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1

第 8 章 ：フィードバック制御系の設計法

学習目標

：

8.1 設計手順と性能評価

キーワード

：

設計手順，性能評価

一般的な制御系設計における手順と制御系

の性能評価について学ぶ．ループ整形の考

え方を用いて, 位相遅れ補償，位相進み補償

による制御系設計を習得する．

8.2 PID 補償による制御系設計

キーワード

：

P（比例），I（積分），D（微分）

8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計

キーワード

：

位相遅れ補償，位相進み補償

2

8. フィードバック制御系の設計法

8.1 設計手順と性能評価

制御系の設計手順

レギュレータ問題（定置制御） ：一定の値に保持（制） サーボ問題（追従制御） ：目標値に良好に追従 （御） 人工衛星の姿勢制御など 航空機の自動操縦など http://spaceinfo.jaxa.jp/gallery/ gallery-j/movie_alflex_j.html http://edu.jaxa.jp/materialDB/list.php? category=theme&node_id=10000000 3 ［ステップ１］ 制御対象の数学的 モデルを求める. ［ステップ２］ 制御目的から, 性能仕様を決める. ［ステップ３］ 性能仕様を満たすように, コントローラを設計する. ［ステップ４］ シミュレーションにより, 設計された制御系を評価する. 必要なら ば以上のステップを繰り返し設計をやり直す. ［ステップ５］ コントローラを実装し, ハードウェアを用いてテストする.

制御系の設計手順

現実の世界 紙の上の世界 制御目的 性能仕様 実装 モデリング 数学的 モデル コントローラ 設計 コントローラ 実現 制御対象 4 （ 広い意味では ） • センサ・アクチュエータの選択・配置 • 制御量・操作量の決定 • 動作環境・拘束条件の分析… など 光センサ タッチセンサ ＬＥＧＯ 5

制御系の性能評価

定常特性（§4.2） : s e 定常位置偏差 : p K 位置偏差定数 ) 0 ( 1 1 L es= ₊ ) 0 ( L Kp= 表4.1 制御系の型と定常偏差 制御系の型 0 型 1 型 2 型 1 ) (t= r r(t)=t () 2/2 t t r = p K + 1 1 v K 1 a K 1 ∞ ∞ 0 0 0 ∞ 図4.4 定常位置偏差 s e t 0 5 10 15 0 5 . 0 1 5 . 1 ) (t y ) ( ) ( ) (s PsKs L = ) (s K u 0 = d y ) (s P + r + e − 定常特性 過渡特性 6 過渡特性 速応性 減衰特性 時間応答 周波数応答 r T 立上り時間 max A オーバーシュート d T 遅れ時間 s T 整定時間 p T 行過ぎ時間 減衰比 r T max A p T d T s T % 2 ± 図3.10 過渡応答と諸特性値 t 1 . 0 5 . 0 9 . 0 1 ) (t y

制御系の性能評価

定常特性 過渡特性 に基づく性能評価 時間応答に基づく性能評価（§3.4）

7 2次系 Im Re

×

×

ωn n ω − −ζωn θ 2 1 ζ ωn − 0 図3.8 2次系の極の位置 2 2 2 2 n n n s s P ω ζω ω + + = ζ：減衰係数（2次系） 図3.7 2次系のステップ応答ωnt 1 . 0 = ζ 1 = ζ 0 5 10 15 0 5 . 0 1 5 . 1 ) (ty 過渡特性 時間応答 周波数応答

制御系の性能評価

定常特性 過渡特性 に基づく性能評価 時間応答に基づく性能評価（§3.3） 速応性 減衰特性 n

ω

：自然角周波数 8

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

Im

Re

図3.9 極の位置とインパルス応答 過渡特性 時間応答 周波数応答

制御系の性能評価

定常特性 過渡特性 に基づく性能評価 時間応答に基づく性能評価（続き）（§3.4） 速応性 減衰特性 9 時間応答 周波数応答

制御系の性能評価

定常特性 過渡特性 伝達関数に基づく性能評価 閉ループ 開ループ 閉ループ伝達関数に基づく性能評価（p.147） 感度関数S についても：Mr(<2) 図8.1 閉ループゲイン特性 の場合 | ) ( |T jω 0 | ) 0 ( |T = 1 bw ω dB 3 r ω r M ) (s K P(s) + − r y 共振周波数

