スライド 1

(1)

光通信工学

1. 位相速度・群速度（復習）

2. 半導体とは（復習）

3. Photodiode：前半

光通信工学３０９－1

(2)

コヒーレント光：位相速度とは？

 

0 0

cos cos

z z

p

A t

A t z

t t z

t t z t z

v



 

  











 

 

   

位相速度：201

v

p

  



^0,



^cos

E z  t  A t

どこまでも同じ波：

^{E z}



^ ^0,^t



^ ^A^cos



^{ }^t ^ ^z



距離：z

進行波伝搬定数

受信者送信者

z軸

β

等位相面一例平面進行波

送信者：時刻 t に等位相面（青色）を送る

受信者：時刻 t に等位相面（青色）は受け取れない。

遅延のためだけ過去のものを受け取る。

逆に言えばだけ待たなければ等位相面（青色）は受け取れない。

注意：単一角周波数（波長）、振幅は時間変化しない。

変数置換：送信者から受信者

z v

p

(3)

光パルス：振幅が時間変化する場合

' t  t

時刻

'

t    t t

' z  z

'

z    z z

包絡線：Envelope 電場E振幅

位相速度：等位相位置が移動する速度

群速度：包絡線（最大値：明）が移動する速度

v

p

   z t

v

g

   z t

p g

v  v

位相速度と群速度が等しい場合平面波近似：203

光強度は電場E振幅の自乗に比例

(4)

位相速度と群速度が等しい場合

• 包絡線の最大値と位相の山が常に一致（注意：別に山でなくてもよい。）

• 等位相位置は位相速度で移動（但し、群速度と同じ）

• 光強度（明暗の情報）は群速度で移動

アニメ：位相速度と群速度が一致

p g

v  v

位相速度

群速度

光パルス電場E

(5)

光パルス：位相速度と群速度が異なる場合

' t  t

時刻

'

t    t t

' z  z

'

_p

z    z z

包絡線：Envelope 電場E振幅

位相速度：等位相位置が移動する速度

群速度：包絡線（最大値：明）が移動する速度

p p

v   z  t

g g

v   z  t v

^p

 v

^g

位相速度と群速度が異なる場合

逆も可

'

_g _g _p

z    z z    z z

(6)

アニメ：位相速度と群速度が不一致

^一例

v

_g

 v

_p

2

位相速度と群速度が異なる場合

• 包絡線の最大値と位相の山が常に一致とはならない

• 等位相位置は位相速度、光強度（明暗の情報）は群速度で移動。

• 但し、パルス波形（包絡線形状）は不変

• 自然界はこのような光パルス電場Eを許す。（理由：マクスウエルの方程式を満足するから）

p g

v  v

位相速度

群速度

光パルス電場E

(7)

波の速度（位相速度）

 

   

0

cos 1

' ' 2 @ ', '

' ' 2

@ ' , '

0

_p

lim

t

t kz

t kz n t t z z

t t k z z n

t t t z z z

t k z v z

t k

 

  

 

 

  

    

      

     

       

 '

t  t

'

t    t t

z軸

時刻

'

z    z z '

z  z

等位相位置が移動する速度なので位相速度と呼ぶこともある。位相速度と群速度の違いとは？

：山

参照：201

位相速度

 

0 0

k p

p p

v k

v k c

v c n nk





 



 



 

伝搬定数

自由空間：真空中

自由空間：屈折率約束：下ツキ「０」＝真空中

(8)

位相・群速度と伝搬定数の関係：真空中（自由空間）

 

0

p c c

v      c

群速度と伝搬定数参照：308-20

1

0

c

g g

v v c

 









   



約束：下ツキ「０」＝真空中

8

0 0 0 3 10 /

k c c m s

    

位相速度：真空中の光速

群速度：真空中の光速

0

p g

v  v  c

位相速度と伝搬定数参照：308-20

真空中：位相速度と群速度は一致

2

exp exp _c

g p

z z

v t j t

v  v

     

       

     

 

伝搬定数：309-7

包絡線：群速度搬送波：位相速度



c

搬送波の角周波数：

(9)

