6z
二 次 近 似 に よ る政 策 関 数 の 導 出
Derivationofasecond‑orderapproximationtothepolicyfunction
計 算 経 済 学 の研 究(そ の5)
釜 国 男
KunioKAMA
1.は じ め に
動 的 計 画 法 の 問 題 を解 析 的 に 解 く こ と は 一 般 に 不 可 能 で あ り,closedformの 形 で 解 が 得 ら れ る の は 非 常 に 特 殊 な 場 合 に 限 ら れ る.こ の た め 近 似 解 を 与 え る さ ま ざ ま の 解 法 が 考 案 さ れ て い る が,最 も簡 単 で 広 く使 わ れ て い る の は 線 形 近 似 法(Linear‑QuadraticApproximation)で あ る.
こ れ は 目 的 関 数 を 二 次 の テ イ ラ ー 展 開 で 近 似 し て 標 準 的 な 最 適 線 形 レ ギ ュ レ ー タ の 理 論 を適 用 す る 方 法 で あ り,Kydland‑Prescottの 論 文(1982)で 使 わ れ て 以 降,リ ア ル ・ビ ジ ネ ス ・サ イ ク ル 理 論(RBC)の 研 究 で は 基 本 的 な ツ ー ル と な っ て い る1).し か し な が ら,線 形 近 似 モ デ ル で は certaintyequivalence力 減 り立 っ こ と か ら分 か る よ う に,不 確 実 性 の 取 り扱 い が 不 十 分 で あ り, た と え ば 家 計 の 予 備 的 貯 蓄 は 説 明 で き な い.最 適 化 の 条 件 で あ る オ イ ラ ー 方 程 式 を 線 形 近 似 し て policyfunctionを 求 め る 方 法 も よ く用 い ら れ る が,Burnside(1999)が 示 し て い る よ う に,実 は 二 つ の 方 法 は 数 学 的 に は 同 値 で あ る.し た が っ て 実 質 的 に は 目 的 関 数 を 二 次 近 似 し て い る こ と
に な り,異 な る シ ス テ ム の 効 用 比 較 の よ う な 問 題 で は 誤 っ た 結 論 を 導 く場 合 が あ る2).
問 題 に よ っ て はpolicyfunctionを 二 次 近 似 す る 必 要 が あ る が,Schmitt‑GroheandUribe
(2004)は そ の た め の 比 較 的 簡 単 な 方 法 を 提 案 し て い る.こ れ は 所 得 税 や さ ま ざ ま の 外 部 効 果 に よ り 競 争 均 衡 が パ レ ー ト最 適 と な ら な い 場 合 に も 適 用 可 能 で あ り,確 率 的 シ ョ ッ ク の 影 響 が 明 示 さ れ る 点 で も 優 れ て い る.本 稿 の 目 的 は,労 働 供 給 を 内 生 化 し た 最 適 成 長 モ デ ル に こ の 方 法 を 適 用 し て 数 値 解 析 を 行 う こ と で あ る.併 せ て,消 費 に 関 す るpolicyfunctionの 一 次 近 似 と 二 次 近 似 の 違 い に つ い て も検 討 す る.最 後 に,比 較 の た め に 既 存 の 方 法 を 適 用 し た 場 合 に つ い て 説 明 す
る.
2.確 率 的最適 成長 モ デル
標準的な新古典 派の成長理論 に したが って,代 表的家計は効用関数
σ 一E・ 蕩 β ・d(CBt(1‑Gt)1‑B1‑z)1‑r(1)
を最 大 化 す る よ う に 消 費 と余 暇 の 選 択 を行 う と仮 定 す る.こ こ でCtは 家 計 の 消 費,Itは 労 働 供
給,1‑/舌 は 余 暇 時 間 で あ る.0<β<1は 主 観 的 割 引 因 子,τ は 異 時 点 間 の 代 替 の 弾 力 性,E。 は 条 件 付 期 待 値,θ は 仕 事 に 割 り 当 て ら れ る 時 間 を 決 定 す る パ ラ メ ー タ で あ る.一 種 類 の 財 の み 存 在 し,コ ブ ・ダ グ ラ ス 型 の 生 産 関 数
夕1‑ztktlt一 α(2)
に も とつ い て 生 産 さ れ る.ktは 資 本 ス ト ッ ク でztは 技 術 水 準(全 要 素 生 産 性)を 表 す .技 術 は 確 率 的 に 変 動 し,一 階 の マ ル コ フ 過 程 に し た が う.