ω

_r 速応性 バンド幅 : bw ω 1₂ 倍 dB 3 − 減衰特性 ピークゲイン : r M Mr=1.1~1.5(Mr=1.3) 10 時間応答 周波数応答

制御系の性能評価

定常特性 過渡特性 閉ループ_{伝達関数に基づく性能評価} 開ループ 開ループ伝達関数に基づく性能評価（p.148） Re 1 − O P G Im GM 1 PM 安定余裕 ［ゲイン余裕 / 位相余裕］ ［ゲイン/位相］交差周波数 （速応性）：ゲイン交差周波数ω_gc ω ≤gc ωbw ) 90 PM ( ≤ ° （減衰特性）：位相余裕PM ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≥ − r M 2 1 sin 2 PM 1 経験的指針 追従制御 ： 定置制御 ： , 60 ~ 40 PM= °GM=10dB~20dB , 20 PM≥ ° GM=3dB~10dB 2次系の場合 ： PM≈ 100×ζ 11

制御系の性能評価

LTIview

ボード線図 ナイキスト線図（ベクトル軌跡） ステップ応答 閉ループゲイン特性 極・零点配置 12

Minorsky

： P，I，D 3項動作の着想

1922年

Callender

： PIDの原型

1936年

Ziegler

and

Nichols

： PID制御の調整法の提案

1942年

PID制御の歴史

Hezebroek and Waerden

1950年

その後のPID制御の調整法

1951年 Wolfe

1967年 Lopez, Miller, Smith and Murrill

1952年 Chien, Hrones and Reswick

1953年 Cohen and Coon

高橋

1949年

荒木 光彦, システム/制御/情報, Vol. 50, No. 12, pp. 441-446, 2006

13

8.2 PID補償による制御系設計

（偏差の） 比例（Proportional） 微分（Derivative） 積分（Integral） PID制御 _{図8.2 PID 補償} 比例 積分 微分 制御対象 + + + + − PID 補償 r e u y

P 補償

コントローラ KP(s)=KP 比例ゲイン （ 定数 ） ・定常位置偏差を（必ずしも） 0 にできない （ 積分器が必要 ：型 ） ・ゲインの増大 不安定になり得る 14

PI 補償

コントローラ s K K s K I P PI( )= + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = s T K I P 1 1 I P I K K T = （積分時間） “偏差が残っている限り, これが 積分されて操作量に反映される”

定常特性の改善

低周波：−20dB/dec, ゲイン大,

ω

→0で

∞

I T 1 dB/dec, 20 − ) (jω KPI ∠ | ) ( | log 20 KPI jω P K log 20 ω ゲイン 位相 図8.3 PI 補償のボード線図 0 90 − ] dB [ ] s / rad [ I T 1 ω [rad/s] o o 15 s e P

［ 例 8.1 ］

) 10 )( 1 ( 10 ) ( + + = s s s P 制御対象

P 補償

, 10 = P K P P PK L = ) 10 )( 1 ( 100 + + = s s 図8.4 開ループゲイン とステップ応答 定常偏差 ＝ 0 （ しかし応答は遅い） 低周波ゲインが大きい 交差周波数が低い

PI 補償

s s s KPI 1 1 1_{= +} + = PI PI PK L = ) 10 ( 10 + = s s 1 = P K 1 = I K PI 0 1 6 . 0 8 . 0 2 . 0 4 . 0 0 1 2 3 4 5 ) (t y t[s] ゲイン ［ dB ］ 0 20 40 ω 10−2 100 102 ] s / rad [ 20 − P PI 0 . 1 = gc ω 16

