ^elC

ｉｆ

１

ａｎ

■７Ｐ１１１電動機は固定子，回転子とも三巻線軸を有するもの

とする．固定子巻線及び回転子巻線の一相の抵抗，漏れインダクタンス及び主自己インダクタンスをそれぞれＲ,,ﾉ１，Ｌ及びＲ2,／2,Ｌ２とする．今回転子が時

計方向に｡'=¥癒る角速度で回転しているものとす

れば，固定子回転子巻線間の相互インダクタンスは時間とともに変化するが，その最大値を〃＝,/Z1瓦とする．かくの如く電動機のインピーダンスは時間とと

１Ｉ

ｌ｜川コー

⑪凸ｑ０ユ

ｃ守りし

１如一恥一鋤 i

； ^e2b

卸し︑︒γし

e2c ＰＬ＝ −圭司角＝[j']［Ｃ][e'］

■ず〃し

ela

鋤一鋤

(5)

上式の各マトリスクを一文字で表わして次のように書かれる．

［e']＝[Zγ][ﾉﾉ］これにＫ変換を施すと

Ｋ一'[e']＝Ｋ−１[Ｚ１ＫＫ−１[ﾒﾉ］（11）

西山：不平術状態で運転される三相誘導電動機の発生するトルク

e２１

但し１，１２は固定子の正相分，逆相分に対応し，

11,,112は回転子の正相分，逆相分に対応することを示している．

対称座標分で表わした三相誘導電動機の基本行列式は次のようである．

もに変化するが，これを次に述べるように(9)式の整流行列Ｋを用いて変換すると時間的に一定なるインピーダンステンソル［Ｚ′］に置き代えて考察することができる．

１１１２１１１１１２

(13）ｌｊ"]＝Ｋ−ｌ[j']＝

ﾉﾐ１

１１２Ｋ＝

ＩＩ１１１２

１

(9)

9２２

漁e‑jO′

ｅ−ｊＯノ

￨ｅｊ , ，

或は

［e"]＝[Z"][j"］

但し

［e']＝Ｋ[e"］；［jﾉ]＝Ｋ[j"］

(11）式の計算を行なえば次の結果をうる．

塗(,,+'）Ｚ１(p）

６Ｊ②ｔ

Ｅ− Z e22e‑j"ノ

Ｚ２(ｐ−ｊ⑳ﾉ）

ｊｉ

− ７ｒ

ｌ

＆ｇｊ' ＝ i フラ

j:e‑jO'

; … ' ′

^●Ｉ^１１

Zl(p）

9１１

; M 江 ‑

^凸包″〃^{︹咽﹄Ｔｌ}

Ｚ１(p）

ｅｌ２

(10）

iAejO

評 ( ' ‑ ん ' ）

; 岬僅 ‑

^垂⁽^p^） ^Ｑずじ^ＴＬｎ

⑨﹄︒Ｉ︽

邑包ＪＦ

Ｚ１(刀）

: …′

(12）Ｚ２(p）

: " ( ' 十 " ）

e21e

ｇ1２

3３

３Ｍ ;

^ｌ^j

岸一が一躍秀

瑚一埼一ら一驚

等 M ｐ

これらにそれぞれｓ ' 及びe‑j"' を乗じた増e"'，

j;e‑j '(6'=｡'r）は｡)r即ち電源周波数で変化するの

で，電流瞬間値のマトリスクは次のように書ける．

９１１

但し

Ｚ , ( " = R , + 仏十 : L , ) 唖 ( " = & + ( I 響十号Ｌ２ )

Ｚ ! … = R , + ( ' 』 + ; L 1 ) ( ' ± ん ' ）垂 … = R 勤十 ( 1 2 + ; L 2 ) ( p ± ん ' ）

（12)式中の回転子電流端，ｊ;はそれぞれ滑りの電気的角速度（の一のﾉ）及び（の＋の'）で変化するから，

(6)

[Ｚﾉ][i"]＝

￨刺 j l l i ; ￨ i ;

