集合論の基礎 –

集合論の基礎

– ^確率論 I– ^参考資料

2009/01/03,

• ^{確率論では}, 集合とその演算を利用すると理解が容易になる.

• 論理の展開に集合論を効果的に使うことができる.

• ^そこで,集合論の基礎を論じ,次に確率論の準備とする.

1

I. 範囲を確定した物の集まり を集合set と呼ぶ. じつはこの説明は明確ではなく,集合ははっきり定 義できない. 集合A を構成する物を元elementaと呼び, 次のように表記する:

(1) a∈A (xがAに属する).

また, (1)の否定を次のように書く:

(2) a̸∈A (xがAに属さない).

いかなるものも元として含まない集合(これも集合と考える)を,空集合 empty setといい,

∅ (空集合) とあらわす.

II. 集合A, B にたいし,

A=B

とは,Aに属する元とB に属する元とがまったく一致することをいう. 集合A が,元a, b,· · ·, cから構成されているとき,

A={a, b,· · · , c} と書く. なお{a} ^{は唯一つの元}aからなる集合である.

「集合Aの元がすべて 集合B に属する」とき (これを論理式で a∈A⇒a∈B と表す), A はB の部分集合 A⊂B

という.

2

• ^集合A.Bの和集合 unionA∪B とは,A またはB に属する元から構成された集合のことである. つ まり

x∈A∪B ⇔ x∈Aもしくは x∈B.

• ^集合A.Bの共通部分 intersectionA∩B とは,Aおよび B に属する元から構成された集合のことで ある. つまり

x∈A∪B ⇔ x∈Aかつx∈B.

• ^集合A.Bの差集合 differenceA−B とは,Aには属するがB に属さない元から構成された集合のこ とである. つまり

x∈A−B ⇔ x∈Aかつx̸∈B.

• ^{とくに 集合}Bが 集合Aの部分集合であるとき,差集合A−Bを BのAに関する補集合complement とよぶ.

もし. 考えている集合が,すべてある決まった 集合X の部分集合となっているとき. X を全空間とよ び,X−B を単に B の補集合 といい,下のように表記する:

B^c.

問題1. A={1,2,3,4}, B={2,4,6} ^のとき,

A∪B, A∩B, A−B, B−A

を求めよ. ♠ [解答]

A∪B={1,2,3,4,6}, A∩B={2,4}, A−B={1,3}(= B のAに関する補集合), B−A={6}(= AのB に関する補集合).

定理2. 任意の集合A, B, C にたいし,つぎの等式が成立する: (i) A∪A=A, A∩A=A,

(ii) A∪B =B∪A, A∩B=B∩A, (iii) (

A∪B)

∪C=A∪( B∪C)

, ( A∩B)

∩C=A∩( B∩C)

, (iv) (

A∪B)

∩C=( A∩C)

∪( B∩C)

, ( A∩B)

∪C=( A∪C)

∩( B∪C)

, (v) A∪ ∅=A, A∩ ∅=A, A− ∅=A, A−A=∅. ⋄

練習問題 3. 定理2 の(iii)を使い,次の等式を証明せよ. ((A∪B)

∪C

)∪D=( A∪B)

∪( C∪D)

=A∪( B∪(

C∪D)) (( .

A∩B)

∩C

)∩D=( A∩B)

∩( C∩D)

=A∩( B∩(

C∩D)) .

問題4. 20人から成るグループに10円硬貨および5円硬貨を持っているか尋ねた. その結果 10円硬貨を所持する者=15人, 5円硬貨を所持する者=10人, どちらの硬貨も所持しない者=3人

であった. 10円硬貨および5円硬貨を共に所持している者の数を答えよ. ♣ [解答] 集合論の記号を導入する:

10円硬貨を所持する者の集合をA, 5円硬貨を所持する者の集合をB と表し, #AでAに属する要素の数を表す.

A A ∩ B B

図1 集合の関係図

すると

全体の要素の数= 20, # A =Aの要素の数= 15, #B=B の要素の数= 10,

#(A^c∩B^c) =A^c∩B^cの要素の数= 3 となるので

#(A∪B) = 20−#(A^c∩B^c) = 20−3 = 17.

ここで 図1 より

#(A∪B) = #A+ #B−#(A∩B) となることが判る. つまり

#(A∩B) = 15 + 10−17 = 8人. 2

前問より複雑な場合を考える.

問題5. あるクラスの50人に,サッカー，野球,テニス のどれが好きかを調べ,次の結果が得られた: (i) サッカーが好きなものは35人, (ii) 野球が好きなものは30人,

(iii) テニスが好きなものは 15人, (iv) サッカーと野球が好きなものは 20人,

(v) サッカーとテニスが好きなものは10人, (vi) 野球とテニスが好きなものは8 人, (vii) どの種目も好きでないものは4人.

3種目とも好きなものの人数を計算せよ. ♣

[解答] サッカー好きなものをS,野球好きをB,テニス好きをT で表すと,

#(S∩B) = 20, #(S∩T) = 10, #(B∩T) = 8,

S

B T

x

となる.

また, #(S^c∩B^c∩T^c) = 4だから, #(S∪B∪T) = 50−4 = 46である. #(S∩B∩T) =xとおくと, 46 = #(S∪B∪T)

= #S+ #B+ #T−#(S∩B)−#(S∩T)

−#(B∩T) + #(S∩B∩T)

= 35 + 30 + 15−20−10−8 +x= 42 +x.