PD 補償

コントローラ

s

K

K

s

K

PD

(

)

=

P

+

D

)

1

(

T

s

K

P

+

D

=

P D D

K

K

T

=

（微分時間）

過渡特性の改善

“ 偏差が増加（減少）しつつ あるとき, その先を見越して 操作量を大きく（小さく）する ” ［注］ 理想的な微分器は実現困難 ) 20 3 (− ≤N≤

s

N

T

s

T

K

K

D D P PD

)

/

(

1

)

1

(

'

+

+

=

) (jω KPD ∠ P NK log 20 P K log 20 D T 1 NTD PD K PD K 図8.5 PD 補償のボード線図 0o 90 + o | ) ( | log 20 KPD jω ゲイン 位相 dB/dec 20 + ω [rad/s] ω [rad/s] ] dB [ PD K′ PD K′ 17

PID 補償

コントローラ s K s K K s K D I P PID( )= + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} = Ts s T K D I P 1 1 定常特性と過渡特性を改善 P D D K K T = _{（微分時間）} I P I K K T = （積分時間） ) (jω KPID ∠ | ) ( | log 20 K_PID jω ゲイン 位相 図8.6 PID 補償のボード線図 D T 1 NTD 0 90 + 90 − ] dB [ dB/dec 20 + dB/dec 20 − o o o ω [rad/s] ω[rad/s] 18 PID 5 . 2 = gc ω

［ 例 8.2 ］

) 10 )( 1 ( 10 ) ( + + = s s s P 制御対象 s K s K K s K D I P PID()= + + コントローラ s s s 1)( 10) ( 4 1 + + = s PK LPID PID 5 . 2 = = P PI 図8.7 開ループゲインと ステップ応答 PI P 定常特性：_L(0)=∞ 過渡特性（速応性）： gc

ω

ゲイン交差周波数 低周波ゲインが大きい PI 補償と比べて高い , 75 . 2 = P K K_I=2.5,KD=0.25 PID ゲイン ［ dB ］ 0 60 − 20 40 ω 10−2 100 102 ] s / rad [ 40 − 20 − 0 1 6 . 0 8 . 0 2 . 0 4 . 0 0 1 2 3 4 5 ) (t y t[s]

19 ゲイン ［ dB ］ 0 60 − 20 40 ω 10−2 100 102 ] s / rad [ 40 − 20 − ω 10−2 100 102 ] s / rad [ 位相 ［° ］ 90 180 − 90 − 0

［ 例 8.2 ］（続き）

位相余裕 PM 定常特性： ∞ = ) 0 ( L 過渡特性（速応性）： gc

ω

ゲイン交差周波数 低周波ゲインが大きい 減衰特性： PI P PID 5 . 2 = gc ω gc

ω

を大きくする PM を十分に確保する 20

PID チューニング （調整）

Ziegler and Nichols （1942）

（1）限界感度法 限界ゲインKu, 限界周期Pu 表 8.1 限界感度法 コントローラ P PI PID D T P K TI u K 5 . 0 u K 45 . 0 u K 6 . 0 0.5Pu 2 . 1 u P 8 u P 1 = K 17 = K 11 = K t 0 2 4 6 8 2 − 0 1 − 1 4 3 2 図 7.2 （b） 閉ループ系のステップ応答 4 2 4 1 5 1 ) ( ~ 2_{+ +} ⋅ + = s s s s P u P 限界ゲイン:K_u ) (t y 21

（2）

ステップ応答法

プロセス応答曲線 “1次遅れ+むだ時間” で近似 Ls e Ts K s P − + = 1 ) ( （定位プロセス） Ls

e

s

R

s

P

cf

:

(

)

=

− （無定位プロセス） 減衰比： 4 1 （ひとつの性能仕様） システム同定, 適応制御へ ) (t y 0 t K 図 8.8 プロセス反応曲線 L T T K 傾き R T K = コントローラ P PI PID D T P K TI 表 8.2 ステップ応答法 RL 1 RL 9 . 0 RL 2 . 1 2L 3 . 0 L L 5 . 0 ] [s 22

