数学的リテラシーを育む教材開発 : 数理ゲームに よる4つの題材の提案

よる4つの題材の提案

著者 藤田 康介, 竹内 俊力, 土田 恵里, 間庭 彰郎, 西 村 保三, 櫻本 篤司, 風聞 寛司

雑誌名 福井大学教育実践研究

巻 41

ページ 93‑104

発行年 2017‑02‑12

URL http://hdl.handle.net/10098/10097

実 践 報 告 ・資 料

数 学 的 リ テ ラ シ ー を 育 む 教 材 開 発 一 数理ゲ ームによる4つ の題材の提案 一

福井大学大学院教育学研 究科教科教育専攻 福井大学大学院教育学研 究科教科教育専攻 福井大学大学院教育学研 究科教科教育専攻 福井大学大学院教育学研 究科教科教育専攻 福井大学教育学部 福井大学教育学部 福井大学大学院教育学研 究科

藤 竹 十 間 西 櫻 風 介 力 里 郎 三 司 司

康 俊 恵 彰 保 篤 寛

田 内 田 庭 村 本 間

協 働 実 践 研 究 プ ロ ジ ェ ク ト 「数 学 的 リ テ ラ シ ー 」 で は,数 学 的 リ テ ラ シ ー を 育 む 教 材 を 開 発 し,実 践 ・ 省 察 す る こ と を 目 的 と す る 。 本 稿 で は,数 学 的 リ テ ラ シ ー の 概 略 を 述 べ,PISA2012の 結 果 を 踏 ま え て, 本 プ ロ ジ ェ ク トで 開 発 し た 数 理 ゲ ー ム を 題 材 と し た4つ の 教 材 に つ い て,授 業 実 践 の 報 告 と そ の 省 察 を 行

う。

キ ー ワ ー ド:数 学 的 リ テ ラ シ ー,教 材 開 発,数 理 ゲ ー ム

1.は じめ に

1.1数 学 的 リテ ラ シ ー と 数 学 的 プ ロセ ス

PISA型 カ リキ ュ ラ ム 開 発 「数 学 的 リテ ラ シ ー 」 の 授 業 で は,PISAが 提 唱 す る 数 学 的 リテ ラ シ ー を 育 む た め の教 材 の研 究 と開発 を行 っ て い る。 この授 業 で は,PISA 調 査 の示 す 結 果 を も とに 日本 の数 学 教 育 の現 状 と課 題 を 見 出 し,そ れ を改 善 す る た め の 方 策 と して,PISAの 提 唱 す る数 学 的 プ ロ セ ス を基 盤 とす る授 業 の研 究 と,子 ど

もた ち に興 味 ・関心 を抱 かせ る よ うな題 材 の提 案 を行 っ て きた(前 川 ほ か,2015)。 こ の研 究 にお い て 我 々が 重 視 して い る の は,現 実 と数 学 との結 びつ きや 数 学 の有 用 性 が 実 感 で きる よ うな教 材 を 開発 す る こ とで あ る。

「リ テ ラ シ ー 」 と は,元 々 識 字 を意 味 す る 語 で,そ こ か ら転 じて,読 み 書 き ・計 算 能 力 や,与 え られ た材 料 か ら必 要 な情 報 を引 き出 し,活 用 す る能 力 の意 味 と して使 わ れ て い る。 これ をPISAで は,「知 識 の 評価 だ け で な く, 熟 考 す る能 力 や 知 識 や 経験 を現 実 世 界 の課 題 に応 用 す る 能 力 も含 む,幅 広 い概 念 」 と して拡 張 的 に捉 え,数 学 的

リテ ラ シ ー を次 の よ うに定 義 して い る。

「 様 々 な 文 脈 の 中 で 定 式 化 し,数 学 を適 用 し,解 釈 す る個 人 の 能 力 で あ り,数 学 的 に 推 論 し,数 学 的 な概 念 ・ 手 順 ・事 実 ・ッ ー ル を使 っ て事 象 を記 述 し,説 明 し,予 測 す る能 力 を含 む。 こ れ は,個 人 が 世 界 に お い て数 学 が 果 たす 役 割 を認 識 し,建 設 的 で積 極 的,思 慮 深 い市 民 に 必 要 な確 固 た る基 礎 に基 づ く判 断 と決 定 を下 す 助 け とな る もの で あ る」(国 立 教 育 政 策研 究 所,2012)。

PISAで は,こ の 定 義 に 沿 っ て,現 実 世 界 と数 学 の 世

界 と の 往 還 を 行 う体 系 と して 図1の よ う な 「数 学 的 プ ロ セ ス 」 を 提 唱 し て い る(OECD,2010)。

図1.数 学 的 プ ロ セ ス

まず,現 実 世 界 の 課 題 と し て 問題 を設 定 す る 。 次 に, そ の 問題 に対 して,定 式 化 ・モ デ ル化 を行 い数 学 の 問題 へ と変 換 す る。 そ して,数 学 の公 式 や定 理 を適 用 し,解 決 す る こ とで数 学 の解 を導 く。 こ こで導 か れ た解 に解 釈 を加 え る こ とで,現 実 の 文 脈 に即 した 解 を得 る。 最 後 に, 文 脈 に即 した解 が 最 初 に設 定 した 問題 の解 とな っ て い る か を評 価 す る。 この流 れ に沿 っ て現 実 と数学 の世 界 との 往 還 を行 う こ とを数 学 的活 動 と捉 え,こ の よ うな授 業 を 行 う こ とは,生 徒 が 数 学 を学 ぶ こ との楽 し さや有 用 性 を 感 じ られ る契 機 に もな る と考 え る 。

PISA2012調 査 で は,数 学 的 リ テ ラ シ ー に 関 して,日

本 の 平 均 点 は536点 とOECD平 均 の494点 よ り上 位 の

結 果 で あ っ た もの の,質 問紙 調 査 に お い て は情 意 面 に 関

してOECDの 平 均 を大 き く下 回 る結 果 が 示 され た(国 立 教 育 政 策 研 究所,2013)。 こ の情 意 面 に 関 す る調 査 結 果 は,2003年 か ら2012年 まで にい く らか 改 善 して い る が,小 寺(2007)が 「日本 の 子 ど もた ち は数 学 の 知 識 や 技 能 の面 で は世 界 トップ で あ りなが ら,数 学 へ の興 味 も応 用 へ の 関心 も乏 しい」 と指 摘 す る よ うに,子 ど も達 の数 学 に対 す る興 味 ・関心 を高 め て い く対 策 を講 じる必 要 が あ る。

そ こで 我 々 は,「 どの よ う な授 業 に よ っ て,生 徒 に数 学 にお け る興 味 ・関心 の 向上 を促 す こ とが で きる か」 と い う課 題 を設 定 し,そ れ を解 決 す るた め に 「 数 理 ゲ ー ム 」 を題 材 と して教 材 開発 を行 っ た。 次 に数 理 ゲ ー ム につ い て の説 明 とそ の扱 い方 につ い て述 べ る。

1.2数 理 ゲ ー ム

本 稿 に お け る 数 理 ゲ ー ム と は,数 学 的 な思 考 を用 い て 取 り組 む ゲ ー ム の こ とを指 す 。 こ れ ま で様 々 な数 理 ゲ ー ム が 「 数 学 遊 戯 」 と して 秋 山 ・中村(1998)な ど に よ り研 究 が され て きた。 数 理 ゲ ー ム に は数 学 的 な側 面 の み で は な く,遊 び と して の面 白 さが 潜 ん で い る。 こ の面 白 さ と数 学 的 な性 質 を授 業 にお い て相 互 に 関連 づ け る こ と に よ り,子 ど も達 に数 学 に対 す る興 味 ・関心 の 向上 を促 す こ とが で きる と考 え る。

また,高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 に お い て も 「 数 学 活 用 」 の科 目で は,数 学 的活 動 や 思 索 す る こ との楽 し さな どに 焦 点 を 当 て る こ とが 企 図 され て い る。 こ こで 目標 と され て い る,「 数 理 的 な ゲ ー ム や パ ズ ル な ど を通 して 論 理 的 に考 え る こ との良 さを認 識 し,数 学 と文 化 の か か わ りに つ い て 理 解 す る」(文 部 科 学 省,2009)と い う観 点 か ら 見 て も,数 理 ゲ ー ム は我 々 の設 定 した課 題 を解 決 す る こ とが 期 待 さ れ,数 学 的 に価 値 が あ る もの で あ る こ とが わ か る。

