電磁波の物理

(1)

電磁気学 Ⅱ

Electromagnetics Ⅱ

山田博仁

電磁波の物理

(2)

講義につい

1. 目的 : 古典的な電磁場や Maxwell

て

方程式について理解を深め、さらにそこから導かれる電磁波の性質を理解し、電磁気学の素養を身に付ける

2. 内容

　　 - Maxwell 方程式の意味、定常状態での Maxwell 方程式の扱い

　　 - 波動方程式の導出と電磁波

　　 - 平面電磁波の性質（伝搬速度、偏波、運動量、エネルギー）

　　 - 誘電体中の電磁波（伝搬速度、インピーダンス、分散、異方性）

　　 - 電磁波の反射、屈折、透過、回折、散乱現象　　 - 導波路中の電磁波伝搬

　　 - 電磁ポテンシャルとゲージ変換

　　 - 遅延ポテンシャルと先進ポテンシャル　　 - 電気双極子による電磁波の放射

3. 成績評価

　　出席、レポートまたは小テストの合計で約 60 点、定期試験で約 40 点 4. 参考書

　　宇野亨 / 白井宏著、電磁気学　コロナ社

　　砂川重信著、物理テキストシリーズ 4 　電磁気学、岩波書店　　砂川重信著、理論電磁気学、紀伊国屋書店

　　日本語訳　ファインマン物理学Ⅲ、Ⅳ　岩波書店など

再試は行わないつもりです

(3)

講義日程

・ 4/9( 火 )( 初回 ) 講義について、遠隔作用と近接作用、 Maxwell の方程式

・ 4/16( 火 )1 講時 (第 2 回目 ) Maxwell 方程式の続き

・ 4/23( 火 ) 休講

・ 5/7( 火 )( 第 3 回目 ) 静電場、静磁場での基本方程式　 (第 1 回レポート出題 )

・ 5/14( 火 )( 第 4 回目 ) 磁場の不思議

・ 5/21( 火 )( 第 5 回目 ) 電磁場のエネルギー、波動方程式 (第 1 回レポート〆切 )

・ 5/28( 火 )( 第 6 回目 ) 電磁波の性質

・ 6/4( 火 )( 第 7 回目 ) 電磁場の運動量　 (第 2 回レポート出題 )

・ 6/11( 火 )( 第 8 回目 ) 電磁波の反射と透過

・ 6/18( 火 )( 第 9 回目 ) 電磁波の反射と透過、偏波　 (第 2 回レポート〆切 )

・ 6/25( 火 )( 第 10 回目 ) 電磁波の共振器と導波路

・ 7/2( 火 )( 第 11 回目 ) 光導波路と光共振器　 (第 3 回レポート出題 )

・ 7/9( 火 ) (第 12 回目 ) 電磁ポテンシャルとゲージ変換

・ 7/16( 火 )( 第 13 回目 ) 電気双極子による電磁波の放射　 (第 3 回レポート〆切 )

・ 7/23( 火 )( 第 14 回目 ) 点電荷による電磁波の放射

・ 8/6( 火 )( 第 15 回目 ) 定期試験

(4)

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(5)

遠隔作用と近接作

Coulomb の法則

用

遠隔作用 +q +Q

2

4 0

1 d

Q F q

 

d +Q +q

2

4 0

) 1

( r

r Q

E  

qE F  電荷電荷

力力

F F

電場 ( 電界 )

遠隔作用→近接作用近接作用

0

) ) (

(

div 

 x x

E  ^e ) ( )

(x E x

F  q 力

F

F r

_e(x) は位置 x での電荷密度

電場に関する Gauss の法則

両電荷間の距離 r が残っているという意味において、これでもまだ遠隔作用的な考え方

(6)

遠隔作用と近接作

クラシックコンサート

用

距離 : d

演奏が始まるぞ ! 遠隔作用

演奏が始まるぞ !

近接作用周りが静かになった

前の席の人が大きくて指揮者が見えない席が悪くて指揮者が見えない

タクトが上がった

あなたは、その「場」

の雰囲気を感じ取って遠隔作用では、いる

「場」という概念は必要ない

(7)

Maxwell の方程式

0 ) , ( div

) , ( )

, ( div

) , ) (

, ( )

, ( rot

) , ) (

, ( rot





 









t

t t

t t t

t

t t t

e e

x B

x x

D

x x D

i x

H

x x B

E



ファラデーの電磁誘導則

アンペール・マクスウェルの法則電場に関するガウスの法則

磁場に関するガウスの法則

0 ) , (

) , ( )

, (

) , ) (

, ( )

