紀元前 600 年のギリシャ時代。コハクを擦ることにより小さな埃が吸い付くことが知られてい た。電気という言葉の起源はこのコハク（electrum) による。しかし、今のように電気の種類 が＋、ーの 2 種類しかないことや電気の中には摩擦電気のような 以外に金属の中を流れる が発見されたのは 17 世紀になってからである。 さらに 1897 年になって が陰極線の正体が であると発見した。 ☆電気の正体は？ ○ 電気の発見 静電気 電子の発見 ○ 摩擦電気 ○ 帯電 ・ミクロで見る ○電子 ・自由電子 G1 よく乾燥した日に下図のようにストローの中心に穴をあけ紙でよく擦り糸でつるす。もう 一つのストローも紙で擦って近づけてみよう。紙とストローを近づけるとどうなるか図示せよ
＋ 毛皮 ガラス 雲母 絹 紙 木材 コハク ストロー エボナイト ナイロン
－
紙
このように摩擦することによって引き合ったり、反発したりする性質を電気が するという。帯電した電気のことを という。 P3 下の表のように物質の帯電の強さ（左ほど＋、右ほど－）がわかっている。 これから紙とストローはそれぞれどちらに帯電していたか。 G5 導体（金属）は帯電しないか、するとしたら絶縁体とのちがいは何か。 ・バン・デ・グラフ 起電器 ・コンデンサー 金属板１ 金属板２ G4 下図のように中心部に回転する絶縁体（ ）外部に絶縁体（ ） をセットして中心の絶縁体を回転させ摩擦をおこすとどうなるか。またこれと同じ働 きをする回路を直流電源（電池）を用いて図右に描け。 電流の担い手は電気素量 を持つ である。 従って他の原子はこの電気素量の 倍の電気量しか持てない。 P1 不導体中の電子の様子、半導体中の電子の様子、導体中の電子の様子をモデル化せよ。 ただし、電子については自由に動ける のみを図示せよ。 不導体（絶縁体） 半導体 (Si,Ge) 導体（金属） P2 摩擦電気よう帯電しやすい物質は導体、半導体、絶縁体のうちどれか。摩擦電気
＋ ー ＋ ー ＋ ー V 不導体 導体 静電気 電流 ＋ － － － 引き合う 電荷 帯電 負 絶縁体 ( 不導体 ) エボナイト 毛皮 自由電子（伝導電子） 反発 J.J トムソン 電子 － 1.6 × 10－ 19C 電子 整数 金属も電気を帯びることができるが自由電子が移動すので電気は表面に帯びる。反対側には反 対の電気が帯電するので全体では常に中性である。摩擦電気が生じた絶縁体は全体で電気を帯 びている。 絶縁体 ( 不導体 ) におきる現象、外力により、電子が移動する。 ＋ ＋ ＋ ＋ ー ー ー ー ー ＋ 14Si 14Si 15P 自由電子 自由電子 自由電子P2 さらに近づけるとアルミ箔はどうなるか。また、遠ざけるとどうなるか。 近づけた時、アルミ箔に帯電している電荷の種類は何か。 G4 次に手もエボナイト棒も遠くに取り去った箔検電器の帯電の様子を図示しなさい。 また、箔を閉じさせるためにはどうしたらよいか図右に図示しなさい。 P3 次に図の右のようにエボナイト棒を近づけたままにして金属板に手（金属）で触れ たアルミ箔はどうなるか。 ・アース（Ground) 回路記号 G5 最後に箔検電器に帯電した電気と同じ種類にするためにはどうすればよいか。 G6 ここまでの実験を参考にして世の中の電気は＋と－しかないことを証明してみよ。 ○静電誘導 ・ 箔検電器 下の図のようにガラス瓶をコルク栓で閉じて、金属板を上部にアルミ箔 2 枚をガラス容器 にいれ金属でつなげたものを といい、帯電した電気の種類や大きさを 調べるのに用いられる。 P1 箔検電器のアルミ箔ははじめ閉じているとする。これに毛皮で擦ったエボナイト棒 を近づけるとどうなるか図示せよ。 ・ 正の電気は㍾＋ 負の電気は－で図 示すること 帯電体を に近づけた時、近いほうに 遠いほうに の電気を帯びる これを という。摩擦電気のように異なる物体に電子が移動するわけ ではなく全体では で電荷は のみに生じる 箔検電器 導体の部分を色づけすること △量子色力学 クォークでは＋－ の２種類ではなく 色 の 3 原 色 の よ う に赤、緑、青が そろうと中性にな り安定する。 