電気回路学

電気回路学

Ⅱ

通信工学コース

5

セメ

山田 博仁

RLC

直列回路の過渡現

RLC

直列回路で、時刻 象

t = 0

でスイッチ

S

を閉じる。

t > 0

において回路を流れる電流

i(t)

は、

) 1 ( )

1 ( ) ) (

( ^{ }   

 i t dt

C dt

t L di t

Ri

E

で与えられる。

なお積分範囲は、–∞ から現在の時刻

t

までである。

キャパシタの電荷

q(t)

と電流

i(t)

との関係

dt t t dq

i ( )

)

( 

を用いて書き直し、

) 2 ( 0

) , ( )

( )

(

2 2



 





 t

C t q dt

t R dq dt

t q L d E

まず、

E ≠ 0

のときの非同次方程式の特解

q

_s

(t)

は定常解であるから、

1 0

2

  

Rs C Ls

t → ∞

における回路の状態、或いは

( )  0 dt

t

dq q

_s

 EC

C R

E S

i(t)

t = 0 L

から、 となる。

次に、

E = 0

とした時の同次方程式の一般解

q

_f

(t)

は、

特性方程式

e

st

q 

を式

(2)

に代入して得られる の根

s

₁ および

s

₂ 、即ち

LC L

R L

s R

s 1

2 , 2

2 2

1

 



 



 





から、

RLC

直列回路の過渡現 象

で重根となるから、

C R

²

 4 L

(a) D = 0

即ち、　　　　　　の時には、

L s R

s

¹



²

  2

E = 0

とした式

(2)

の一般解は、任意の定数を

A

₁

, A

₂ として、

t s t

s

f

t A e A te

q ( ) 

₁ ¹



₂ ¹によって与えられる。

従って、前述の定常解

(

特解

) q

_s と重ねて、

t s t

s f

s

q EC A e A te

q t

q ( )    

₁ ¹



₂ ¹ が式

(2)

の解となる。

これから、電流

i(t)

が、

t s t

s

A s t e

e s dt A

t t dq

i ( )

¹

( 1 )

¹

)

(  

_{1 1}



₂



₁ と与えられる。

A

₁ および

A

₂ は積分定数であり、初期条件によって定まる。

回路から、

t = 0

の初期電流

i(0)

は

0

であり、キャパシタの初期電荷を

q(0) = q

₀ とすれば、

q(t)

および

i(t)

の

t →0

の値から、

1

)

0

0

( q EC A

q   

従って、

A

₁

 q

₀

 EC

2 1

0

1

) 0

( A s A

i   

従って、

^A

2

^{  s}

1

^A

1

^{ R}  ^q

0

^{ EC} 

何故なら、

t < 0

では

S

が開いて いるから電流は ゼロで、コイル を流れる電流は 瞬時には変化で きないので

RLC

直列回路の過渡現 象

 

0 2 ,

1 ) 2 (

1 ) (

) 2 (

) (

0 2 0

0 0

2 1

1

1 1

1 1

 



 

  





 



 

  

























t

e L t EC R

q EC e

L t EC R

q EC

te EC L q

e R EC q

EC te

A e

A EC t

q

Lt R t

s

t s t

s t

s t

s

以上より、

   

     

 

1 1 1 1

1 1 1

1 1 2 1 0 1 0 1

2

0 0 0

2 0 2

( ) ( ) (1 ) (1 )

2

(1 )

2 2 2 2

, 0

2

s t s t s t s t

s t s t s t

Rt L

dq t R

i t A s e A s t e q EC s e q EC s t e

dt L

R R R R

q EC e q EC t e q EC te

L L L L

EC q R te t

L



        

 

            

 

      

と求まる。

初期電荷

q

₀

= 0

とした時の

q(t)

および

i(t)

の変化を左図に示す。

i(t)

は、

t = 2L/R

で最大値

i

_m

= 2E/Re

をとる。

の場合は、臨界的

(critical)

あるいは 臨界減衰

(clitical-damping)

と呼ばれ る。

C

R

²

 4 L

RLC

直列回路の過渡現 象

C R

²

 4 L

(b) D > 0

即ち、　　　　　　の時には、特性方程式₂

  1  0 Rs C

Ls

の根は、

2

つの異なる実根

s

₁

, s

₂ となる。

1 0

2 2

1

1 2

, 2       



 



 



 L LC

R L

s R s

と置いた。

L R

0

 2

 L LC

R 1

2

2

1

 



 



 

ただし、

 

₀

 

₁

 0

E = 0

とした式

(2)

の一般解は、任意の定数を

B

₁

, B

₂ として、

t s t

s

f

t B e B e

q ( ) 

₁ ¹



₂ ² によって与えられる。

従って、前述の定常解

(

特解

) q

_s と重ねて、

t s t

s f

s

q EC B e B e

q t

q ( )    