つまり,

x= 46−42 = 4. 2

つぎの問題はかなり捻っている.

問題6 (国家一種). 50人の学生について,英数国の3 科目中で得意な科目を調べた. (i) 英語が得意なものは30人, (ii) 国語が得意なものが 25人, (iii) 数学が得意なものが20人, (iv) 3 科目とも得意なものが5人, (v) 1科目だけ得意なものが20人.

3科目とも不得意なものは何人か? ♣

[解答] 英語が得意なものを E,国語が得意なものをJ,数学が得意なものを M で表す. 英語だけが得意な ものは,

#E−{

#(E∩J) + #(E∩M)−#(E∩J∩M)} .

同様に,国語だけが得意なものは,

#J−{

#(E∩J) + #(J∩M)−#(E∩J∩M)} .

数学だけが得意なものは,

#M −{

#(E∩M) + #(J∩M)−#(E∩J∩M)} .

つまり1 科目だけが得意なものは,これらを足し併せて

#E+ #J+ #M −2{

#(E∩J) + #(E∩M) +#(J∩M)}

+ 3 #(E∩J∩M) この式に数値を当てはめて

20 = 30 + 25 + 20−2{

#(E∩J) + #(E∩M) + #(J∩M)} +3×5 = 90−2{

#(E∩J) + #(E∩M) + #(J∩M)} .

これより {

#(E∩J) + #(E∩M) + #(J∩M)}

= 35.

一方

#(

E∪J∪M)

= #E+ #J+ #M

−{

#(E∩J) + #(J∩M)−#(E∩J∩M)}

+ #(E∩J∩M)

= 30 + 25 + 20−35 + 5 = 45 だから

#(E^c∩J^c∩M^c) = 50−#(

E∪J∪M)

= 50−45 = 5人. 2

3

前節の議論は一般化でき,大変有用である.

定理7. 集合A1, A2,· · · ^に対し,次が成立. #AでAに属する要素の数を表す. (i) #(A1∪A2) = #A1+ #A2−#(A1∩A2).

(ii) #(A₁∪A₂∪A₃) = #A₁+ #A₂+ #A₃

−{

#(A1∩A2) + #(A2∩A3) + #(A3∩A1)}

+ #(A1∩A2∩A3).

(iii) #(A1∪A2∪A3∪A4) = #A1+ #A2+ #A3+ #A4

−{

#(A1∩A2) + #(A2∩A3) + #(A3∩A4) + #(A4∩A1)} +{

#(A₁∩A₂∩A₃) + #(A₂∩A₃∩A₄) + #(A₃∩A₄∩A₁) +#(A₁∩A₂∩A₄)} −#(A₁∩A₂∩A₃∩A₄).

...

♣

定理 8. n個の集合 A1, A2,· · ·, An に対し次が成立する. ただし#Ak で 集合 Ak に属する要素の数を 表す.

#(A1∪A2∪ · · · ∪An) = ∑

1≤k≤n

#Ak− ∑

1≤j<k≤n

#(Aj∩Ak)

+ ∑

1≤i<j<k≤n

#(Ai∩Aj∩Ak) +· · ·

(つまり−^と+が交互に現れる). ⋄

前述の 定理8 を使うと,「出会い確率」=(カップル成立の確率が最も高いのは, 何人の合コンか?)の問 題が解ける:

問題9 (出会い確率). (i) 1,2,· · ·, nの数字が1文字書かれたカードを左からランダムに並べる.

(ii) 並べ終わったとき,kの数字を書かれたカードが,左からk番目にあるとき「マッチング成立」という. ここで,すくなくとも1 組以上のマッチングが成立する確率を求めよ. ♣

[解答] 確率論の講義中に詳しい証明を与えるので,ここでは結論のみを述べる.

「n組のなかで少なくとも1組以上マッチングが成立する確率Q(n)」は次の通り. (e= 2.718· · · ^{は ネイ} ピア数,基礎数学 I )

n組のなかで少なくとも1組以上マッチングが成立する確率

≡Q(n) =n×1 n−nC2

(n−2)!

n! +nC3

(n−3)!

n! − · · ·+ (−1)ⁿ nCn

(n−n)!

n!

= 1− 1 2!+ 1

3!− · · ·+ (−1)ⁿ 1 n! → 1

e ^zas n→ ∞.

n 1 2 3 4 5 6

Q(n) 1 0.5 0.667 0.625 0.633 0.631

2 4 6 8 10

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

以上から判るように,合コンで 1組以上のカップルが誕生する確率は (i) 3:3のとき最大, 2:2のときに最小，

(ii) n→ ∞^としても,カップルが誕生する確率は増えない,実際 lim

n→∞Q(n) = 1−1

e ∼0.632· · · 2

注意10. この[出会い確率]の計算は「机上の空論」との印象がある. しかし，本学部での講義中に

「合コンで,成功率が最も高いのは何人対何人か？」

との質問をしたところ,「経験上3:3」 との解答が圧倒的に多かった. 具体的には,対面で座るとき 男 幹事 愉快キャラ イケメン

女 ○ ○ ○

との配置がもっとも望ましいそうである^*1. やはり,確率法則は実社会に応用できる!

*1 2年生のM/ Mさん,御教唆ありがとう.