, (

) , ) (

, (















 









 







t

t t

t t t

t

t t t

e e

x B

x x

D

x x D

i x

H

x x B

E



E(x, t): 電界 or 電場 (V/m)

MKSA(SI) 国際単位系

H(x, t): 磁界 or 磁場 ( 磁場の強さ ) (A/m) D(x, t): 電束密度 (C/m²)

B(x, t): 磁束密度 ( 磁場 ) (Wb/m²) i_e(x, t): 伝導電流密度 (A/m²)

_e(x, t): 真電荷密度 (C/m³) 物質中の電磁場を規定する基本法則

変位電流

(8)

Maxwell 方程式とそれを使いこなす極意

電磁気学の諸問題を扱うのに、非常にシンプルかつ便利な道具である

空間のどんな場所でも成り立つ微分形式で記述されているため、具体的な問題を扱う場合には、それを対象物で空間積分することにより、あらゆる問題に対応できる

従って、工学の問題を解く場合には、 Maxwell 方程式の中から必要な項だけを取り出して Customize することにより、よりシンプルに扱うことができる

即ち、 Maxwell 方程式は近接作用の立場に基づいた微分形式で記述されてい

るので Almighty である。それを対象物で積分することであらゆる問題に適用

可能

従って、まずは Maxwell 方程式を正しく覚えて、その道具を手にしよう次に、その意味を正しく理解し、道具の使い方を覚えよう

Maxwell 方程式は、電磁気学の諸法則 ( クーロンの法則、ガウスの法則、アン

ペールの法則、ファラデーの電磁誘導則など ) を統合した一連の方程式系である

しかし、そのままの形では、実際には考慮する必要の無い現象まで全て盛り込まれているために、オーバースペック (overengineer) でもある

(9)

Maxwell 方程式の意味

t t t





 ( , ) )

, (

rot B x

x E

1. ファラデーの電磁誘導則

磁場 ( 磁束密度 ) の時間的減少が、その周りに電場の渦を右ネジ方向に作る

変化する磁場の周りの電界は、そこに導線 ( コイル ) が有る無しに関わらず生じるたまたま導線が有ると、導線内の自由電子

が電界により動き、電流 I が流れる I

コイル B(x, t₂)

E(x, t₂)

B(x, t₃)

E(x, t₃) B(x, t₁)

E(x, t₁)

( 微分形式 )

(10)

Maxwell 方程式の意

2. アンペール・マクスウェルの法則

味

さらに、電場 ( 電束密度 ) の時間的増加が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る t

t t

t _e



 

 ( , )

) , ( )

, (

rot D x

x i x

H

定常電流が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る

i_e(x, t)

H(x, t)

E(x, t₁)

H(x, t₁)

E(x, t₂)

H(x, t₂)

E(x, t₃)

H(x, t₃) ( 微分形式 )

(11)

Maxwell 方程式の意

3. 電場に関するガウスの法則

味

4. 磁場に関するガウスの法則

電荷密度が電場 ( 電束密度 ) の発散を引き起こす )

, ( )

, (

div D x t  _e x t

0 ) , (

div B x t 

磁場 ( 磁束密度 ) の発散源 ( 磁荷 ) は存在しない

D(x)

_e(x)

B(x)

_m(x) ( 微分形式 )

( 微分形式 )

(12)

その他の関係式

t

t ^e t

e 

 





 ( , )

) ,

( x

x

i 

( 電流連続の式 ) )]

, ( )

, ( [ )

,

( t t _ex t

e x E x E x

i   オームの法則 )

(E v B

F  q   ローレンツ力電荷保存則

( 構造関係式 ) 媒質中での扱い

) , (

) , ( ) 1

(

) , ( )

, (

) , ( )

, ( )

, (

0 0

0

t t

t

t t

t

r

e

x E

x E x

E

x P x

E x

D

























) , (

) , ( ) 1

(

) , ( )

, (

)}

, ( )

, ( { )

, (

0 0

0

t t

t

t t

t

s m

m

x H

x H x

H

x M x

H x

B

























_e: 電気 ( 比 ) 感受率 P(x, t): 分極ベクトル

 : 誘電率

_r : 比誘電率

₀ : 真空の誘電率

_m: 磁化率 ( 磁気感受率 ) M(x, t): 磁化ベクトル

 : 透磁率

_s : 比透磁率

₀ : 真空の透磁率

(13)