今 回我 々が 取 り上 げ た数 理 ゲ ー ム の教 材 化 で は,現 実 世 界 の事 象 を,数 学 を活 用 して考 察 で きる こ とを実 感 で き る よ う な授 業 と して 構 成 す る こ と を留 意 した 。 数 理 ゲ ー ム を題 材 とす る数 学 的 活 動 を,数 学 的 プ ロ セス の 中 に位 置 づ け,特 に数 学 的 にモ デ ル化 さ れ た問 題 を数 学 的 に 「 解 決 」 し,得 られ た数 学 的 な解 に 「 解 釈 」 を加 え て 現 実 に即 した解 を得 る過 程 を重 視 した。

2.1ハ ノ イ の 塔(藤 田)

本 実 践 は2016年3月15日 に福 井 県 立 丸 岡高 等 学 校2 年1組 普 通 科 の 男 子25名,女 子10名 の 合 計35名 を対 象 に,高 等 学 校 数 学B「 数 列 」 の 通 常 授 業 の う ち の1コ マ(45分)と して 行 っ た 。 な お,扱 ってい る教科 書 は 数 研 出版 「 新 編 数 学B」(大 矢 ほか,2012)で あ る。

この ク ラ ス は普 通 科 の理 系 ク ラ ス で あ る た め,授 業 で の数 学 に対 す る意 欲 は高 く,疑 問 に思 っ た こ とに対 し積 極 的 に発 言 をす る姿 勢 が 見 受 け られ る。 授 業 実 践 で は生 徒 た ち の意 欲 的 な姿 勢 を積 極 的 に利 用 し,「 ハ ノ イの 塔 」 を題 材 に,具 体 的 な操 作 を通 して数 列 の漸 化 式 に つ い て 体 験 的 ・視 覚 的 に理 解 す る こ とを 目標 とす る。

2,1.1ハ ノ イ の 塔

ハ ノ イ の 塔 と は,1883年 に フ ラ ン ス のE.リ ュ カ が 発 明 し た ゲ ー ム で あ る 。 図2の よ う に3本 の 棒 の う ち1 本 に 円 盤 が 大 き い も の か ら順 に 重 ね ら れ て い る 。 こ の 円 盤 を ル ー ル に 従 っ て 動 か し,他 の 棒 に 移 動 させ る ゲ ー ム で あ る 。 ル ー ル は,以 下 の 通 り で あ る 。

図2.ハ ノ イ の 塔

1.1回 に動 か せ る 円 盤 は1枚 で あ る 。

2.大 き な 円 盤 を 小 さ な 円 盤 の 上 に 重 ね る こ と は で き な い 。

表1.円 盤 の枚 数 と最小 移動 回数 の 関係

円盤 の枚 数

最小 移動 回数

2.教 材 開 発 ・授 業 実 践 お よび 省 察

今 回教 材 と して 提 案 す る の は 「 ハ ノ イ の 塔 」 「 帽 子 の パ ズ ル 」 「モ ンテ ィ ホ ー ル 問題 」 「ISBN」 の4つ で あ る。

そ れ ぞ れ藤 田,竹 内,土 田,間 庭 が 教 材 の研 究 と実 践 を 行 っ た。 本 研 究 で は,数 理 ゲ ー ム を題材 と して 取 り上 げ, ゲ ー ム に潜 む数 理 を捉 え る過 程 で,数 学 的 な思 考 や既 習 知 識 の活 用 を促 す よ うな 問題 設 定 を行 い,授 業 の構 成 を 数 学 的 プ ロ セ ス に位 置 付 け る こ とを意 識 して教 材 開発 を 行 っ た。

円 盤 がn枚 の と き の 最 小 移 動 回 数 をanと 表 す と, an=2n1で あ る こ と が 知 ら れ て い る(表1)。 本 実 践 で は 数 列1,3,7,15,… の 一 般 項 を 求 め る た め に,階 差 数 列 を 用 い る 方 法 と漸 化 式 を 用 い る 方 法 と の2つ の 解 法 を 考 え る 。

ハ ノ イ の 塔 を 用 い た 数 学 の 授 業 は ,こ れ ま で に も多 く の 先 行 研 究 が あ り,ハ ノ イ の 塔 が 掲 載 さ れ て い る 数 学 の 教 科 書 も あ る 。 啓 林 館 「数 学B」(高 橋,2012)で は, 漸 化 式 の 導 入 と し て ハ ノ イ の 塔 が 扱 わ れ て お り,ま た 啓 林 館 「数 学 活 用 」(根 上,2012)で は,ハ ノ イ の 塔 の 最

小 手 数 の数 学 的帰 納 法 に よる証 明や,状 態 推 移 図が 解 説 さ れ て い る。

2.1.2授 業 構 成

本 時 の 内 容 は 数 学Bに お け る漸 化 式 の 応 用 と して 位 置 づ け た。 本 時 の 目標 は,次 の2つ で あ る 。

1.ハ ノ イ の 塔 を 利 用 し て,階 差 数 列 や 漸 化 式 に つ い て 考 え よ う とす る 。

2.ハ ノ イ の 塔 の 最 小 移 動 回 数 の 数 列 に 関 して,階 差 数 列 の 式 や 漸 化 式 を 立 て,移 動 回 数 の 一 般 項 を 求 め る こ とが で き る 。

図4.配 布 した ワ ー ク シ ー トと ハ ノ イ の 塔

本 時 の時 点 で は,数 学 的帰 納 法 が 未 習 で あ る こ とや生 徒 の習 熟 度 な どを考 慮 し,階 差 数 列 や 漸 化 式 を用 い てハ ノ イ の 塔 の 移 動 回 数 の 一 般 項 を導 く こ との み を 目指 す 。 そ の 回数 が 最 小 に な る こ との証 明 は,数 学 的帰 納 法 の学 習 時 に扱 う構 成 で あ る た め 、本 時 で は ク ラ ス 内 で最 小 回 数 で演 示 で きた もの を最 小 回数 と して い る。

本 授 業 は数 学 的 プ ロ セ ス に基 づ い て 展 開 を構 成 した 。

「 ハ ノ イ の塔 を移 動 させ る」 と い う現 実 の 問 題 に対 し,

「 円 盤 がn枚 の ハ ノ イ の塔 の最 小 移 動 回 数anの 一 般 項 を 求 め る」 とい う数 学 の 問題 を抽 出す る。 こ の 問題 に対 し て,階 差 数 列 や漸 化 式 を用 い てan=2"‑1と い う解 を得 て,最 後 に解 釈 ・評 価 と して,得 られ た解 をハ ノ イ の塔 を実 際 に操 作 す る こ とに よっ て実 証 す る。

2.1.3授 業 実 践

は じ め に,ハ ノ イ の 塔 に つ い て の ル ー ル を 説 明 し,円 盤 が1枚 か ら3枚 ま で の 最 小 移 動 お よ び そ の 回 数 を 教 師 が 黒 板 上 で 演 示 し た(図3)。

図3.授 業 風 景1

次 に,生 徒 一 人 一 人 に 図4に 示 し た ワ ー ク シ ー ト と, 円 盤 を 正 方 形 の 紙 で 見 立 て た ハ ノ イ の 塔 を 配 布 し て,実 際 に 生 徒 に ワ ー ク シ ー トの 上 で 動 か し て,円 板 が4枚 の

と き の 移 動 回 数 を 調 べ させ た(図5)。

円 盤 の 移 動 に 関 して 難 し さ を 感 じて い る 生 徒 は お ら ず,ほ と ん どの生 徒 が 最 小 移 動 回数 の15回,も し くは 次 に 少 な い17回 で移 動 させ る こ とが で きて い た 。 生 徒 を 一 人 指 名 して,黒 板 で 演 示 を させ,15回 が 最 小 回数 で あ る こ とを共 有 した。

図5.授 業 風 景2

次 に5枚 の と き の 最 小 移 動 回 数 を推 測 し,な ぜ そ の 回 数 に な る と思 う の か,理 由 を 含 め て 述 べ て も ら っ た 。

生 徒 の 予 想 は31回 で 全 員 一 致 し た が,5枚 の と き の 最 小 移 動 回 数 を31回 と 推 測 し た 理 由 を 生 徒 に 聞 く と, 主 に2つ の 考 え 方 が 出 た 。1つ 目 は,最 小 移 動 回 数 の 数 列1,3,7,15,… の 階 差 を 取 る と,2,4,8,… と2 の 累 乗 の 階 差 数 列 で あ る の で,4枚 と5枚 の 間 に は16回 の 差 が あ る と 推 測 し,5枚 の 移 動 回 数 は15+16=31 回 で あ る と い う考 え 方 で あ っ た 。 ク ラ ス の 大 半 の 生 徒 は こ の 考 え で あ っ た 。2つ 目 は,最 小 移 動 回 数 の 数 列1,3,7, 15,… の 連 続 す る2つ の 項 の 関 係 が,前 の 項 に2を か け て1を 加 え る 関 係 で あ る の で,5枚 目 の 移 動 回 数 は15×