電圧についても同様である．

［j']↓＝[唾"ルー[j"]ｊＫｃ

なることを考慮して（８）式のＰｚは次の如く変形さ

れる．

Pz＝[jノル[Ｃ][e']＝[j"ﾙＫｊ[Ｃ]ＫＫ−１[Zγ]ＫＫ−１Ｆﾉ］

＝[r"ｈＫ[c]Ｋ[Zγ'][j"］

ﾄｰ " ′

一︾

側︾︾

や八紅均︺﹁１Ｊ

搾犀︾

︒▽Ｉ︒︾１︒Ｉ

＆一ｑＱ

そして

但し

４ = 斑 z( j " ) + 鴫 j ' 斑 U ･ ) ］ 2 = 坪 z i ( ‑ , " ) + 遣縫 [ ; " ( ‑ ん ) ］ B , = 蝿 z ' ( わ ) 十通 [ ; " ( j b , ) ］

D1Ejcj6十D2e‑j皿

C1ej⑩Ｌ＋C2e‑ju)』 (16）

１

一,／す

好一鳥二潟

ＢＩｅｊ⑳６＋B2E‑j②ｃ 41e'⑳６＋a2E‑j①Z

Ｚ(p+必'）

川一一Ｉｌ１ｌ

Ｉ１

: 班 ( , + " ' ）

E‑J⑳〔

１Ｉ１１

垂(ｐ−ｊ①'）

KC[Ｃ]Ｋ＝＝[Ｃｌ

; 皿 ( p ‑ ん ' ）

故に

１

７言

〃鮮二瀞

(14）

１

e ' ' １

^１

Ｚ１(刀）

Ｚ１("） ^E血【

gj6' １ E

:

; 必

上式に（12）式中の［Zγ']，（13）式の［Z"］を用いて計算すればよいのであるが，便宜上前半の二項と後半の二項とに分けて計算する．

(15） Pz＝Ij'/]z[Ｃ][Ｚ'][i"］

3４

斑瀞：

引引島￨ｊ：

齢 I 1 j i : I : ￨ i : 蟻￨〃：

= 六￨・麺トー '

Ｉ

F " '[ c ' = 志 ' ． ' " ￨‑ ' "

１

好ｊｌｌｒ：島

I １

l謹坪/§蕊罵鄭

^邑

(7)

Ｄ１ｅｊｍ６＋D2e‑j⑩６

3５

り，電動機の磁路に貯えられる磁気エネルギーにもまた２倍周波数で増減するエネルギーの成分が存在することを示めしている．

岐後の項が脈動トルクを表わす電力で［］内は共役量の差で虚数となり，全体としては実数で２倍周波上式にて抵抗を含む第一攻と第二菰とのかっこ内は

何れも共役ベクトルの和であって実数を表わし，抵抗損失にも一定の平均値の上にこの項で示めされる２倍周波数の変化が亜呪することを知る．

第三攻と第四項とはお互に共役でその和は実数とな

(15）式，（16）式よりＰｊは次の如く表わされる．

｜︑一

一鋤舜酎・刊

認埴河川到

軒吾

吻Ｍ

﹃○一ヘム行コフ︼ｒｌＬＴｌ﹂

一一一一

︐︐

Ｒ , ( ｉＩ峠ﾉ 2 ｡＋ハ礁坤 :‑ ' 2 鋤) ＋ R 2 ( ｊ蝿' 2 ｡＋ｊ ; 蕊ｊ ; 熱ｇ − ｊ３．）

+ 乃埼 ( ｌ 1 号 L , ) ん + ( i 秘十ﾉ ; ) ( : M ) ﾉ画十粒 ; ( ' , ＋ ; L , ) ﾉ｡ ' 達 '"

+ [ 瑚蹄 : ( ' 1 + : L l ) ( 一ｊｏ ) + ( " γ ; 薙十ｊｌ雛 j : 雛 ) ( ; M ) ( ‑ ん ) + なゾず ( ' ２＋ 3 Ｌ２ ) ( 一 " ﾙｰ漣 "