ElectroMagnetic Field Theory(MIT) 世界の教科書から 静電気 G7 静電気の現象（摩擦電気）は導体、半導体、不導体のどの物質で見られるか。 G8 導体には束縛力の小さい自由電子がたくさんあるのに静電現象がおきないのはなぜか。 箔検電器 静電誘導により、箔は 棒と同じ - に帯電する。 よって箔が開く。 導体 異極 同極 静電誘導 中性 境界面 さらに開く、遠ざけるとやや閉じる。アルミ箔には棒と同じ負が帯電している。 アースするのと同じで電荷が移動 し、電気のない状態になろうとする がまだ、棒が近くにあるので一部の ＋の電荷はこれに束縛され残る。 残った＋の電荷が導 体に一様に広がるの で箔は開く。 再び皿に導体で触れ てアースする。 上の図（左）では最後に棒と反対の電荷が残る。同じ電荷を残すには帯電体を皿 の部分にこすりつける。全体が一様になろうとするので電荷が導体にも移り、同 じ電荷で耐電する。 箔 皿 例えば＋が 3 つ残ったとすると 残りのーと＋はぶつかり消滅するが －が３つ分はのこりアースにより 外に出る。 あたり前のことのように見えるが棒と皿は接 触しているわけではなく、この間の空間は真 空であっても同じことが起きる。つまり電気 のない場所を経て電気は伝わるわけである。 電気の分布に偏りができるとそれ だけで電気的なエネルギーを持ち 不安定になる。できるかぎり一様 になろうとする。 地球はどんなに電子 を流しても中性 ＋と－とも引き合う△があったとすると△と引き合うものどうしを調べたとき＋と－のよう に引き合うものがあるはずである。しかし、発見されない。よって今のところ△は存在しない。 摩擦電気は不導体、導体でも電気をためることができるが表面のみの分布になる。 導体内部に電子を留め置けない。内部に電位差をつくることはない。 自由電子は束縛されていないので動きやすく、外力を加えてもはがれたりしない。
・コンデンサー ・種類と構造 ・静電容量容量 ・誘電率 ・比誘電率 電気をためることができる電子部品が である。 ・コンデンサーには電荷を最大にためることができる静電容量 が決まっている。 ＊静電容量を変化できるコンデンサー（ ）もある。 ・コンデンサーは一定以上の電圧を加えると破壊する。限界の電圧を という。 V C ｄ（間隔） S（断面積） V P1. 上図のような平行版コンデンサー（間隔ｄ、断面積 S）の静電容量を C とする。比例定 数をεとして静電容量 C を表す式を考えよ。（ε０は真空の誘電率、ε’ は比誘電率という） さらにコンデンサの性質をあげるために真空に対する誘電率が ε’ ( εr) の物質（誘電体）を上図右のようにつめる。すると誘 電体には が生じる。 ε ': 紙 3.2 雲母 7 ゴム 8.5 チタン酸バリウム 5000 ε’ ＋ V ε’ １V の電圧をコンデンサに加えた時、ちょうと１C の電気量がたまればそのコンデンサの静 電容量 C は という。しかし、実用的には次のような単位が元いられる。 １ｍ F ＝ １μ F ＝ １nF ＝ 1 ｐ F ＝ ○静電容量 静電誘導と誘電分極 P6 静電誘導と誘電分極の違いをまとめよ。 ・静電誘導 ・誘電分極 ○電気量 コンデンサーなどに帯電した電荷の総量が である。これは電気容量に し、極版間の電圧に する。電気量は回路が閉じれば として流れる
V
C
＋
－
P5 コンデンサーに帯電した様子を図示し上下の極版の電気量を求めよ。 P4 静電容量 C、電位差 V として電気量 Q を求めよ。コンデンサー