₁ ¹



₂ ² が式

(2)

の解となる。

電流

i(t)

は、

B s e

^st

B s e

^{s t}

dt

t t dq

i ( )

_{1 1} ¹ _{2 2} ²

)

(   

と与えられる。

B

および

B

は積分定数であり、初期条件によって定まる。

1 0 2

1 0

1

     , s     

s

RLC

直列回路の過渡現 象

初期条件は同様に、

i(0) = 0 、 q(0) = q

₀ とすれば、

q(t)

および

i(t)

の

t →0

の値から、

2 1

)

0

0

( q EC B B

q     i ( 0 )  0  B

₁

s

₁

 B

₂

s

₂ 従って、



₀



2 1

2

1

EC q

s s

B s 

  

₀



2 1

1

2

EC q

s s

B s 



 

従って、

 

^st

 ^{EC q}  ^e

^{s t}

s s e s

q s EC

s EC s t

q

¹ ₀ ²

2 1

1 0

2 1

)

2

( 

 

 





1 1

0 1

0 2

1

 s       (     )  2 

s

より、

 ^{EC q}  ^e

^st

^s  ^{EC q}  ^e

^{s t}

^EC  ^{EC q}   ^{s e}

^st

^{s e}

^{s t}



EC s t

q

^{1 2} _{0 2} ¹ ₁ ²

1 0

1 1 0

1 2

2 1 2

) 2

(         







t t t

s

e e

e

¹



^{0 1}

e

^s2t

 e

^0t

e

^1t より、

 ^{EC q}  ^e

^t

 ^{s e}

^t

^{s e}

^t



EC t

q

₀ ⁰ ₂ ¹ ₁ ¹

2

1

) 1

(

^{  }















ここで、

e

^K

s

s 

1

2 と置くと、

s

₁

 s

₁

s

₂

e

^K

s

₂

 s

₁

s

₂

e

^K

RLC

直列回路の過渡現 象

従って、

^{q t EC}  ^{EC q}

0

 ^s

1

^s

2

^e

^0t

 ^e

^K

^e

^1t

^e

^K

^e

^1t



2

1

) 1

(

^{  }

















ここで、双曲線関数を用いると、

e

^x

e

^x

x 2  sinh



^

であるから、

 ^{t K} 

e e e

e

^{K 1t}



^{K 1t}

 2 sinh 

₁



であり、

従って、

^{q t  EC }  ^{EC  q}

₀

 ^s

₁

^s

₂

^e

^{ t}



₁

^{t  K} 

1

1 sinh )

(

⁰







さらに、

s

₁

, s

₂

< 0

であるから、

s LC s s

s 1

2 1 2

1

   

従って、

   

   

 



 

  



















K t LC e

q EC q

K t LC e

q EC EC

t q

t t

1 1

0 0

1 0

1

1 sinh 1

1 sinh ) 1

(

0 0

 

 





t > 0

指数関数と 双曲線関数 との関係式

ただし、

1 0

1 0 1

2

ln

ln  











 

 s

K s

L R

0

 2

 L LC

R 1

2

2

1

 



 



 



RLC

直列回路の過渡現 象

電流

i(t)

についても同様に、

    ^{t K}   ^{t K}  

LC q e

dt EC t t dq

i

t













^ _{0 1 1 1}

1

0

sinh cosh

) ) (

(

⁰

   





ここでまず、

{ }

内について考える。

e

K

s s 

1

2 より、

s LC s

s s s

s s

e s

e

^{K K} ₁

2 1

1 2 2

1 1

2

    2 





^

s LC s

s s s

s s

e s

e

^{K K} ₀

2 1

1 2 2

1 1

2

    2 





^

LC e e

^{K K}

1

2





 

LC e e

^{K K}

0

2





 

RLC

直列回路の過渡現

従って、

{ }

内は、 象

       

     

 

  ^t

LC e

e e LC

LC e

e e

e e

e e

e LC e

e e

LC e e

e e

LC e e

K LC t

e K e

LC t e K e

t K

t

t t

t t

K t K

K t K K

t K

K t K

K t K

K t K K

t K

K t K

K K

K K

1

1 1

1 1

1 0

1 sinh 2

2 1 4 2

1 4

1

2 2 2 2

2 cosh 2 sinh

cosh sinh

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

















 



















 





















 



 

 



 









 





































従って電流

i(t)

は、

  ^{e t}

LC q t EC

LC LC

q e dt EC

t t dq

i

^t

t

1 1

0 1

1

0

1 sinh sinh

) ) (

(

^{0 0}



 



 



 







 t > 0

ただし、

L R

0

 2

 L LC

R 1

2

2

1

 



 



 



RLC

直列回路の過渡現 象

初期電荷

q

₀

= 0

とした時の

q(t)

