システム制御工学 A レポート課題解答

(1)

システム制御工学 A レポート課題解答

（2014年

6

月

13

日出題）

問題１

1)教科書 142

ページの演習問題６．２を解け

解

分子は実数だから，

s

のままで分母だけを展開する．

s  j 

^{の代入は，}

s

の奇数乗の項と偶数乗の項に分離するまで行わない．

 

) ) (

( )

(

) (

1 ) 1 )(

1 )(

1 ) ( (

3 1 3 3 2 2 1 4

3 2 1 2 3 2 1

4 3 2 1 3 1 3 3 2 2 1 2 3 2 1

3 3 2 1 2 1 3 3 2 2 1 3

2 1

3 2

1

に分けるの奇数乗と偶数乗の項

s s T T T T T T s s T T T s T T T

K

s T T T s T T T T T T s T T T s

K

s T T T s T T T T T T s T T T s

K sT sT

sT s s K G



 



 



 



 

 j

s 

^{を代入して，}



1 2 3

 

1 2 2 3 3 1 ²



2 3 2 1 2

3 1 3 3 2 2 1 4

3 2 1 2 3 2 1

3 1 3 3 2 2 1 4

3 2 1 2 3 2 1

) (

1 )

(

) (

) )(

( ) ( ) ( )

)(

) ( (



 

T T T T T T j

T T T T

T T

K

T T T T T T j j T

T T T

T T

K

j T T T T T T j

j T T T j T T T j K G







 







 



 

) ( j 

G

が実軸を交差するときは

^Im  G ⁽ j  ⁾   ⁰

の時であるから，上式の分母の虚部が

0

の時，すなわち，

1 3 3 2 2 1 2

1 3 3 2 2 1

0 1 ) (

1 T T T T T T T T T T T T



 







  

（実軸を交差する周波数）

) ( j 

G

が虚軸を交差するときは

^Re  G ⁽ j  ⁾   ⁰

の時であるから，上式の分母の実部が

0

の時，すなわち，

3 2 1

3 2 1 3

2 1 2 3 2

1

( ) 0

T T T

T T T T

T T T

T

T          

（虚軸を交差する周波数）

次に

  0

^のときの

G ( j  )

^{の漸近線を求める．}

jb a j K

G (  )  

とおくと，分母を実数化して

2 2

) ) (

( a b

jb a j K

G 

 



であるから，漸近線の

x

座標を

A

とすると，

(2)

 

   

 

   

 

¹ ₂ ² ³



₁ ₂ ₃



2 2 1 3 3 2 2 1 2

3 2 1 2 3 2 1 2

3 2 1 2 3 2 1 0

2 2 1 3 3 2 2 1 2 2

3 2 1 2 3 2 1 4

3 2 1 2 3 2 1 2 2 0

0 2

1 ) (

) (

1 ) (

) lim (

) (

1 )

(

) lim (

lim

T T T T K

T T K

T T T T T T T

T T T

T T

T T T T

T T K

T T T T T T T

T T T

T T

T T T T

T T K b

a A Ka





 



 











 











 

 





2)ゲイン余裕 GM [dB]を K

で表せ．

解

与えられた図の制御系は問

1)において T

₁

 T

₂

 T

₃

 1

としたものであり，



²

 

²



2

3 1 3

)

(     





 

j j K

G

である．実軸交差周波数は

3  1



であるから，これを上式に代入して，

K K j K

G 8

9 3 8 3 3 1 3 1 3 ) 1 3

( 1 





 



 

  

  (*)

したがって，ゲイン余裕は

   

 3 0 . 30 2 0 . 48 log  20  0 . 06 log  [ dB ] 20

log 3 log 2 2 log 3 20 log

9 log 8 log 9 20

log 8 1 20

log 20

K K

K K K

GM

























 

このシステムの安定性は，特性方程式が

0 )

( ) (

) 0 (

) 1 (

) ( 1

2 3 2 1 3 1 3 3 2 2 1 4 3 2 1

4 3 2 1 3 1 3 3 2 2 1 2 3 2 1





 



 





K s s T T T s T T T T T T s T T T

s T T T s T T T T T T s T T T s s K

G

なので，フルビッツ法より，

0 1 0

0 1

0

₁ ₂ ₂ ₃ ₃ ₁

3 2 1 3

2 1

1 3 3 2 2 1

3 1

4 2 0

5 3 1

3







T T T T T T

K T

T T T

T T

T T T T T T

a a

a a a

a a a D

3 2 1

, T , T

T

^{が正であれば，}

D

₁

, D

₂は明らかに正である．したがって，

9 8 9

1 3 3 )

(

) )(

0 (

0 ) (

) )(

(

2 1 3 3 2 2 1

3 2 1 3 2 1 1 3 3 2 2 1

2 1 3 3 2 2 1 3 2 1 3 2 1 1 3 3 2 2 1

 

 







 











T T T T T T

T T T T T T T T T T T K T

K T T T T T T T T T T T T T T T T T T

のときに成り立つ．確かに

9  8

K

のとき，式(*)は

  1

となり，実軸交差点が

( 1 , 0 )

になる．

(3)

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -10

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

演習問題６．２

9 , 8 ) 1 ) (

(

₃



  K

s s s K G

 

67 . 3 2 3 8 9 8

3 2 1



















 K T T T A

漸近線のｘ座標

-30 -20 -10 0 10 20 30

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10

^-1

10

⁰

10

¹

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

Phase (deg)

演習問題６．４

2

 18 7  9

2 

50° 20°

) 1 ( )

(  e

^

L 

s s K

G

^Ls



 K



c



0°

PM

システム制御工学 A レポート課題 解答