真空の誘電率 誘電率 比誘電率 ○誘電分極 真空にも誘電率はある 光、電磁波は振動する 帯電体のようなもの 不導体（ ）に帯電体近づけた時、電子の移動は無いが電子の分布が帯電体側が 、反対が に分極する。 これを という。 真空は しないと考える。また も分極しない。 誘電分極がおこると内部に をためることができる。これは された があると として振動子し、光 ( 電磁波 ) と相互作用するからで 光の伝わる速さは真空より くなる。これを という。 分散では振動が大きくエネルギーの 、 色の光りほど遅くなり、よく屈折する。 ＋ P2 ５０μ F は何 F か P3 １C たまったコンデンサを１ｍ A の定電流で放電させるのにおよそ何秒かかるか。 ○電流 ○誘電分極と分散 ・電気双極子 * 世界の教科書から＊ C O N T E M P O R A R Y COLLEGE Physics 電気量 Q 比例 比例 電流 Q=CV［ｃ］ コンデンサー C バリアブルコンデンサ 耐電圧 誘電分極 １F( ファラド ) － ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋ C ε εｒ 絶縁体 異極 同極 誘電分極 10-3F 10-6F 10-9F 10-12F 5.0 × 10-5F Q=It だから１＝ 10－３×ｔ ｔ＝ 10３秒 実際には I は一定ではない。 ＋極は＋ CV=+Q[c] －極は－ CV= － Q［c］ 静電誘導は導体に起きる。自由電子が表面に移動し、全体としては中性である。 誘電分極は不導体で起きる。電子の移動はなく電子の分布に偏りができる。 C[F] εｒ ε ε０ Q=CV［ｃ］ ＋ 分極 導体 電気量 電子 遅 I= Δ Q/ Δｔ [A] 束縛 電気双極子 分散 大きい、青（紫） C = S D = 0 r S d, , r= 0 C = S D = 0 r S d, , r= 0
ここで初めて という考えを学ぶ。帯電体の周りの空間は目には見えないが電気的な力を 伝えることができる。そこで次のような を用いて電気的な場を表現する。 １． の電荷から の電荷に向かう矢印のついた曲線で表現する。 ２．交わることがなく、空間に に広がる。密度できまる、すり抜けられない ３．必ず と直交する。 電気力線の総数 N は とする。 ○電気力線 ・ｋ： ・ε0： の電気量を持った小さな粒子を点電荷（ ）という。 P1. 電場 E を力 F[N] と電気量ｑ [c] で表せ。また、単位も示すこと。力学では何に相当するか。 電位を V[V]、変位 d[m] として力学の位置エネルギーに相当するものはどうなるか。 式： 単位： ○電場 ＊試験電荷 電場 は の密度で表すことができる。例えば電気量（ ） の帯電体を仮想的に持ってくると、この試験電荷に働く力が である。 よってこの試験電荷の動きを線で結べば が描ける。 ○力学との関係 ・電位の式 電気力線が描ければそこには電場があり、帯電体は 運動する。つまりそこには が生じ、それが と関係している。よって力と位置エネルギーのよ うに電場が電位の を表す。電荷ｑ [c] が原点にある時、次に答えよ。 G2. 電場 E をΔ V, Δｘで表し、F と U の関係から電場 E を変位ｄ [m] と電位差 V[V] で表せ。 ・電場の式 電場の式 電気力線 ＋ 電位とは の電荷を距離ｒ [m] まで運ぶのに のする ともいえる。これから 電位 V と E の関係は となる。U は となる。 ＊電場は 量、電位は 量である。 G1 次のように距離ｄ離れた＋極板と－極板があり電場 E>0 は一様である。＋極板をアースし、 ｘ軸の原点とする。電場の向きを図示し、－極板の電位を求めよ。また、質量ｍの軽い 電荷＋ｑを＋極板に置いた。－極板に到達する時間を求めよ。 ○電位 ○場と力 ○力学との アナロジー 地球上では重力がはたらくこれは重力場が と相互作用するためだ。同じように 電気では 場が と作用し、磁気では 場が と作用する。 場にはエネルギー（ ）があり、この が力なのは共通している。 式： 荷 力 場 高さ エネルギー 力学 電気 ｈ ｍ ＋ ・電場は試験電荷 － ＋ － ＋ ＋ ＿ ＋ ＋ 2+ ＿ G1. 次のような点電荷がある電気量は（＋ｑ、－ｑ）。電気力線、等電位面を図示せよ。 （できるなら３D 像を想像せよ）さらに電場 E, 電位 V の様子を下に示せ。 ○等電位面 ○電気力線 電場 等電位面 電位 ☆図示 【基本パターン】 ◎図とグラフ ＋ ＿ ０V ０V 地図の等高線のように、同じ電位の位置を結んだ曲線を という。