一様流中で調和振動する二次元角柱の付加質量効果に関する研究

一様流中で調和振動する二次元角柱の付加質量効果に関する研究

－その2 付加質量効果に基づいた現象の整理－

日大生産工(院) ○西 将志 日大生産工 神田 亮

１．はじめに

空気流体中で，物体が振動する場合，密度 比(空気密度に対する構造物の密度の比)が小 さいと，発振風速(空力不安定振動が発現する 風速)が低下することが知られている。河井ら

1)

は辺長比2の三次元角柱，天野

²⁾

は正方形断 面の三次元角柱，田村ら

³⁾

は辺長比2の二次元 角柱のモデルを用いている。河井らは，振動 振幅を考慮した等価見つけ幅と応答卓越振 動数の関係を用いて現象を整理した。田村ら は，固有振動数を応答卓越振動数としたみか けの無次元風速を用いた現象整理を行った。

両者とも，密度比と発振風速の関係を論じて いるものの，密度比と発振風速の定量的な検 討は行われていない。

一方，谷池ら

⁴⁾

は強制振動法で正方形断面 の三次元角柱に作用する外力の変位同相成 分が剛性を変化させ，空力不安定振動時に応 答卓越振動数が固有振動数より低下する可 能性を示した。谷口ら

⁵⁾

は，圧力測定孔を有 する模型を用いた自由振動法から外力を計 測し，ウェーブレット変換により付加質量の 評価をした。両者は代表的な構造パラメータ

1つを例に挙げ固有振動数の変化を示したが

密度比との関係について検討されていない。

この問題に対して，筆者ら

⁶⁾

は三次元角柱 を対象としたニューハイブリッド空力振動 法により付加質量を評価した。

本論文では空力不安定振動の一種である 渦励振を対象とし，応答変位が風速の増加と ともに増大し，応答変位が強い定常性を示す 風速域について現象を分析・整理する。一様 流中におかれた正方形断面の二次元角柱に ついて，その1で示したシミュレーション結

果の周波数特性を調べた。その結果を用いて 密度比と付加質量の関係を付加質量係数で 示し，密度比と発振風速の定量的な評価を行 い，発振風速の予測を行った。

２．周波数特性

図1，2に発振風速の著しい低下がみられた スクルートン数(Sc)10と20について振動数比

(設定した固有振動数に対する応答卓越振動

数の比)と位相差(応答卓越振動数における応 答加速度からの外力の位相差)を示す。

振動数比は，両者の傾向として低風速域で は無次元風速に対して線形的に変化し，渦励 振により応答変位が増大する領域でロック インがみられる。密度比が小さいときは，低 い無次元風速からロックインがみられ，この ときの振動数比が低くなる。これは，外力の 加速度同相成分により応答卓越振動数が低 下したためと考えられる。また，密度比が小 さいほどこの影響は大きい。詳細な検討は次 節以降で行う。位相差は，低風速域ではおお よそ10°の一定値を示し，ロックイン領域で は無次元風速に対して線形的に変化する。ス クルートン数10では約10°から約20°，スク ルートン数20では約10°から約30°である。

同じスクルートン数であれば，密度比によら ず同様の傾向を示した。なお，振動数比，位 相差ともに，他のパラメータでも同様の傾向 が得られた。

３．付加質量係数

1質点1自由度の並進振動するモデルの振

動方程式は(1)式である。

ここで，

M_s

は質量，

C_s

は減衰係数，

K_s

は

Study on Added-Mass Effect for a 2D Square Prism in Smooth Flow under Harmonic Oscillation

－

Part2 Analysis of the Phenomena based on the Added-Mass Effect

－

Masayuki NISHI, Makoto KANDA

( )^t Y( )^t Y( )^t F( )^t

Y + _s + _s =

s C K

M && & (1)

剛性，

Y_{( )t}

は応答変位，

Y&_{( )t}

は応答速度，

Y&&_{( )t}

は 応答加速度である。

その1より，渦励振による応答変位は定常 応答に近いため定常応答として式展開を行 う。定常応答する変位と外力をそれぞれ

( )t ye^{i t}

Y = ^ω

，

F_{( )t} =F_Le^i(ωt+φ)

とし，

e^iωt

を除 すると(2)式となる。

ここで，

y

は応答変位の振幅，

F_L

は外力の 振幅，

i

は複素数(

i² =−1)，ω

は応答卓越円 振動数，

φ

は応答加速度からの位相差である。

外力を加速度同相成分と速度同相成分に 分けて表すと以下となる。

ここで，

f_a

は外力の加速度同相成分，

f_v

は 外力の速度同相成分である。

付加質量は外力の加速度同相成分による 見かけ上の質量と仮定し，付加質量係数を(6) 式に定義する。

ここで，

γ

は付加質量係数，

M_a

は付加質 量(

= f_a ω²y)，M_s'

