平成 28 年度卒業論文可解リー代数に対するリー群の存在定理

(1)

平成 28 ^{年度卒業論文}

可解リー代数に対するリー群の存在定理

広島大学理学部数学科

B133737

近藤裕司指導教員田丸博士教授

2017

年

2

月

10

日

(2)

はじめに

任意の有限次元実リー代数

g

^に対して

,

^{ある単連結な}

C ^ω

^級リー群

G

^{が存在して}

,

^{そのリー代数}

L(G)

^が

g

と同型となることが知られている

.

^{その証明はまず}

,

^{リー代数が}

(1)

^{可解な場合}

, (2)

^半単純な場合を示し

, (1)

と

(2)

を使って

(3)

一般の場合を示すという構成になっている

.

本論文は

, (1)

の可解リー代数に対する主張を主定理として

,

その証明を紹介するものである

.

まず第

1

^章では

,

^{リー代数を定義し}

,

準同型や半直積などを定義した

.

次に第

2

^章では

,

^{リー群を定義し}

,

準同型や半直積などを定義した

.

最後に第

3

^章では

,

本論文の主定理を紹介し

,

証明の準備としていくつかの命題や定理を挙げ

,

^最後に主定理を証明した

.

本論文の執筆にあたり

,

指導教員の田丸博士先生をはじめとして

,

奥田隆幸先生

,

久保亮先生

,

及びゼミの先輩方には多くの助言

,

^{御指導を頂きました}

.

^{この場をお借りして}

,

^{深く御礼申し上げ} ます

.

(3)

1

リー代数

1

1.1

リー代数の定義

. . . . 1

1.2

リー部分代数とイデアル

. . . . 2

1.3

^{リー代数の準同型}

. . . . 4

1.4

^{リー代数の半直積}

. . . . 5

2

リー群

9 2.1

^{リー群の定義}

. . . . 9

2.2

^{リー群の準同型}

. . . . 10

2.3

^{リー群の半直積}

. . . . 10

3

^{主定理の証明}

13 3.1

^{証明の準備}

. . . . 13

3.2

^{主定理の証明}

. . . . 14

(4)

1

^リー代数

この章では

,

リー代数に関する基礎事項を述べ

,

リー代数の半直積を定義する

.

1.1

リー代数の定義

定義

1.1.

^{実線型空間}

g

^と写像

[, ] : g × g → g

^を考える

.

^このとき

,

^組

(g, [, ])

^{がリー代数}

(Lie

algebra)

とは、以下が成り立つこと

:

(i) (

双線型性

)

写像

[, ]

は双線型

.

(ii) (

交代性

)

任意の

X, Y ∈ g

^に対して

, [X, Y ] = − [Y, X ].

(iii)

^任意の

X, Y, Z ∈ g

^に対して

, [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X ]] + [Z, [X, Y ]] = 0.

リー代数

(g, [, ])

^に対して

,

^写像

[, ]

^を括弧積

(bracket product)

^と呼ぶ

.

^また

,

^条件

(iii)

^の等式をヤコビ律

(Jacobi identity)

^と呼び

,

線型空間としての次元を

,

^リー代数

g

^{の次元と呼ぶ}

.

命題

1.2.

^写像

[, ] : g × g → g

^{が双線型であるとする}

.

^このとき

,

^{リー代数の定義の条件}

(ii)

^は

,

次と同値である

: ∀ X ∈ g, [X, X] = 0.

証明

. (ii)

^{を仮定すると}

,

^任意の

X ∈ g

^に対し

, [X, X] = −[X, X]

^{であることから}

[X, X] = 0

^である

.

逆は括弧積の双線型性と仮定より

,

^任意の

X, Y ∈ g

^に対し

,

0 = [X + Y, X + Y ]

= [X, X] + [X, Y ] + [Y, X] + [Y, Y ]

= [X, Y ] + [Y, X ]

となることからわかる

.

命題

1.3. g

を

1

次元リー代数とする

.

このとき

,

任意の

X, Y ∈ g

に対して

, [X, Y ] = 0

である

.

証明

.

任意に

X, Y ∈ g

^をとる

. g

^の基底を

{ Z }

^とする

.

このとき

,

∃ a, b ∈ R s.t. X = aZ, Y = bZ

となるから

,

^命題

1.2

^より

, [X, Y ] = [aZ, bZ] = ab[Z, Z] = 0

例

1.4. M (n, R ) := { X : n

^{次実正方行列}

}

^{に括弧積を}

[X, Y ] := XY − Y X

^{で定義したものは} リー代数であり

,

その次元は

n ²

である

. (

これを

,

一般線型リー代数

(general linear Lie algebra)

と呼び

, gl(n, R )

で表す

).

証明

. [X, Y ] = XY − Y X

^が上の

(i), (ii), (iii)

を満たすことを確かめれば良い

.

^{これらは容易に} 確かめられる

.

^{次元については}

, 1 ≦ ∀ i, j ≦ n

^{に対して第}

(i, j)

^成分のみ

1

^{でその他が}

0

^であるような

n

^{次正方行列を}

E ij

とすると

, { E 11 , · · · , E nn }

が基底となることからわかる

.

(5)

1.2

リー部分代数とイデアル

定義

1.5. g

をリー代数とし

, g ^′ ⊂ g

とする

.

このとき

, g ^′

が

g

内のリー部分代数

(Lie subalgebra)

とは

,

^{以下が成り立つこと}

:

(i) g ^′

^は

g

^{内の線型部分空間}

.

(ii) g ^′

は括弧積に関して閉じている

.