この 線は電気力線と必ず している。 ○クーロンの法則 P1 ☆基本形 P2 ・式とグラフ ・物理はイメージ！ ☆参照ＨＰ [ 電場電位 ] たとえ真空中でも電荷が存在すれば が生じ、等電位面に に力が働く、 帯電粒子が２つあるとその間の力は とよばれ実験により次のような式で あらわされる。 電荷：Q1,Q2 ｒ：2 点間の距離 e は向きを表す単位ベクトル ｋクーロン定数： クーロンのポテンシャル U、電位Ｖとして力Ｆ，電場Ｅを表せ。（ベクトルは成分表示せよ） クーロン力に作用反作 用は成立しているか ＋ ＿ 空間の原点に＋ｑ [c] の点電荷がある距離ｒでの電場Ｅと電位 V を求めよ。( 単位ベクトルは e) また V-r、E-r のグラフを示せ。 ＋ ０V ｒ 電位は 電場は G2. +kQ と -Q の点電荷があるとき (k>1)、＋から出た電気力線の何割が－の電荷に入るか。 電気力線の行方 電位と電場 場荷力 電気力線 プラス マイナス 一様 N ＝４πｋ Q ＝ Q/ ε０ E 電気力線 ＋１C 電場 ＋１C N ＝４πｋ Q ＝ Q/ ε０ 電気力線 試験電荷 F= ｑ E E ＝ F/q[N/C] 力学では F=ma に対応する。 加速度に対応するのが場 である。 U=mgh ＝ｑ Ed=qV[J] 加速 力 電場 －傾き 力学では F= －Δ U/ Δｘ である。F= ｑ E,U ＝ｑ V という関係から E= －Δ V/ Δｘ となる。一般には E ＝ V/ ｄである。 F= ｑ E V=Ed F= ｑ E V=Ed U= ｑ V ＝ qEd E= ーΔ V/ Δｘ 電気力線 N ＝４πｋ Q ＝ Q/ ε０ 場 仕事 ＋１C U = −q r 0 Edr 逆らう外力 ベクトル ＋１C の試験電荷を原点にもってくると図右に動くので Ｅは右向き、定義からＶ＝－Ｅｄ [V] またＦ＝ｍａ＝ｑＥから a=qE/m t= √ (2dm/qE) ＋ 質量 電 電荷 磁 磁荷 ポテンシャルＵ ー（傾き） 電荷 電位 質量ｍ 重力ｍｇ ｇ ｈ ｍｇｈ 電荷ｑ Ｆ＝ｑＥ Ｅ Ｖ ＱＶ＝ QEd スカラー E[N/C][V/m] E[N/C][V/m] F= ｑ E 逆らう外力 V =− r 0 Edr F =−dU dr, , E =− dV dr F =−dUdr, , E =−dVdr 等電位面 ( 線） 直交 青の閉曲線（円）が等電 位面、（地図の等高線に 相当する） 赤の向きがある のが電気力線で あり電場の向き 青：電位 赤：電場 電気力線 垂直 クーロン力 ｋ＝９．０×１０９N ｍ２/C2 E= ｋ Q/ ｒ２ となるが本来はこれに単位ベクトル e をかけておく。また V= ｋ Q/ ｒだがこのｒは大き さであるので絶対値をつけさらには符号は基準や電 荷の正負で決める。 E = kQ |r|3 r, V = ± kQ |r| 試験電荷を距離ｒの位置にもってくる。クーロンの法則から すぐに１Ｃに働く力が電場だからＱ１＝１，Ｑ２＝Ｑとして Ex=−dVdx,Ey=−dVdy,E = E2 x+E2y 青が電位 kq/r のグラフだが 正になることに 注意 赤が電場のグラフ、電位より傾き が 2 乗の分だけ急になる。負にな ることに注意 原点に近づくと 負方向に大きな 力が働く 原点に近づくと 正方向に大きな 力が働く 山（谷） 傾きにマイナス 試験電荷で向きを 確認！ 電荷の比が電気力線の比になるから ＋の 1/k だけーに入る。10/k 割がーに入る。 電場はベクトル、電位はスカラー F =−dUdr, , E =−dVdr F = kQ1Q2 r2 等電位面