lnzオ+1・=pinzt十 σε渉+1 1ρ 「<1,Et〜niid(0,1)(3) 来 期 の 資 本 は
kt+1=(1一 δ)kt十Zt
に よ っ て 決 定 さ れ る.Ztま 投 資 で 資 源 の 制 約 yt=cl一 ト廃
を 満 足 し な け れ ば な ら な い.家 計 の 意 思 決 定 に 際 し て 今 期 の 技 術2tは 既 知 と 仮 定 す る . 消 費 と 労 働 供 給 に 関 す る 一 階 条 件 を 求 め る と
(Ct(1‑lt
ct)1‑8/1‑r一 副(Ce+i(1毛 嬉 り レ τ(α靹 礁f+1一 δ)}
(1一 θμ(1〒 禦 ト τ一 θ(CB(1‑ll)1‑B/1‑z(1一 α曜1r・
t≧0,初 期 条 件:k。,20は 所 与
と な る.
モ デ ル の 解 を 形 式 的 に つ ぎ の よ う に 表 す .
Ct=9、(kt,zt,6) 1,=g2(kt,9,,σ)
ノ高+1==」 彪1(kt,zt,σ)一 ト η1σεピ+1
2t+1=ぬ,(kt,zt,σ)+η,σ ε、.1
明 ら か に η1・=0で あ り,変 数 を 対 数 変 換 す る 場 合 に は η2=1,'2(kt,zt,σ)‑pztと な る .
(4)
(5)
(6) (7)
(8)
関 数gとhを 正 確 に 求 め る こ と は 不 可 能 で あ る の で,Schmitt‑GroheandUribeの 近 似 法 を 適 用 す る.こ れ は 技 術 が 変 化 し な い と き の 定 常 値 を 求 め て 二 次 の テ イ ラ ー 展 開 を 行 う も の で あ り, 多 く の 動 的 最 適 化 モ デ ル に 適 用 可 能 で あ る.具 体 的 に は,(8)の 各 式 を つ ぎ の 式 で 近 似 す る .
Ct=・gl十glk(k一k*)十9i之(zt‑z*)十91σ σ 十1/2[glkk(ktk*)2十glzz(zt‑2*)2十g16(r62 +2gikz(k一k*)(zt‑z*)+291k6(kt‑k*)σ +291。 σ(z一z*)σ]
It=g2十g2k(kt‑k*)十g2z(zt‑z*)十g266
十1/2[gzkk(kt‑k*)2十g2zz(2t‑2*)2十g26662
March2008釜 国 男 二二 次 近 似 に よ る 政 策 関 数 の 導 出63 十292kz(kt‑k*)(zt‑z*)十292k6(kt‑k*)6
十2b"Zz6(2t‑2*)σ](9) ん、+、‑h、+hlk(k一k*)+hlz(2t‑2*)+h166
十1/2[̀Glkk(kt‑k*)2‑十hlz2(2t‑2*)2十h16662
十2hlkz(kt‑k*)(2t‑2*)十2hlkd(鳥 一 ん*)σ +2、91。σ(之rz*)σ]
2t+1‑h2+h2k(kt‑k*)+ぬ,z(Zr9*)+h,。 σ 十1/2[h2kk(kt‑k*)Z十h2zz(zt‑z*)Z十h26662]
十21'G2kz(kt‑k*)(2t‑2*)十21z2ん σ(ktk*)σ 十2929σ(2t‑2*)σ]
こ こ でk*と2*は 資 本 と 技 術 の 定 常 値 で,係 数 はkt‑k*,zt=z*,6=0に お け る 値 で あ る.最 後 の 式 は(3)そ の も の で あ る が,プ ロ グ ラ ム 作 成 上 の 都 合 で 係 数 を 求 め る こ と に す る.
近 似 値 を 得 る た め に は 定 常 値 と(9)の 係 数 を 知 る 必 要 が あ る.は じ め に 定 常 値 を 求 め る と, 2*‑1で あ り 他 は つ ぎ の 連 立 方 程 式 を 解 く こ と で 得 ら れ る.