古典 ( ニュートン ) 力学の

ニュートンの運動法則

復習

（第一法則）　慣性の法則

外力が働かなければ、静止している物体はいつまでも静止を続け、運動している物体はいつまでも等速直線運動を続ける

物体 A がB に力 F （作用）を働かせてると、 B は A に同じ大きさで逆向きの力 -F （反作用）を同一作用線上で働き返す

物体に外力が働くとき、物体には外力と同じ向きの加速度が生じる。

その加速度の大きさ a は、働いている外力の大きさ F に比例し、

物体の質量 m に反比例する。つまり、 F = ma

[m と m’ は二質点の質量、 r は両者の間の距離、 G は重力定数 ] 万有引力の法則

（第二法則）　運動の法則

（第三法則）　作用反作用の法則

r2

' m G m

F 

(14)

古典物理学の法則総決

Maxwell 方程式

算

c t

t

e e



 





























E B i

B E B E

0 2

0





電荷の保存則

( ファインマン物理学第Ⅲ巻第 18 章 )

t

e

e 

 





 

i

力の法則 ( ローレンツ力 ) )

(E v B

F  q   運動の法則

2 2 / , 1

)

( v c

m dt

d

 

 v

p F

p

万有引力

r r

m

G m e

F   ¹₂ ² 電

磁気学の法則ニュートン力学の法則

← ニュートン力学と電磁気学を関係付ける式

(15)

電磁場とは何か ?

場とは、空間の歪み

重力場 : 空間の重力的な歪み ? 電磁場 : 空間の電気的な歪み ?

よくこんな図を見かけるが、、、

一体何が歪むのか ?

ゴムシートの上に重い球を乗せると、シートが窪むこの場合、歪む「もの」が実体としてある

しかし電磁場の場合、或いは重力場の場合、そのような歪む「物質」が実体としてある訳ではない

ゴムの分子

そのような物質をエーテル (ether) と称して、 19 世紀の末に Michelson と Morl ey が実験的に検出しようとした ( マイケルソン・モーリーの実験 ) が、結局見つからなかった。

そのことが、アインシュタインが特殊相対性理論を着想するきっかけとなった。

(16)

導線導線

ローレンツ

)

力

(E v B

F  q   ローレンツ力

x

y

z v

F +q

B

電流

I F B F I

同一方向に流れる電流には引力が働く

B I v

フレミングの右手の法則

フレミングの左手の法則

B v 電子

-e F

I

これらは全てローレンツ力で説明できるアンペールの法則

( 右ねじの法則 )

B v

電子

F -eI E = 0 なら

(17)

Maxwell 方程式で考えてみよ

[1]

う

B

一様な磁場 v

一様な磁場の中を速度 v で移動しているコイルに電流は流れるか ?

コイル

速度 v で移動

1) 図の方向に流れる

2) 図と反対方向に流れる 3) 流れない

I ?

[ 答 ]

コイルによって囲まれる面 S に対してファラデーの電磁誘導則を面積分



^S ^rot ^E⁽^x^,^t⁾^^d^S ^ ^ ^S ^^B_⁽^x_t ^,^t⁾ ^^d^S

一様な磁場 B S

C



C ^ ^ ^_^ S t ^d d t

t r B x S

x

E( , ) ( , ) ストークスの定理

dS dr

t t





 (x, )

 0 コイルに生じる電圧

E

(18)

ファラデーの単極誘

[2] 起電力は発生するのか ?

導

一様な磁場

1) 図の方向に電圧が発生する

2) 図と反対方向に電圧が発生する 3) 発生しない

[ 答 ] ω

回転する導体円板 B

参 ) 大田昭男著　新しい電磁気学　　　 p.120 　例題 8.1 参照

V + -

単極誘導

導体円板内部には自由電子が存在

) (v B F  e 

個々の自由電子に働くローレンツ力を考えると

全ての自由電子には円板の中心に向かう力が働く

ω -e

B

-e F -ev

v v

(19)

磁場の本質とは ?

[3] [2] で、円板は固定して、磁場

の方を回転させたらどうなるか ?

[ 答 ]

回転する一様な磁場

V

ω

静止した導体円板 B

- + ^V

B

- +

S N

ω 回転する磁石

静止した導体円板

(20)

磁場の本質とは ?

V

B

- +

S N

ω

回転する磁石静止した導体円板

両者は等価

V

B

- +

ω I

コイル

電流 I が流れているコイルを回転する

静止した導体円板

(21)

ファラデーの単極誘導と単極誘導モータ

回転する導体円盤

V

B

- +

S N



回転する磁石

 [4] 起電力は発生するのか ?