2+1=31回 で あ る と い う 考 え で あ っ た 。 後 者 の 考 え 方 を し た の は ク ラ ス 内 で2人 し か い な か っ た 。

そ こ でn枚 の と き は ど う な る の か と 発 問 を し て,次 の 課 題 を 提 示 し た 。

円 盤 がn枚 の と き の 最 小 移 動 回 数anを 求 め る

n枚 の と き を 考 え る上 でn=5で 推 測 した 考 え方 を 数

式 に表 す こ とが で きな い か と発 問 したが,数 式 を立 て た 生 徒 は い なか っ た 。 そ の た め,1つ 目の考 え 方 は 階 差 数 列,2つ 目 の考 え方 は 漸 化 式 で あ る と教 師 が補 足 を し, 再 び この2つ の 考 え を式 に す る と ど う な る か とい う問 い か け を した 。 こ の 問 い か け に対 し生 徒 た ち は,2つ の 式 を立 式 し,解 きや す い 方 を 自 ら選 択 して 一 般 項anを 求 め る こ とが で きた。

業 時 間 の構 成 につ い て課 題 が 残 っ た。

(3)に 関 して は,本 時 で はハ ノ イ の塔 の最 小 移 動 回 数 に 関 して取 り上 げ たが,動 き方 な どに も性 質が あ り,そ れ に生 徒 が 気 付 く こ とで,よ り多 くの考 え方 が で きる の で は な い か と考 え る。

授 業 後 に実 施 した ア ンケ ー トの結 果 を示 す(表1,2)。

表1.ア ン ケ ー ト結 果1

1.階 差 数 列 を 用 い た 式 お よ び そ の 解 法 階 差 数 列 はbn=2nよ り,

一 般 項a nはn≧2の と き

ハ   

an・al・2k k‑1

=1+2(2"‑1‑1)(等 比 数 列 の 禾口)

‐nn‐1

n=1の と きal=21‑1=1よ り 成 立 す る 。 2.漸 化 式 を 用 い た 式 お よ び そ の 解 法

an+1=2an+1al=1 こ れ を 変 形 す る と, an+i+1=2(a  +1) a  +1=砺 と お く とb,=2 Un+1‐2C」n

つ ま り 数 列{bn}は 初 項2,公 比2の 等 比 数 列 で あ る の で,Un=2nで あ る 。

an+1=Unよ り,an=2η 一1

最 後 に,求 め た 解an=2n‑1が 実 際 の 解 と合 っ て い る の か を,推 測 し たn=5の と き に α5=31で あ る こ と を 確 認 し,31回 を 実 際 に ハ ノ イ の 塔 を 移 動 さ せ る こ と で 実 証 す る と こ ろ ま で が 本 時 の 内 容 で あ っ た が,時 間 の 関 係 で こ の 活 動 は 行 う こ とが で きず,各 自 で 空 い て い る 時 間 を 利 用 し て 確 か め て み よ う と伝 え て 授 業 を 終 え た 。

2.1.4考 察

授 業 を終 え,参 観 して くだ さっ た高 校 の先 生 方 や 大 学 院生 との研 究 協 議 や助 言 に よ り,大 き く3つ の 反 省 点 が 挙 げ られ た。

こ の 授 業 を通 して,数 学 に 興 味 を持 っ た か 。 あ て は ま る ^15人(46.9%) や や あ て は ま る ^17人(53.1%) や や あ て は ま ら な い

o(o%)

あ て は ま ら な い

o(o%)

表1よ り,ク ラ ス 全 体 の100%(32人 中32人)の 生 徒 が あ て は ま る,や や あ て は ま る と解 答 し て い る こ と か ら,こ の 実 践 を 通 し て 生 徒 に 数 学 へ の 興 味 を 持 た せ る こ と の で き る 教 材 で あ っ た と考 え る こ とが で き る 。

(1)最 小 で あ る こ とに 納 得 が い か な い 生 徒 が い る。

(2)実 証 の 全 体 共 有 が ほ し い 。

(3)ハ ノ イ の 塔 で 自 由 に 遊 ぶ 時 間 が な か っ た 。

(1)に 関 して は,数 学 的帰 納 法 を用 い て今 後 の授 業 で 証 明す る構 成 で あ っ たが,本 実 践 自体 を,数 学 的帰 納 法 を扱 っ た後 で行 っ た方 が よか っ た と考 え る。 生 徒 の 中 に は 「な ん で こ の数 が 最 小 に な る んや 」 とい う声 を も らす もの もお り,ク ラス の 中 で最 も少 な い 回数 で移 動 で きた 回数 を最 小 と確 認 す る だ け で は納 得 で きな い生 徒 が い る こ とが わか っ た。

(2)に 関 して は,時 間 の 関係 で実 証 を行 うこ とが で き なか っ た の だが,実 証 の時 間 を確 実 に確 保 す る た め の授

表2.ア ン ケ ー ト結 果2 この 授 業 を通 し て,自 分 が 持 っ て い る 数 学 の 知 識 を 使 う こ とが 得 で きた か 。

あ て は ま る ^13人(40.6%) や や あ て は ま る 13人(40.6%) や や あ て は ま ら な い ^6人(18.8%) あ て は ま ら な い 0人(0%)

ま た 表2よ り,ク ラ ス 全 体 の 約81%(32人 中26人) の生 徒 が あ て は まる,や や あ て は まる と解 答 して い る こ

とや,ほ とん どの生 徒 が ワ ー ク シ ー トに 階差 数 列 また は 漸 化 式 を用 い て立 式 で きて い る こ とか ら,本 時 の 目標 で あ る 「 ハ ノ イ の塔 の最 小 移 動 回数 の数 列 に 関 して,階 差 数 列 の式 や漸 化 式 を立 て,移 動 回数 の一 般 項 を求 め る こ

とが で きる」 は十 分 達 成 で きた と考 え る。

また 自 由記 述 の 欄 に は,「 数 学 は い ろ い ろ な 考 え方 が あ っ て い ろ い ろ な導 き方 が あ る こ とは お も しろ い こ とだ と思 い ま した」 とい う意 見 もあ っ た 。2つ の 解 法 を用 い て一 般 項 を求 め た こ とで,解 法 の多 様 さに対 して も興 味 を持 たせ る こ とが で きた と考 え る。

以 上 の こ とか ら,ハ ノ イ の 塔 を題 材 と した本 実 践 は, 生 徒 の数 学 に対 す る興 味 ・意 欲 を喚 起 す る こ とが で きた こ と,ま たハ ノ イ の塔 を用 い る こ とに よ り,現 実 と数学 のつ なが りに つ い て,実 感 を伴 っ た形 で理 解 が深 まっ た

こ と も成 果 と して挙 げ られ る 。

2,2帽 子 の パ ズ ル(竹 内)

本 実践 は2016年2月27日 に福 井 市 光 陽 中学 校3年 生

34名 を対 象 に,土 曜 日 に行 って い る補 習 の授 業 時 間 に,

1コ マ(60分)の 特 別 授 業 と して 行 っ た。 今 回授 業 に参

加 した生 徒 は,既 に私 立 高 校 の 推 薦 入 試 を合 格 して お り,

数 学 の得 手 不 得 手 は様 々 で あ るが,授 業 を受 け る姿 勢 は 意 欲 的 で あ る。

帽 子 のパ ズ ル は数 学 的 な思 考 を必 要 とす る論 理 パ ズ ル で あ る。 普 段 生 徒 た ち の学 ぶ 数 学 の 印象 とは大 き く異 な るが,パ ズ ル を解 く論 理 的 な思 考 の 中 に数 学 の考 え方 が 潜 ん で い る こ とを実 感 す る こ とが で きる と考 え,こ れ を 題 材 と して取 り上 げ,授 業 実 践 を試 み た。

2.2.1帽 子 の パ ズ ル

帽 子 の パ ズ ル と は,論 理 パ ズ ル の1種 で,そ れ ぞ れ お 互 い に か ぶ っ て い る 帽 子 の 色 を も と に 自 分 の か ぶ っ て い る 帽 子 の 色 を 当 て る と い う も の で あ る(ガ ー ドナ ー, 1992)。 パ ズ ル を 解 く に あ た っ て,解 答 者 が 予 め 知 り得 て い る 情 報 は,赤 ・白 い ず れ か の 帽 子(以 下,赤 帽 子 をR, 白 帽 子 をWと 表 す)を か ぶ る と い う こ と と,帽 子 が そ れ ぞ れ い くつ あ る か と い う こ と で あ る 。 こ の 時,以 下 の 条 件 が 課 さ れ て い る 。

例 え ば,教 師 と 生 徒(a)の2人 で こ の パ ズ ル を 行 う 場 合 の ゲ ー ム の 流 れ は,図6で 表 さ れ る 。 こ の 場 合,使 わ れ る 帽 子 はR×2,W×1と す る 。

