常用対数と自然数

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常用対数と自然数

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数

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例題２

解

常用対数  log

□

常用対数 → (        ) を底とする対数10  が   桁の数となるような自然数   をすべて 

求めなさい。 ただし，  とする。

3ⁿ 7 n

log₁₀3 = 0.4771

例題１

解

 は何桁の数か，求めなさい。ただし， 

 とする。

3¹⁵

log₁₀3 = 0.4771

常用対数と自然数

自然数   が   桁   

 ⇔ (     )   (   ）

N a = 10^a−1 ≦ N < 10^a

≦ log₁₀ N <

a − 1 a

 であるから

7 < log₁₀3¹⁵ < 8

log₁₀3¹⁵ = 15 log₁₀3 = 15× 0.4771

= 7.1565

10⁷ < 3¹⁵ < 10⁸

よって，3¹⁵ は 8 ^桁の数

 が   桁の数となるのは，

3ⁿ 7

のときである。

10⁶ ≦ 3ⁿ < 10⁷

常用対数をとると 6 ≦ nlog₁₀3 < 7

 であるから

log₁₀3 = 0.4771 > 0 6

log₁₀3 ≦ n < 7 log₁₀3 6

0.4771 ≦ n < 7 0.4771 12.5⋯ ≦ n < 14.6⋯

よって n = 13 14 ， 自然数 N = 34 2 は   桁

例

10(10¹) < 34 < 100(10²)

⇔ 1 < log₁₀34 < 2

2

２

名前 (       ）

例題

解

 は小数第何位に初めて   でない数字が現れるか， 

求めなさい。ただし，  とする。

(4 5)

50 0

log₁₀2 = 0.3010

常用対数と小数

数

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常用対数と小数

小数   が 小数第   位に初めて   でない数字が現れる   

 ⇔ (    )   (      ）

M b 0

= 10^−b ≦ M < 10^−b+1

≦ log₁₀ M <

−b −b + 1

log₁₀(4 5)

50 = 50 log₁₀ 4

5 = 50 log₁₀ 8

= 50(log₁₀8−log₁₀10) 10

= 50(3× 0.3010−1) = −4.85

 であるから

−5 < log₁₀(4 5)

50 < −4 10⁻⁵ < (4 5)

50 < 10⁻⁴

よって，  は

(4 5)

50

小数第   位に初めて   でない数字が現れる。5 0

= 50(log₁₀2³ −log₁₀10)

= 50(3 log₁₀2−log₁₀10) 小数   は 小数第   位 に初めて   でな

い数字 (   ) が現れる。

M = 0.03 2 0

3

例

0.01(10⁻²) < 0.03 < 0.1(10⁻¹)

⇔ −2 < log₁₀0.03 < −1