および

i(t)

の変化を左図に示す。

の場合は、臨界的の場合よりも収束 が遅いので、非振動的

(aperiodic)

あ るいは過減衰

(over-damping)

と呼 ばれる。

C

R

²

 4 L

RLC

直列回路の過渡現 象

C R

²

 4 L

(c) D < 0

即ち、　　　　　　の時には、特性方程式₂

  1  0 Rs C

Ls

の根は、

2

つの異なる虚根

s

₁

, s

₂ となる。

0 0

2 2

1

1 2

, 2  j 

LC L

R L

s R

s     



 



 





と置く。

L R

0

 2

 L LC

j R 1

2

2

0

 



 



 



ただし、



₀

 0

かつ

ω

₀ は実数である。



e

j

s s 

1 2

j e e

^{j j}

sin 2



 





^

   

   

    ^{ }  

 

^t



^{j j t j j t}



t j t t

j t t

s t

s

t s t

s

t s t

s

e e e

e e

s s q j EC

EC

e s e

s q j EC

EC e

s e

s q j EC

EC

e q j EC

e s q j EC

EC s

e q s EC

s e s

q s EC

s EC s t

q

0 0

0

0 0 0

0 2

1

2 1

2 1

2 1 0

1 2

0 0

1 2

0 0

0 0

1 0

0 2

0 2

1 1 0

2 1

2

2 1

2 1 2

1

2 2

) (





























 













































 



 







e

j

s s s

₂



_{1 2}



e

j

s s

s

₁



_{1 2} ^

0 0

2 0

0

1

 j  , s  j 

s      

指数関数と 三角関数と の関係式 ここで、 と置くと、

RLC

直列回路の過渡現 象

 

 

^{   }

   

   

 



 

  

















 





 













 

 





 



 















 







 

t LC e

q EC q

t e

q LC EC

EC

j e e e

q LC EC

EC

j

e e e

e e s s q EC EC

t q

t t

t j t

j t

t j j

t j j

t

0 0

0 0

0 0

0

0 0

2 1 0 0

1 sin 1

1 sin

2 1

1

2 ) 1

(

0 0

0 0

0

0 0

0

t LC e

q EC dt

t t dq

i

^t ₀

0

0

sin

) ) (

(

⁰













 t > 0

t > 0

 

0

tan

0





^_ ^_

 





^j_j



^_^j_j

e e

j

e e

何故なら、

s

₁

, s

₂

< 0

であるから、

s LC s s

s 1

2 1 2

1

   

ただし、

L R

0

 2

 L LC

j R 1

2

2

0

 



 



 



RLC

直列回路の過渡現 象

初期電荷

q

₀

= 0

とした時の

q(t)

および

i(t)

の変化を左図に示す。

の場合は、振動的

(oscillatory)

あるい は振動減衰

(under-damping)

と呼ば れる。

C R

²

 4 L

インピーダンスの値が　　　　　　　 の

RLC

直列回路の共振角周波数

ω

_n は、

C L j

j R

Z      1

n

LC

 1



であった。これに対して、振動的な過渡解の

i(t)

は、

2

0

2

1 



 



 

 L

R

 LC

の角周波数で振動し、

ω

_n とは多少異なる。

R → 0

の時、

ω

は

ω

に近づき、正弦波振動が永久に持続する。

回路シミュレータ利用の薦 め

電子回路、或いは電気回路

(

特に過渡現象

)

の学習に、回路シミュレータを利 用することをお薦めします。

代表的な回路シミュレータとしては、

SPICE, PSpice, LTspice, TINA

などがあります。

LTspice

は、

Linear Technology

社の以下の

HP

から無料でダウンロードでき

ます。

http://www.linear-tech.co.jp/designtools/software/

TINA

は、

Texas Instruments

社の以下の

HP

から、無償版

TINA-TI (

日本語版 あり

)

をダウンロードできます。

http://www.tij.co.jp/tool/jp/tina-ti

R = 10Ω R = 20Ω R = 40Ω

回路シミュレータ利用の薦

例えば、

TINA

を使って、

RLC

直列回路の過渡現象を解析してみましょう。め

C R

E S

i(t)

t = 0 L

C R

²

 4 L

(a)

左の回路で、

R = 20Ω, L = 100uH, C = 1uF

の時 の関係が成り立ち、回路は臨界的

(b)

左の回路で、

R = 40Ω, L = 100uH, C = 1uF

の時

C

R

²

 4 L

の関係が成り立ち、回路は過減衰

(c)

左の回路で、

R = 10Ω, L = 100uH, C = 1uF

の時

C

R

²

 4 L

の関係が成り立ち、回路は振動的

回路に流れる電流 の計算結果

R = 10Ω

R = 20Ω

R = 40Ω