は付加質量効果による見 かけ上の質量(

=M_s+M_a)である。(6)式と(2)

式から(7)式となる。

図3に(2)式と(7)式の力の釣り合いを示す。

(7)式とした場合の固有振動数及び無次元

風速は付加質量係数を用いると以下となる。

r

r' V

V = γ (9)

γ

s s

f '= f ₍₈₎

s s

M '

=M

γ (6)

ω φ

ω²M_sy+i C_sy+K_sy=F_Leⁱ

- (2)

fv

y y i

y+ _s + _s =

s

2M ' C K

-ω ω (7)

φ φ sin cos

L v

L a

iF f

F f

=

=

(5) fv

y

iωC_s = ₍₄₎

fa

y y+ _s =

s

2M K

-ω (3)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

4 8 12 16

振動数比

無次元風速 (c) Sc10 ρ_m ρ_a146.54

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

4 8 12 16

振動数比

無次元風速 (d) Sc20ρ_m ρ_a146.54

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

4 8 12 16

振動数比

無次元風速 (b) Sc20 ρ_m ρ_a79.58

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

4 8 12 16

振動数比

無次元風速 (a) Sc10 ρ_m ρ_a39.79

図

1 無次元風速―振動数比

図

2 無次元風速―位相差

(a) Sc10 ρ_m ρ_a39.79

0 45 90 135 180 225

4 8 12 16

位相差[deg]

無次元風速

(b) Sc20 ρ_m ρ_a79.58

0 45 90 135 180 225

4 8 12 16

位相差[deg]

無次元風速

(c) Sc10 ρ_m ρ_a146.54

0 45 90 135 180 225

4 8 12 16

位相差[deg]

無次元風速

(d) Sc20ρ_m ρ_a146.54

0 45 90 135 180 225

4 8 12 16

位相差[deg]

無次元風速

ここで，

f_s'

は修正固有振動数(付加質量を 考慮した固有振動数)，

f_s

は固有振動数，

V_r'

は修正無次元風速(付加質量を考慮した無次 元風速)，

V_r

は無次元風速(

=V f_sB)，V

は風 速，

B

は模型の見つけ幅である。

図

3 力の釣り合い

y M_s ω2

y C iω _s

FL

y K_s φ

y K_s

y C iω _s

fv

° 90

y M_s' ω2

加速度同相成分 速度同相成分

(a) (2)式の状態 (b) (7)式の状態

４．付加質量係数を用いた現象分析 分析範囲の無次元風速に対する無次元振 幅を図4に，無次元風速に対する付加質量係 数を図5に示す。全てのパラメータで応答の 立ち上がり付近に付加質量係数のピーク値 を有し，無次元風速の増加とともに付加質量 係数が低下し，1に収束する。この傾向は，

谷池ら，谷口との結果と同様の傾向である。

密度比の小さいパラメータは，密度比大きい パラメータと比較して付加質量係数が大き い。そのため，発振風速の低下は付加質量係 数の影響を受けていると考えられる。なお，

修正固有振動数と応答卓越振動数の比較結 果は誤差1%未満であった。

(9)式より算出した修正無次元風速に対す

る無次元振幅を図6に示す。図4では密度比が 異なる場合発振風速は異なったが，付加質量 係数を用いることで，渦励振の発振風速が密 度比によらずおおむね一定となる。そのた め，付加質量効果により渦励振の現象整理を 行いやすくすることが出来ると考えられる。

また，無次元振幅の増加は修正無次元風速7.7 付近であり，ストローハル数(本シミュレーシ ョンでは0.126）の逆数に近い。

修正無次元風速に対する付加質量をプロッ

図

4 無次元風速―無次元振幅

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

4 6 8 10 12

無次元振幅

無次元風速

Sc 10 ，ρm/ρa 39.79 Sc 20 ，ρm/ρa 79.58 Sc 10 ，ρm/ρa 146.54 Sc 20 ，ρm/ρa 146.54 Sc 30 ，ρm/ρa 146.54 Sc 40 ，ρm/ρa 146.54