1 1 2 3 40 20 20 40 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 0.010 0.005 2 3 4 5 1.0 0.5 0.5 1.0 G1. 図のように－ｑ [c] と＋ｑ [c] の点電荷を位置 A（ｄ、０）、B（－ d、０）に固定した。 クーロン定数はｋとする。原点と位置ｘでの電場と電位を求めよ。電位は無限遠を０とする。 ＋ q － q A B ｘ [m] y[m] G2. 図のように＋ｑｃと＋ｑｃの点電荷を位置 A（ｄ、０）、B（－ d、０）に固定した。クー ロン定数はｋとする。原点と位置ｘでの電場と電位を求めよ。 +q +q A B ｘ [m] y[m] -d +d ｘ V E ○電位電場図 Q 3 次元でイメージ ☆参照 HP 電場のシミュレーション ○電場と電位の作図 ｘ -d +d V E クーロン力 電場と電位 y[m] 各点での電場を図示 せよ 各点での電場を図示 せよ 参考文献 Classical ElectroDynamics Jackson 著 ○電荷が等しくない 場合 ・等電位面が円になる。 G3．ｘ軸の原点に４Ｃの電荷 A があり x=2 の位置に－２C の電荷 B がある。クーロン定数 はｋとする。 ア）A が B から受ける力と B が A から受ける力を求めよ。また、この時、 作用反作用の法則は成り立っているか。A,B に出入りする電気力線の本数も求めよ。 +4c -2c A B ｘ [m] イ）A から出た電気力線とｘ軸とのなす角をθとする。θが何度までであればその電気力線 はＢに到達するか。電気力線の様子を下図に図示せよ。 θ ウ）A,B は固定し、+1c の電荷を持ってくる。ｘ軸上でＰに働く力が０になる位置 P と電位が ０になる位置 Q を求めよ。また、ｘ軸上の電場と電位のグラフを描け。 ・アポロニウスの円 2 点 AB から比が一定な 軌跡は円になる。 エ）Q の電位が０になる位置を xy 平面上で連続に結んだ等電位面を図示せよ。どんな図形に なるか。（イの図に図示せよ。） ・電位は場合分け ｘ E,V ０ 2 A 参照：アポロニウスの円 半径ｒ B 2 点を固定し、点 P が動くとき、図の線分の比 A:B が一定になるのは P が円周を動く時である。 これから ab=r2という関係が成り立つ P r a b 参考文献 「電場と電位」 WEB：教育を考える会 作用・反作用の法則 力学 クーロン力 原点では中点で電場はあきらかに 0[V/m] 電圧はスカラーで V=VA ＋ VB ＝２kq/d 原点では中点での電場は＋１C を原点に 持って来て B からは右に EB ＝ kq/d2 A からも右に EA ＝ kq/d2 よって全体では E=2kq/d2[V/m] 中点での電圧は明らかに 0[V] E= －Δ V/ Δｘ V はスカラー Ｅはベクトル E =kQ |r|3 r, V = ± kQ |r| まず電位はスカラー な の で 山、 谷 の イ メージで描く、 （分数関数） 次に電場はさらに傾 きを急にして描く、 向きは＋１C の試験 電荷の向き 位置ｘでは x が負の時の符号に注意し、 V(x) = kq 1 |d + x|− 1 |d − x| E(x) = kq −1 (d + x)2+ 1 (d− x)2 , (−d > x) E(x) = kq 1 (d + x)2 + 1 (d − x)2 ,(|x| < d) E(x) = kq 1 (d + x)2 − 1 (d − x)2 ,(d < x) 位置ｘでは場合分けに注意して V(x) = kq 1 |d + x| + 1 |d − x| E(x) = −kq 1 (d + x)2 + 1 (d − x)2 ,(−d > x) E(x) = kq 1 (d + x)2− 1 (d− x)2 , (0 < x < d) x<-d V(x) = −kq 1d + x − 1 d − x |x|<d V(x) = kq 1 d + x+ 1 d − x x>d V(x) = kq 1 d + x − 1 d − x x<-d V(x) = −kq 1d + x+ 1 d − x |x|<d V(x) = kq 1 d + x − 1 d − x x>d V(x) = kq 1 d + x+ 1 d − x d dx 1 d + x =− 1 (d + x)2 d dx 1 d − x = + 1 (d − x)2 分数関数微分 A が受ける力は図の右、B が受ける力は左になるが大き さは同じでクーロンの法則からF=8k/22=2k[N] 作用反作用は同じ作用点からではないが、成り立つ。 