堪+1一 δ一去(10)
(1一α)ぎ1」 ラθ、1*1、(1・) k*c*(12)
yy
y*=(ん*)α(/*)1一 α(13) 簡 単 な 計 算 に よ り
k*=Ψ/(Ω 十 φΨ) /*=φ ん*
C*=Ω ん*
y*=k*a(Z*)1‑a
た だ し φ一(1a(1‑1+δ))点 Ω 一 φ÷‑aΨ 一e(1‑IIで あ る ・ 明 ら か1こ
C*=91(k*,2*,0) /*=g2(k*,2*,0)(14) k*=hl(k*,z*,0) で あ る.
つ ぎ に 技 術 水 準 は 対 数 形 で 表 さ れ て い る の で す べ て の 変 数 を 対 数 に 変 換 し,た と え ばC=
elog(c)と す る.す る と,(2),(4),(5)式 か ら εc+ek'一(1一 δ)ek‑ez(ek)α(θ り1一α=0
と な る.こ こ で 各 変 数 は 対 数 値 を 表 し,プ ラ イ ム 付 き はt+1期,付 か な い の はt期 の 変 数 で あ
る.こ の 式 の 左 辺 を 五 と 定 義 す る.同 じ よ う に(6)の 左 辺 か ら 右 辺 を 引 い た 式 をf2,(7)の 左 辺 と 右 辺 の 差 をf3で 表 す.ま た 孟=〆 一 爾 と す る.そ し て(8)式 よ り
ガ(C,k,ん!,z)一 万(gl(ん,2,σ),k,h、(k,2,σ) 十 η10ε1,z)
と な り,flはk,2,σ,ε ノの 関 数 で あ る こ と が わ か る.乃,f3,f4も 同 じ 変 数 の 関 数 と な る.い ま Fi=、E舌(fz),i=1,…,4と す る と,fz=0よ り
Fi(k,2,σ)=OZ=1,…,4 (15)
が 成 り立 つ.FZはk,2,σ の 任 意 の 値 に 対 し て ゼ ロ で あ る の で,kや σ に 関 す るFiの 微 分 は つ ね に ゼ ロ と な る.式 で 表 す と
Fikz6(k,z,6)=o (16)
こ こ で 瓦 鱒(k,2,σ)は 瓦 のk,z,σ に 関 す る 任 意 の 階 数 の 微 分 を 表 す .関CFiはg=やhzの 合 成 関 数 で あ る こ と か ら,こ の 式 か ら テ イ ラ ー 展 開 の 係 数 を 得 る こ と が 可 能 で あ る.
す で に(14)で 示 し た よ う に, の 係rglk〜J2zは
Fik(k*,z*,0);O F'iz(k*,2*,0)=OZ=1,…,4
か ら 求 め る こ と が で き る.g16,g26,hl6,hassは4つ の 条 件 Fz6(k*,2*,0)=OZ=1,・ 。・,4
(9)の 定 数 項 は 各 変 数 の 定 常 値 に 等 し くな る.一 次 の 項 の8つ
(17)
(18) か ら 得 ら れ る(詳 細 に つ い て はSchmitt‑GroheandUribe(2004)を 参 照) .そ し て(18)式 の 構 造 か ら モ デ ル に 唯 一 の 解 が 存 在 す る と き に は σ の 係 数 は す べ て ゼ ロ と な る こ と が わ か る .つ
ま りpolicyfunctionを 一 次 近 似 す る とcertaintyequivalenceが 成 り 立 つ こ と を 確 認 で き る . つ ぎ に テ イ ラ ー 展 開 の 二 次 の 係 数 はFi(k,z,σ)のk*,2* ,σ=0に お け る2階 の 微 分 か ら 得 ら れ る.(9)式 でkと2に 関 す る2階 の 係 数 は16あ る が,条 件 式 も
Fzkz(k*,2*,0)=Oi=1,...,4(19)
と 同 数 あ る の で 線 形 の 連 立 方 程 式 を 解 く こ と に よ っ て 決 定 で き る.ま た8166,gセ σσ,r166,r26.は 4つ の 方 程 式
Fi66(k*,z*,0)=02=1,・ ・。,4(20) か ら 計 算 す る.