は じ め に 生 徒 の タ ー ン とす る 。 教 師 の か ぶ っ て い る 帽 子 がWで あ る 場 合,使 わ れ る 帽 子 はR×2,W×1に 限 ら れ る こ と か ら,生 徒(a)は 自 分 の か ぶ っ て い る 帽 子 はRで あ る と即 座 に 判 断 す る こ と が で き る 。

教 師 の 帽 子 がRで あ っ た 場 合 は,こ の 時 点 で は 自 分(a) の 帽 子 はRと もWと も 判 断 は つ か な い 。 そ の た め,a は 「わ か ら な い 」 と答 え る し か な い 。 次 に 教 師 の タ ー ン

と な る(条 件cに よ る)。 教 師 か ら 見 る と,aの 帽 子 が Wの 場 合 は,aの 「わ か ら な い 」 と い う 発 言 以 前 か ら 自 分(教 師)の 帽 子 がRで あ る こ と は わ か っ て い た 。aの 帽 子 がRの 場 合 は,aの 発 言 が な け れ ば 自 分(教 師) の 帽 子 を 知 る 手 掛 か り は な い が,も しaが 「わ か っ た 」

と 答 え た な ら,そ れ は 自 分(教 師)の 帽 子 がWで あ る こ と を 意 味 し,aが 「わ か ら な い 」 と答 え た な ら,自 分(教 師)の 帽 子 はRで あ る と判 断 で き る 。 い ず れ の 場 合 に も 教 師 は 「わ か っ た 」 と答 え る こ と に な る 。

次 に 生 徒 の2回 目 の タ ー ン と な る が,教 師 の 「わ か っ た 」 と い う 発 言 は,初 め か ら わ か っ て い た の か,aの1 回 目 の 回 答 を 聞 い て か ら わ か っ た の か を 区 別 す る 手 立 て は な い の で,aは 最 後 ま で 自 分 の 帽 子 が 分 か ら な い ま ま ゲ ー ム を 終 え る こ と に な る 。

こ の 考 え 方 は 人 数 が3人,4人 と 増 え て 帽 子 の 個 数 が 変 わ っ て も 同 じ よ う に 考 え る こ とが で き る 。 な お,ガ ー ドナ ー(1992)は,こ の パ ズ ル をn人 の 場 合 に 拡 張 し て 数 学 的 帰 納 法 と 関 連 付 け て 解 説 し て い る が,人 数 が 多

く な る と各 人 が 得 ら れ る 情 報 を 測 る こ とが,極 め て 難 し く な る 。

2,2.2授 業 構 成

本 時 の 目標 と し て,次 の2点 を 設 定 し た 。

・論 理 的 に 考 え,消 去 法 を用 い て 問 題 を 考 察 す る こ と が で き る 。

・自分 の 見 出 し た 方 法 や 考 え を,根 拠 が 伝 わ る よ う に わ か りや す く表 現 で き る 。

図6.帽 子 の パ ズ ル(2人ver.)

帽 子 のパ ズ ル は数 学 的 プ ロ セ ス に お け る 「 現 実 の 問 題 」 が パ ズ ル(数 学 の 問題)と して初 め か ら定 式 化 され て い る と考 え られ,主 に 「 解 を得 る」 過 程 と,得 られ た解 の

「 解 釈(吟 味)」 に焦 点 を置 い た授 業 を構 成 した。

生 徒 た ち は,パ ズ ル に潜 む数 理 に つ い て の理 解 を深 め る活 動 を行 う こ とで,数 学 的 な力 を 身 に着 け る こ とが で きる と考 え る 。 この 時,「 どの よ う に考 え る と辻 褄 が 合 うか」 を互 い に話 し合 わせ る こ とで 数学 的 な思 考 を促 す のが 狙 い で あ る。 論 理 パ ズ ル で は,こ の 「数 学 的 な思 考 」 を行 う きっ か け と して有 意 な影 響 を与 え る もの と捉 え て い る。

2,2.3授 業 実 践

今 回 の 実 践 で は,2人ver.の 説 明 で ル ー ル と 考 え 方 の 確 認 を 行 い,3人ver.を グ ル ー プ で 実 験 させ る 授 業 構成

を 考 え た 。 こ こ で,2人 ・3人ver.の 考 え 方 の 説 明 は, 野 崎 ・安 野(1984)の 絵 本 を 参 考 に し た 。

始 め に,今 回 の 授 業 で は 「帽 子 の パ ズ ル 」 を 取 り上 げ る こ と を 伝 え,ル ー ル の 説 明 を 行 っ た 。 ま ず 帽 子 の 数 が R×2,W×1の2人ver.を,2人 の 生 徒 に 前 に 出 て 演 示 の 手 伝 い を し て も ら い な が ら,ク ラ ス 全 体 に パ ズ ル の 流 れ を 示 し た(図7)。 こ こ で,帽 子 の パ ズ ル を 考 え る 際 に 「配 ら れ る 帽 子 の 色 ⊥ 「色 ご と の 帽 子 の 数 」 が 知 り 得 る 情 報 と し て 必 要 に な る こ と を 確 認 し た 。

図7.帽 子 のパ ズ ルの 説明

そ し て 次 に グ ル ー プ ワ ー ク と し て,生 徒 ら に3人ver.

の 帽 子 の パ ズ ル に 取 り組 ん で も ら っ た 。 今 回 の 授 業 で は 4人 班 を 構 成 し,帽 子 を 配 る1人 と 帽 子 を か ぶ る3人 を 分 担 す る よ う 指 示 し た 。 こ の 時,配 ら れ る 帽 子 はR×

3,W×2の5つ で あ る 。 今 回 の 実 践 を 行 う に あ た っ て, 教 具 と し て,帽 子 の イ ラ ス トが 描 か れ た カ ー ドを 用 意 し た 。 カ ー ドは,帽 子 の イ ラ ス トが 描 か れ た 画 用 紙 を プ ラ ス チ ッ ク ケ ー ス に 入 れ て 作 成 し た 。 こ の カ ー ドを 図8の よ う に 自 分 に は 見 え な い よ う頭 上 に 掲 げ,帽 子 を か ぶ っ て い る と想 定 し て,パ ズ ル を 考 え させ た 。

図8.各 班 で 帽子 のパ ズル に取 り組 む

こ こ で,3人 で パ ズ ル を行 う 場 合 の ゲ ー ム の 流 れ は 以 下 の 通 り で あ る 。a,b,cの3人 が 帽 子 を か ぶ り,a,b, cの 順 に 答 え る とす る 。b,cの か ぶ っ て い る 帽 子 が 共 に Wで あ る 場 合,aは 自分(a)の か ぶ っ て い る 帽 子 はRで あ る と即 座 に 判 断 す る こ と が で き る 。

一 方b ,cの い ず れ か がRの 帽 子 を か ぶ っ て い る 場 合 は,aは 「わ か ら な い 」 と答 え る しか な い 。 次 にbの タ ー ン と な る 。bか ら見 る と,aとcがWの 場 合 は,aの 「わ か ら な い 」 と い う 発 言 以 前 か ら 自 分(b)の 帽 子 がRで

あ る こ と は 既 に わ か っ て い た(a:w,b:R,c:W)。 ま た, aがR,cがWの 場 合,aが 「わ か っ た 」 と 答 え た な ら 自 分(b)はWで あ り,aが 「わ か ら な い 」 と答 え た な ら 自 分(b)はRで あ る と 判 断 で き る 。 一 方,aがWでc がRの 場 合,aが 「わ か ら な い 」と 発 言 し て もbは 自分(b) の 帽 子 の 色 を決 定 す る こ と は で き な い 。 ま た,aとcがR の 場 合 も 同 様 にbは 「わ か ら な い 」 と答 え る し か な い 。

そ し てcの タ ー ン に 移 る 。 も し 自 分 の タ ー ン ま で にa かbど ち ら か が 「わ か っ た 」 な ら 自 分(c)はWと 判 断 で き,aもbも 「わ か ら な か っ た 」 な ら 自 分(c)はR

と 決 定 す る こ と が で き る 。 こ の 時,cはa,bの 帽 子 が 見 え て い な く て も よ く,a,bの 発 言 だ け か ら 自 分(c) の 帽 子 を 判 断 す る こ とが で き る 。

1回 の ゲ ー ム が 終 わ る ご と に,生 徒 に は 「ど う し て 自 分 の 帽 子 の 色 を 当 て る こ とが で き た の か 」 を お 互 い に 説 明 させ た 。 そ の 際 パ ズ ル が 解 け た 生 徒 か ら ど う考 え る と帽 子 の 色 が 分 か る か を 聞 く こ と で,解 け な か っ た 生 徒 の 理 解 を 助 け る と い う場 面 が 見 ら れ た 。 ま た こ の 時,生 徒 ら は 検 討 し な が ら 自然 に,「00(生 徒 名)の 発 言 を 聞 い て わ か っ た 」,「そ れ を 聞 い て(自 分 の 帽 子 の 色 が) わ か っ た 」 と鍵 に な っ た 情 報 を交 換 す る な ど,各 場 合 ど の よ う に 考 え る と正 解 で き る か を積 極 的 に 検 討 し て い る 様 子 が 見 ら れ た 。