A からは電気力線は出てNA ＝ 16 πｋ、 B には電気力線は入り、NB ＝ 8 π k 電荷の大きさの比が 2 対１なのでＡの半分がＢに入 る。よってＢと反対側の半分の空間にＡから出る電気 力線はＢに到達できない。これから90 度 Ｐの座標ｘとすればＥは０なのでｘ軸上ではＥ＝ EA+EB=4k/x2-2k/(x-2)2 E=0 とすると x2ｰ 8x+8=0 x=4 ± 2 √ 2 となるが x>2 となるべきだからｘ＝ 4+2 √２=6.8m ② 同じく Q 点の電位は B の前後で V=4k/x± 2k/(x-2)=0 として x=4/3,4 よって 1.3m と 4m V = kQ |x − a| A,B からの距離の比を等しくとると図のような円になる。よってウの結果から 中心は (4/3+4)/2=2.7 半径 (4-4/3)/2=1.3 の円である。 これは電位の式からも導ける。 青が電位、黄が電場 拡大 電場上、電位下 E：x ＝ 6~ ７ V:x ＝ 1~ ５ E(x) = kq 1 (d + x)2 + 1 (d − x)2 ,(d < x) 同じ作用点 作用点は電荷の重心
一辺２ｍの正三角形の頂点に図の符号で同じ１０C の点電荷をおく。B,C の電荷は固定する。 ア）A 点の電荷は質量が５０ｇとして電荷 A の加速度を 求めよ。クーロン定数はｋでよい。( 重力は考えない ) また、その後どの電気力線に沿って運動するとしてよいか。 ＋ ＋ ＿ イ）次に A 点の電荷は取り去り、BC の中点を原点に上方にｙ軸、B 側にｘ軸をとる。 点 P（０、ｙ）での電場を求めよ。また、電場が０になるｙはどこか。 A B C 電場とポテンシャル ○３点電荷 G4 加速度と力 ウ）任意の位置 P(x,y) での電場 (x､y 成分 ) と電位を求めよ。 ・微分 ・３つの電荷がある 時の電気力線 ・＋１，－２の電荷がある時→ G3 一様な電場の中に導体、誘電体を入れた時の電気力線、電場、電位の様子を描け。 ＊誘電体があると電気力線はどうなるか。（誘電体の誘電率ε） V E ＋ － ０V ＋ － ・静電誘導と 誘電分極 ｄ V E ・電場と電位の関係 P1. 図のように距離 d ｍ離れた面積 S の金属板 A に QC の＋の電荷をおく、図右はアースされ ている。電気力線、等電位面を図示せよ。( 真空と考えてよい、真空の誘電率はε０） P2. 右図の＋極板の電位を＋Ｖとする。 電場Ｅ とＶのグラフを描け。中点でのＥ，Ｖと このコンデンサの静電容量Ｃを求めよ。 ＋ ＋ アース（接地） ○平面コンデンサ 誘電体と分散 導体 誘電体 導体中の電場は で により、電荷は に集中すると考える。 誘電体中では電場は真空に比べ、 なるが存在する。これは により 分極が生じるためである。これにより多数の が存在することになるので 全体の に揺らぎが生じる。よって誘電体の中を電磁波が通過すると電子の振動 と干渉し、 が大きいほど真空中に比べ速さが光速より遅くなる。よって屈折率が 物質中では真空に比べ、 くなることになり、これを という。 G1．次を誘電体中で速い順に並べ替えなさい。 A．γ線、Ｂ．β線、Ｃ．ＦＭ電波、Ｄ．紫外線、Ｅ．赤外線、Ｆ．ＡＭ電波、Ｇ可視光 G4. 負極板をアースしたとして導体、誘電体がある場合の電場Ｅ，電位Ｖのグラフを描け。 ｄ ｄ V E ０V ・誘電分極と屈折率 分極はミクロに起きる が分散はマクロな波動 現象である。 誘電率も周波数に依存 し、これを誘電分散と いう。 G2．真空、導体、誘電体中の電場 ( 電磁波 ) の伝搬の様子を図示しなさい。また、導体中 で抵抗が大きいと電場の伝わる速さはどうなるか 真空 導体 誘電体 ＋ － ＋ － ＋ － ・光の速さは一定 導体中に電場はない！ でも自由電子の移動は 電場でおきる？ Ｂ，Ｃから等しく f ＝ k102/22=25k の力受けるのでベクトル合成 すると右向きに F=25 ｋになる。これは B,C の作る電気力線の向 きである。加速度は ma=F より 0.05a=25k a=500k[m/s2]