［ 例 ］ 限界感度法

) (s K P(s) + − r y 3 ) 1 ( 1 ) ( + = s s P 1 ) (j u Ku=− P ω O _Re 1 1 − 1 − 安定限界のとき， を通過 3 ) 1 ( + − = _u u j K ω ) 0 , 1 (− ［step1］限界ゲインKuの設定 ⇔ , 8 = u K 63 . 3 2 _≈ = u u P ω π 限界周期 限界ゲイン 3 = u ω ) 3 ( ) 1 3 ( 2 2 u u u u j K = ω − − ω −ω ] s [ 0 5 10 15 20 t 1 0 u P 23 表 8.1 限界感度法 コントローラ P PI PID D T P K TI u K 5 . 0 u K 45 . 0 u K 6 . 0 0.5Pu 2 . 1 u P 8 u P 8 = u K 63 . 3 ≈ u P 限界周期 限界ゲイン ［step2］PIDゲインの設定 0 5 10 15 20 t[s] 0 1 8 . 4 6 . 0 × = = _u P K K 81 . 1 5 . 0 × ≈ = u I P T 45 . 0 8 / ≈ = _u D P T s K s K K s K D I P PID()= + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} = Ts s T K D I P 1 1 24 ゲイン ［ dB ］ 0 100 − 50 ω 10−2 100 102 ] s / rad [ 50 − ω 10−2 100 102 ] s / rad [ 位相 ［° ］ 180 − 90 − 135 − o 3 . 30 PM= ［step3］性能評価 4 . 1 = gc ω 位相余裕 PM 定常特性： ∞ = ) 0 ( L 過渡特性（速応性）： gc

ω

ゲイン交差周波数 低周波ゲインが大きい 減衰特性： gc

ω

を大きくする PM を十分に確保する

25

8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計

感度関数

S

(s

)

⇒

• 低感度特性（パラメータ変動） ：

y

=

Sd

Δ

y

=

S

Δ

P

Sr

e

=

• 外乱抑制 ： • 目標値追従： 1 ( ) () 1 ) ( s K s P s S + =

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

s

K

s

P

s

K

s

P

s

T

+

=

y r ) (s K P(s) + − d u ₊ e ₊ + + _n 相補感度関数

T

(

s

)

⇒

• ロバスト安定性 ：

|

W

2

T

|

<

1

Tn

y

=

−

• 雑音除去 ： • 目標値追従 ：

y

=

Tr

26 拘束

S

(

s

)

+ s

T

(

)

=

1

⇒

同時に 0 に近づける_{ことは出来ない} Sを小さくする 周波数帯を分ける 低周波数帯： 高周波数帯：Tを小さくする 感度関数 ω | ) ( |S jω 0[dB] 相補感度関数 ( )jω T ω 0[dB] 27 （閉ループ伝達関数から, 開ループ伝達関数へ) L S + = 1 1 を大きく | | L より, 低周波域で (|L|>>1) 小 : S ⇒ L L T + = 1 より, 高周波域で を小さく(|L|<<1) 小 | | L : T ⇒ 図8.9 ループ整形 | ) ( | log 20 L jω ω gc ω | ) ( | log 20 L jω 1 | |L>> 1 | |L<< ] dB [ ] / rad [ s 0 ] dB [ 28

【Key Points】

• 定常特性： ) 0 ( L • 速応性： • 減衰特性： 低周波ゲイン ゲイン交差周波数 位相余裕 PMを確保する を大きくとる を高くする gc

ω

ω ω 0 dB o 180 − gc ω pc ω 位相 ゲイン GM PM ［復習］ 位相余裕 ω[rad/s] ] dB [ 0 ] [o 180 − gc ω PM ゲイン 位相 1 | |L>> 1 | |L<< ) 0 ( L 1 − PM O 29

