確率数理工学(1) 2 1 / 13

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(1)讒蠶礜鬜讐鬱鬱讜鷹！麤麤 let 翠熟藩爕. 石隺率委文理工学情報学工学物理学など. 様々な場面で現れる「確率」. との数学的な基礎さを学ぶ。. 2 .. 3.. 確率変数. 期待値と母関数. 確率不等式 5. 確率変数の収束. 4.. 確率数理工学(1) 2. y. 6.大数の法則と中心極限定理 7-確率過程（8.マルコフ過程）. 評価期末試験のみ. 。佐藤坦・はじめての確率論、. 測度から確率。共立出版。舟木直久・確率論。朝倉書店. 。伊藤清・確率論。岩波書店. を！！！！！！霽！憥：！犛など. 1 / 13.

(2) o. "! 、列・嘉護邐靍彦鬱鬱|蘞：！..籤！鬱「確率」とは？. で確率測度の定義. 咀（確率事象） Acn:事象. (event) に標本空間の部分集合. .. 「サイコロをふる」といったの1つの試行. の結果、観測される事象の確率. .. で. 試行(trial). 試行：サイコロをふる R. :. W E 確率数理工学(1) 2. 鼠. 11，2，3，4，5，6}（サイコロの目の全体）. r ! " 2 ". 等. r. ={went. を定める. .. A:余事象. A. AN. w e tA ). Az:=1w e n t. WEA、主だよ。EAS. A n A」=161. A、=1サイコロの目が偶数）. =12，4，6）. A i. 鬱". A uA E. [サイコロの目が3の倍数}. =13.6}. @パ○ な. { 2 - 3. 4 6 }. a,☹じ 1 2 3. 2 / 13.

(3) 饠た簽：：鑾た𠂢（橆丸？！！.：. 3 籮算：.：：：𥱤. 事象に「確率」を定めた4.. 1近（6-加法族）. 標本空間が有限集合なら. t. ⇐. 難しくない. t''連糸売"."無限も抜いた u. の部分集合族が6-加法族. R. .. ※集合族集合の集合. >. （1）. に）. 下手にやると矛盾が起きること. I. E. F. A E F. A、，A z . . . .. ACE で. E F. （蟬無限個）. ）. 確率を定義しても矛盾が. →. 生じない"入れ物"を用意する. i. t. 「6-加法族」「吋測空間」. 「石隺率測度」. 確率数理工学(1) 2. い）：標本空間全体には確率を定めたいに）： A. の確率が定まっていれば、. パになり. ACCAが起きない）右隺率も定めた4.. （3）：確率の定まっ2いる事象を可算無限個. 寄せ集めたものにも確率は定まって欲しい. （これがないと極限操作ができない）離散と連続をつなげない 3 / 13 e.

(4) # ! 上の性質を満たす. 荘は！！！！！！篪・曜：篰：譱 ⑤ た麤籗鬱鬱鬱鬱.. F. は全26加法族☆. を名乗る資格がある.. 低. s e. 6-加法族の中でも. Borel_集合族は. {1.2/3}. A . =111， A t. A、， F 1 A s A、中}も6-加法族になることを石隺かわよ。. に}， A. i. 131，. 重要である（最初はあまり気にしないで約. 集合族）には A s =11.33.AE 吐( B o re l 4=11.24， A. （一般の位相空間に対しても同様に定義できる）. でかい懟麤饠間長は。. こんな開区間 Cab)の面積（確率）は定まって. 確率数理工学(1) 2. いてほしい.. 4 / 13.

(5) 嚚：：爨と麓鬮籭澪、：：：：：：麤 !. 〇〇を含む最小の6-加法ーー族？た、た. 加法族がとも. F、左よりも"小さい"と言える。. に. 任意の開集合を含むとする.. が開集合なら A E F , A e た） (A. にもなっている。. じ. （1）. に）. D E T . I E たより R E ☹ た. なので、開集合を全て含む6-加法族. を全て集めてきて、それらの共通部分を. 構成のしかたから（1）. 含む6-加法族）. 加法族 BCR)は G. 、左ページと同様の. たがたなのに）が仞は任意の開集合を含むはいたなら H E A. で. ACE F n. た. たなら！化のかつ (3） A . A n - . - E F たでもあるのでた左） A r e A t If I. 確率数理工学(1) 2. 私のは F..たの部分集合なので、. ギロンではな.. さらに脈）より小さくてそのような条件をみたす6加法. 族は存在は. （最初はこういうものがあるということを知っておくことが大事）. 5 / 13.

(6) I. 麤：麤！！蕋籬測度！魚？蠡鬱鬱 !. とその上の6-加法族下の糸血. に、 F ) を叮測空間と言う. ☆互いに排反. ※家. 咀（確率測度）. [2 ⑧ ）. 3）. 確率数理工学(1) 2. KAE F. P に）. ニ） P. PCA)=1. 1. 幞無限が互いに排反. ( Y An)= E P A ). A。=0. （たきま）. それぞれの確率，. 可算和が. 測り、それを足し合わせたものが. で O f. A.. Az,... E F. i n. （3）の性質を6-加法性とよぶ。定全加法性）. この叶測空間に"確率を定める。. ⇐ >くり. A. 個. /. 元の全体の確率となる。 G. 加法族として変なあを. 持って来るとこれが成り立たない（ルベーグ非で測集合. BanachT a s k ). 6-51法性が成り立つに.邗）に興 6 / 13.

