数学単元末テスト

数学単元末テスト

3 章 二次方程式 k

氏名（      ）

中 

３

Step１説明

１ 単元末テスト 3 章 二次方程式

Name ( ）

点数

次の方程式を解きなさい。

１

(3点×4=12点)

(1) x=

(2) x=

(3) x=

(4) x=

(5) x=

(6) x=

(7) x=

(8) x=

(9) x=

(10) x=

１

100

(1) x²= 49 x = ± 7

(2) 5x² = 50 x² = 10

x = ± 10 (3) 5x²−60 = 0

5x² = 60 x = ± 2 3 x² = 12

(4) 4x²−3 = 0 4x² = 3 x² = 34

x = ± 3 2 (5) (x + 2)²= 4

x + 2 = ± 2 x =−4,0 x = ± 2−2

(6) (x + 2)²−25 = 0 (x + 2)² = 25 x + 2 = ± 5

x^x =^{= ± 5}−7,3⁻² (7) (x + 2)²= 6

x + 2 = ± 6 (8) (x −4)²−12 = 0 −2 ± 6 x −4 = ± 2 3

x = 4 ± 2 3 (x−4)² = 12

(9) x²+ 8x = 5

x + 4 = ± 21 x²+ 8x + 16 = 5 + 16

(x + 4)² = 21

x =−4 ± 21

(10) x²−12x = 2

x−6 = ± 38 x²−12x + 36 = 2 + 36

(x−6)²= 38 x = 6 ± 38

(3点×4=12点)

(1) x=

(2) x=

(3) x=

(4) x=

(5) x=

(6) x=

(7) x=

(8) x=

(9) x=

(10) x=

(1) x²−7x −3 = 0

x = 7 ± (−7)²−4∙1∙(−3) 2∙1

x = 7 ± 61 2

a = 1,b = −7,c =−3

(2) x²−6x −3 = 0

(3) (x −1)(x −5) = 0

x = 3 ± (−3)²−1∙(−3) 1

x = 3 ± 12 3

a = 1,b′= −3,c = −3

= 3 ± 2 3 3

(4) x²−2x −15 = 0 x = 1,5

(5) x²−3x = 0

(x−5)(x+ 3) = 0 x = 5,−3 (6) 2x²−5x = 0 x = 0,3

x(x −3) = 0

(7) x²+ 2x + 1 = 0

x(2x−5) = 0 x = 0, 52

(x+ 1)²= 0 x = −1

(8) x²−16 = 0 (x+ 4)(x −4) = 0

x = −4,4

(9) x²−16 = 6x x²−6x −16 = 0 (x + 2)(x −8) = 0

x =−2,8

(10) _{x(x+ 3) = 2x+ 42} x²+ 3x−2x−42 = 0

x²+x−42 = 0 (x−6)(x+ 7) = 0 x = 6,−7 次の方程式を解きなさい。

2 2

±7

± 10

±2 3

± 32

−4,0

−7,3

x =−2 ± 6

4 ± 2 3

−4 ± 21 6 ± 38

7 ± 61 2 3 ± 2 3

3

1,5 5,−3

0,3 0, 52

−1

−4,4

−2,8 6,−7

3 x²+ (x + 1)² = 85 x²+x²+ 2x + 1−85 = 0

2x²+ 2x −84 = 0 x²+x −42 = 0 (x + 7)(x −6) = 0

2つの正の整数のうち,小さい方をxとすると,大きい方はx+1 である。これら２数を２乗した和が85になるので,

xは正の整数だから は問題にあわない。

のとき,2数は7,8となる。よって,2つの整数は7, 8

x =−6 x = 7

x =−6,7

横が縦より4cm長い長方形の厚紙があり ます。この4すみから1辺が3cmの正方形 を切り取り,ふたのない直方体の容器を つくると,その容積は420㎤になりまし た。はじめの厚紙の縦の長さを求めな さい。

もとの長方形の紙の縦の長さをxcmとする。 横の長さは, x+ 4(cm) 長方形の紙の容器の底面の縦の長さ・・・

横の長さ・・・

=x 2(cm)