最 後 に,(9)の テ イ ラ ー 展 開 はk,2と σ の 交 叉 項 を 含 む が,Schmitt‑GroheandUribe (2004)の 定 理1に よ り
gik6(ん*,2*,0)=O giz6(k*,2*,0)=0(21) 乃漉σ(k*,2*,0)=0 乃謡σ(k*,2*,0)=02==1,2
と な る.し た が っ て,policyfunctionの 二 次 近 似 式 は 確 率 モ デ ル と 確 定 的 モ デ ル で は 単 に 定 数
March2008釜 国 男:二 次 近 似 に よ る政 策 関 数 の 導 出65
項 が286662だ け 異 な る に 過 ぎ な い.さ ら に 状 鞭 蜘 う ち 内 生 的 に 決 ま る ん1こつ い て は 壱 {'G6662の差 が 生 じ る こ とが わ か る.
以 上,二 次 の テ イ ラe二 開 に つ い て概 略 を説 明 し た が,同 じ考 え を適 用 す る こ とに よ っ て さ ら に 高 次 の 近 似 式 を得 る こ と も可 能 で あ る.つ ま りn‑1次 の 近 似 式 が 得 られ る と,n次 の 近 似 式 は 既 知 の 係 数 を もつ 線 形 の 方 程 式 を解 い て 求 め る こ とが で き る.こ の 逐 次 的 な 方 法 で任 意 の 次 数 の 近 似 解 が 得 られ るが,特 別 な 場 合 を除 い て通 常 は 高 々 二 次 ま で の近 似 で 十分 で あ ろ う.
計 算 を行 う た め の コ ン ピ ュー タ ・プ ロ グ ラ ム は ウ ェ ブ サ イ トで 入 手 可 能 で あ る3).つ ぎ の 節 で は,こ の プ ロ グ ラ ム を用 い て労 働 供 給 を 内 生 化 し た最 適 成 長 モ デ ル の 数 値 解 析 を行 う.
3.計 算 結 果
モ デ ル を 数 値 的 に 解 く に は パ ラ メ ー タ の 値 を決 め な け れ ば い け な い.実 証 分 析 が 目 的 で あ れ ば 最 尤 法 やGMM推 定 を 用 い て 統 計 デ ー タ か ら パ ラ メ ー タ を 推 計 す る 必 要 が あ る が,実 証 研 究 で
は な い の でFernandez‑Villaverde他(2004)に な ら っ て β=0.9896,θ=0.357,τ=2.0,α=
0.4,δ=0.0196,ρ=0.95と す る.計 算 に は1.4GHzのPCを 使 用 し た が,わ ず か0.2秒 し か か か ら な い.以 前 に 検 討 し た プ ロ ジ ェ ク シ ョ ン 法 やValuefunctionの 反 復 法 に 比 べ て 計 算 時 間 を 大 幅 に 短 縮 す る こ と が 可 能 で あ る.計 算 に あ た っ て 変 数 を 自 然 対 数 に 変 換 し た あ と,前 節 の ア ル ゴ
リ ズ ム を 適 用 す る.表 示 の 都 合 上,状 態 変 数 の ベ ク ト ル log(kt)
xt=l og(2t}
お よ び 制 御 変 数 の ベ ク トル
̲Zog(Ct}y tl og(lt)
を 定 義 す る.最 初 に 定 常 値 を 計 算 す る と
x*一[3・14160,y‑[0.2533 ‑1 .1695]
と な る.つ ぎ に テ イ ラー 展 開 を求 め る と,一 次 の係 数 は
gx‑0.53280‑0 .15610:46466296hx‑[0.97380.00?77895]
hxの 第2行 の 要 素 は 計 算 す る ま で もな く0,δ で あ る.ま た 二 次 の 係 数 は
gxx(:…1)一[0.0335‑0.0883 ‑0 .05810.1793gxx(:・:・2)‑0.08830.15140.1793…0.4825]
および
hxx(:・ ・1)‑10・ 誓89皿0凹 堀:・:・2)一 「0.044800・09460]
で あ る.σ2の 係 数 は
耐 謂1}編 一[0・05580
行 列 表 示 の 結 果 を 通 常 の 関 数 形 で 表 す た め に ct=log・(Ct/C*)
Zt=log(1,/Z*) kt=Zog(kt/k*)
と す る.そ う す る と,policyfunctionは つ ぎ の よ う に 表 さ れ る.