+告(洲(‑ん')[(i蝿一 )虐渡． ‑ＷI曙'言‑罵妙)愚‑愛" （20）

＝も { ( 恥十 / i B 2 + i ; c 圃十踊り圏 ) + ( 好創 , + ｊｌＢ１ + ｊ : c , + 息､ ! ) 唇 j ２．

＋(乃蕊4,+坪B,+蕗i℃,+ｊ;総Ｄ,)＋(ｉ￨雛Ａ２+ｊ;縦B2+i;識C2+鰭':､2)e‑'2型 }('7）

上式より瞬間電力Ｐｊは定値項と，２ｲ)禍波数で変定仙項を計算すると次のようになる．

化する変化項とからなっていることを知る．

き { 2 凡 ( i 満雑十棚 ! : ) + 2 R 2 ( ｊ ; / ; 雛十寒 ) + [ (鵬 ‑ 乃難 / } ）

＋ ( " ｉｉ − ｊ ; 好熱 ) ' ( ; j v ) ( ん ' ) ｝

= R , ( ﾉ i 2 + ￨好噌 ) + R 2 ( i ; ' 2 + ￨ j ; ' 2 )

＋抑瑚一戦嬢)‑(ｊ;雛ｊ;‑/調縦)'(;jw)(‑ん'）（'8）

（18)式でＲ１，尺2を含む攻は抵抗損失を示す.妓後一〔厳:ﾉﾁｰi調瀧)］（19）

の項の［］内は第一項も第二項も共役ベクトルの差但し２極機とする．

であるから虚数であって，全体としては実数である．

次に２倍周波数で変化する変化項について考える．

これは｣E相分トルクと逆相分トルクに対応する電力の

差である.故に平均ﾄﾙｸz, は角速度の'で除して(/;Ａ１＋舟B,+/;c,+踊り,)si2･

次の如く書ける．

+ ( 瑚蕊Ａ２ +: B 2 + ４難 c 2 + / ; 蕊 D 2 ) さ ‑ j 2 ｡

恥 = ( ‑ ｊ ) 器 j v ) [ ( i‑ ﾉｯ f 鴨〕

これにＡ，Ｂ，Ｃ,Ｄの値を入れて整理すると

Ｅ−ｊｕ)↓

/￨＊｜岸：ノ;＊｜ノ;＊

』,Ｅｊ⑩ｃ＋A2E‑j"ｃ B1e/"' 十B2e‑j皿 Cl可", ＋Ｃ２ｅ−抑【

ｊｆｌｉｌｌｊ；｜殿

' = 当

西山：不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生するトルク

SJ(JjZ

(8)

数で変化する．この電力を角速度①′で除して脈動トルク刀の式をうる．

巧 = ( ‑ ｊ ) & ( ; M ) [ ( 雄 ; 一ｊ縄 ) 置耀･

一(ｊｌ霧ｊ;瀧一好寒踏撫)倉‑j2｡'］（２１）

但し２極機とする．

故に電動機の全トルクｒは次の如く表わされる．

Ｔ＝西 " 十刀（ 2 2 ） 2.2ＫＷ２００Ｖ６０ｃ/ｓ４極の三相誘導電動機に外部移相器として２００ "Ｆのコンデンサ１個を使用して単相電源によりて逆転した場合，1,780r､p､ｍの回転数において発ﾉ￨そするトルクの時間的変化の状況を撮影したオシログラムを写典にホめす．この逆転状態では竜