媒質中（屈折率 n）：自由空間

 

^c

 

⁰

p p

c c

v v c

n



  

  

   

0

0 0

nk n

c c n

 

 

   

位相速度：例えば、ガラス位相速度は角周波数で異なる

群速度：例えば、ガラス群速度は角周波数で異なる

0

_g _p

n  v v

    

0

1 1

c c

c

g p

n

v _{ } v c _{ }

 

 _  _

 

  

 

希望：振幅が時間変化する場合（例えば、光パルス）

• 少なくとも光の速度には位相速度と群速度という２種類の速度があることを理解してほしい。

重要：屈折率に角周波数（波長）依存性があると：位相速度と群速度は異なる

1. 位相速度：搬送波の等位相位置移動速度。コヒーレント光（単色光：角周波数・波長）。

2. 群速度：包絡線の移動速度。光強度の移動速度。

3. 波頭速度：情報伝達速度

但し、本講義では「群速度」と「波頭速度」を区別しない。

大事なことは、位相速度を情報伝達速度と考えてはいけないこと。

興味があれば....

• 情報は「位相速度」ではなく「群速度」で伝わると主張したいところであるが、厳密には言えば「波頭速度」が情報伝達速度になる。因果律によって真空中の光速を超える情報伝搬は不可能となるが、これは「波頭速度」に関しての制約である。実は、位相速度や群速度にこの制限はない。参考文献：北野・中西「風変わりな光たち」応用物理, 72, 6, 681 (2003)

• 但し、本講義では情報は「群速度」で伝わるとしましょう。

よく注意すれば

スラブ導波路の位相速度：304 瞬時に情報が伝わることはない！

~ 2 0 cos

vp

k

  





   

屈折率：角周波数依存性例：プリズム

群速度と伝搬定数位相速度と伝搬定数伝搬定数：310-8

(10)

セルマイヤー Sellmeier の分散式屈折率の波長（角周波数）依存性

 

² ² ²

2 1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3

1 2 3 1

2 3

1

0.69616630 0.40794260 0.89747940 0.068404300

0.11624140 9.8961610

in , 20

a

a a

n l l l

a a a l l l

m Temperature C



 

   

 

   

  



Fused Silica（溶融石英：光ファイバの原材料）の場合：

様々な材料の屈折率波長依存性がセルマイヤー係数を代入することで求められる。Wikipedia, the free encyclopediaがお勧め

0.5 1 1.5 2 2.5 3

1.4 1.42 1.44 1.46 1.48 1.5

in m

 

屈折率

 

n 

結論：屈折率に角周波数（波長）依存性があると：位相速度と群速度は異なる。真空中でのみ一致。

0

_g _p

n  v v

    

光通信工学３０９－10 参考資料：説明省略

(11)

バンド構造：結晶（絶縁体）

低エネルギー高

この説明は直感的である。結晶中の電子の振る舞い（エネルギーバンド）に関しては若干量子力学の知識が要る。

高橋「半導体工学」森北出版

また、半導体レーザに関しては

池上、土屋、三上「半導体フォトニクス工学」コロナ社などを参照

結晶（固体）原子間距離

特徴：結晶（固体）

• 同種の原子が多数集まると、隣接原子の影響を受けてエネルギー準位は分裂

• 固体は1m³当たり10²⁸～10²⁹程度の多数の原子を含む。多数の分裂エネルギー準位が近接して、エネルギーバンド

（帯）構造が実現される

• 上図は簡略化したモデルです。実際のバンド構造は複雑です。

結晶（固体）はバンド（帯）状の準位構造が特徴

エネルギー準位の分裂

気体など、もしくは、原子１個エネルギーバンドの形成

エネルギー準位

● ●

全準位に電子価電子帯

伝導帯

禁制帯

低高

バンド内エネルギー低高

価電子帯：Valence band 充満帯：Filled band

バンド内の全エネルギー準位に電子が存在する。

伝導帯：Conduction bandは空

禁制帯：Band gap

(12)

半導体の種類：真性半導体、ｎ型半導体、ｐ型半導体

   

² ²

 