c1=0.5328k1+0.464621+十[0.0335kt‑0.1766klz1+0.1514zt‑0.513162](22)
It‑一 ・.1561kt+・.6296zt+12[一 ・.・581鳶+・.3586ktzt‑・.4825zt+・.6・34σ ・]
こ こ で 変 数 は 定 常 値 か ら の パ ー セ ン ト で 表 示 さ れ て い る .消 費 に 関 す るpolicyfunctionで は, 資 本 の 係 数 は 正 で あ る こ と か ら 資 本 が 増 加 す る と 所 得 効 果 に よ り消 費 は 拡 大 す る.ま た 生 産 の 拡 大 を も た ら す よ う な 技 術 シ ョ ッ ク は 消 費 を 刺 激 す る 効 果 が あ る.労 働 供 給 に 対 す る 資 本 の 係 数 は 負 で あ り,資 本 の 増 加 は 労 働 時 間 の 減 少 と 余 暇 の 増 大 を も た らす.ま た 労 働 生 産 性 を 高 め る よ う な 技 術 の 変 化 は 労 働 供 給 を 増 加 さ せ る 作 用 が あ る.図1,2は6=0.007と し て 消 費 と 労 働 時 間 のpolicyfunctionを 示 し て い る.こ れ ら の 図 か ら,消 費 と労 働 は 資 本 と技 術 水 準 の ほ ぼ 線 形 の
図1消 費 のpolicyfunction
佃梓怖価個惚懐"QりOQ4.
00﹂1
28
March2008釜 国 男 二 次 近 似 に よ る 政 策 関 数 の 導 出 図2労 働 供 給 のpolicyfunction
8︒30 ハb433(U(U 238643α222∩VOOO h∠24,2αtO
67
28
関 数 と な る こ とが わ か る.ま た,σ の 係 数 は そ れ ぞ れ 正 と負 で あ る こ とか ら,技 術 の 変 動 が 大 き くな る と消 費 と余 暇 時 間 は減 少 す る.よ く知 ら れ て い る よ うに,確 率 的 線 形 レ ギ ュ レー タ 問 題 の Valuefunctionは σの 関i数で あ るが,policyfunctionは6と は 無 関 係 で あ る.し か し,二 次 の 項 ま で含 め る と分 散 の影 響 は 無 視 で き な くな る.
一 方,資 本 の 運 動 方 程 式 は
kk+z=0.9738kt+0.0778zt+2[0.0189kt‑0.0896ktzt+0.0946zt+0.055862](23)
と表 さ れ る,ktの 係 数 は0.9738と 大 き く定 常 状 態 へ 収 束 す る の に 長 い 時 間 が か か る.
つ ぎ に 近 似 式 の 精 度 に つ い て 検 討 し よ う.精 度 を 調 べ る に は い くつ か の 方 法 が あ る が,こ こ で は2t=2*と し た と き の 消 費 に 関 す る オ イ ラ ー 方 程 式 の 誤 差
βE[(♂(1‑Z'c')レ り トτ(甜1匹 ・+1一 δ)]
E(k)=1一 (1‑1)(1一 θ)〈1一τ)
C (24)
た だ し
c=C(k,z*),1=1(k,z*) Cノ ーC(k',z*),Zノ=Z(k',z*)
Log(E)
‑2
一3
一4
一5
一6
一7
一$
̲9
一10L 15
図3誤 差 の比 較
20 25 30
k
を 計 算 した.こ れ は測 定 単 位 に 依 存 し な い 尺 度 で あ り,も しC(k,z*)が 正 確 な解 で あ れ ば ゼ ロ と な る は ず で あ る.図3は1091。lE(k)1を プ ロ ッ ト し た もの で あ る.資 本 の 検 討 し た 区 間 で は つ ね に二 次 近 似 の ほ うが 小 さ くな り,通 常 用 い ら れ る一 次 近 似 は定 常 点 か ら離 れ る と 多 少 の 誤 差 を と もな う こ とが 読 み 取 れ る.区 間 全 体 の 平 均 誤 差 は 一5.52と 一3.38で あ り,一 次 近 似 の 誤 差 は 平 均 して160倍 とな る.し か し な が ら,定 常 点 の近 傍 で は い ず れ の 場 合 も誤 差 は10‑5以 下 に と ど ま り,標 準 的 な 成 長 モ デ ル で は 低 次 の テ イ ラ ー 展 開 で も きわ め て 精 度 の 高 い近 似 解 が 得 られ る こ とが わ か る.