^すなわち

,

^任意の

X, Y ∈ g ^′

^に対して

, [X, Y ] ∈ g ^′ .

命題

1.6.

リー部分代数はリー代数である

.

^{より正確には}

, g

^{をリー代数とし}

, g ^′

^を

g

^{内のリー部} 分代数とすると

, g

の括弧積の制限に関して

g ^′

^{はリー代数になる}

.

証明

.

リー代数

g

の括弧積を

[, ]

とし

,

その制限を

[, ] ^′

とすると

[, ] ^′ : g ^′ × g ^′ → g ^′ : (X, Y ) 7→ [X, Y ]

であることから容易にわかる

.

例

1.7.

^{次で定義される}

sl(n, R )

^は

gl(n, R )

内のリー部分代数である

. (

これを特殊線型リー代数

(special linear Lie algebra)

と呼ぶ

.)

但し

, tr(X)

は行列

X

のトレースを表す

:

sl(n, R ) := { X ∈ gl(n, R ) | tr(X) = 0 } .

証明

.

トレースの線型性から

, sl(n, R )

^が

gl(n, R )

内の線型部分空間であり

,

^{さらに}

, tr(XY ) =tr(Y X) (X, Y ∈ M (n, R ))

^{と合わせて}

,

括弧積で閉じていることもわかる

.

定義

1.8. g

をリー代数

, g ^′

を

g

内の線型部分空間とする

.

このとき

, g ^′

が

g

内のイデアル

(ideal)

とは

,

次が成り立つこと

: ∀ X ∈ g, ∀ Y ∈ g ^′ , [X, Y ] ∈ g ^′ .

命題

1.9. g ^′

^{がリー代数}

g

^{内のイデアルのとき}

, g ^′

^は

g

内のリー部分代数でもある

.

証明

. g ^′ ⊂ g

であることから明らかである

.

例

1.10.

特殊線型リー代数

sl(n, R )

は一般線型リー代数

gl(n, R )

内のイデアル

.

証明

.

線型部分空間であることはすでに示した

.

残りの条件についても

,

トレースの性質から容易にわかる

.

定義

1.11. g

^{をリー代数}

, a, b

^を

g

内の線型部分空間とする

.

[a, b]

^を

a

^と

b

^の交換子

(commutator)

^という

:

[a, b] := {

∑ n i=1

[X i , Y i ] | n ∈ N , X i ∈ a, Y i ∈ b(1 ≦ i ≦ n) } .

命題

1.12.

定義

1.11

において

, [a, b]

は

g

内の線型部分空間である

.

(6)

証明

. a, b

がともに

g

内の線型部分空間だから

, 0 ∈ a, b

となり

, [0, 0] = 0

だから

0 ∈ [a, b]

である

.

また括弧積の双線型性から

,

和とスカラー倍で閉じていることもわかるので

, [a, b]

は

g

^{内の線型部} 分空間である

.

命題

1.13.

^定義

1.11

^において

, [a, b] = [b, a]

^である

.

証明

.

括弧積の交代性より

,

∑ n i=1

[X i , Y i ] =

∑ n i=1

( − [Y i , X i ]) = −

∑ n i=1

[Y i , X i ] (X i ∈ a, Y i ∈ b)

であり

, [a, b], [b, a]

はともに線型空間だから

,

スカラー倍で閉じている

.

よって

, [a, b] = [b, a]

である

.

命題

1.14. a, b

^がともに

g

^{のイデアルならば}

, [a, b]

^も

g

^{のイデアル}

.

証明

.

^任意の

Z ∈ g, W ∈ [a, b]

^をとる

.

^このとき

,

∃X i ∈ a, ∃Y i ∈ b (1 ≦ i ≦ n) s.t. W =

∑ n i=1

[X i , Y i ]

と書ける

.

括弧積の双線型性とヤコビ律を用いると

,

[Z, W ] = [Z,

∑ n i=1

[X i , Y i ]]

=

∑ n i=1

[Z, [X i , Y i ]]

=

∑ n i=1

([X i , [Z, Y i ]] + [[Z, X i ], Y i ]).

a, b

^はともに

g

^{内のイデアルだから}

, [Z, Y i ] ∈ b, [Z, X i ] ∈ a

^となり

, [a, b]

が和で閉じていることから

, [Z, W ] ∈ [a, b].

したがって

,

イデアルとなる

.

定義

1.15. g

^{をリー代数とする}

.

このとき

, [g, g]

を

g

^{の導来イデアル}

(derived ideal)

といい

, g ⁽¹⁾

と書く

.

^さらに

,

^任意の

n ∈ N

^に対し

,

^第

n

^{導イデアル}

g ⁽ⁿ⁾

^を

g ⁽⁰⁾ := g, g ⁽ⁿ⁺¹⁾ := [g ⁽ⁿ⁾ , g ⁽ⁿ⁾ ]

によって帰納的に定義する

.

定義

1.16. g

^{をリー代数とする}

.

^このとき

, g

^が可解

(solvable)

であるとは次が成り立つこと

:

∃n ∈ N s.t. g ⁽ⁿ⁾ = 0.

例

1.17.

次で定義される

2

次の上三角行列全体の成す

gl(2, R )

内のリー部分代数

t(2)

は可解

: t(2) := {

( a b

0 c

)

∈ gl(2, R) | a, b, c ∈ R}.

(7)

証明

.

例

1.4

の証明で定義した記号を用いると

, t(2)

の基底

{ E 11 , E 12 , E 22 }

^に対して

, [E 11 , E 12 ] = E 12 , [E 12 , E 22 ] = E 12 , [E 22 , E 11 ] = 0

となることから

, t(2) ⁽¹⁾ =span { E 12 }

^である

.