班 ご と に 帽 子 の パ ズ ル を20分 ほ ど 行 っ た 後 自 分 の 解 答 順 が 一 番 最 後 の 人(c)の 思 考 プ ロ セ ス に つ い て 全 員 で 検 討 し た(図9)。

こ の 時,生 徒 は ワ ー ク シ ー トに 沿 っ て 想 定 さ れ る 場 合 を 検 討 し て い っ た 。 こ の ワ ー ク シ ー トに そ れ ぞ れ の 場 面 に お け る 帽 子 の パ タ ー ン を 記 入 す る こ と で,帽 子 の パ ズ ル の 「早 見 表 」 が 出 来 上 が る 。

図9.思 考 プロセ ス の検 討

最 後 に ま とめ と して,改 め て今 回 帽子 のパ ズ ル に取 り 組 ん で も らっ た意 図 を説 明 し,帽 子 のパ ズ ル に数 学 が ど うか か わ っ て い た か,数 学 を ど う生 かす こ とが で きる か を生 徒 に伝 え,本 時 の授 業 を締 め く くっ た。

2.2.4考 察 と ア ン ケ ー ト結 果

生 徒 に 対 し て 行 っ た ア ン ケ ー トの 結 果 を も と に,本 実

践 につ い て検 討 す る。

まず,「 授 業 を受 け て,興 味 を持 て る 内 容 だ っ た か 」 とい う質 問 に対 して,表3の よ うな結 果 が得 られ た 。

表3.ア ンケ ー ト結 果1

興 味 を持 て る内容 で したか?

1.た い へ ん 興 味 を持 て た 30人(88.2%) 2.少 し興 味 を持 っ た 4人(11.8%) 3.あ ま り興 味 を 持 て な か っ た 0人(0.0%) 4.ま っ た く興 味 を持 て な か っ た 0人(0.0%)

集 計 の 結 果 ク ラス34名 す べ て の 生 徒 が 「た い へ ん 興 味 を持 て た⊥ 「 少 し興 味 を持 て た」 と回答 して い る こ とか ら,帽 子 のパ ズ ル は興 味 を喚 起 させ る題 材 で あ る と 考 え る こ とが で きる。

次 に,「 帽 子 の パ ズ ル に 取 り組 ん で み て,論 理 的 な思 考 が で きた か」 とい う質 問 につ い て は表4の よ うな結 果

とな っ た。

表4.ア ンケ ー ト結 果2 パ ズ ル に 取 り組 ん で み て, 論 理 的 な思 考 が で きた と思 い ま す か?

1.で き た と 思 う 22人(64.7%)

2.少 しで きた と 思 う 11人(32.4%) 3.あ ま りで き な か っ た と 思 う 0人(0.0%) 4.で き な か っ た と思 う 0人(0.0%)

5.無 回 答 1人(2.9%)

無 回答 が1名 い た もの の,ク ラス の ほ とん どの 生 徒 が, 肯 定 的 な評 価 を した こ とか ら,本 時 の ね らい と して設 定 した 「 論 理 的 に考 え,問 題 を考 察 す る こ とが で きる」 と い う 目標 は達 成 され た と考 え る。

自由記 述 欄 に上 が っ た生 徒 の意 見 と して は次 の よ うな ものが あ っ た。

・ゲ ー ム と し て 考 え て い っ た の で 楽 し み な が ら で き ま し た 。

・初 め は,難 し い と思 っ て い た け ど,相 手 の 言 葉 を ヒ ン トに し て 考 え る と わ か っ た の で,と て も楽 し か っ た で す 。 ま た,や っ て み た い と思 い ま し た 。

・い つ も の 授 業 の よ う に 書 い て 考 え る の で は な く,頭 の 中 で 考 え て,な ん で そ う な る の か 考 え る の が 楽 し か っ た で す 。

以 上 の こ とを踏 ま え て,今 回取 り上 げ た帽 子 のパ ズ ル は数 学 的 リテ ラ シ ー を育 む授 業 と して有 効 で あ る と結 論 付 け られ る。 生 徒 か らの 自由記 述 に は 「 数 学 に楽 し く取 り組 め た」 「 論 理 的 に 考 え る こ とが で きた 」 「 今 回 の考 え

方 を生 か した い 」 とい う よ う な 肯 定 的 な もの が 多 数 あ り,数 学 に対 す る積 極 性 を培 うこ とに もつ なが っ た と考 え る。

2,3モ ン テ ィ ホ ー ル 問 題(土 田)

モ ン テ ィ ホ ー ル 問 題 と は,モ ン テ ィ ホ ー ル ・ジ レ ン マ と も 呼 ば れ,モ ン テ ィ ホ ー ル が 司 会 を 務 め る ア メ リ カ のTV番 組 「Let'smakeadeal」 の 中 で 行 わ れ た ゲ ー ム に 関 す る 論 争 に 由 来 し て い る(ロ ー ゼ ン ハ ウ ス,2013)。

こ の ゲ ー ム で は,3つ の ドア か ら1つ の 当 た りの ドア を 当 て る の だ が,司 会 者 が は ず れ の ドア を 開 け て 見 せ た 後 に,最 初 に 選 ん だ ド ア を 変 更 す る こ と が 出 来 る 。 こ の 時, ドア を 変 更 し て も し な く て も 当 た る 確 率 は 同 じ で あ る と 多 く の 人 が 間 違 っ た 考 え 方 を し て い た た め,数 学 者 を も 巻 き込 ん だ 議 論 に 発 展 し た 。 こ の よ う な 直 感 的 確 率 が 実 際 の 確 率 と食 い 違 い が あ り,数 学 の 楽 し さが 実 感 で き る

よ う な 教 材 開 発 を 意 識 し た 。

2.3.1授 業 構 成

高 校 数 学A「 場 合 の 数 と確 率 」 の単 元 にお い て,モ ン テ ィホ ー ル 問題 を題 材 と した 条 件 付 き確 率 の 授 業 を,1 時 間(50分 授 業)構 成 で 考 え た 。 モ ンテ ィ ホ ー ル 問 題 を取 り入 れ た確 率 の授 業 は,多 くの先 行 実 践 が あ る。 山 本(2011)で は,中 学 生 を対 象 に モ ン テ ィ ホ ー ル 問 題 を題 材 に して,実 験 を行 っ て確 率 を確 認 し,樹 形 図 を 用 い て説 明す る確 率 の授 業 が 提 案 され て い る。 本 実 践 で は,高 校 生 を対 象 に,条 件 付 き確 率 の導 入 と して モ ンテ ィ ホ ー ル 問題 を取 り入 れ て,生 徒 の興 味 関心 を引 き出す こ

とを狙 い とす る指 導 案 を考 え た。

この授 業 を通 して,数 理 ゲ ー ム に関 す る現 実 の 事 象 を, 確 率 を用 い て 考 察 す る こ とで,数 学 的 に判 断 す る 力 や, 数 学 的 に考 え る こ との 良 さ を感 じて ほ しい と考 え,次 の 2点 を学 習 目標 と した。

2.3.2授 業 実 践

本 実 践 は2016年3月16日 に福 井 県 立 藤 島高 等 学 校1 年3組 の 生 徒(38名)を 対 象 に 数 学Aの 課 題 学 習 と し て行 っ た。 実 践 時 に確 率 の単 元 は学 習 済 み で あ る 。

数 理 ゲ ー ム に 関 す る 現 実 の 問 題 を 考 え る こ と に よ っ て,条 件 付 き確 率 を 理 解 す る 。

・身 近 な 現 象 に つ い て 確 率 を 用 い て 考 え る こ と に よ り,数 学 的 な 見 方 や 考 え 方,数 学 の よ さ を認 識 す る 。

は じ め に モ ン テ ィ ホ ー ル 問 題 の 設 定 を 提 示 し た(図 10)。 生 徒 か ら 「そ の 問 題 知 っ て い る 」 と の 声 も あ が っ た が,ほ と ん ど の 生 徒 は 初 め て 考 え る 問 題 で あ っ た 。 生 徒 を 一 人 指 名 し て,プ レ イ ヤ ー と な っ て も ら い,教 師 が 司 会 者 役 と な っ て 大 き な トラ ン プ3枚 を使 っ て,実 際 に

こ の ゲ ー ム を 行 っ て,全 員 に ル ー ル を 確 認 させ た 。

(問 題1)

プ レ イ ヤ ー の 前 に3つ の ドア が あ り,1つ の ドア の 後 ろ に は 景 品 の 新 車 が,2つ の ドア の 後 ろ に は ヤ ギ(は ず れ を 意 味 す る)が い る 。 プ レ イ ヤ ー は新 車 の ドア を 当 て る と新 車 が も ら え る。 プ レ イ ヤ ー が1つ の ドア を 選 択 し た後,当 た り を知 っ て い る 司 会 者 が 残 りの ドア の う ち ヤ ギ が い る ドア を 開 け て 見 せ る 。 こ こ で プ レ イ ヤ ー は 最 初 に 選 ん だ ドア を 開 け ら れ て い な い ドア に 変 更 し て も よ い と 言 わ れ る 。 あ な た な ら,ド ア を 変 更 し

ます か?