(7) 鬱鬱鬱：：鱸鱲淼！な鬱鬱. 先の Borel集合族はその一例である。. 啞：線分 n. で. （1）. = [ a l ] C R ,. I. 1確率測度の基本公式]. P i n 上の一様分布. には1 BERRY. Bn. 地箱は， An = [ 1 - 前に主）. P. ）=. （2）. PCA)=1-PCA). 13）. MYAn)=1-HIAn) c. KA E. =. ー. 確率数理工学(1) 2. O. [. I. I. ール. 年. ）[ か. こともな... 0. （ち）. '. の. An E F. r. で. PCA)=& Mtn Bn). （に1.2....）：互いに持版とは. MY DEEP(An). ？. （劣加法性）. 7 / 13.

(8) な籤鸝：關！！籙、籅珏. 16）和の公式：. PA , u. Are に. ☆（8）確率の連続性. PAD t P A ) -. （7）. P( A n A2）. A nE F とする.. A , C A I As C-.-：事象の列. A. その一般化. =. Y. n. P(. （包除原理）. ※. 確率数理工学(1) 2. I :. An とすると.(AEF に注意）. I An)=想. RAn ). この2つは超重要.. 8 / 13.

(9) （証明）い） .. た Pに）= P h u t u t u du-_-）. 排反ーに. よって.. =. （2）. o. EPH). E l. Hr). いん. た t . c h 中=0）. ニ）. P(. I. t. Http（ u. = >. s. t-_-. e. .. r. 6でなく2はいけない. でもあるので. R 0）=0である.. d u A L tu..-） ( A u P に） = P に r. (う）. n. =. e. s. e. =. PCA)+1が）+ P G ) + . . .. t. t e p e e. 互いに抖を反. O. （水） PCA)+ P に. に. より. Ai) I An)= 1-N※プ）=1-RI (Morgan の法則. （自分で示してみよ）.. 確率数理工学(1) 2. 9 / 13.

(10) (8）.. B T A . . B E ATA , ，. Bn. =. An-Am. とすると.. 一四〇 -がいるかを..な蠶、 EPC 〇"？ If"= him! （R). に？. は互いにな非反.. i. =. m. =. =. 確率数理工学(1) 2. e. fig. P(Bn). （た P，. _. A. s. A T. ？. Bn). PCA)=. t. I. Bi. Bn). ftp.P (Am). -. -. y 10 / 13.

(11) 51測空間に、F)とその上の確率測度 P の組 ( R F P ) を確率空間と言う。一. 記法の補足：. I. An ={wG N. と EA. ACB. （眩に（： '. 確率数理工学(1) 2. W E. ある n o. IAE. (Y. W E Any,. が. I. An = 1 W. E. rl. 全ての n o w G. Any. WEB. が成り立っ.. An)で全ての h で. W E. An ではないか会のみで. w e. が#e!的. 11 / 13.

(12) 演習問「確率測度の基本公式」を全て証明せよ。題-11） (2）. h i l l .. I、3）. 上の以下の集合族を考える。それぞれ6加法族になっているかどうか. 答えよ：. ① た14113、11.31，11.21，. ②. た1中、 N. ③ F （う） 14）. =. 10， {2/33，11}，. 6-加法族. 6-加法族. (ち） G. F. に対し、. 「. r}. I }. A . . A..... E F. の， F z に対し、 F u. 加法族の列の c. た. C-.-. I. Are?」を示せ.. たが6-加法族にならない例を作れ. であって. I F. が6-加法族にならない例を作れ.. または化が可算集合となる任意の集合からなるの部分集合で A (6） S E R . F を R 人親族とする. PCA)=0（1が蝉）， RAH （水が蝉）としたとき.（1. F P ) は右幅率空間になることを示せ。確率数理工学(1) 2. 12 / 13.

(13) (7） (8）. Borel 集合族 BCR)は任意の閉集合を含むことを示せ. b ] = HERl a s t E b らを半開区間(a, B C R ) は集合族 Bored. 含むことを示せ. (9）. Bored 集合族 BR)は任意の開区間. Cab). (ah)を含む. 最小の6-加法族であることを示せ。（に）. {1.2/3}. たが ( d. が. p. （い），. p. の部分集合全体）. P はに、下）上の確率測度. （11.21）の値が定まっているとき、. K A E F に対し、. PCA)が一意に定まるか？ (い）. lf. （0，1一方 I. 答えよ。確率数理工学(1) 2. は 10.1）か（ 0 .1 ] がそれはどちらでもないか.. 同様に. 目. （0.1+方）も求めた 13 / 13.

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