3６

３．鎖交磁束ベクトルと電流ベクトルのベクトル積を利用して求めたトルクの式と（19)式，（２１）式との関連

三相誘導電動機の固定子の鎖交磁束の1湘分，逆相

分を表わす回転ベクトルをそれぞれｊs１，億＄とし，

固定子電流の正相分，逆相分を表わす回転ベクトルを

であって，これが（23）式の１/'､ｓ１に対応する．故に

』'『$,とｉｓ,(=月）とによりて生ずるトルクは(23)式

より

ノ 2 伽 " (ん）

＝ / 2 " " { 3 M i / 蚕 ( 踏瀧十坪) 汁｝

＝3{:M"(蝿十i州

＝3{:M""(ﾉﾑ講島)｝（24）

但し刀"(瑚撫jl)=0

（19）式の正相分トルクは次の如し．〔註：（19）式の対称座標分は絶対変換によるものである〕

（ ‑ j ) 器 M ) [ 島鶴 i i ‑ 幽勺

上式の［］内の芯霞赴とi鎧＊とはお互に共役

であるから，虚数部は符号反対で絶対値は相等しいか

一／閉朔一夢｜

三相誘導電動機に不平衡電圧を印加した場合に発生する２倍周波数の脈動トルク波形動擬の各相に加えられる電圧は相当不平衡となる')が，

この場合は平均トルクの100％程度の振幅を行する２倍周波数の振動トルクが発生していることをオシログラムは示している．トルクの瞬時値の測定も困難で従来余り試みられていない．このオシログラムは直流電気助力計にストレーンゲージを使用した測定装置を試作して行なったものであるが，精確な定並的数値を出すことは困難であったが，平均値と振幅の関係は十分よく測ることができる．

．．＊

それぞれ１s,，Is2とすれば，電動機のトノレクは次式で表わされるI)．

『 = た " " { ( 錨 j " 一躍 j 蕊）

ゥＧ●●

＋(V,｡21s,一妙､s1Is2)｝（23）

ここにi;L１号恥は虚数部分を表わす．

なお（23）式を導く場合に対称座標分への変換は相対変換を利用したが，（１９）式，（21）式の導出には絶対変換を用いたことは前述の通りである．

第２章で用いた相互インダクタンスＭは一相の巻線間の値であるから，三相巻線を総合して考えた場合

の固定子,同転子間の相互ｲﾝダｸ頚ﾝｽ憾号皿と

なる．

なお，回転子巻線は固定子側と同一尖効巻回数に換算されているものとする．

回転子電流遇の作る主磁束と固定子巻線との総鎖交

数は:Ｍ１/2赴であり,岡定子電流肘(=八')のために生ずる主磁束と伺転子巻線との総鎖交数は:班

!/２月である回転子巻線は固定子巻線側に換算さ

れているからﾘﾊ〃２月は汁による]皇磁束と固定

子巻線との総鎖交数でもある．故に固定子巻線と主磁束との縄鎖交数は

：Ｍ１ / 2 ( 乃十 H ）

鐸︾一

■

f n 曲 ■

ｒ､ｉｰ汐ポバ

趨跡

W I ‐ … 、 −

(9)

西山：不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生するトルク ³^７

らその差は次のように書ける．

坊I:ji‑i観識=2〃(芯I:if)

故に正相分トルクは次のように書ける．

（ ‑ j ) ( 号ﾊｩ ( ｉ ; 講乃）（ 2 5 ）

相対変換の対称座標分の大きさは絶対変換のものの１，/丁倍であることを考慮すれば（24）式と（25）式とは一致する．但し（25）式では（−J）を乗じて虚数部を実数に直している点が相違している．