図

5 無次元風速―付加質量係数

1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

4 6 8 10 12

付加質量係数

無次元風速

Sc 10 ，ρm/ρa 39.79 Sc 20 ，ρm/ρa 79.58 Sc 10 ，ρm/ρa 146.54 Sc 20 ，ρm/ρa 146.54 Sc 30 ，ρm/ρa 146.54 Sc 40 ，ρm/ρa 146.54

図

6 無次元風速―無次元振幅

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

6 8 10 12

無次元振幅

修正無次元風速

Sc 10 ，ρm/ρa 39.79 Sc 20 ，ρm/ρa 79.58 Sc 10 ，ρm/ρa 146.54 Sc 20 ，ρm/ρa 146.54 Sc 30 ，ρm/ρa 146.54 Sc 40 ，ρm/ρa 146.54

図

7 修正無次元風速―付加質量

0.0 0.5 1.0 1.5

6 8 10 12

付加質量[kg]

修正無次元風速

Sc 10 ，ρm/ρa 39.79 Sc 20 ，ρm/ρa 79.58 Sc 10 ，ρm/ρa 146.54 Sc 20 ，ρm/ρa 146.54 Sc 30 ，ρm/ρa 146.54 Sc 40 ，ρm/ρa 146.54 (10)式

トしたものを図7に示す。なお，図中の実線 は全パラメータのプロットから求めた近似 線である。近似線を(10)式に示す。なお，プ ロットした点と近似線の相関係数は88.14%

であった。図7より付加質量は密度比によら ず一定である。そのため，密度比が小さい場 合において，付加質量係数が大きいのは(6) 式のモデルの質量が小さいためと考えられ る。このことから，付加質量より付加質量係 数が算出できると考えられる。

図6より，無次元振幅は密度比によらず修 正無次元風速によって一意的に表され，渦励 振の発振風速は修正無次元風速が7.94とす る。(10)式より修正無次元風速に対する付加 質量を算出し，

(6)式から付加質量係数を算出

する。その結果を(9)式に代入し，密度比と発 振風速の関係を予測した結果を図8に示す。

なお，修正無次元風速が7.94のとき(10)式よ り付加質量は0.51kgであった。

密度比の増加とともに発振風速は漸近的 に上昇する。密度比200では発振風速は約7.5 である。発振風速の低下は，密度比50の場合 で約82%，密度比100の場合は約90%，密度比

150の場合は約93%，密度比200で約94%であ

る。なお，一般的なS造は密度比約160である。

図

8 密度比―発振風速

5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0

0 50 100 150 200

発振風速

密度比 [kg/m³]

５．まとめ

渦励振を定常状態として外力の加速度同 相成分を見かけ上の質量であると仮定し，付 加質量係数を定義した。付加質量係数によっ て現象を分析・整理することで以下の知見が 得られた。

①渦励振時，モデルの密度比が小さいと振動 数比の低下がみられる。

②位相差は，スクルートン数の違いで傾向は 変化するが，密度比が異なっても同様の傾 向を示す。

③発振風速の低下について付加質量係数を 用いて説明した。

④修正無次元風速を用いると，無次元振幅と の関係を一意的に表すことが出来る。

⑤付加質量係数は応答の立ちあがりでピー ク値を示し，無次元風速の増加により1に漸 近する。また，密度比が小さい場合付加質 量係数が小さくなる。

⑥修正無次元風速と付加質量の関係は，密度 比によらず同様の傾向を示す。

⑦付加質量から付加質量係数を導き，修正無 次元風速から無次元風速を算出すること で，密度比と発振風速の関係を定量的に評 価した。また，発振風速の予測をした。

今後の展望は以下のことが挙げられる。

(ⅰ)異なる密度比のシミュレーションを行

い，付加質量係数及び修正無次元風速の精 度向上を図る。

(ⅱ)乱れを有する気流のシミュレーションを

行い，一様流との比較を行う。

(ⅱ)スクルートン数を用いた応答予測式に付

加質量係数を導入し，密度比による発振風 速の変化を考慮した渦励振の応答予測を行 う。

６．参考文献

1)河井宏允

，藤波潔：風工学シンポジウム論文集，2000，

pp.285-290 2)天野輝久：日本建築学会構造系論文集，1995，

pp.63-69 3)田村哲郎，伊藤嘉晃：日本建築学会構造系論文

集，1998，pp.15-21

4)石崎潑雄，谷池義人：日本建築学会

構造系論文集，1981，pp.11-20

5)谷口徹郎：大阪市立大学

学位論文，2000

6)西将志，神田亮 他：日本建築学会大

会学術講演会梗概集，2008，pp.241-246

(10)

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M = − ⁻