^さらに

, [E 12 , E 12 ] = 0

^{であるから}

, t(2) ⁽²⁾ = 0

^となり

, t(2)

は可解である

.

1.3

リー代数の準同型

定義

1.18. g 1 , g 2

をリー代数とする

.

写像

f : g 1 → g 2

が準同型写像

(homomorphism)

とは

,

以下が成り立つこと

:

(i) f

^{は線型写像}

.

(ii) ∀ X, Y ∈ g 1 , f([X, Y ]) = [f (X), f (Y )].

さらに

f

^{が全単射のとき}

,

^同型写像

(isomorphism)

^という

.

^リー代数

g 1

と

g 2

の間に同型写像が存在するとき

,

^{これらは同型}

(isomorphic)

^{であるという}

.

例

1.19. f : gl(n, R ) → sl(n, R ) : X 7→ X − tr(X)

n I n (I n : n

^{次単位行列}

)

^{は準同型写像である}

.

証明

.

まず

tr

の線型性より

, f

が

well-defined

な線型写像であることがわかる

.

次に準同型を示すために

,

任意に

X, Y ∈ gl(n, R )

をとる

. f

が線型であることと

tr

の性質より

, f ([X, Y ]) = XY − Y X

となる

. (ii)

^{の右辺については}

,

括弧積の双線型性を用いると

,

[f(X), f (Y )] = [X − tr(X)

n I n , Y − tr(Y ) n I n ]

= [X, Y ] − tr(Y )

n [X, I n ] − tr(X)

n [I n , Y ] + tr(X)tr(Y )

n ² [I n , I n ]

となり

, [X, I n ] = [I n , Y ] = [I n , I n ] = 0

^だから

, [f (X), f (Y )] = [X, Y ] = XY − Y X

^となる

.

^したがって

, f

は準同型写像である

.

1

次元リー代数について

,

次が成り立つ

.

命題

1.20.

^全ての

1

次元リー代数は互いに同型である

.

証明

. g 1

と

g 2

を任意の

1

^{次元リー代数とする}

.

^{次元が等しいから}

,

線型同型写像が存在する

.

^その写像を

,

f : g 1 → g 2 : X 7→ f (X)

とする

.

^後は

,

^この

f

が括弧積を保つことを示せばよい

.

^任意に

X, Y ∈ g 1

をとる

. f

^{が線型であ} ることと命題

1.3

より

,

f ([X, Y ]) = f (0) = 0, [f (X), f (Y )] = 0

となるから

, f

^{は括弧積を保つ}

.

^{したがって}

, g 1 ∼ = g 2

である

.

(8)

1.4

リー代数の半直積

リー代数の半直積を定義するために

,

まずリー代数上の微分代数を定義する

.

定義

1.21. g

^{をリー代数}

, D : g → g :

^{線型写像とする}

.

∀X, Y ∈ g, D([X, Y ]) = [D(X), Y ] + [X, D(Y )]

を満たすとき

, D

^を

g

^の微分

(derivation)

^という

. g

の微分全体の集合を微分代数といい

, D (g)

^と書く

.

命題

1.22.

上の

D (g)

はリー代数である

.

証明

. Hom _R (g, g) := {f : g → g :

^{実線型写像}

}

^とする

.

^{このとき任意の}

f, g ∈ Hom _R (g, g)

^に対し

,

^括弧積を

[f, g] := f ◦ g − g ◦ f

^{で定義すると}

, Hom _R (g, g)

がリー代数になることが容易にわかる

.

^{したがって}

, D (g)

^が

Hom _R (g, g)

内のリー部分代数となればよい

.

まず線型部分空間となることを示す

.

零写像

0 : g → g : X 7→ 0

を考える

.

これは

Hom _R (g, g)

の零元である

.

さらに

,

任意の

X, Y ∈ g

に対し

,

0([X, Y ]) = 0,

[0(X), Y ] + [X, 0(Y )] = [0, Y ] + [X, 0] = 0,

だから

, 0 ∈ D (g)

である

.

さらに

,

任意の

D, E ∈ D (g), X, Y ∈ g

に対し

,

微分の定義と括弧積の双線型性から

,

(D + E)([X, Y ]) = D([X, Y ]) + E([X, Y ])

= [D(X), Y ] + [X, D(Y )] + [E(X), Y ] + [X, E(Y )]

= [D(X) + E(X), Y ] + [X, D(Y ) + E(Y )]

= [(D + E)(X), Y ] + [X, (D + E)(Y )]

となり

,

和に関して閉じていることがわかる

.

スカラー倍についても同様にしてわかる

.

よって

, D(g)

^は

Hom _R (g, g)

内の線型部分空間である

.

次に括弧積で閉じていることを示す

.

^任意の

D, E ∈ D (g), X, Y ∈ g

^をとる

. [D, E]([X, Y ]) = (D ◦ E − E ◦ D)([X, Y ])

= (D ◦ E)([X, Y ]) − (E ◦ D)([X, Y ])

であり

,

微分の定義と微分が線型であることから

,

(D ◦ E)([X, Y ]) = D(E([X, Y ]))

= D([E(X), Y ] + [X, E (Y )])

= D([E(X), Y ]) + D([X, E(Y )])

= [(D ◦ E)(X), Y ] + [E(X), D(Y )] + [D(X), E(Y )] + [X, (D ◦ E)(Y )]

(9)

となる

. (E ◦ D)([X, Y ])

も同様にすることにより

, (D ◦ E)([X, Y ]) − (E ◦ D)([X, Y ])

=[(D ◦ E)(X), Y ] − [(E ◦ D)(X), Y ] + [X, (D ◦ E)(Y )] − [X, (E ◦ D)(Y )]

=[(D ◦ E − E ◦ D)(X), Y ] + [X, (D ◦ E − E ◦ D)(Y )]

=[[D, E ](X), Y ] + [X, [D, E](Y )]

となり

, [D, E ]([X, Y ]) = [[D, E ](X), Y ] + [X, [D, E ](Y )]

である

.