逆相分トルクについても全く同様である．

逆相分鎖交磁束数は次の如く表わされる．

ｊ鯛 = : j ｗす ( i ; + 好）

故に（23）式の逆相分トルクは

岩 " 洞 ( ‑ 燭唖曜）

＝烏 " " { ‑ : 』ｗ百 ( i ; 鞭十坪 ) 恥

＝‑3{号…(ノザ好)｝（26）

（19）式の逆相分トルクは

− ( ‑ j ) 器 M ) ( " 好一 j ; ｉｆ鱗）

＝ ‑ ( ‑ j ) ( : M ) " " ( 曜議好）（ 2 7 ）

（26）式と（27）式とは同一のものであることは正相分トルクの場合と同様である．

次に脈動トルクについて考える．

（23）式の脈動トルクを表わす部分は上にて求めた

' ｡ , = : ！ " す ( 島十 i l ) ；鋼 = ; j ｗす ( / ; + 好）

の関係を用いて

念…蝿j"‑…畠）

＝念恥 { 制〃 [ ( i ; + i 誠 i ‑ ( ｉ ; + 州

＝3(判""(i湖一瞬）（28）

(23）式では電流，鎖交磁束数は回転ベクトルと考

えているのであるから，もともと砂ど" ,Ｉｅ⑳ と書き

表わすべきを，この意味をも含めて単に,》,ｊと表わしているのであるからｊ湖及びi縦はej2"'なる

関係で時間的に変化する．

（21）式の脈動トルクの次は次の如く書き改められる．〔註：（21）式の対称座標分は絶対変換によるものである〕

期 = ( ‑ ﾉ ) 』 ( ÷ M ) 【 ( 嘘 ‑) 層擢劉

‑ ( 坪 : i : 縦一坪 I : " : ) e ‑ j 2 ｡］

＝ ( ‑ ｊ ) ( : M ) " " [ ( i 蝿 ‑ i 雑 ) … ' ( ２，）

（28）式と（29）式とが同一内容のものであることは前述の通りである．

以上の説U｣から明かなように，鎖交磁束数の回転ベクトルと電流の回転ベクトルを利用してえたトルクの等式とインピーダンステンソルを利用して求めた電力の瞬時値より計算したトルクの等式は見掛け上の形は異なるも相互に容易に変換しうる．

４．結言

普通誘導電助機の理論を取扱う場合には，電力或は発生トルクについては，その平均値についてのみ論ぜられているけれども，不平衡状態で運転される場合，

例えば電動機の構造それ自身は対称構造であっても，

電源電圧に不平衡の存在する場合は電力，或はトルクに電源周波数の２倍の周波数で変化する成分を含み，

特にトルクについては逆相分のトルクを生ずる上に，

ここに述べたように２僻周波数のトルクを発生して，

電動機に振動を生じて運転上支障を生ずるおそれがある．筆者はここにインピーダンステンソルを利用して電力の瞬時値を求めて，正相分トルク，逆相分トルク，２倍周波の振動トルクの等式を求める方法を提案した．なお主目的は発生トルクの解析であったが，瞬時電力を計算した結果として，巻線の抵抗損失，電動機の磁路内に貯えられている磁気的エネルギーについても，また２倍周波数の変化分の存在することを明かにしそれらを表わす等式を求めることをえた．

l

）

文献

西山：電学誌．８４，８９（昭39)．

ゴヘー〆堵グーヂーグ

不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生する トルク

不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生する トルク

著者 西山 卓夫

雑誌名 鹿児島大学工学部研究報告

巻 4

ページ 31‑37

別言語のタイトル ANALYSIS OF THE TORQUE DEVELOPED BY A 3‑PHASE INDUCTION MOTOR OPERATING UNDER UNBALANCED CONDITION

URL http://hdl.handle.net/10232/10773

不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生する トルク

著者 西山 卓夫

雑誌名 鹿児島大学工学部研究報告

巻 4

ページ 31‑37

別言語のタイトル ANALYSIS OF THE TORQUE DEVELOPED BY A 3‑PHASE INDUCTION MOTOR OPERATING UNDER UNBALANCED CONDITION

URL http://hdl.handle.net/10232/00004509

= 岩 ( た " … ‑ " ）

I O l I o ＊

六伽悔

Ｅ６

不 平 衡 状 態 で 運 転 さ れ る 三 相 誘 導 電 動 機 の 発 生 す る ト ル ク

Ｉ１１ 謙一壷厳

ｅｅｅ

｢

『 = 典 凹 = Ａ ｌ 浩

︲トー

1 . 1 = ￨ 号 ￨ 憾 繍 電 圧 の 瞬 時 値 1 鋤

１１

Ｉ − ｇ Ｊ ｜ 皇 ｜

計方向に｡'=¥癒る角速度で回転しているものとす

ｌ｜川コー

￨ ｅ ｊ , ，

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＆ ｇ ｊ' ＝ i フ ラ

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; M 江 ‑

評 ( ' ‑ ん ' ）

; 岬 僅 ‑

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Ｚ , ( " = R , + 仏 十 : L , ) 唖 ( " = & + ( I 響 十 号 Ｌ ２ )

Ｚ ! … = R , + ( ' 』 + ; L 1 ) ( ' ± ん ' ） 垂 … = R 勤 十 ( 1 2 + ; L 2 ) ( p ± ん ' ）