² ¹

B  He s p

真性半導体：シリコン（周期表：Ⅳ族）

最外殻電子数４：ｓｐ^３混成軌道結晶：ダイヤモンド構造

Si Si Si

Si

Si Si

Si

Si Si

Si Si Si

Si

Si P

Si

Si Si

Si Si Si

Si

Si B

Si

Si Si

   

³ ²

 

³ ³

P  Ne s p

不純物：リン（周期表：Ⅴ族）

ドナーイオン

最外殻電子数５：電子１個余る

余剰電子（－）：半導体内を自由に移動できる。正孔（＋）：半導体内を自由に移動できる

真性半導体 n型半導体 p型半導体

   

³ ²

 

³ ²

Si  Ne s p

不純物：ホウ素（周期表：Ⅲ族）

アクセプタイオン

最外殻電子数３：電子１個不足電子１個不足：正孔１個

Si Si Si

Si

Si B

Si

Si Si

余剰電子

正孔とは（イメージ）：正電荷を持った粒（質量）のように振る舞う。

• 水の中の泡をイメージして欲しい。泡自体は水と比較すれば質量は無視できるが、あたかも質量を持った粒子のように泡は水の中を加速・減速しながら移動する。

(13)

エネルギーバンド：多数キャリア・少数キャリア

価電子帯伝導帯

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ●

● ●

n型半導体ｐ型半導体

真性半導体

• 絶対零度で真性半導体は絶縁体真性、n、ｐ半導体：熱励起

• 価電子帯と伝導帯のエネルギー差が比較的小さいため熱励起可能キャリア

• 真性半導体：電子・正孔は同数

• ｎ型半導体：多数キャリア（電子）、少数キャリア（正孔）

• ｐ型半導体：多数キャリア（正孔）、少数キャリア（電子）

禁制帯 Band gap

● ● ●

●

● ● ● ● ●

Band gap

● ● ●

●

● ●

禁制帯

● ● ●

●

● ●

重要：Band gapの大きさは不純物に依存しない。シリコン、ゲルマニウムなどの真性半導体の種類で決る

(14)

ドナー・アクセプタイオン

•

純粋なシリコン、ゲルマニウム＝真性半導体（最外殻電子数４）

•

最外殻電子数５のリンや砒素などが不純物＝ n型：電子１個を放出して＋イオン

•

最外殻電子数３のホウ素やアルミニウムなどが不純物＝ p型：正孔を放出して－イオン

シリコン原子の一部をアクセプタ・ドナーイオンで置換但し、シリコン原子は省略

一例

㊉：ドナーイオン

㊀：アクセプタイオン（ホウ素）

。：正孔（自由に移動）

・：電子（自由に移動）

注意：シリコン原子は省略

・

空乏層 n型半導体

p型半導体

p-n接合拡散電位

n型半導体 p型半導体

空乏層：電子がn型半導体からp型半導体へ移動する際に障壁（電位：ポテンシャル）を感じる。同様に、正孔がp型半導体からn型半導体へ移動する際にも障壁を感じる。移動が困難になる。電流は流れない。

水色の領域：正孔、灰色の領域：電子、白色の領域：キャリア無

㊉：ドナー

㊀：アクセプタ（ホウ素）

p型半導体とn型半導体をくっつける（接合）とどうなる？

㊀㊀㊀㊀

㊉㊉㊉㊉

。。。。

。

。。

。

・・

・

・・

・

・・・・

・

㊀㊀㊀㊀

㊉㊉㊉㊉

。。。

。

。。

。

・・・

・・

・

・・・・

(15)