容器の高さは3cmで,容積は420㎤だから,

x²−8x+ 12 = 140 (x−6)(x−2) = 140

3(x−6)(x−2) = 420 x²−8x+ 128 = 0 (x−16)(x+ 8) = 128

x = 16,−8 長さは正の数で, より, となるから,

cm

x−6 > 0 x > 6 x = 16

(x−3)×2 = x−6(cm) (x+ 4)−3×2

4

4 _(5点)

(1) 16 cm

もう一つの解

x=2を二次方程式に代入すると,

a=8を二次方程式に代入すると, x²−6x +a = 0 4−12 +a = 0

a = 8 x²−6x + 8 = 0 (x −2)(x−4) = 0

x = 2,4

a=8, もう一つの解は,4

4

6

6 AB=6cm,BC=10cmの長方形がある。点

PはAからBまで毎秒2cmの速さで動く。

点QはPがAを出発するのと同時にCを出 発し,Bに向かって毎秒1cmの速さで動 き,PがBに到着するのと同時に止まる。

このとき△ PBQの面積が18㎠になるの は,P,Qが同時に出発してから何秒後か, 求めなさい。

点Pが2x(cm)のとき点Qはx(cm)進むことから,三角 形BPQの面積は,

←3>xより (6−2x)(10−x) ÷ 2 = 18

(2x²−26x+ 60) ÷ 2 = 18 x²−13x+ 12 = 0 (x−12)(x−1) = 0

x = 12,1

1秒後

(5点)

(1) 秒後

P

Q 2x cm

A

B C

D

x cm

1 10−x cm 6−2x

cm

(3点×4=12点)

(1) x=

(2) x=

(3) x=

(4) x=

(5) x=

(6) x=

(7) x=

(8) x=

(9) x=

(10) x=

(3点×4=12点)