4.従 来 の 方 法 との 比 較
つ ぎ に 比 較 の た め に 既 存 の 方 法 で 最 適 成 長 モ デ ル の 解 を 求 め て み よ う .い くつ か の 方 法 が 利 用 で き る が,こ こ で は 対 数 線 形 近 似 に よ る解 法 を 適 用 す る4).は じ め に 各 変 数 を 恒 等 式
x=x*ex,x=log(x/x*)
で 置 き か え る.そ うす る と,オ イ ラ ー 方 程 式 と 資 源 制 約 は つ ぎ の よ う に 書 き 直 さ れ る.
((C*eat}B(1‑1*e?り1一 θ)1‑・
C*召c亡
March2008釜 国 男 二 次 近 似 に よ る政 策 関 数 の 導 出
一QEt((C*劃 θ呈 詳+1/1‑B/1‑z(1‑1‑CYezt+1(酬 一1(1・ ♂ ・1/1‑a,mmS)
c*eat8
c・eat+k・keLezt(k・ekt)・(1*eat}一 α+(1一 δ)k*ekt
zt+1=pzt十 σεオ
bq
(25)
こ れ ら の 式 を 対 数 線 形 近 似 す る と
Et(α1∂ 一 α,/t+偽2、+1一 α、kt+、+cr41t+1一 α1∂,+、+α,/t+1)‑0
∂汁 α51r9一 α鳥=O
o*Ct+ん*鳥+一y*z一 αy*ん 一 夕*(1一 α)1一(1一 δ)ん*々FO zt+1==pzt十6Et
{26)
こ こ で α1一 θ(1‑・)‑1,炉(1‑・)(1一 θ)/*1 ‑/。,cr3=cra(k*)・‑1(Z・)1‑・,…(・ 一 α)・ …
+1与 夕・一(k・)・(/・)1‑・ で あ る.上 の 第 二 式 か らCt求 め ・ 他 の 式 に 代 入 し て 蟹 す る と
以 下 の よ う に な る.
Et(Akt+1十Bkt十c/十Dzt)=O
Et(Gkt+1一 ト磁 ご十Jlt+i一 ト」Klt一トLit+1十Mzt)=0(27) E62辞1‑2V薪=0
こ こ でA=ん*,B=α(C*‑y*)一(1一 δ)k*,C=y*(α 一1)一 α56*,D=C*‑y*,G=α α一 醐,H
=一 αα1,1=α4一 α・α5一 α≧,K=α2十 α玉α5,L=α3+α 、,M=一 α1,N=ρ で あ る.(27)を 行 列 を 用 い て 表 示 す る と
P「li観]‑/tkt
zt偽)
そテ 可PとQは
BHO︻一とるーオCKOけ・み・鳥2一一掛
オチウオー判ー陵陰
Qπ︑9ヲ
劉 趣 ? 朗 粥 卿 鵬
るに偽ぎでつ D〃N
一﹁
{29)
(30) と 固 有 値 分 解 す る.WはP‑1Qの 固 有 ベ ク ト ル か ら な る行 列 で あ り,AはP‑lQの 固 有 値 を 要
素 と す る 対 角 行 列 で1λ11>1と す る.そ う す る と(29),(30)か ら
E E
E;姻 酬 喉1
解が発散 しないためには
喉H訓
と な る必 要 が あ る.Wを 掛 け て ゼ ロ に 対 応 す るWの 列 を 除 く と Itb
zt こ れ よ り
[刎一隅2:3)倒
とな り,こ れ を代 入す ると
It=W{1,2:3)W(2:3,2:3)̲rkt
2t](31)
労 働 時 間 が 決 ま る と,消 費 は(31)を(26)の 第2式 に 代 入 し て 得 ら れ る.さ ら にkt+、 は み を (27)の 第1式 に 代 入 し て 求 め る.