すなわち

, [D, E] ∈ D (g)

であり

, D(g)

^は

Hom _R (g, g)

.

^{したがって}

, D(g)

^{はリー代数である}

.

命題

1.23. g

^{をリー代数}

, a, b

^{をそれぞれ}

, g

^{内のイデアル}

,

^{リー部分代数とする}

.

^このとき

,

^次で定義される

σ

:

σ : b → D(a) : Y 7→ σ(Y ), σ(Y ) : a → a : X 7→ [Y, X].

証明

.

^まず

, well-defined

^{であることを確かめる}

.

^{そのためには}

, σ(Y ) ∈ D (a)

^{であることを言えば} よい

. a

は

g

内のイデアルだから

, [Y, X ] ∈ a

である

.

括弧積の双線型性より

, σ(Y )

が線型写像であることもわかる

.

さらにヤコビ律を使うと

,

任意の

X, Z ∈ a

^に対し

,

σ(Y )([X, Z ]) = [Y, [X, Z ]]

= [[Y, X ], Z ] + [X, [Y, Z]]

= [σ(Y )(X), Z ] + [X, σ(Y )(Z )]

となる

.

^{したがって}

, σ(Y ) ∈ D (a)

^となり

, σ

^は

well-defined

^である

.

^続いて

σ

^{が準同型写像で} あることを示す

.

括弧積の双線型性より

, σ

は線型写像である

.

さらにヤコビ律を使うと

,

任意の

Y 1 , Y 2 ∈ b, X ∈ a

^に対し

,

σ([Y 1 , Y 2 ])(X) = [[Y 1 , Y 2 ], X]

= [Y 1 , [Y 2 , X]] − [Y 2 , [Y 1 , X ]]

= [Y 1 , σ(Y 2 )(X)] − [Y 2 , σ(Y 1 )(X)]

= σ(Y 1 )(σ(Y 2 )(X)) − σ(Y 2 )(σ(Y 1 )(X))

= (σ(Y 1 ) ◦ σ(Y 2 ) − σ(Y 2 ) ◦ σ(Y 1 ))(X)

= [σ(Y 1 ), σ(Y 2 )](X)

となる

.

^{したがって}

, σ([Y 1 , Y 2 ]) = [σ(Y 1 ), σ(Y 2 )]

^{であるから}

, σ

.

命題

1.24. a, b

^{をリー代数}

, σ : b → D (a)

をリー代数の準同型とする

.

^直積集合

a × b

^上に

,

^和とスカラー倍を成分ごとに定義し

,

^括弧積を

,

[(X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 )] := ([X 1 , X 2 ] + σ(Y 1 )(X 2 ) − σ(Y 2 )(X 1 ), [Y 1 , Y 2 ]) (X 1 , X 2 ∈ a, Y 1 , Y 2 ∈ b)

により定義したものはリー代数である

.

(10)

証明

. a × b

がリー代数になることを示す

. a × b

が線型空間となることは明らかである

.

次に

,

括弧積がリー代数の定義を満たすことを示す

.

まず交代性を示す

.

任意の

(X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 ) ∈ a × b

をとる

. a, b

それぞれにおける括弧積の交代性により

,

[(X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 )] = ([X 1 , X 2 ] + σ(Y 1 )(X 2 ) − σ(Y 2 )(X 1 ), [Y 1 , Y 2 ])

= ( − [X 2 , X 1 ] − σ(Y 2 )(X 1 ) + σ(Y 1 )(X 2 ), − [Y 2 , Y 1 ])

= − ([X 2 , X 1 ] + σ(Y 2 )(X 1 ) − σ(Y 1 )(X 2 ), [Y 2 , Y 1 ])

= − [(X 2 , Y 2 ), (X 1 , Y 1 )]

となり交代性を満たす

.

^{双線型性を示すために}

,

^任意の

(X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 ), (X 3 , Y 3 ) ∈ a × b, a, b ∈ R

^をとる

. a, b

それぞれにおける括弧積の双線型性と

, σ

^が準同型

, σ(Y 1 )

^{が線型であること} から

,

[(X 1 , Y 1 ), a(X 2 , Y 2 ) + b(X 3 , Y 3 )]

=[(X 1 , Y 1 ), (aX 2 + bX 3 , aY 2 + bY 3 )]

=([X 1 , aX 2 + bX 3 ] + σ(Y 1 )(aX 2 + bX 3 ) − σ(aY 2 + bY 3 )(X 1 ), [Y 1 , aY 2 + bY 3 ])

=(a[X 1 , X 2 ] + b[X 1 , X 3 ] + aσ(Y 1 )(X 2 ) + bσ(Y 1 )(X 3 )

− aσ(Y 2 )(X 1 ) − bσ(Y 3 )(X 1 ), a[Y 1 , Y 2 ] + b[Y 1 , Y 3 ])

=(a[X 1 , X 2 ] + aσ(Y 1 )(X 2 ) − aσ(Y 2 )(X 1 ), a[Y 1 , Y 2 ]) + (b[X 1 , X 3 ] + bσ(Y 1 )(X 3 ) − bσ(Y 3 )(X 1 ), b[Y 1 , Y 3 ])

=a([X 1 , X 2 ] + σ(Y 1 )(X 2 ) − σ(Y 2 )(X 1 ), [Y 1 , Y 2 ]) + b([X 1 , X 3 ] + σ(Y 1 )(X 3 ) − σ(Y 3 )(X 1 ), [Y 1 , Y 3 ])

=a[(X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 )] + b[(X 1 , Y 1 ), (X 3 , Y 3 )]

となり

,

交代性を用いることで

,

[a(X 1 , Y 1 ) + b(X 2 , Y 2 ), (X 3 , Y 3 )] = a[(X 1 , Y 1 ), (X 3 , Y 3 )] + b[(X 2 , Y 2 ), (X 3 , Y 3 )]

も示される

.