(1) x=

(2) x=

(3) x=

(4) x=

(5) x=

(6) x=

(7) x=

(8) x=

(9) x=

(10) x=

Step１説明

2 単元末テスト 3 章 二次方程式

Name ( ）

点数

次の方程式を解きなさい。

１ １

100

(1) x²= 16 (2) x²= 12

(3) x²−2 = 0 (4) 9x²−2 = 0

(5) (x + 3)²= 25 (6) (x −3)²−81 = 0

(7) (x −3)² = 3 (8) (x −4)²−8 = 0

(9) x²+ 4x = 3 (10) x²+ 12x −3 = 0

(1) x²+ 3x + 1 = 0 (2) 2x²+ 6x + 1 = 0

(3) (x −2)(x + 1) = 0 (4) x²−9x −10 = 0

(5) x²+ 7x = 0 (6) 3x²=−5x

(7) x²−10x + 25 = 0 (8) 9x²−16 = 0

(9) 3x²−9x −12 = 0 (10) _{2(x+ 1)(x−2) = 8} 次の方程式を解きなさい。

2 2

x = ± 4 x = ± 12

x = ± 2 3

x² = 2 x = ± 2

9x² = 2 x² = 2

x = ±9 2 3

x+ 3 = ± 5 x = −8,2 x = ± 5−3

(x−3)²= 81 x = ± 9 + 3 x =−6,12 x−3 = ± 9

x −3 = ± 3

x = 3 ± 3 x −4 = ± 2 2 x = 4 ± 2 2 (x −4)² = 8

x+ 2 = ± 7 x²+ 4x + 4 = 3 + 4

(x+ 2)²= 7

x =−2 ± 7

x²+ 12x = 3 x²+ 12x+ 36 = 3 + 36

(x+ 6)²= 39 x+ 6 = ± 39

x =−6 ± 39

x = −3 ± 3²−4∙1∙1 2∙1 x = −3 ± 5

2

a= 1,b = 3,c = 1

x = −3 ± 3²−2∙1 2 x = −3 ± 7

2

a= 2,b′= 3,c = 1

x = 2,−1 (x + 1)(x −10) = 0 x =−1,10

x = 0,−7

x(x + 7) = 0 3x²+ 5x = 0 x(3x + 5) = 0

x = 0,− 5 3

(x−5)² = 0

x = 5 (3x + 4)(3x−4) = 0 x =− 4

3, 4 3

x²−3x−4 = 0 (x + 1)(x −4) = 0 x =−1,4

2(x²−x−2) = 8 2x²−2x−4−8 = 0

(x+ 2)(x−3) = 0 x =−2,3 2x²−2x−12 = 0 x²−x−6 = 0

±4

±2 3

± 2

± 23

−8,2

−6,12

3 ± 3

4 ± 2 2

−2 ± 7

−6 ± 39

−3 ± 5 2

−3 ± 7 2 2,−1

−1,10

0,−7

0,− 5 3 5

−4 3, 4

3

−1,4

−2,3

(5点)

(1) 秒後

(5点)

(1) cm

3 右の図のように, 縦40m,横30mの土地が

ある。そこに同じ道幅の道路(影をつけ た部分)を作ったとき, 残りの面積が875 m²になるようにしたい。道路の幅を何m にすればよいですか。

4

4

5

−4

6

6 下の図のような縦10 cm,横20cmの長

方形ABCD で,点PはAを出発し,点B まで動く。Qは点 Pと同時にAを出 発し,Pの2倍の速さでAD上をDまで 動く。点PがAから何cm動いたとき, 三角形△APQの面積が８㎠になる か,求めなさい。

x(5−x) = −24 5x −x²+ 24 = 0

−x²+ 5x + 24 = 0 x²−5x−24 = 0 (x + 3)(x−8) = 0

x = −3,8

となり,積が−24だから,

よって,−3と8

横道路を畑の端道路の幅をxmとする。

右下の図のように,移動して,畑の部分を1つの長方形 にまとめて面積を考える。

道路を除いた長方形の畑の縦は (40−x)m

横は (30−x)m

方程式は

1200−70x+x²= 875 x²−70x+ 325 = 0

道路の幅は長方形の横30 mより短いから, よって, x=5 x = 5,65

(x−5)(x−65) = 0 (40−x)(30−x) = 875

x=3を二次方程式に代入すると,

a=1を二次方程式に代入すると, 9 + 3a−12 = 0

3a= 3 a= 1

x²+x−12 = 0 (x−3)(x+ 4) = 0

x =−4,3 a=1, もう一つの解は,-4

点Pがx(cm)のとき点Qは2x(cm)進むことから,三角形APQの面積は,

←x>0

x ×2x ÷ 2 = 8 x² = 8

x = 8 x = 2 2

P

Q x cm

2x cm A

B C

D

2 2

(3点×4=12点)

(1) x=

(2) x=

(3) x=

(4) x=

(5) x=

(6) x=

(7) x=

(8) x=

(9) x=

(10) x=

(3点×4=12点)