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４ = 斑 z( j " ) + 鴫 j ' 斑 U ･ ) ］ 2 = 坪 z i ( ‑ , " ) + 遣 縫 [ ; " ( ‑ ん ) ］ B , = 蝿 z ' ( わ ) 十 通 [ ; " ( j b , ) ］

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〃鮮二瀞

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l謹坪/§蕊罵鄭

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Ｒ , ( ｉ Ｉ 峠 ﾉ 2 ｡＋ ハ 礁 坤 :‑ ' 2 鋤) ＋ R 2 ( ｊ 蝿' 2 ｡＋ ｊ ; 蕊 ｊ ; 熱 ｇ − ｊ ３ ．）

+ 乃 埼 ( ｌ 1 号 L , ) ん + ( i 秘 十 ﾉ ; ) ( : M ) ﾉ 画 十 粒 ; ( ' , ＋ ; L , ) ﾉ ｡ ' 達 '"

+ [ 瑚 蹄 : ( ' 1 + : L l ) ( 一 ｊ ｏ ) + ( " γ ; 薙 十 ｊ ｌ 雛 j : 雛 ) ( ; M ) ( ‑ ん ) + な ゾ ず ( ' ２ ＋ 3 Ｌ ２ ) ( 一 " ﾙ ｰ 漣 "

+告(洲(‑ん')[(i蝿一 )虐渡． ‑ＷI曙'言‑罵妙)愚‑愛" （20）

＝ も { ( 恥 十 / i B 2 + i ; c 圃 十 踊 り 圏 ) + ( 好 創 , + ｊ ｌ Ｂ １ + ｊ : c , + 息 ､ ! ) 唇 j ２ ．

＋(乃蕊4,+坪B,+蕗i℃,+ｊ;総Ｄ,)＋(ｉ￨雛Ａ２+ｊ;縦B2+i;識C2+鰭':､2)e‑'2型 }('7）

き { 2 凡 ( i 満 雑 十 棚 ! : ) + 2 R 2 ( ｊ ; / ; 雛 十寒 ) + [ (鵬 ‑ 乃 難 / } ）

＋ ( " ｉ ｉ − ｊ ; 好 熱 ) ' ( ; j v ) ( ん ' ) ｝

= R , ( ﾉ i 2 + ￨ 好 噌 ) + R 2 ( i ; ' 2 + ￨ j ; ' 2 )

＋抑瑚一戦嬢)‑(ｊ;雛ｊ;‑/調縦)'(;jw)(‑ん'）（'8）

（18)式でＲ１，尺2を含む攻は抵抗損失を示す.妓後一〔厳:ﾉﾁｰi調瀧)］（19）

の項の［］内は第一項も第二項も共役ベクトルの差但し２極機とする．

差である.故に平均ﾄﾙｸz, は角速度の'で除して(/;Ａ１＋舟B,+/;c,+踊り,)si2･

+ ( 瑚 蕊 Ａ ２ +: B 2 + ４ 難 c 2 + / ; 蕊 D 2 ) さ ‑ j 2 ｡

恥 = ( ‑ ｊ ) 器 j v ) [ ( i‑ ﾉ ｯ f 鴨 〕

' = 当

不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生するトルク

不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生するトルク

著者西山卓夫

雑誌名鹿児島大学工学部研究報告

不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生するトルク

著者西山卓夫

雑誌名鹿児島大学工学部研究報告

不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生するトルク

Ｉ１１謙一壷厳

『 = 典凹 = Ａｌ浩

1 . 1 = ￨号￨憾繍電圧の瞬時値 1 鋤

Ｉ − ｇＪ｜皇｜

￨ｅｊ , ，

− ７ｒ

＆ｇｊ' ＝ i フラ

; 岬僅 ‑

３Ｍ ;

Ｚ , ( " = R , + 仏十 : L , ) 唖 ( " = & + ( I 響十号Ｌ２ )

Ｚ ! … = R , + ( ' 』 + ; L 1 ) ( ' ± ん ' ）垂 … = R 勤十 ( 1 2 + ; L 2 ) ( p ± ん ' ）

￨刺 j l l i ; ￨ i ;