^{したがって}

,

^{双線型である}

.

^{最後にヤコビ律を示す}

.

^ここで

,

^任意の

X ∈ a, Y ∈ b

^に対し

, (X, Y ) = (X, 0) + (0, Y )

^{であるから}

, a × b

における括弧積のヤコビ律を示すには

, a × b

^の元が

,

(X 1 , 0), (X 2 , 0), (X 3 , 0) (1)

(X 1 , 0), (X 2 , 0), (0, Y 3 ) (2)

(X 1 , 0), (0, Y 2 ), (0, Y 3 ) (3)

(0, Y 1 ), (0, Y 2 ), (0, Y 3 ) (4)

の４通りの場合に確かめればよい

. (1)

と

(4)

の場合にヤコビ律を満たすことは

, a, b

^{におけるヤコ}

(11)

ビ律からわかる

. (2)

のときをまず考える

. σ

が準同型であり

σ(0)

が零写像であることから

, [(X 1 , 0), [(X 2 , 0), (0, Y 3 )]] = [(X 1 , 0), ([X 2 , 0] + σ(0)(0) − σ(Y 3 )(X 2 ), [0, Y 3 ])]

= [(X 1 , 0), ( − σ(Y 3 )(X 2 ), 0)]

= ([X 1 , − σ(Y 3 )(X 2 )] + σ(0)( − σ(Y 3 )(X 2 )) − σ(0)(X 1 ), [0, 0])

= ( − [X 1 , σ(Y 3 )(X 2 )], 0) ,

[(X 2 , 0), [(0, Y 3 ), (X 1 , 0)]] = [(X 2 , 0), ([0, X 1 ] + σ(Y 3 )(X 1 ) − σ(0)(0), [Y 3 , 0])]

= [(X 2 , 0), (σ(Y 3 )(X 1 ), 0)]

= ([X 2 , σ(Y 3 )(X 1 )] + σ(0)(σ(Y 3 )(X 1 )) − σ(0)(X 2 ), [0, 0])

= ([X 2 , σ(Y 3 )(X 1 )], 0) ,

[(0, Y 3 ), [(X 1 , 0), (X 2 , 0)]] = [(0, Y 3 ), ([X 1 , X 2 ] + σ(0)(X 2 ) − σ(0)(X 1 ), [0, 0])]

= [(0, Y 3 ), ([X 1 , X 2 ], 0)]

= ([0, [X 1 , X 2 ]] + σ(Y 3 )([X 1 , X 2 ]) − σ(0)(0), [Y 3 , 0])

= (σ(Y 3 )([X 1 , X 2 ]), 0)

となる

.

^{したがって}

, −[X 1 , σ(Y 3 )(X 2 )] + [X 2 , σ(Y 3 )(X 1 )] + σ(Y 3 )([X 1 , X 2 ]) = 0

^{となればよい} がこれは

,

^{括弧積の交代性と}

σ(Y 3 ) ∈ D (a)

^{であることからわかる}

.

^次に

, (3)

^{のときを考える}

. σ(Y 2 ), σ(Y 3 )

^{が線型であり}

σ(0)

が零写像であることから

,

[(X 1 , 0), [(0, Y 2 ), (0, Y 3 )]] = [(X 1 , 0), ([0, 0] + σ(Y 2 )(0) − σ(Y 3 )(0), [Y 2 , Y 3 ])]

= [(X 1 , 0), (0, [Y 2 , Y 3 ])]

= ([X 1 , 0] + σ(0)(0) − σ([Y 2 , Y 3 ])(X 1 ), [0, [Y 2 , Y 3 ]])

= ( − σ([Y 2 , Y 3 ])(X 1 ), 0) ,

[(0, Y 2 ), [(0, Y 3 ), (X 1 , 0)]] = [(0, Y 2 ), ([0, X 1 ] + σ(Y 3 )(X 1 ) − σ(0)(0), [Y 3 , 0])]

= [(0, Y 2 ), (σ(Y 3 )(X 1 ), 0)]

= ([0, σ(Y 3 )(X 1 )] + σ(Y 2 )(σ(Y 3 )(X 1 )) − σ(0)(0), [Y 2 , 0])

= ((σ(Y 2 ) ◦ σ(Y 3 ))(X 1 ), 0) ,

[(0, Y 3 ), [(X 1 , 0), (0, Y 2 )]] = [(0, Y 3 ), ([X 1 , 0] + σ(0)(0) − σ(Y 2 )(X 1 ), [0, Y 2 ])]

= [(0, Y 3 ), ( − σ(Y 2 )(X 1 ), 0)]

= ([0, − σ(Y 2 )(X 1 )] + σ(Y 3 )( − σ(Y 2 )(X 1 )) − σ(0)(0), [Y 3 , 0])

= ( − (σ(Y 3 ) ◦ σ(Y 2 ))(X 1 ), 0)

となる

.

