幾何学特論第二講義資料

2010年11月30日 山田光太郎

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幾何学特論第二講義資料

8

対称性（続き）

8.1

対称性

前回の状況を考える．すなわち，

(8.1) f = Re

∫ z z0

(1−g²,√

−1(1 +g²),2g) ω=

∫ z z0

ϕ dz+

∫ z z0

¯

ϕ dz, ϕ= 1 2

(1−g²,√

−1(1 +g²),2g) η

と表されている極小曲面をかんがえる ．ただし，zはリーマン面Σ上の複素座標,ω=η dz. このとき，z平 面上のなめらかな曲線z=z(t)（z˙6= 0)に対してγ(t) :=f◦z(t)とする．

ある実数τ,θ に対してガウス写像g のz(t)上への制限が

(?) g(

z(t))

=a ? g( z(t))

a=√

−1

(e^−iθcosτ −sinτ

−sinτ −e^iθcosτ )

を満たしているとき「g はz(t)上で条件(?) を満たす」いうことにしよう．前回みたように，これは，曲面 の単位法線ベクトル場ν が

n= (cosτcosθ,cosτsinθ,sinτ)

に直交することと同値である．

定理8.1. 以上の状況でq=q(t) =gz

(z(t)) η(

z(t))

{z(t)˙ }^{2 とするとき，}

• γ(t)が直線となるための必要十分条件は，gがz(t)上で条件(?)をみたし，さらにz(t)上でqが純虚 数となることである．

• γ(t)が直線でない平面曲線かつ（適当にパラメータを取り替えれば）曲面上の測地線となるための必要 十分条件は，g がz(t)上で条件 (?)をみたし，さらにz(t)上でqが実数となることである．

8.2

定理の証明

補題8.2. 以上の状況で

˙

γ= ˙z ϕ+ ˙¯zϕ,¯ γ¨= 2 Re [(ηz

η ( ˙z²) + ¨z+ ¯g q (1 +|g|²)η

) ϕ−qν

]

が成り立つ．ただしν は曲面f の単位法線ベクトル場である^*1．

2010年11月30日

*1 前回の講義資料にtypoがありました．ご指摘下さった方，ありがとうございました．

幾何学特論第二講義資料8 2

■γ が直線となる条件 空間曲線γ=γ(t) が直線となるための必要十分条件はγ˙ とγ¨ が一次従属となるこ とである．したがって，補題8.2 よりReq= 0がしたがう．さらに，Req= 0ならγ˙ と¨γ が平行であるこ とがわかる（問題)．

■γが平面測地線となるための条件 曲線γ がベクトルnに垂直な平面に含まれているならばγ˙ とnは直 交する．このことから

ηz˙= 1

(−sinτ g+√

−1e^−√−1θ)²η¯z˙¯

が得られる．

問題

8-1 この講義の状況で，曲線z(t)上でg= ¯g かつq+ ¯q= 0のとき，γ˙ ×γ¨= 0であることを示しなさい．