ﾄｰ " ′

４ = 斑 z( j " ) + 鴫 j ' 斑 U ･ ) ］ 2 = 坪 z i ( ‑ , " ) + 遣縫 [ ; " ( ‑ ん ) ］ B , = 蝿 z ' ( わ ) 十通 [ ; " ( j b , ) ］

川一一Ｉｌ１ｌ

齢 I 1 j i : I : ￨ i : 蟻￨〃：

= 六￨・麺トー '

Ｒ , ( ｉＩ峠ﾉ 2 ｡＋ハ礁坤 :‑ ' 2 鋤) ＋ R 2 ( ｊ蝿' 2 ｡＋ｊ ; 蕊ｊ ; 熱ｇ − ｊ３．）

+ 乃埼 ( ｌ 1 号 L , ) ん + ( i 秘十ﾉ ; ) ( : M ) ﾉ画十粒 ; ( ' , ＋ ; L , ) ﾉ｡ ' 達 '"

+ [ 瑚蹄 : ( ' 1 + : L l ) ( 一ｊｏ ) + ( " γ ; 薙十ｊｌ雛 j : 雛 ) ( ; M ) ( ‑ ん ) + なゾず ( ' ２＋ 3 Ｌ２ ) ( 一 " ﾙｰ漣 "

＝も { ( 恥十 / i B 2 + i ; c 圃十踊り圏 ) + ( 好創 , + ｊｌＢ１ + ｊ : c , + 息､ ! ) 唇 j ２．

き { 2 凡 ( i 満雑十棚 ! : ) + 2 R 2 ( ｊ ; / ; 雛十寒 ) + [ (鵬 ‑ 乃難 / } ）

＋ ( " ｉｉ − ｊ ; 好熱 ) ' ( ; j v ) ( ん ' ) ｝

= R , ( ﾉ i 2 + ￨好噌 ) + R 2 ( i ; ' 2 + ￨ j ; ' 2 )

+ ( 瑚蕊Ａ２ +: B 2 + ４難 c 2 + / ; 蕊 D 2 ) さ ‑ j 2 ｡

恥 = ( ‑ ｊ ) 器 j v ) [ ( i‑ ﾉｯ f 鴨〕

巧 = ( ‑ ｊ ) & ( ; M ) [ ( 雄 ; 一ｊ縄 ) 置耀･

ノ 2 伽 " (ん）

＝ / 2 " " { 3 M i / 蚕 ( 踏瀧十坪) 汁｝

（ ‑ j ) 器 M ) [ 島鶴 i i ‑ 幽勺

『 = た " " { ( 錨 j " 一躍 j 蕊）

数は:Ｍ１/2赴であり,岡定子電流肘(=八')のために生ずる主磁束と伺転子巻線との総鎖交数は:班

：Ｍ１ / 2 ( 乃十 H ）

（ ‑ j ) ( 号ﾊｩ ( ｉ ; 講乃）（ 2 5 ）

ｊ鯛 = : j ｗす ( i ; + 好）

岩 " 洞 ( ‑ 燭唖曜）

＝烏 " " { ‑ : 』ｗ百 ( i ; 鞭十坪 ) 恥

− ( ‑ j ) 器 M ) ( " 好一 j ; ｉｆ鱗）

＝ ‑ ( ‑ j ) ( : M ) " " ( 曜議好）（ 2 7 ）

' ｡ , = : ！ " す ( 島十 i l ) ；鋼 = ; j ｗす ( / ; + 好）

＝念恥 { 制〃 [ ( i ; + i 誠 i ‑ ( ｉ ; + 州

表わすべきを，この意味をも含めて単に,》,ｊと表わしているのであるからｊ湖及びi縦はej2"'なる

期 = ( ‑ ﾉ ) 』 ( ÷ M ) 【 ( 嘘 ‑) 層擢劉

‑ ( 坪 : i : 縦一坪 I : " : ) e ‑ j 2 ｡］

＝ ( ‑ ｊ ) ( : M ) " " [ ( i 蝿 ‑ i 雑 ) … ' ( ２，）