【Key Points】

（交差周波数付近） ゲインの傾きが急（ 以下） • ゲインと位相の関係 • 最小位相系 不安定 好ましくない位相遅れ dec / dB 40 − 緩やかなゲインの傾き（−20dB/dec） dec / dB 40 − dec / dB 20 − −90 0 18 − → o → o ω[rad/s] ] dB [ 0 ] [o 180 − gc ω gc ω 不安定 ゲイン 位相 _安定 PM （§5.4） 30

【Key Points】

（低周波域）

開ループゲイン| L|を大きく 定常偏差 ： 小 , 1 1 P K + Kv 1 偏差定数 KP,

K

v が大 ω[rad/s] 0 ] [o 180 − gc ω ゲイン 位相 0 型 1 型 2 型−40dB/dec dec / dB 20 − ステップ状 → 1型（ を含む） ランプ状 → 2型（ を含む） s 1 2 1 s dec / dB 40 − dec / dB 20 − 目標値

31

【Key Points】

（高周波域）

ロール・オフ特性 ： dB/dec 60 ~ 40 − − 以下 ω[rad/s] ] dB [ 0 ] [o 180 − gc ω ゲイン 位相 32

ループ整形

• 定常特性： ) 0 ( L • 速応性： • 減衰特性： 低周波ゲイン ゲイン交差周波数 位相余裕 PMを確保する を大きくとる を高くする gc

ω

ω ω 0 dB o 180 − gc ω pc ω 位相 ゲイン GM PM ［復習］ 位相余裕 ω[rad/s] ] dB [ 0 ] [o 180 − gc ω PM ゲイン 位相 1 | |L>> 1 | |L<< ) 0 ( L 1 − PM O

【Key Points】

33

位相遅れ補償

［注］

位相遅れ：（安定性の劣化の原因）

折点角周波数

1T

を適切に

1 ) 1 ( ) ( + + = Ts Ts K s K α α _(α>1)

コントローラ

α

log

20

+

, ) 0 ( K K =

α

定常特性の改善

]

dB

[

K K(∞)= ) (jω K ∠ ) ( log 20 K jω α log 20 K α log 20 K log 20 T α 1 1T 図8.10 位相遅れ補償のボード線図 ] dB [ dec / dB 20 − ゲイン 位相 0 90 − ω [rad/s] o o ω [rad/s] 34 ) (jω K ∠ α log 20 K α log 20 K log 20 T α 1 1T 位相遅れ補償器 dec / dB 20 − ゲイン 位相 0 90 − ω o o ω ) ( log 20 K jω ) (jω KPI ∠ K log 20 T α 1 1T PI補償器 dec / dB 20 − ゲイン 位相 0 90 − ω o o ω ) ( log 20 KPI jω

位相遅れ補償とPI補償の比較

1 ) 1 ( ) ( + + = Ts Ts K s K α α

_α

_→

_∞

) ( ) 1 1 ( ) ( K s Ts K s K → + = PI 35 ω[rad/s] 0 ] [o 180 − ゲイン 位相 ] dB [ gc ω 36 以上で設計パラメータ が定められたので, 位相 遅れ補償を構成する. 低周波ゲインが 上がることを考慮し, 定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータ の値を定める. 位相遅れにより安定性が劣化しないように, 折点角周波数 をゲイン交差周波数より1dec 程度下になるように 選ぶ. もうひとつの折点角周波数を と定める. ［ステップ1］の を用いて開ループ伝達関数のボード 線図を描き, その低周波ゲインを評価する. 位相余裕やゲイン交差周波数に着目し, 望ましい 過渡応答特性が得られるようにゲイン補償 を決める. α log 20 +

α

K

［ステップ1］

位相遅れ補償の設計手順

［ステップ2］

_K

［ステップ3］ [dB] ［ステップ4］ T 1 =

ω

) /( 1

α

T

ω

= ［ステップ5］ K,α,T

37 図8.11 位相遅れ補償と開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 10 10 10 10 制御対象 ) 10 )( 1 ( 10 ) ( + + = s s s s P

［ 例 8.3 ］

性能仕様 速度偏差定数（定常特性）Kv≥10 位相余裕（減衰特性）PM≥ 40° P _=0.8 gc ω o 47 PM=

1

=

K

位相余裕やゲイン交差周波数に着目し, 望ましい 過渡応答特性が得られるようにゲイン補償

K

を決める. ［ステップ1］ OK

8

.