図10.モ ン テ ィ ホ ー ル 問 題

こ の 問題 で は,直 感 的 な確 率 と実 際 の確 率 を誤 解 しや す く,生徒 に と って 驚 きや 新 た な 発 見 につ な が る と考 え, 直 感 で す ぐに 選 択 肢 を選 ん で も らっ た 。 そ の結 果,「 ド ア を変 更 しな い」 を選 ぶ 生 徒 が 半 数 以 上 見 られ た。

次 に,実 際 の確 率 を確 か め る た め に トラ ンプ を使 っ た 実 験 を 行 っ た 。 実 験 は2人1組 に な っ て,司 会 者 と プ レイ ヤ ー に分 か れ て行 わせ た(図11)。 トラ ン プ3枚(絵 札1枚,数 字 札2枚)を 使 い,司 会 者 は トラ ンプ を シ ャ ッ フ ル した後,裏 向 きに机 の上 に並 べ る。 そ の 中 か らプ レ イ ヤ ー は トラ ンプ を1枚 選 ぶ 。司 会 者 は選 ん で い な い ト ラ ンプ の 中 か らはず れ(数 字 札)の トラ ンプ を表 に して 見 せ る。 そ して プ レイ ヤ ー に選 ん だ トラ ンプ を変 更 す る 場 合 と しな い場 合 で,当 た り(絵 札)を 引 くか ど うか を 記 録 す る 。 こ れ を 前 半 の5回 を変 更 あ り,後 半 の5回 を変 更 な しに 固 定 して10回 繰 り返 させ た。 実験 の 結 果 を表5に 示 す 。

た に 提 示 し た 。

表5.実 験 の 結 果

変更 しない 変 更す る

当 た り 34 61

はずれ

合 計

(問 題2)

な ぜ 変 更 した 方 が 当 た りや す い の だ ろ うか 。

図11.実 験 の 様 子

は じめ に選 ん だ ドア を 変 更 す る場 合 と変 更 しな い 場 合,そ れ ぞ れ につ い て,当 た りを引 く数 学 的 な確 率 を求 め,変 更 した方 が 当 た りや す い理 由 を考 え させ た。 す べ て の場 合 を樹 形 図 に書 き出 して考 え る生 徒 や,変 更 して 当 た る た め に は,最 初 に はず れ の ドァ を選 べ ば よい こ と に気 付 く生 徒 もい た。 ま た,変 更 な しで 当 た る に は,最 初 に 当 た りの ドア を選 ぶ 必 要 が あ る の で,3分 の1の 確 率 で 当 た る。 生 徒 の考 え を発 表 させ て,生 徒 同士 で共 通 理 解 が 出来 る よ うに した(図12)。

図12.生 徒 の 発 表 の 様 子

そ の 結 果 当 た っ た 割 合 は,変 更 し た 場 合 は 約2/3,変 更 し な い 場 合 は 約1/3と な り,変 更 す る 方 が 約2倍 当 た り や す い こ と が 確 認 出 来 た 。 そ こ で,問 題(2)を 新

最 後 に この 問題 が モ ンテ ィホ ー ル 問題 とい う名 前 が つ い て い る 由来 を説 明 して,新 た に病 気 の検 査 に 関す る条 件 付 き確 率 の 問題 を提 示 した。

(問 題3)

あ る 病 気 に か か っ て い る か 判 定 す る 検 査 に つ い て 考 え る 。こ の 病 気 は1万 人 に一 人 が か か る病 気 で あ る 。「病 気 の 場 合,陽 性 と 判 定 す る 確 率 」,「病 気 で な い 場 合, 陰 性 と判 定 す る確 率 」 は と もに99.9%で あ る。

(1)こ の 検 査 を 受 け て,陽 性 と判 断 さ れ る確 率 を 求 め よ う。

(2)陽 性 と判 断 さ れ た場 合,本 当 に 病 気 に か か っ て い る確 率 を求 め て み よ う。

解 答.陽 性 と な る 事 象 をA,病 気 と な る 事 象 をB と 表 す と,(1)(2)で 求 め る 確 率 は そ れ ぞ れ,P(A),

P(BlA)=P(A∩B)/P(A)で あ る 。 こ こ で 各 事 象 の 確 率 は 表6で 表 さ れ る 。

表6.病 気 の検 査 問題

一

陰 性(A)

合計

病 気 (B)

一 P(A∩B) 1

P(Af1B)

1

P(B)

1

10000

病 気 で な い (B)

一 P(A∩B)

.…

一 一

P(A∩B) 1

一

P(B)

・.・.

XO.001

10000 xO.999

10000 10000

合計 ^{P(A) P(A)}

(1)は,病 気(B)で 陽 性 に な る 時 と,病 気 で な くて(B) 陽 性 に な る 時 が あ る か ら,

P(a>=P(anB>+P(anB>

1 ・…

=×0 .999+xO.0011000010000

10.998‑0 .0011 10000

よ っ て,約0.11%の 確 率 で あ る 。

(2)は,陽 性(A)の 条 件 の 下 で 病 気(B)の 条 件 付 き確 率P(BIA)を 求 め る 。

0.999 P(BIA)・P(AnBP(A))・1° °°°10

.998・ °.99910.998≒ …91 10000

よ っ て,約9%の 確 率 で あ る 。

こ の 問 題 は,条 件 付 き確 率 の 問 題 を 解 く際 に,ど の 事 象 をA,Bと し て,P(BIA)を 求 め れ ば よ い か を 読 み 取 れ る か 確 認 す る た め に 扱 っ た 。 生 徒 の 様 子 を 見 る と,2 つ の 事 象 を ,陽 性(A)と 病 気(B)と 表 す こ と が 出 来 た 生 徒 が 少 な く,P(BIA)の 定 義 を 理 解 し て い る 生 徒 も 少 な か っ た 。 そ の た め,教 員 主 導 で 黒 板 に 表3の よ う な 考 え 方 を 示 し,解 法 を 説 明 し た 。

2.3.3考 察

授 業 の は じめ の導 入 で,モ ンテ ィホ ー ル 問題 の ゲ ー ム を実 際 に行 っ た こ とで,普 段 の数 学 の授 業 と違 い,積 極 的 に参 加 す る姿 が み られ,興 味 関心 を引 き付 け られ た と 考 え る。 ま た,ト ラ ン プ を使 った 実 験 を行 っ た こ とで, ル ー ル の理 解 につ なが り,数 学 的 な見 方 ・考 え方 に気 付 く きっ か け に な っ た の で は な い か と思 う。 授 業 後 の生 徒 の ア ンケ ー トか ら は,「 ゲ ー ム を取 り入 れ て 実 際 に 自分 た ち で や っ て み た の で,と て も理 解 しや す か っ た し,面 白 か った です 。 」 や 「 配 られ る紙 の 中 に,問 題 に 対 す る 解 答 を のせ ず に僕 達 に説 明 の時 間 を くれ た こ とは とて も あ りが たか っ た です 。 ま た,今 回 の授 業 で数 学 の実 験 も 大 事 だ な と感 じ ま した。」 とい う肯 定 的 な感 想 が 見 られ た。

一 方 で ,病 気 の検 査 問題 で は,ど の よ うに場 合 分 け を 行 っ て解 い て い け ば よい の か わ か らず,手 が止 まっ て し まっ て い る生 徒 が 多 く見 られ た 。条 件 付 き確 率 に つ い て 理 解 を深 め る た め に は,教 師 が理 論 的 な考 え 方 を説 明 す る だ け で な く,生 徒 が 自分 た ち 自身 で実 験 の手 順 や方 法 を生 徒 に考 え,結 果 を ま とめ て い く こ と も重 要 だ と考 え た。