y 軸上の A 点に＋１c の電荷を持ってきてこれに働く力が電場である。図のなす角をθとし、 C からの力 F とすると求める電場 E= ２FCos θ＝２k10/(1+y2)・Cos θ＝ 20k/(1+y2)Cos θ① となるが図から Cos θ＝ 1/ √ (1+y2) なので①から E=20k/(1+y2)3/2 これから E=0 となるのは y= ±∞の点になる。 θ 電位はスカラーなので C からは VC=k10/ √ {(x+1)2+y2}=10k/ √ {(x+1)2+y2} B からは VB= － 10k/ √ {(x ｰ 1)2+y2} よって 電場ｘ成分は Ex=-dV/dx, 電場の y 成分は Ey=-dV/dy から求まる。 V = 10k (x + 1)2+y2 − 10k (x − 1)2+y2 Ex= 10k(x + 1) (x + 1)2+y2 32 − 10k(x − 1) (x − 1)2+y2 32 ,Ey= 10ky (x + 1)2+y2 32 − 10ky (x − 1)2+y2 32 静電誘導 赤：電位 アースで０単調に減少 青：電場は一定 電場Ｅは一定でＥ＝ V/d 中点での電位は V/2 静電容量は定義から C= ε0S/d － － － － ＋ ＋ ＋ ＋ －＋ －＋ －＋ －＋ －＋ －＋ －＋ －＋ －＋ －＋ －＋ －＋ －＋ －＋ －＋ －＋ 赤：電位 青：電場 赤：等電位面 等間隔の直線 青：電気力線密度は一定 ０ 表面 小さく 誘電分極 振動数 分散 波長が長い順にＦ，Ｃ，Ｅ，Ｇ，Ｄ，Ａ，Ｂ Ｂは電子なので質量がある。 Ｂ以外は電磁波の仲間であるので真空中であれば光速で伝達する。 誘電体は分極する。電気双極子ができる。 物質の屈折率は振動数が大きいと大きい。真空の屈折率は一定。 電気双極子 大 真空も導体も抵抗に関係なく 分散はない速さ一定 電子密度 導体中の 電位差０ 誘電体中の 電位差≠０
V ＋ － 電気力線はゴムひも？ Q2 図のようなコンデンサー（上極板が＋）内の電場、さらに＋ｑ、－ｑの軽い帯電体を 入れた場合も同様に電気力線、等電位面を図示せよ。（コンデンサーの内外図示すること） また＋極板の電荷をＱ（＞ｑ）として－極板に入る電気力線の数を求めよ。 入れてないコンデンサ内部の電場を E とし、帯電体に働く力を求め、図示せよ。 ＋ ＿ ＋ － ＋ － ｄ がない導体中の静電場は である。これから電場の影響を遮断するには全体 を で囲めばよい。これを という。 で効果大 導体表面は になるので電気力線は表面に対し必ず する。 Q1 導体でできた同心球殻がある。外場Ｅの中電気力線の様子を描け。＋－も図示せよ。 また、内球に＋電荷を与えるとどうなるか、さらに、外球殻をアースするとどうなるか。 ・静電遮蔽 ・同心球コンデンサ ＋ ＋ － ＋ ガウスの法則 電気力線の数は 世界の教科書から ElectroMagnetic Field Thory (MIT OCW) Q どんな強さの電荷 がどこにあるか？ ・場荷力 世界の教科書から Gauss の法則 MIT OCW TEXT ○ガウスの法則 ☆天才登場！ G1 点電荷 ・εとｋ G2 平行板 コンデンサ G3 帯電棒 電荷 Q が存在するとそこから に電気力線が伸びる。この電気力線の数 N は となった。これは誘電率εで表すと となる。 また電場は 当たりの の数と考えることができる。これから次の 関係式が成り立つ。これが有用なガウスの法則である。ただし面積 S は と に の電気力線を覆うように考えないといけない。 式： 図： ＋ｑの点電荷から距離ｒ離れた位置での電場 E を求めよ。これからｋとεの関係を導け。 電圧 V、間隔 d のコンデンサがある。＋ Q に帯電している面積 S の板の電場を内部外部で求めよ。 またこのコンデンサの静電容量を求めよ。（ε、S,Q, ｄの内、必要なものでこたえよ） ＋ 図のように無限に長い棒に線密度ρで一様に＋電荷が分布している。