したがって

, − σ([Y 2 , Y 3 ])(X 1 ) + (σ(Y 2 ) ◦ σ(Y 3 ))(X 1 ) − (σ(Y 3 ) ◦ σ(Y 2 ))(X 1 ) = 0

すなわち

, σ([Y 2 , Y 3 ]) = σ(Y 2 ) ◦ σ(Y 3 ) − σ(Y 3 ) ◦ σ(Y 2 )

となればよいがこれは

, [σ(Y 2 ), σ(Y 3 )] = σ(Y 2 ) ◦ σ(Y 3 ) − σ(Y 3 ) ◦ σ(Y 2 )

^{であることと}

, σ

が準同型であることからわかる

.

^よって

, a × b

^において括弧積はヤコビ律を満たす

.

^以上より

, a × b

^{はリー代数である}

.

定義

1.25.

^命題

1.21

のように定義したリー代数を

,

^{リー代数の準同型}

σ

^による

a

^と

b

^の半直積

(semidirect product)

といい

, a × σ b

と書く

.

(12)

2

^リー群

この章では

,

リー群に関する基礎事項を述べ

,

リー群の半直積を定義する

.

2.1

リー群の定義

定義

2.1. G

が群かつ可微分多様体であるとする

.

^このとき

G

^が

C ^∞

^級リー群

(C ^∞ -Lie group)

であるとは

,

:

(i)

積をとる写像

G × G → G : (g, h) 7→ gh

が

C ^∞

級

. (ii)

逆元をとる写像

G → G : g 7→ g ⁻ ¹

が

C ^∞

級

.

定義

2.2. M

を可微分多様体とする

.

このとき

, M

が

C ^ω

級多様体

(

解析多様体

)(C ^ω -manifold,

analytic manifold)

であるとは、全ての座標変換が解析的であること

,

すなわち収束する冪級数で

表すことができること

.

^以下

,

写像が解析的であることを

C ^ω

^{級であるという}

.

定義

2.3. G

^を群かつ

C ^ω

^{級多様体とする}

.

^このとき

, G

^が

C ^ω

^級リー群

(C ^ω -Lie group)

^であるとは

,

:

(i)

積をとる写像

G × G → G : (g, h) 7→ gh

が

C ^ω

級

. (ii)

逆元をとる写像

G → G : g 7→ g ⁻ ¹

が

C ^ω

級

.

例

2.4. R ⁿ

^{は通常の加法により}

C ^ω

級リー群

.

証明

.

^まず

, R ⁿ

^{は座標近傍}

{ ( R ⁿ , id _R

ⁿ

) } (id _R

ⁿ ^は

R ⁿ

^{上の恒等写像}

)

^により

, C ^ω

^{級多様体である}

.

また

,

群演算は次のような写像である

:

(

^加法

) G × G → G : (g, h) 7→ g + h, (

^逆元

) G → G : g 7→ − g.

この

2

^{つの写像は}

,

成分の多項式で書けるから

,

^ともに

C ^ω

^級である

.

例

2.5. S ¹

は

C ^ω

級リー群

.

証明

. S ¹

は以下のように定義される座標近傍

{(U i ± , φ i ± )} i=1,2

により

, C ^ω

: U i ± := { (x 1 , x 2 ) ∈ S ¹ | ± x i > 0 } ,

φ 1 ± : U 1 ± → R : (x 1 , x 2 ) 7→ x 2 , φ 2 ± : U 2 ± → R : (x 1 , x 2 ) 7→ x 1 .

また

,

積と逆元をとる写像は次のように書ける

:

(x, y)(x ^′ , y ^′ ) = (xx ^′ − yy ^′ , x ^′ y + xy ^′ ),

(x, y) ⁻ ¹ = (x, − y).

(13)

この

2

つの写像は

,

成分の多項式で書けるから

,

ともに

C ^ω

級である

.

2.2

リー群の準同型

定義

2.6. G 1 , G 2

を

C ^ω

^{級リー群とする}

.

^写像

f : G 1 → G 2

が準同型写像

(homomorphism)

^とは

,

^{以下が成り立つこと}

:

(i) f

^は

C ^ω

^級

. (ii) f

^{は群準同型}

.

さらに

f

^が

C ^ω

^{級同相のとき}

,

^同型写像

(isomorphism)

^という

.

^リー群

G 1

と

G 2

の間に同型写像が存在するとき

,

^{これらは同型}

(isomorphic)

^{であると言う}

.

例

2.7. f : R → S ¹ : x 7→ (cos x, sin x)

とする

.

このとき

f

は準同型写像である

.

証明

.

まず上の例に挙げたように

, R

^と

S ¹

^はともに

C ^ω

^{級リー群である}

.

^また

,

^{三角関数は}

C ^ω

^級だから

f

^は

C ^ω

^級である

.

^次に

,

^{準同型を示すために}

,

^任意の

x, y ∈ R

^をとる

.

^{三角関数の加法定} 理と

S ¹

^{上の積の定義から}

,

f (x + y) = (cos(x + y), sin(x + y))

= (cos x cos y − sin x sin y, sin x cos y + cos x sin y)

= (cos x, sin x)(cos y, sin y)

= f (x)f (y)

となり

, f

^{は群準同型である}

.

^以上より

, f

.

2.3

リー群の半直積

単連結なリー群を考えるために

,

単連結であることの定義を述べる

.

定義

2.8. X

^{を弧状連結空間}

, a ∈ X

^とし

,

次のような連続写像を考える

:

ε a : [0, 1] → X : t 7→ a.