実 際 に 前 節 の パ ラ メ ー タ を 用 い て 計 算 し て み よ う.(28)式 は
023.140801
1.4615‑0.5607‑1.3272)
01「ll観 牌 騰 ∴1馴 隆1
と表 され,こ れよ り
陰;針[1:02330092500:罧i門[11
右辺の行列 を固有値分解す ると
謄爺騰 翫1耕:ill1陣噛 劃
0.4715‑0.15420.3163^11t O.88190.9880‑0.9072kt
OOO.2774zt
λ3=ρ で あ り,安 定 的 なSaddlePathと な る に は λ2=0.9738を 選 ば な け れ ば な ら な い .こ の と き 消 費 と 労 働 供 給 は
Ct==・0.5328kt十 〇.46462t
March2008釜 国 男:二 次 近 似 に よ る 政 策 関 数 の 導 出71 1t=‑0.1561kt十 〇.629Gzt
と な り(22)の 一 次 の 項 と 一 致 す る.資 本 の 運 動 方 程 式 は んオ+1=0.9738kt‑}‑0.07782t
と な り,(23)の 二 次 の 項 を 除 い た も の と ま っ た く 同 じ で あ る.つ い で な が ら,固 有 値 を 計 算 す る 代 わ り にpolicyfunctionを 仮 定 し て 未 知 の 係 数 を 求 め る や り方 も あ る が,係 数 の 満 た す べ き 二 次 方 程 式 の 根 は λ、と λ2と な り同 じ 結 果 が 得 ら れ る こ と を 指 摘 し て お こ う.
5.む す び
複 雑 な動 的均 衡 マ ク ロ 経 済 モ デ ル の 近 似 解 法 と し てpolicyfunctionの 線 形 近 似 が 広 く用 い ら れ て い るが,線 形 の 近 似 モ デ ル で はcertaintyequivalenceが 成 りた ち,た と え ば 不 確 実 な状 況 で の政 策 評 価 の よ う な 問 題 に は 適 用 す る こ とが で き な い.こ う し た 問 題 で は 二 次 近 似 ま で行 う必 要 が あ り,Schmitt‑GroheandUribeの 方 法 は こ の 目的 に 適 っ て い る.こ の 方 法 は 多 くの モ デ ル に 適 用 可 能 で あ る が,こ こ で は 労 働 供 給 を 内生 化 し た 標 準 的 な最 適 成 長 モ デ ル を取 りあ げ てpol・
icyfunctionを 導 出 した.数 値 計 算 の 立 場 か らは 線 形 の近 似 式 と二 次 の 近 似 式 の 間 に み られ る 精 度 の 違 い は 無 視 し得 な い 大 き さ で あ り,従 来 の ア プ ロー チ は 近 似 精 度 の 面 で 問 題 が あ る とい え よ
う.今 後 は 新 し く考 案 さ れ た 方 法 を用 い て 現 実 的 な モ デ ル の分 析 を行 う予 定 で あ る.
注
1)ひ と つ の 例 と し て,拙 稿(2005)は 簡 単 な 最 適 成 長 モ デ ル に 二 次 近 似 法 を適 用 し て い る.
2)た と え ば,異 な る シ ス テ ム で の 国 際 間 ∂)リ ス ク シ ェ ア リ ン グ を 比 較 し たKim‑Kim(2003)を 参 照.
3)URLはhttp://www.econ.upenn.edu/〜uribe/2n.order.htmで あ る.
4)以 下 の 式 の 展 開 は,Fernandez‑Villaverde他(2003)を 参 照 し た.固 有 値 分 解 に よ る 合 理 的 予 想 モ デ ル の 解 法 に つ い て は,Novales他(1999)が 詳 し い.
参 考 文 献
Burnside,C.(1999)"RealBusinessCycleModels:LinearApproximationandGMMEstimation",The WorldBank.
Fernandez‑Villaverdeetall(2004)"ComparingSolutionMethodsforDynamicEquilibriumEconomies", UniversityofPenn,WorkingPaper.
釜 国 男(2005)「 動 的 計 画 法 の 数 値 解 析 」 『創 価 経 済 論 集 』 第34巻1号.
Kim,J,andKim,S.(2003}"Spuriouswelfarereversalsininternationalbusinessmodels",Journalof InternationalEconomics60:471‑500.
Kydland,F,andPrescott,E.{1982)"Timetobuildandaggregatefluctuations",Ecorcometrica50:1345‑7d.
Novales,Aetall(1999)"Solvingnonlinearrationalexpectationsmodelsbyeigenvalue‑eigenvectordecom‑
positions"inR.MarimonandA.Scott(eds),ComputationalMethodsfortheStudyofDynamic Economies,OxfordUniversityPress.
Schmitt‑Grohe,andUribe,M.(2004)"Solvingdynamicgeneralequlibriummodelsusingasecond‑order apProximationtothepolicyfunction",ノournalofEconomicDynamicsandContyol28:755‑75.