今 回 の 授 業 で は,単 発(50分 ×1)の 授 業 で あ っ た た め,直 感 と実 際 の確 率 の違 い を体 験 させ て,数 学 の楽 し さや面 白 さを感 じて も ら う こ とを優 先 した授 業 構 成 を考 え た。 そ の た め,条 件 付 き確 率 に つ い て は理 解 を深 め る こ とが 出来 ず,問 題3の 解 決 に は繋 が らな か っ た もの と 思 わ れ る。 問題2に 対 して,モ ンテ ィホ ー ル 問題 を条 件 付 き確 率 を使 っ て説 明 し,全 体 で共 有 す る こ とが 必 要 で あ っ た よ うに思 う。

2.41SBN(間 庭)

ISBN(国 際 標 準 図 書 番 号:InternationalStandardBook Number)は,書 籍 出 版 物 の 書 誌 を特 定 す る た め の 世 界 共 通 の 番 号 で あ り,13桁 の コ ー ド番 号 に よ っ て 表 さ れ る 。

ISBNの 教 材 化 に つ い て,中 学 校 数 学 に お い て は, 方 程 式 の 応 用 と し て の 実 践 が 提 案 さ れ て い る(大 澤 2007)。 ま た,現 行 の 指 導 要 領 か ら 数 学Aに 設 定 さ れ た

「整 数 の 性 質 」の 単 元 に は,発 展 的 な 内 容 と し て 「合 同 式 」 を 載 せ て い る 教 科 書 も あ り,合 同 式 の 応 用 と し てISBN を 扱 っ た 実 践 も提 案 さ れ て い る(長 尾,2010)。

今 回 の 授 業 実 践 は,長 尾(2010)の 提 案 す る 授 業 を,

"数 当 て ゲ ー ム"と い う 形 式 を 取 り入 れ て 行 っ た もの で あ る 。

2,4.11SBNと チ ェ ッ ク デ ィ ジ ッ ト

数 研 出 版 「数 学A」 の 教 科 書(坪 井 ほ か,2011)の ISBN「978‑4‑410‑80117‑4」 を 例 に と り,コ ー ド 番 号 に つ い て 説 明 す る 。 左 か ら3桁 の 接 頭 数 字 「978」 は BOOKS(書 籍 ・図 書),4桁 目 の 「4」 は 日本(国 記 号) を 表 し,日 本 国 内 で 発 行 す る 書 籍 に 付 与 さ れ る 記 号 で あ る 。 そ の 次 の 「410」は 出 版 者(数 研 出 版)を 表 し,「80117」

は 出 版 者 が 発 行 す る 固 有 の 書 籍 出 版 物 を 識 別 す る 要 素 で あ る 。 最 後 の 「4」 は 「チ ェ ッ ク デ ィ ジ ッ ト」 と 呼 ば れ る も の で あ る 。

ISBN978‑4‑410‑80117‑4

接 頭 数 字 一国 一出 版 者 一書 名 一チ ェ ッ ク デ ィ ジ ッ ト

※ 各 要 素 の 桁 数 は,地 域 や 出 版 者 に よ っ て 変 化 す る 。

チ ェ ッ ク デ ィ ジ ッ トは, 決 め ら れ て い る 。

13桁 のISBNで は 次 の よ う に

左 か らi桁 目 をa、 と 表 す と,

ア  

Σ の ・‑1+3Σ 砺 一 ・(m・d1・)

i=1i=1

を 満 た す よ う にaisを 定 め る 。

こ の よ う に チ ェ ッ ク デ ィ ジ ッ トを 決 め る こ と で,読 み 取 り や 入 力 な ど の 際 に 起 こ る 番 号 の 間 違 い を あ る 程 度 防 ぐ こ とが で き る 。 な お,ISBNが13桁 に な っ た の は 2007年 か ら で あ り,2006年 ま で は10桁 の も の が 使 用 さ れ て い た(現 在 で も両 方 を 併 記 し て 使 用 す る こ とが あ る)。10桁 のISBNに は 書 籍 を 表 す 接 頭 数 字 「978」 が な く,末 尾 の チ ェ ッ ク デ ィ ジ ッ トは 次 の よ う に 決 め ら れ て い る 。

・整 数 の性 質 を活 用 して数 当 て ゲ ー ムが で きる

を設 定 した。 評 価 方 法 は,授 業 中 に配 る ワ ー ク シ ー トの 記 述 の度 合 い と授 業 後 の ア ンケ ー トに よる。

左 か ら ノ桁 目 を あ と 表 す と, ユ 

Σ ノ吻 一 ・(m・dll)

ノ=1

を 満 た す よ う に わ1。を 定 め る 。

た だ し,b,。=10の 時 はbl。=Xと 置 き 換 え て 表 記 す る 。

い ま,ISBN「978‑4‑410‑80117‑4」 の 左 か ら8桁 目 の 「8」

が 分 か ら な い と す る 。8桁 目 を 「x」 と お き,先 ほ ど の チ ェ ッ ク デ ィ ジ ッ トの 計 算 式 に 代 入 す る と,

9+1+8+2+4+3+0+3x+0+3+1+1+4 3x+6=0(mod10)

⇔3x≡4(modlO)

と い う 式 が 得 ら れ る 。 こ の 式 を 満 た すx(0≦x≦9)を 考 え る と,x=8が 見 つ か る 。 こ の よ う に し て,ISBN コ ー ドは 分 か ら な い 数 字 が1桁 あ っ て も ,そ の 数 字 を 当 て る こ とが で き る(10桁 のISBNコ ー ドに お い て も 同 様 に し て 数 字 を 当 て る こ とが で き る)。

2,4.3授 業 実 践

2016年3月16日 に 福 井 県 立 藤 島 高 等 学 校1年6組(37 人)の 生 徒 を対 象 に,数 学A「 整 数 の 性 質 」 の 単 元 の 課 題 学 習 と し て50分 の 授 業 を 行 っ た 。

ま ず,身 近 に あ る 本 のISBNに 注 目 さ せ た 。 そ の 後, ISBNの1桁 を 隠 し た も の を 生 徒 に 教 え て も ら い,2.4.1 に 示 し た 方 法 で 授 業 者 が 隠 し た1桁 を 当 て る と い う簡 単 な"数 当 て マ ジ ッ ク"を 披 露 して 導 入 と し た 。

次 に,ス ラ イ ド と 黒 板 を 用 い てISBNの 概 要 と チ ェ ッ ク デ ィ ジ ッ トの 定 め 方 を 確 認 し,マ ジ ッ ク の 種 明 か し を し た 。 な お,チ ェ ッ ク デ ィ ジ ッ トの 定 め 方 は 定 義 式 を見 せ る の で は な く,具 体 的 な 数 値 を 用 い て 計 算 方 法 を伝 え た(図13)。

チ ェックデ ィジ ットの 決 め 方(例)

ISBN「978・4‑410・80117‑4」 で は,

ISBN 9 7 8 4 4 1 0 S 0 1 i r 4

1軸 ^{1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 i 3 1}

X 9 21 h tz 4 ⁰ 0 24 n 3 1 21 4

mod10 9 1 s 2 4 3 n 4 n 3 1 1 4

9十1十8十2十4十3十 〇十4十 〇十3十1十1十4≡0(mod10),

が 成 り立 っ よ うに13桁 目(チ ェ ック デ ィ ジ ッ ト)の 「4」が 決 め られ て い る。

っ ま り,左 か ら奇 数 番 目の数 字 の和 に,偶 数 番 目の 数 字 に3を 掛 けた もの を 加 え て,10の 倍 数 に な る よ うに す る。

2.4.2授 業 構 成

数 学A「 整 数 の 性 質 」 の 単 元 に お い て,ISBNコ ー ド を 用 い た"数 当 て ゲ ー ム"を 主 軸 と し た1時 間 の 授 業 を 構 成 し た 。 こ の 授 業 に お け る 本 時 の ね ら い は 次 の よ う に 設 定 し た 。

図13.授 業 で 使 っ た ス ラ イ ドの 一 部

そ の 後,隣 同 士 でISBNを 使 っ た 数 当 て ゲ ー ム を し て も ら っ た 。 計 算 ミ ス を し て い る 生 徒 も い た が,生 徒 の ほ ぼ 全 員 が 数 を 当 て ら れ た(図14)。

身 近 な 書 籍 に付 与 さ れ て い るISBNコ ー ドを使 っ た 数 当 て ゲ ー ム をす る な か で,合 同 式 を 活 用 して,合 同 式 を 用 い る こ と の 実 用 性 ・有 用 性 を実 感 させ る 。

ま た,評 価 の 観 点 と し て,

・身 近 な 書 籍 に 付 与 さ れ て い るISBNに 興 味 を 持 つ

・ISBNの チ ェ ッ ク デ ィ ジ ッ トの 計 算 を合 同 式 を 利 用 し て 行 う こ と の よ さ を 理 解 し て い る

図14.授 業 風 景1

次 に,10桁 のISBNの 説 明 を 行 っ た 。 日本 で 出 版 さ れ た 書 籍 に 付 与 さ れ て い る13桁 のISBNは,以 下 の 手 順 で10桁 のISBNに 変 換 で き る 。