(1) x=

(2) x=

(3) x=

(4) x=

(5) x=

(6) x=

(7) x=

(8) x=

(9) x=

(10) x=

Step１説明

3 単元末テスト 3 章 二次方程式

Name ( ）

点数

次の方程式を解きなさい。

１ １

100

(1) x²= 64 (2) 3x² = 15

(3) 3x²−18 = 0 (4) 36x²−1 = 0

(5) (x −5)² = 36 (6) (x + 4)²= 25

(7) (x −2)² = 7 (8) (x −5)²−24 = 0

(9) x²+ 8x = 5 (10) x²+ 12x −3 = 0

(1) x²−x −1 = 0 (2) 2x²−5x−3 = 0

(3) (x + 1)(x −5) = 0 (4) x²−15x + 56 = 0

(5) x²+ 6x = 0 (6) 3x²= 7x

(7) x²−20x + 100 = 0 (8) x²−121 = 0

(9) (x −3)(x −7) = 5 (10) _4x²_{−12x−16 = 0} 次の方程式を解きなさい。

2 2

x = ± 8 x² = 5

x = ± 5

±8

± 5 3x² = 18

x²= 6 x = ± 6

36x² = 1 ± 6 x²= 136 x = ± 1

6

x −5 = ± 6 x =−1,11 x = ± 6 + 5

−1,11

± 16

x + 4 = ± 5 x = −9,1 x = ± 5−4

x−2 = ± 7

x = 2 ± 7 x −5 = ± 2 6 x = 5 ± 2 6 (x−5)²= 24

x + 4 = ± 21 x²+ 8x + 16 = 5 + 16

(x + 4)² = 21 x = −4 ± 21

x²+ 12x = 3

x²+ 12x+ 36 = 3 + 36 (x + 6)² = 39

x+ 6 = ± 39 x = −6 ± 39

x = 1 ± (−1)²−4∙1∙(−1) 2∙1

x = 1 ± 5 2

a = 1,b =−1,c =−1

x = 5 ± (−5)2−4∙2∙(−3) 2∙2

x = 5 ± 49 4

a= 2,b=−5,c =−3

= 5± 7 4

= −2

4 , 124 =−1 2,3

x =−1,5 (x−7)(x−8) = 0 x = 7,8

x = 0,−6

x(x + 6) = 0 3x²−7x = 0 x(3x −7) = 0

x = 0, 7 3

(x−10)² = 0

x = 10 (x + 11)(x −11) = 0 x =−11,11

x²−10x + 21−5 = 0 (x−2)(x −8) = 0 x = 2,8 x²−10x + 16 = 0

x²−3x−4 = 0 (x−4)(x+ 1) = 0

x = 4,−1

−9,1

2 ± 7

5 ± 2 6

−4 ± 21

−6 ± 39

1 ± 5 2

−1 2,3

−1,5

7,8

0,−6 0, 73

10

−11,11 2,8 4,−1

3 れらの3つの整数を求めなさい。

正方形の厚紙の4すみから,5cmの正方形 を切り取り,ふたのない箱をつくると,そ の容積は720㎤になりました。厚紙の1 辺の長さを求めなさい。ただし,厚紙の 厚さは考えないものとします。

4

4 _(5点)

(1) cm

6

6 AB=12cm,BC=24cmの長方形がある。点P

はBからCまで毎秒2cmの速さで動く。点 QはPがAを出発するのと同時にCを出発 し,Dに向かって毎秒1cmの速さで動き, P がBに到着するのと同時に止まる。この とき△ PCQの面積が49㎠になるのは,P,Q が同時に出発してから何秒後か求めなさ い。

(5点)

(1) 秒後

真ん中の数をxとすると,大きい数はx+1,小さい数はx-1である。小さい数と大きい数の 積が,真ん中の数の6倍よりも26大きいので,

(x+ 1)(x−1) = 6x+ 26 x²−1−6x−26 = 0

x²−6x−27 = 0 (x+ 3)(x−9) = 0 (x+ 7)(x−6) = 0 x =−3,9

xは正の整数だから は問題にあわない。

のとき,連続する3つの正の整数は8,9,10である。

x =−3 x = 9

正方形の紙の1辺の長さをx(cm)とする。

正方形の紙の底面の1辺の長さ・・・ x-5×2=x-10(cm) 容器の高さは5cmで,容積は720㎤だから,

x²−20x−44 = 0 5x²−100x −220 = 0

5(x −10)² = 720

(x−22)(x + 2) = 0 x =−2,22

長さは正の数で, x = 22cm 22

9 + 3a+a²−7 = 0 a²+ 3a+ 2 = 0

a = −2,−1 (a+ 2)(a+ 1) = 0

P

Q x cm A

B C

D

2x cm

点Pが2x(cm)のとき点Qはx(cm)進むことから,三角形PCQの面積は,

←10>xより (24−2x)(12−x) ÷ 2 = 49

(2x²−48x+ 288) ÷ 2 = 49 x²−24x + 95 = 0 (x−5)(x−19) = 0

x = 5,19

5秒後 5

24−2x cm

12−x cm