(1) P b P  a b がともに整数なので， (1) (0) aP P ，bP(0) はともに整数である

[ 東京工業大学 2008 年 第１類特別入試 ２ ]

nを自然数，P x( )をn次多項式とする。P(0), P(1),, P n( )が整数ならば，すべての自然数kに 対し，P k( )は整数であることを証明せよ。

「n^次多項式P x( )に対して，P(0), P(1),, P n( ) が整数ならば，

すべての整数kに対し，P k( )は整数」…① であることを，次数nに関する数学的帰納法で示す。

(ⅰ) n1のとき

( )

P x ax b とおくことができる。

(0) , (1)

P b P  a b がともに整数なので，

(1) (0)

aP P ^，bP(0) はともに整数である。

よって，すべての整数kに対し，P k( )akb は整数であるから①が成り立つ。

(ⅱ) nm(≧1)のとき，①が成り立つと仮定する。

R x( )を「m1 次多項式で，R(0),R(1),, R m( 1) は整数」…② を満たすものとする。このとき，

1 1

( 1) ( ) { ( 1)^m } ( ^m )

R x R x  a x ^   ax ^  ^（m次式）

であるから，m次多項式 P x( ) を用いて

( 1) ( ) ( )

R x R x P x …③ と表すことができる。

よって②より，P(0),P(1),, P m( ) は整数

であるから帰納法の仮定①より，すべての整数k^に対してP k( )は整数である。

よって③より，R( ) が整数ならば，

( 1) ( ) ( )

R  P  R  ^，R( 1) R( ) P(1) はともに整数である。

これと，R(0)が整数であることより，帰納的にすべての整数kに対し，R k( )は整数となる。

従って，n m 1 のときも①は成り立つ。

(ⅰ)(ⅱ)より，数学的帰納法によって題意は示された。

[別解]

「n次多項式P x( )に対して，P(0), P(1),, P n( ) が整数ならば，

すべての整数k^に対し，P k( )は整数」…① であることを，次数nに関する数学的帰納法で示す。

(ⅰ) n1のとき

( )

P x ax b とおくことができる。

(0) , (1)

P b P  a b がともに整数なので，

(1) (0)

aP P ，bP(0) はともに整数である。

よって，すべての整数k^に対し，P k( )akb は整数であるから①が成り立つ。

(ⅱ) nm(≧1)のとき，①が成り立つと仮定する。

このとき，

「m1次多項式P x( )に対して，P(0),P(1),, P m( 1) が整数ならば，

すべての整数k^に対し，P k( )は整数となること」を示す。

R x( )P x(  1) P x( ) とおくと，R x( )は（高々）m次式であり，仮定より R(0)P(1)P(0)

(1) (2) (1) R P P



R m( )P m(  1) P m( )

はすべて整数であり，m次多項式に対する仮定からR k( )は整数となる。

任意のkに対してR k( )が整数なので，

( )

P k の階差 ,P( 1)  P( 2), P(0) P( 1), P(1)P(0), がすべて整数になる。

(0)

P が整数なので，帰納的にすべてのkに対してP k( )は整数となる。

(ⅰ)(ⅱ)より，数学的帰納法によって題意は示された。

[別解2]

まず，次の補題を数学的帰納法により証明する。

(補題) 0以上の整数iに対し，

0( ) 1

( 1)( 2) ( )

( ) ( 1)

i ! p x

x x x i

p x i

i

 

    

 

≧ ^とおく。

このとき，一般のn次多項式P x( )(n≧0 )は，p x_i( )の線形結合として表される。

すなわち，適当な実数c_iを用いて，

0 0 1 1

( ) ( ) ( ) _{n n}( )

P x c p x c p x   c p x

0

( )

n i i i

c p x





(ⅰ) n0のとき

0 0

( ) 1

P x   c c より成り立つ。

(ⅱ) n0, 1, 2,, kのとき，補題が成り立つと仮定すると，

任意の（k1）次多項式 f x( )a_k1x^k1a x_k ^k  a x₁ a₀ に対して

1 1

( ) ( ) _k ( 1)! _k ( )

g x  f x a _ k p _ x とおくと

( )

g x は高々k次の多項式で，帰納法の仮定よりg x( )はp x_i( )の線形結合として表され，

1 1

0

( ) ( 1)! ( ) ( )

k

k k i i

i

f x a _ k p _ x c p x



   と表せることになる。

1( 1)! 1

k k

a _ k c _ とおくことにより（k1）次多項式 f x( )もp x_i( )の線形結合で表されること がわかる。

よって，(ⅰ)(ⅱ)より数学的帰納法により補題は示された。

( )

P x を補題のp x_i( )を用いて P x( )c p x_{0 0}( )c p x_{1 1}( )  c p x_{n n}( ) とおく。

このとき，P(0)     c₀ c₁ c₂ c₃  c_n1

(1) 0

P c

0 1

(2)

P  c c

0 1 2

(3) 2

P  c c c



0 1 1 2 2 1

( ) _{n n n}

P n  c Cc  C c   c _

となるので，

「 P(1), P(2),, P n( ) がすべて整数」⇔「 c₀,c₁,,c_n がすべて整数」

が成り立つ。

また，連続するm^{個の整数の積は，}m!の倍数であるから，任意の整数k^に対してp k_i( )は整数で あるので，P k( )c p x_{0 0}( )c p x_{1 1}( )  c p x_{n n}( ) は整数である。

よって題意は示された。