[ 答 ]

http://www.youtube.com/watch?

v=7CiEFsQstsI

単極誘導モータに関しては、以下の

URL を参照

[5] 単極誘導モータ

http://sysplan.nams.kyushu-u.ac.jp/

gen/hobby/elec/Motor/UniMotor.html - +



S N

永久磁石と円盤が一体になっていても回る

(22)

B_z

q+

E

-v

x’

y’

z’

K’

x y

z K

v

F

_y

’ = q v×B

_z

F_y’

座標系 K に対して静止している荷電粒子 q を考える

電場が無く、 z 方向の磁場 B_z しか存在しない場合

粒子はいつまでも静止し続ける )

(E v B

F  q  

ところが、座標系 K に対して – x 方向に速度 v で運動をしている座標系 K’

から見ると、荷電粒子 q は +x 方向に速度 v で運動をしていることになるそれなら、粒子にはローレンツ力が作用するのか ?

ローレンツ力と相対運

動

(23)

F = q v B

x

y

z 一様な磁場 B₀ +q v

v

F v = 0

荷電粒子と同じ速度で運動している観測者から見ると v = 0

ローレンツ力が働き

、粒子はこちらに近づいて来る

x

y

z 一様な磁場 B₀

v F

+q

従って、ローレンツ力 F は働かず、粒子はこちらには近づいて来ない。本当か ?

磁場中を運動している荷電粒子のパラドクス [6]

ローレンツ力と相対運

動

(24)

より本質的な量としてのベクトルポテンシャル

この問題は、磁場 B で考えると分からなくなる。何故なら、一様な静磁場 B(x, t) = B₀ は

互いに等速度運動をするどの座標系から見ても B₀ だからである。

しかし、ベクトルポテンシャル A(x, t) には違いがある。

従って、ベクトルポテンシャル A(x, t) で考えると理解できる。

ベクトルポテンシャル A は磁場 B よりも本質的な物理量である !!

一様な磁場 B

ベクトルポテンシャル A

(25)

より本質的な量としてのベクトルポテンシャル

一様な磁場 B を作っている根源 ( 例えば電流の流れているコイルのようなもの ) がロケットの中にある場合、同じロケットに乗っている観測者から見るとベクトルポテンシャルは時間的に変化しない。つまり、∂ A/∂ t = 0

x

y

z 一様な磁場 B₀

+q v v

ベクトルポテンシャル A F

この場合、荷電粒子に力 F は働かない

(26)

より本質的な量としてのベクトルポテンシャル

ところが、一様な磁場 B を作っている根源 ( 電流の流れているコイル ) がロケットの外にある場合、ロケットに乗っている観測者から見るとベクトルポテンシャルは時間的に変化している。つまり、∂ A/∂ t ≠ 0

x

y

z +q v

v

一様な磁場 B₀

ベクトルポテンシャル A この場合、荷電粒子に力 F が働く

F

(27)

種明かし

) 2 ( )

, ( rot )

, (

) 1 ( )

, ( ) grad

, ) (

, (



 t

t

t t t t

x A x

B

x x x A

E



 



 

電場や磁場は座標系によって見え方が変わる

ベクトルポテンシャルが時間的に変化する場合、電場 E が見えてくる。

砂川重信著　電磁気学岩波書店 p.162参照

座標系 K

B_z 座標系 K’

電磁場 B_z’

E_y’

この場合の電磁場は、座標系 K から見ると磁場 B_z に見える。

ところが、別の座標系 K’ から見ると磁場 B_z’ と電場 E_y’ に見える

先のケースでは、座標系 K においては電場が無いと言っているから、ベクトルポテンシャルは時間的に変化していない。つまり、∂ A/∂ t = 0 。 ( 電荷も無いとして、従って ϕ = 0 としている ) しかし、座標系 K に対して等速度運動している座標系 K’ から見ると、 ∂ A/∂ t ≠ 0 ために、式 (1) より、電場 E が存在することになる。この電場が F_y’ を打ち消す方向に作用するために、座標系 K’ から見ても粒子はこちらには近づいては来ない。

電場や磁場は座標系によって見え方が変わる。

普遍的なのは電磁場 !!