例.ISBN「978‑4‑410‑80117‑4」(13桁)を10桁 に 変 換 す る 方 法

手 順1:接 頭 数 字(978)と チ ェ ッ ク デ ィ ジ ッ ト(4) を 消 去 す る → 「4‑410‑80117」

手 順2:残 っ た 数 字 を 新 た に 左 か らbl,bz,…,bgと し て,10桁 のISBNの 計 算 式 に 当 て は め て チ ェ ッ ク デ ィ

ジ ッ トbl。を 計 算 す る(bl。 はxと 置 い て お く)。

表7.計 算 表

ISBN 4 4 1 0 8 0 1 1 7 x

重 み

X 4 8 3 0 40 0 7 8 63 lOx

mod11 4 8 3 0 7 0 7 8 8 lOx

4+g+3+0+7+0+7+g+g+IOx

=10x+1=0(mod‑‑) X10x=10(mod‑‑)

こ の 式 を 満 た すx(0≦x≦10)を 考 え る と,唯 一 つ の 解x=1が 見 つ か る 。

手 順3:求 め たxを 手 順1の 右 端(10桁 目)に お け ば 完 成 → 「4‑410‑80117‑1」

授 業 の 最 後 に,「 チ ェ ッ ク デ ィジ ッ トは,計 算 方 法 は 異 な るが,ISBNだ け で な く学 生 番 号 や 受 験 番 号 に も付 与 され て い て,誤 入 力 や 偽 造 の 検 知 等 に役 立 って い ます 」

と言 い,「 整 数 の 性 質 」 の 有 用 性 を強 調 して授 業 を締 め く くっ た 。

2,4.4評 価 と 考 察

授 業 後 に ア ン ケ ー トを 実 施 した 。 な お,無 回 答 者 が2 人 い て,回 答 者 は35人 で あ る 。 難 易 度 と題 材 に つ い て の 興 味 を 尋 ね た 結 果 は 以 下 の 通 り で あ る(表8,9)。

表8.ア ン ケ ー ト結 果

あ な た に と っ て,今 回 の 授 業 の 難 易 度 は?

難 しす ぎる

難 しい 0人(0%)

ふ つ う 20人(57.1%)

易 しい ^15人(42.9%)

易 しす ぎる

表9.ア ン ケ ー ト結 果

こ の手 順 を,生 徒 た ち に は黒 板 上 で説 明 した(図15)。

図15.授 業 の板 書 の 一 部

そ の 後,生 徒 の 手 元 に あ る13桁 のISBNを10桁 に 変 換 させ て,1人 の 生 徒 に 前 に 出 て 計 算 手 順 を 発 表 さ せ た 。 こ こ で も計 算 ミ ス を す る 生 徒 は い る も の の,や り方 が 分 か ら な い と い う生 徒 は 見 受 け ら れ な か っ た 。

こ こ ま で を 終 え て,13桁 の 数 当 て ゲ ー ム の 時 も,13 桁 →10桁 の 変 換 時 の チ ェ ッ ク デ ィ ジ ッ ト決 定 の 際 に も

「な ぜ,答 え が い つ で も1つ に 決 ま っ た の か?」 と い う 疑 問 を 提 示 し た 。 そ の 答 え と し て,次 の 定 理 が 数 学A で 学 ぶ 整 数 の 性 質 か ら 導 か れ る こ と を 紹 介 し て,ISBN は 「整 数 の 性 質 」 に 支 え ら れ て い る と い う こ と を 伝 え た (坪 井 ほ か,2011)。

あ な た に と っ て,今 回 の 授 業 で 扱 っ た

「ISBNコ ー ド」 に 関 す る 内 容 は?

非 常 に興 味 深 い

興 味 深 い

ふ つ う 7人(20.0%)

あ ま り興 味 深 くな い

つ ま ら な い 0人(0%)

表8よ り,半 数 近 くの 生 徒 が 授 業 の 難 易 度 を 「 易 しい 」 と感 じて お り,ま た 表9よ り多 くの生 徒 がISBNコ ー ド に対 す る興 味 を持 っ て授 業 を受 け て い た こ とが分 か る。

また,自 由記 述 欄 に は,

・意 外 に 身近 な と ころ で 「 整 数 の性 質」 が使 わ れ て い て 驚 き ま した

・整 数 の分 野 に対 し苦 手 意 識 が あ っ た が ,お もしろ さを 感 じ られ よか っ た

な どの肯 定 的 な感 想 が 多 数 み られ,

・ゲ ー ム感 覚 で で きて楽 しか っ た です

とい う感 想 もあ っ た。 一 方 で,表9に お い て 「あ ま り興 味 深 くな い」 と回答 した生 徒 も少 数 見 られ る。 これ は授 業 者 に よ る数 当 て ゲ ー ム の ル ー ル 説 明 やISBNに つ い て の説 明が 授 業 者 の説 明が 冗 長 に な っ て し まっ た こ とが原 因 で あ る と考 え られ る。 実 際 そ れが 原 因 で手 持 ち無 沙 汰 な生 徒 も見 受 け られ た。

定 理1.a,b,mは 整 数 でm>0と す る 。aとmは 互 い に 素 で あ る と き,

ax=b(modm)

を 満 た す 整 数xがmodmで 唯 一 つ 存 在 す る 。

3.終 わ りに

我 々 は,現 実 と数 学 の結 び つ きや数 学 の有 用 性 が 実 感

で きる よ うな教 材 を 開発 す る こ とを 目的 に,今 回4つ の

教 材 を 開発 し実 践 を行 っ た。

ハ ノ イ の塔 の実 践 で は,課 題 に対 して既習知識 を使 お う とす る姿 が 見 られ,生 徒 自 ら課 題 を解 決 で きた。 帽 子 のパ ズ ル の実 践 にお い て も,論 理 的 に考 え る こ との よ さ に気 付 く生 徒 の姿 が 見 受 け られ た。 題 材 に興 味 を持 つ こ とに よっ て,生 徒 が 授 業 の課 題 を解 決 し よ う とす る積 極 的 な態 度 が 生 ま れ た の だ と考 え る。 モ ンテ ィホ ー ル 問題 やISBNの 実 践 にお い て も,生 徒 が 課 題 に魅 力 を感 じ, 興 味 を持 っ て授 業 に取 り組 み,積 極 的 に課 題 を解 決 し よ う とす る姿 が 見 受 け られ た 。 こ こで,4つ の 実 践 に共 通 して い る こ とは,数 理 ゲ ー ム を題 材 とす る こ とで,生 徒 が 題 材 事 態 に興 味 を持 ち,積 極 的 に授 業 に参 加 す る姿 が 見 られ た こ とで あ る。 つ ま り,我 々が 設 定 した 「どの よ

うな授 業 に よっ て,生 徒 に数 学 にお け る興 味 ・関心 の 向 上 を促 す こ とが で き る か 」 とい う課 題 に対 して,数 理 ゲ ー ム を題 材 とす る こ とに よ り一 定 の効 果 が あ っ た とい え る。

こ れ らの こ とか ら,数 理 ゲ ー ム を題 材 とす る授 業 の成 果 と して,日 本 の数 学 教 育 の課 題 で あ る数 学 に対 す る情 意 面 の改 善 が 期 待 で き,そ れ と共 に数 学 の有 用 性 や 必 要 性 を生 徒 が 実 感 しや す い こ とが わ か っ た。

ま た,本 稿 で取 り上 げ た授 業 は数 学 的 リテ ラ シ ー を育 む とい う 目的 に も一 定 の効 果 が あ っ た とい え る 。特 に, 帽 子 のパ ズ ル の実 践 に お い て生 徒 か らの 自由記 述 で 「 論 理 的 に考 え る こ とが で きた 」 「 今 回 の 考 え方 を生 か した い」 とい う よ うな肯 定 的 な意 見 が あ り,数 学 に対 す る有 用 性 を感 じる きっ か け に な っ て い る と考 え る こ とが で き る。 しか し,授 業 者 の 技 能 が 未 熟 で あ る こ と,ま た,4 つ の実 践 の うち3つ が1単 位 時 間 の み の単 発 の授 業 で あ る た め,時 間 的 な制 約 が あ った こ と,こ の2点 にお い て, 実 践 が 十 分 で は な い。 こ う した授 業 を,カ リキ ュ ラ ム の 中 に どの よ うに位 置 付 け る か とい う点 が 課 題 で あ る。

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Kousuke FUJITA, Toshichika TAKEUCHI, Eri TSUCHIDA, Akio MANIWA, Yasuzo NISHIMURA, Atsushi SAKURAMOTO, Hiroshi KAZAMA

Key words mathematical literacy, development of teaching materials, mathematical game