このとき

, X

が単連結

(simply connected)

であるとは

,

次が成り立つこと

: π 1 (X, a) = { [ε a ] } . (

ただし

, π 1 (X, a)

とは点

a

を基点とする

X

の基本群である

.)

例

2.9. D ² := { (x 1 , x 2 ) ∈ R ² | x 1 2 + x 2 2 ≦ 1 }

^は単連結

.

証明

. D ²

^{の基点として}

, 0 ∈ D ²

^を考える

. π 1 (D ² , 0) ⊃ { [ε 0 ] }

^{は明らかである}

.

^任意の

[f ] ∈ π 1 (D ² , 0)

をとる

.

f : [0, 1] → D ² : t 7→ f(t) (f (0) = f (1) = 0)

(14)

とする

.

ここで

,

φ s : [0, 1] → D ² : t 7→ (1 − s)f(t) (0 ≦ s ≦ 1)

とする

. f

^{が連続だから}

φ s

も連続である

.

^さらに

,

φ s (0) = (1 − s)f(0) = 0 , φ s (1) = (1 − s)f(1) = 0 ,

φ 0 (t) = f (t), φ 1 (t) = 0 = ε 0 (t)

である

.

^{よって}

, φ s

は

f

^と

ε 0

の間のホモトピーとなり

, [f ] = [ε 0 ]

^である

.

^{したがって}

, π 1 (D ² , 0) ⊂ { [ε 0 ] }

^{であるから}

, D ²

^は単連結

.

リー群の半直積を定義するには

,

リー群上の自己同型群が必要となる

.

^そこで

,

^{自己同型群を定義} する

.

定義

2.10. G

^を

C ^ω

^{級リー群とする}

.

^このとき

,

AutG

^を

,

^リー群

G

^{の自己同型} 群

(automorphism group)

^という

: AutG := { f : G → G | f :

^{リー群同型}

} .

リー群の自己同型群について

,

次のことが知られている

.

命題

2.11. (

参考文献

[2], P219,

定理

4.4.6)G

を単連結

C ^ω

級リー群とする

.

このとき

, AutG

は

C ^ω

級リー群である

.

以下

,

リー群は全て単連結とする

.

命題

2.12. A, B

^を

C ^ω

^級リー群

, φ : B → AutA : b 7→ φ b

を準同型

,

^写像

A × B → A : (a, b) 7→

φ b (a)

を

C ^ω

級写像とする

.

このとき

,

直積多様体

A × B

に積を

, (a 1 , b 1 )(a 2 , b 2 ) := (a 1 φ b

1

(a 2 ), b 1 b 2 )

により定義するとき

, A × B

^は

C ^ω

^{級リー群となる}

.

証明

. A × B

^が

C ^ω

級リー群であることを示す

.

まず群であることを示す

.

^{任意の}

(a 1 , b 1 ), (a 2 , b 2 ), (a 3 , b 3 ) ∈ A × B

をとる

. φ b

1 が同型だから

,

((a 1 , b 1 )(a 2 , b 2 ))(a 3 , b 3 ) = (a 1 φ b

1

(a 2 ), b 1 b 2 )(a 3 , b 3 )

= (a 1 φ b

1

(a 2 )φ b

1

b

2

(a 3 ), b 1 b 2 b 3 ) , (5) (a 1 , b 1 )((a 2 , b 2 )(a 3 , b 3 )) = (a 1 , b 1 )(a 2 φ b

2

(a 3 ), b 2 b 3 )

= (a 1 φ b

1

(a 2 φ b

2

(a 3 )), b 1 b 2 b 3 )

= (a 1 φ b

1

(a 2 )φ b

1

(φ b

2

(a 3 )), b 1 b 2 b 3 )

= (a 1 φ b

1

(a 2 )(φ b

1

◦ φ b

2

)(a 3 ), b 1 b 2 b 3 ) (6)

である

.

^ここで

, φ

が準同型であることから

,

φ b

1

b

2

= φ b

1

◦ φ b

2

(7)

(15)

となる

. (5), (6), (7)

より積が結合則を満たすことがわかる

. A, B

の単位元をそれぞれ

e A , e B

とすると

, (e A , e B )

が

A × B

の単位元となることが容易にわかる

.

また

,

任意の

(a, b) ∈ A × B

に対し

, (φ b

⁻¹

(a ⁻ ¹ ), b ⁻ ¹ )

が逆元となることも容易にわかる

.

^{したがって}

, A × B

^{は群である}

. A, B

^はともに

C ^ω

^{級多様体だから}

, A × B

^も

C ^ω

.

^最後に

,

^{積と逆元をとる写像が}

C ^ω

^級であることを確かめる

. 2

つの写像はそれぞれ次のように書かれる

:

(

^積

) (a 1 , b 1 )(a 2 , b 2 ) = (a 1 φ b

1

(a 2 ), b 1 b 2 ), (

^逆元

) (a, b) ⁻ ¹ = (φ _b

−1

(a ⁻ ¹ ), b ⁻ ¹ ).

まず前者については

,

^写像

A × B → A : (a, b) 7→ φ b (a)

^が

C ^ω

^{級であることと}

, A, B

^{それぞれに} おいて

,

積が

C ^ω

級であることからわかる

.

後者については

,

写像

A × B → A : (a, b) 7→ φ b (a)

が

C ^ω

級であることと

, A, B

それぞれにおいて

,

逆元をとる写像が

C ^ω

級であることからわかる

.

以上より

, A × B

^は

C ^ω

.

定義

2.13.

^命題

2.12

のように定義したリー群を

,

^{リー群の準同型}

φ

^による

A

^と

B

^の半直積

(semidirect product)

^といい

, A × φ B

^と書く

.