p-n接合のエネルギー準位図

㊀㊀㊀㊀

㊉㊉㊉㊉

。。。。

。

。。

。

・・

・

・・

・

・・・・

・

空乏層 n型半導体

p型半導体

n型半導体 p型半導体

注意：空乏層のために電子がn型半導体からp型半導体へ移動する際に、障壁（電位：ポテンシャル）を感じるため、エネルギーの高い電子のみ移動可。正孔も同様。

・・・・・・

・・・・・

・・

・

・・・

。。。。。。

。。。。。。。

。。

・・・・

。

。。

リンが手放した電子

熱励起による正孔も少々あり

・

・・・・・・・・・

・・

・・・

・

。

。。

。。。

。。

。。。

。。

。。。。

電子のエネルギー高

低

正孔のエネルギー（電子と逆）

高低

・・

+ -

熱励起による電子も少々あり少数キャリア

注意：下図では少数キャリアを省略している。

ホウ素が手放した正孔

熱励起熱励起

拡散電位伝導帯

価電子帯

㊀：アクセプタ（ホウ素）㊉：ドナー

㊀㊀㊀㊀

㊉㊉㊉㊉

。。。

。

。。

。

・・・

・・

・

・・・・

少数キャリア

上り坂：障壁

右側の電子から見れば壁

下り坂：障壁

左側の正孔から見れば壁

(16)

p-n接合はダイオード：電子・正孔密度の高い領域から低い領域へ拡散

・・

・・・・・・・

・・・

・・・・

・

・・

・

。。

。

。。。。

。。

。

。。

。

p n

平衡状態移動量相殺

無バイアス＝電流・電圧零

+ -

・・

・・・・・・・

・

・・

・・・・

・・

・

。。

。。。

。。

。。。。

。

。。

。

。。。。

電子拡散

正孔拡散

順バイアス＝拡散電位と逆障壁を下げる効果

+ -

右側の電子から見れば障壁が低くなる

順バイアス：電子はｎ型からp型に電流 p型からn型に電流

・・

・・・・・・・

・

・・

・

・・・

・・

・

。。

。。。。。。

。。

。

。。

。

p n

逆バイアス＝拡散電位を強調障壁を上げる効果

+ -

右側の電子から見れば障壁が高くなる

逆バイアス： p型からn型に電流不可電流は（ほとんど）無

拡散ほとんど無し

注意

• 順バイアスダイオードの電流は電子拡散と正孔拡散が寄与。電子のみ、正孔のみの寄与ではない。

• 電流のイメージが「金属（自由電子）」と「半導体（電子・正孔）」では異なる。

- +

青：バイアス

p

n n

n p

p

p n

- +

青：バイアス

拡散電位拡散電位拡散電位

(17)

再結合発光：半導体が光る！

・・

・・・・・・・

・

・・

・・・・

・・

・

。。

。。。

。。

。。。。

。

。。

。

。。。。

電子拡散

正孔拡散

p n

順バイアス＝障壁を下げる効果障壁が低くなる

p型からn型に電流

• 電子が「そのまま」、p型半導体へ拡散

• 正孔が「そのまま」、n型半導体へ拡散

• 発光なし

・・

・・・・・・・

・

・・

・・・・

・・

・

。。

。。。

。。

。。。。

。

。。

。

。。。。

電子拡散

正孔拡散

p n

p型からn型に電流

。

・

光子：紙面後光子：

紙面前

• 接合部で電子と正孔が再結合

• 再結合発光：電子が正孔と結合して光エネルギーを放出

• もともと存在している光があれば、誘導放出可能。

• 再結合発光回数が多ければ光は増幅。

• 反転分布はどこ？

光子

順バイアス＝障壁を下げる効果

p

n

p

n

(18)

p-n接合：光吸収による効果

・・

・・・・・・・

・・・

・・・・

・

・・

・

。。

。

。。。。

。。

。

。。

。

p n

1. 無バイアス＝電流発生・電圧零、電流＝逆方向

2. 電流の大きさ＝光強度（エネルギー）に比例（入射光子数に比例）

3. 電子１個の励起＝光子１個を吸収 +

-

拡散電位

。

・

電子・正孔対の生成

電子がダイオードから出る＝電流発生

電子電流（逆方向）

順方向電流

順方向電圧

0

光強度大ほぼ比例電流-電圧特性

p n

Anode 陽極

Cathode 陰極

順方向電流：半導体レーザ逆方向電流：Photodiode 但し、材料は多種（省略）

光子：光エネルギーの最小単位

レーザ領域

順方向電圧が負逆方向電圧

順方向電流が負逆方向電流降伏電圧

省略

p

n