0

≈

gc

ω

°

= 47

PM

ゲイン交差周波数 位相余裕 ° ≥ 40 PM を満たす

]

rad/sec

[

38

)

10

)(

1

(

10

+

+

=

=

′

s

s

s

PK

L

) 1 (K= 図8.11 位相遅れ補償と開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 −0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 10 10 10 P ω_gc=0.8 10 o 47 PM= ' L ［ステップ1］の を用いて開ループ伝達関数のボード 線図を描き, その低周波ゲインを評価する. ［ステップ2］

_K

開ループ伝達関数 ) ( ' lim ' 0sL s K s v= _→ 1 ) 10 )( 1 ( 10 lim 0 + + = = → _{s s} s 速度偏差定数 性能仕様は K_v≥10 低周波ゲイン10倍以上必要 39 ゲイン 位相 ) (jω K ∠ ) ( log 20 Kjω α log 20 K α log 20 K log 20 T α 1 1T ] dB [ dec / dB 20 − 0 90 − ω[rad/s] o o ω[rad/s] α log 20 ] dB [ 低周波ゲインが 上がることを考慮し, 定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータ の値を定める. α log 20 +

α

［ステップ3］ [dB]

　

10

=

α

低周波ゲイン10倍で 10 = v K 速度偏差定数 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 10 10 10 P _=0.8 gc ω 10 o 47 PM= ' L 40 T / 1 T α / 1 位相遅れにより安定性が劣化しないように, 折点角周波数 をゲイン交差周波数より1dec 程度下になるように 選ぶ. もうひとつの折点角周波数を と定める. ［ステップ4］ T 1 =

ω

) /( 1

α

T

ω

= gc ω ω[rad/s] 0 ] [o 180 − ゲイン 位相 ] dB [ T / 1 T α / 1 10 = T (

ω

=0.1)と選べば，ゲイン交差周波数

ω

gcより十分に小さい． , 01 . 0 1 = T α T1 =0.1 折点角周波数 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 10 10 10 P _=0.8 gc ω 10 o 47 PM= ' L 41 T / 1 T α / 1 1 10 10 ) 1 10 ( 10 1 ) ( + ⋅ + ⋅ = s s s K 01 . 0 1 . 0 + + = s s 位相遅れ補償 8 . 0 = gc ω o 40 PM≥ ゲイン交差周波数 位相余裕 以上で設計パラメータ が定められたので, 位相 遅れ補償を構成する. ［ステップ5］ K,α,T 1 ) 1 ( ) ( + + = Ts Ts K s K α α 10 = T , 10 = α , 1 = K L o 7 . 40 PM= ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 10 10 10 P _=0.8 gc ω 10 o 47 PM= ' L 42

)

(

)

(

)

(

s

P

s

K

s

L

=

10 1 . 0 1 ) ( lim 0 = = = → sL s K s v

°

≥ 40

PM

ωgc≈0.8 OK OK ステップ応答, ランプ応答 OK 性能仕様 速度偏差定数（定常特性）Kv≥10 位相余裕（減衰特性）_PM≥40

［CHECK］

) 10 )( 1 )( 01 . 0 ( ) 1 . 0 ( 10 + + + + = s s s s s ステップ応答 ランプ応答 ) (t y ) (t y 5 . 1 1 0 0 10 20 30 5 . 0 t[s] 20 10 0 0 10 t[s] 20