(28)

ベクトル解析の復習

E E

H E

E H

H E

E E















































































) (

rot rot

) (

div

ベクトル場) (

) (

スカラー場) (

) ( grad

div

0 ) (

rot div

ゼロベクトル) (

) ( grad

rot

2 



 0

ガウスの定理



SF ^ndS ^ V^^FdV

ストークスの定理



CF ^dr ^ S(^^F)^ndS

dS F

V S n

dS

F S

C dr n 重要なベクトル恒等式

(29)

ガウスの定理の意味するもの

従って、右辺の



SF ^ndS ^ V^^FdV



V^^FdVは、領域 V の中で湧き出すベクトル場 F の総量

F

 は、ベクトル場 F の局所的な湧き出し

一方、左辺の



SF ^ndS

F F F F V

dS F

S n

は、領域 V を取り囲む面 S から流れ出るベクトル場 F の総量

つまり、洞窟の中に泉がいくつかあるとすると、その泉から湧き出してくる水の総量は、

洞窟の外に流れ出る水の総量に等しいということを言っているだけ。

(30)

ストークスの定理の意味するもの

つまり、台風の中では風が複雑に渦巻いているが、台風の縁の方では、台風を取り巻くように大きな風の流れがあるだけであるということを言っている。

dS S



n



CF ^dr ^ S(^^F)^ndS

F

 は、ベクトル場 F の局所的な渦

F

F F F

従って、右辺の



S(^^F)^ndSは、面 S の中に存在するベクトル場 F の渦の総量ここで、面に対する法線ベクトル n との内積をとって積分している訳は、

面に対して反時計回りに渦巻いている量を求めるため

一方、左辺の



CF ^は、面 dr S を取り囲む縁に沿って渦巻くベクトル場 F F

C dr

(31)

ベクトル解析の復習



 







 



 



 













 







 



2 2 2

2 2

2

, ,

z y

x z y

x

演算子∇ ( ナブラ ) と ララララララの意味

勾配 (gradient) ‥ スカラー量に作用して、ベクトル量を導く演算子

z y

x y z

x z

y

x x e

x e x e

x x

x 

 



 



 



 







 



 ( ) ( ) ( ) ( )

), , (

) ) (

( )

(

grad       

発散 (divergence) ‥ ベクトル量に作用して、スカラー量を導く演算子

z E y

E x

Ex y _z



 



 



 





 ( ) ( ) ( )

) ( )

(

div x x x

x E x

E

ナブラ∇と E(x) のスカラー積

スカラー積 ( 内積 ) AB  A^xB^x  A^yB^y  A^zB^z ( ベクトルと見なせる )

( スカラーと見なせる )

(32)

ベクトル解析の復習

回転 (rotation) ‥ ベクトル量に作用して、ベクトル量を導く演算子

x z y

z y x x

z y

x

z y

x

y E x

E x

E z

E y

E

E E

E

z y

x

x e e x

x e x

x x

x

e e

e x

E x

E



 







 



 



 







 



 



 







 



 



 







) ) (

) ( ( )

) ( ) (

(

) ( )

( )

( rot

ベクトル積 ( 外積 )



y z z y



x



z x x z



y



x y y x



z

z y

x

z y

x

z y

x

B A B

A B

B B

A A

A e e e

e e

e B

A       

ナブラ∇と E(x) のベクトル積

電磁波の物理

電磁気学 Ⅱ

山田 博仁

電磁波の物理

講義につい

て

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講義に関する質問や講義資 料

※

B5

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遠隔作用と近接作

用

遠隔作用と近接作

用

Maxwell の方程 式

Maxwell 方程式とそれを使いこなす極 意

Maxwell 方程式の意 味

Maxwell 方程式の意

味

Maxwell 方程式の意

味

その他の関係 式

古典 ( ニュートン ) 力学の

復習

古典物理学の法則総決

算

電磁場とは何 か ?

ローレンツ

力

Maxwell 方程式で考えてみよ

う









ファラデーの単極誘

導

磁場の本質と は ?

磁場の本質と は ?

ファラデーの単極誘導と単極誘導 モータ

F

’ = q v×B

ローレンツ力と相対運

動

ローレンツ力と相対運

動

より本質的な量としてのベクトルポテン シャル

より本質的な量としてのベクトルポテン シャル

より本質的な量としてのベクトルポテン シャル

種明か し

ベクトル解析の復 習









ガウスの定理の意味するも の









ストークスの定理の意味する もの









ベクトル解析の復 習

ベクトル解析の復 習





山田博仁

講義に関する質問や講義資料

Maxwell の方程式

Maxwell 方程式とそれを使いこなす極意

Maxwell 方程式の意味

その他の関係式

電磁場とは何か ?

磁場の本質とは ?

磁場の本質とは ?

ファラデーの単極誘導と単極誘導モータ

より本質的な量としてのベクトルポテンシャル

より本質的な量としてのベクトルポテンシャル

より本質的な量としてのベクトルポテンシャル

種明かし

ベクトル解析の復習

ガウスの定理の意味するもの

ストークスの定理の意味するもの

ベクトル解析の復習

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