(16)

3

主定理の証明

本論文の主定理を述べる

.

定理

3.1.

任意の有限次元実可解リー代数

g

^に対し

,

^単連結

C ^ω

^級リー群

G

^であって

,

^{そのリー代} 数

L(G)

が

g

と同型なものが存在する

.

ここで

, L(G)

は

G

上の左不変ベクトル場全体のなすリー代数である

.

3.1

証明の準備

この節では

,

主定理の証明の際に使う命題や定理を紹介する

.

まず可解リー代数について以下のことが成り立つ

.

命題

3.2. g

^{を可解リー代数とする}

.

^このとき

, [g, g] ⫋ g

^である

.

証明

.

背理法を用いることで示すことができる

.

命題

3.3. g

^{を可解リー代数}

, a

^を

g

内のリー部分代数とする

.

^このとき

, a

^{も可解リー代数}

.

証明

. g

^{が可解だから}

,

∃n ∈ N s.t. g ⁽ⁿ⁾ = 0

となる

. a ⊂ g

^だから

, a ⁽ⁿ⁾ ⊂ g ⁽ⁿ⁾ = 0

^である

.

^{したがって}

, a ⁽ⁿ⁾ = 0

^となり

, a

^{は可解リー代数で} ある

.

命題

3.4. g

^を

n

次元可解リー代数とする

(n ≧ 2).

このとき

, g

^内の

n − 1

次元可解リー部分代数

a

^{が存在する}

.

証明

. dim g = n

^{であることと命題}

3.2

^より

, dim[g, g] ≦ n − 1

^である

.

^{したがって}

, g

^内の

n − 1

次元線型部分空間

a

^であって

, [g, g] ⊂ a ⊂ g

^{となるものが存在する}

.

^任意の

X ∈ g, Y ∈ a

^に対し

,

[X, Y ] ∈ [g, g] ⊂ a

であるから

, a

^は

g

^{内のイデアルとなり}

,

^命題

1.9

^より

a

^は

g

.

^命題

3.3

^より

a

^{も可解である}

.

弧状連結空間の基本群について考えるために

,

次を定義する

.

定義

3.5. X, Y

を弧状連結とし

,

それぞれの基点を

x 0 ∈ X, y 0 ∈ Y

とする

.

連続写像

f :

(X, x 0 ) → (Y, y 0 )

^に対し

, f _∗ : π 1 (X, x 0 ) → π 1 (Y, y 0 ) : [u] 7→ [f ◦ u]

^を

, f

^{による基本群の誘導準} 同型

(induced homomorphism)

^という

.

(17)

命題

3.6.

誘導準同型に関して

,

以下が成り立つ

.

(1) id X : X → X

による誘導準同型は

,

恒等写像

(id X ) _∗ : π 1 (X, x 0 ) → π 1 (X, x 0 ).

(2)

連続写像

f : (X, x 0 ) → (Y, y 0 ), g : (Y, y 0 ) → (Z, z 0 )

に対して

, (g ◦ f ) _∗ = g _∗ ◦ f _∗ .

証明

.

誘導準同型の定義よりわかる

.

基本群について次のことが成り立つ

.

命題

3.7. (

^参考文献

[2], P204,

^命題

4.3.4)X, Y

^{がともに弧状連結}

, x 0 ∈ X, y 0 ∈ Y

^のとき

,

^次が成り立つ

:

π 1 (X × Y, (x 0 , y 0 )) ∼ = π 1 (X, x 0 ) × π 1 (Y, y 0 ).

この命題から

,

単連結なものの直積も単連結であることがわかる

.

リー群の接空間とリー代数の関係として

,

^{次のことが成り立つ}

.

命題

3.8. (

参考文献

[1], P8,

補題

3.4)G

をリー群

, e

を

G

の単位元

, e

における

G

の接空間を

T e G

とする

.

このとき

,

次の写像は線型同型写像である

:

ε : L(G) → T e G : X 7→ X e .

最後に

,

リー代数の半直積とリー群の半直積に関する定理を紹介する

.

定理

3.9. (

参考文献

[2], P408,

定理

5.8.4)A, B

を単連結

C ^ω

級リー群

, a, b

をそれぞれのリー代数とし

, σ : b → D (a)

を準同型

, g := a × σ b

とする

.

このとき

, σ

から誘導されるリー群準同型

φ : B →AutA

^{が存在して}

, G := A × φ B

^{が定義される}

. G

^は単連結

C ^ω

^{級リー群で}

, L(G) ∼ = g := a × σ b

^である

.

3.2

主定理の証明

以下で

,

本論文の主定理を証明する

.

証明

. g

を任意の有限次元実可解リー代数とする

. n := dim g

とする

. n

に関する帰納法で示す

. 1) n = 1

^とする

. G := R

^とする

. R

^{は単連結な}

C ^ω

. L(R) ∼ = g

^{であることを示} す

.

^命題

3.8

^より

dim L( R ) = 1

^である

.

^命題

1.20

^より

L( R ) ∼ = g

^である

.

^以上より

, n = 1

^のとき主定理は成り立つ

.

2) n > 1

^として

, n − 1

のとき主定理が成り立つとする

. g

^{は可解だから命題}

3.4

^より

, g

^内の

n − 1

次元可解リー部分代数

a

が存在する

.

命題

1.6

より

, a

自身リー代数である

.

したがって帰納法の仮定より

,

単連結な

C ^ω

級リー群

A

であって

, L(A) ∼ = a

^{となるものが存在する}

.

次に

,

dim g − dim a = n − (n − 1) = 1

平成 28 年度卒業論文 可解リー代数に対するリー群の存在定理