43 ) (jω K ∠ ) ( log 20 K jω ) / log( 20 Kα K log 20 ) / log( 20 K α max ω max φ T 1 1αT ] dB [ ゲイン 位相 ω [rad/s] 0 90 o o 図8.13 位相進み補償 のボード線図 dec / dB 20 +

位相進み補償

　 α α φ + − = 1 1 sin max max max sin 1 sin 1 φ φ α + − = ⇒ 位相が最も進む角周波数 T α ωmax= 1 位相進みの最大値 1 1 ) ( + + = Ts Ts K s K

α

(

α

<

1

)

コントローラ T T ω α 1 1_{< <} 過渡特性の改善, 安定化 位相進み ［注］ 高周波ゲイン→大 ノイズ増幅 ロバスト安定性の劣化 8章演習問題［4］ 44

ベクトル軌跡で見る位相進み補償

制御対象P(s) , ˆ _PK L= K:ゲイン補償 2 = K 3 = K 10 = K 1 − Im Re 1 = K K → 大 位相進み補償 位相余裕を増加させる 位相進み補償 Lˆ 1 − Im Re ゲイン補償のみ 1 = K 45 ω[rad/s] 0 ] [o 180 − ゲイン 位相 ] dB [ gc ω ωgc PM 46 与えられた位相余裕 PM とこの PM との差 が, 必要な位相進み量となる. ［ステップ1］の を用いて開ループ伝達関数 のボード線図を描き, その位相余裕 PM を評価する. 速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように, ゲイン補償 の値を決める. これに適当な（例えば 以上の）余裕を考慮し, （ 以上）と定める. K ) ( ) ( ˆ _{s KPs} L = K PM PM ˆ_{= −}

φ

+

=

φ

φ

ˆ

max ° 5

°

5

位相進み補償の設計手順

α

max max sin 1 sin 1 φ φ α + − = ［ステップ1］ ［ステップ2］ _〈 〈 〈 ［ステップ3］ から, パラメータ の値を決める. 47 以上で設計パラメータ が定められたので, 位相進み補償では最も位相が進む角周波数で, ゲインが1 α 倍に上がる. そこで が （ ）である角周波 数を, 補償後の新しいゲイン交差周波数

ω

_maxとおく. α ) ( ˆ _jω L T K,α, から, パラメータ の値を決める. 　 , / 1 T=

ω

max

α

T このとき位相進み補償の折点角周波数は, となる. T α ω 1 max= ［ステップ4］ ［ステップ5］ ［ステップ6］ 　 α log 20 = [dB]

α

ω

α

) / /( 1 T = max 1 1 ) ( + + = Ts Ts K s K α から, 位相進み補償を構成する. 48 図8.14 開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 40 − 10 10 10 P Lˆ

［ 例 8.4 ］

制御対象 ) 10 )( 1 ( 10 ) ( + + = s s s s P 性能仕様 ゲイン交差周波数（速応性） 位相余裕（減衰特性） 2 ≥ gc ω ° ≈ 40 PM 速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように, ゲイン補償K の値を決める. ［ステップ1］ ) 10 )( 1 ( 50 ) ( ˆ + + = s s s s L 5 = K ゲイン補償 開ループ伝達関数 OK 2 1 . 2 ˆ_gc= >

ω

ゲイン交差周波数 2 ≥ gc ω を満たす 1 . 2 ˆgc= ω o 6 . 13 PM=

49 性能仕様は PM≈ 40° o 6 . 13 PM= PM PM ˆ_{= −}

φ

（必要な位相進み量） ° = − =40 13.6 26.4 ° + =ˆ 10 max φ φ （マージン） ° =36.4 与えられた位相余裕 PM とこの PM との差 が, 必要な位相進み量となる. ［ステップ1］の を用いて開ループ伝達関数 のボード線図を描き, その位相余裕 PM を評価する. これに適当な（例えば 以上の）余裕を考慮し, （ 以上）と定める. ) ( ) ( ˆ_{s KPs} L = K PM PM ˆ_{= −} φ

+

=

φ

φ

ˆ

max ° 5

°

5

［ステップ2］ _〈 〈 〈 位相余裕 図8.14 開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 40 − 10 10 10 P Lˆ ωˆ_gc=2.1 o 6 . 13 PM= 50 255 . 0 =

α

max max sin 1 sin 1 φ φ α + − =

α

max max sin 1 sin 1 φ φ α + − = ［ステップ3］ から, パラメータ の値を決める. ° =36.4 max φ 1 1 ) ( + + = Ts Ts K s K

α

図8.14 開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 40 − 10 10 10 P Lˆ ωˆ_gc=2.1 o 6 . 13 PM= 51 0[dB] 2.1 ˆgc= ω 図8.14 開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 40 − 10 10 10 P Lˆ 505 . 0 ) ( ˆ max = α= ω j L に下がっている. （後で 0dB に上がる. ） 0 . 3 max=

ω

α log 20 α log 20 _[dB] ωmax=3.0 位相進み補償では最も位相が進む角周波数で, ゲインが1 α 倍に上がる. そこで が （ ）である角周波 数を, 補償後の新しいゲイン交差周波数

ω

max とおく. α ) ( ˆ _jω L ［ステップ4］ 　 α log 20 = [dB] 1 . 2 ˆgc= ω o 6 . 13 PM= ω[rad/s] 0 ] [o 180 − ゲイ ン 位相 ] dB [ gc ω PM 52 T / 1 1/αT 図8.14 開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 40 − 10 10 10 P 1 . 2 ˆ_gc= ω o 6 . 13 PM= Lˆ α log 20 T α ωmax= 1 , 52 . 1 1 = T α1 =T 5.94 折点角周波数 から, パラメータ の値を決める. , / 1 T=

ω

_max

α

T このとき位相進み補償の折点角周波数は, となる. T α ω 1 max= ［ステップ5］

α

ω

α

) / /( 1 T = max max 1 ω α = ⇒ T 660 . 0 = T , 0 . 3 max=

ω

α

=0.255 53 T / 1 1/αT P L 図8.14 開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 40 − 10 10 10 1 . 2 ˆ_gc= ω o 6 . 13 PM= Lˆ ωmax=3.0 o 38 PM= 1 66 . 0 255 . 0 1 66 . 0 5 ) ( + ⋅ + ⋅ = s s s K 94 . 5 ) 52 . 1 ( 6 . 19 + + = s s 位相進み補償 0 . 3 = gc ω o 38 PM= ゲイン交差周波数 位相余裕 以上で設計パラメータ K,α,T が定められたので, ［ステップ6］ 1 1 ) ( + + = Ts Ts K s K α から, 位相進み補償を構成する. 1 1 ) ( + + = Ts Ts K s K

α

660 . 0 = T , 255 . 0 = α , 5 = K 54 性能仕様 ゲイン交差周波数（速応性） 位相余裕（減衰特性） 2 ≥ gc

ω

° ≈ 40 PM

ステップ応答

OK

°

≅ 38

PM

OK

)

(

0

.

3

ω

max

ω

_gc

=

　

=

OK

［CHECK］

0 2 4 5 . 0 1 5 . 1 0 ) (t y t[s]

55

第 8 章 ：フィードバック制御系の設計法

学習目標

：

8.1 設計手順と性能評価

キーワード

：

設計手順，性能評価

一般的な制御系設計における手順と制御系

の性能評価について学ぶ．ループ整形の考

え方を用いて, 位相遅れ補償，位相進み補償

による制御系設計を習得する．

8.2 PID 補償による制御系設計

キーワード

：

P（比例），I（積分），D（微分）

8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計

キーワード

：

位相遅れ補償，位相進み補償

56

第 8 章 ：フィードバック制御系の設計法

学習目標

： ループ整形の考え方を理解する．

次回

8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計

キーワード

：

ループ整形