棒からｘの距離にある P 点での電場を求めよ。誘電率はεとする。 P 電場と電位 ガウスの法則 ０ 静電遮蔽 導体 アース 球殻の内側が－外側が＋になるがアース すると外側の電位は０である。 全てー極板にはいるので 本数はＮ＝ 4 πｋＱ ｑからは全て－側に入る 本数はＮ＝ 4 πｋ ( Ｑ +q) ｑだけ吸収される。 本数はＮ＝ 4 πｋ ( Ｑー q) 電気力線は実際に 一様に広がろうと する力が働く E・Sn ＝４πｋ Q=Q/ ε Sn は電気力線に垂直で全てを覆う面積 導体表面に電気力線は必ず直交する。 等電位 直交 電流 F=qE F=qE E ガウスの法則から＋ｑの点電荷の場合 E・４πｒ２＝ q/ ε よって E= ｑ /4 πεｒ２ クーロンの式と比較し、ｋ＝ 1/ ４πεを得る。 等方的に N= ４πｋ Q 面積 電気力線 N=Q/ ε 電気力線 垂直 全て
E・２S=Q/ ε E＋=Q/(2S ε） Eー＝ー Q/(2S ε） 内部では E=E+ー E- ＝ (Q/S ε ) V=Ed,Q=CV からC= ε S/d を得る。 電気力線を覆う曲面の作り方は幾通りも あるが、垂直になる面は 1 つに決まる。 E・Sn ＝ Q/ ε ε＝ 1/（4 πｋ） ガウスの法則をつかって半径ｘの円柱で棒を囲む長さ L として 円柱の面積 S= ２πｘ L ガウスの法則から電気量 Q= ρ L だから E・S=Q/ εから 2 πｘ LE= ρ L/ ε E= ρ /(2 π x ε )
G3）＋極板を上向きにΔｄだけ引くのに必要な外力のする仕事を求めよ。ε、E で表せ。 コンデンサ極板力 エネルギー ｄ V ε C ＋ Ｓ 次に電気量Ｑ，誘電率εのコンデンサの極板間にどれだけのエネルギー が蓄えられているかを求めたい。帯電後に電源をはずして考える。 P1）各極板（内外）について電気力線を図示し、極板がつくる電場Ｅ＋、 Ｅ－と全Ｅ求めよ。Q、S、εで表せ。 ○極板間に働く力 □静電エネルギー G2）＋極板が受ける力Ｆを求めよ。電場 E を用いて表せ。F はどういう向きか Q. 図のように断面積 S, 誘電率ε、距離ｄだけ離れた平行板コンデンサに電圧 V を加える。 負極板上に質量ｍで－ｑの電荷を持つ帯電体を静かに置いた。負極板から上にｘ軸を取る。 重力加速度は下向きにｇである。帯電体は上方に運動しはじめた。単位は SI 単位を用いよ。 ＋ □電場内の運動 ・SI 単位 ｘ G1) 帯電体が中点に到達した時のコンデンサ内の電気力線の様子を描け。 P1）極板に蓄えられた電気量Ｑ，コンデンサ内の電場Ｅを求めよ。以後 Q,E を用いてよい。 － P3）ある電圧Ｖ’ に変更したら帯電体は極板の途中で静止した。この電圧Ｖ’ を求めよ。 G4）これからコンデンサに蓄えられるエネルギー U を C,V または Q,V で表せ。 力と電場には相手あり P2）エネルギー保存則から帯電体が＋極板に到達直前の速さを求めよ。 C1）電荷 Q のコンデンサの中点で質量ｍの帯電体が電荷－ q の速さｖ₀である時。この帯電体 に働く力を図示し、運動方程式を示せ。また、中点と＋極板直前でのエネルギー保存則を 示せ。ただし直前での速さをｖ、重力加速度ｇ、極板間隔ｄとする。 ＋ ｘ － ・電源あり ・電源なし ○ 電 荷 の 位 置 エ ネ ル ギー ０ ○静電エネルギー ・エネルギー密度 コンデンサ内に蓄えられているエネルギーを という。単位体積当たりの エネルギーを という。 P1) 以上から静電エネルギー密度 u を求めよ。 電荷のエネルギー 静電エネルギー Q． 静電容量 C のコンデンサに電圧 V をかけて充電した。この時電流 I が一定なるようにした。 完全に充電するまで T だけ時間がかかった。この回路の抵抗を R とする。 電源をつないだ直後の＋極板の電気量をｑ、q の最大値を Q とする。 P1) Q を I, 及び、C で表せ。また、電流が流れている時の極板間 の電圧 v、極板の電荷 q はどうなっているか。 G1）T を抵抗 R を用いて表せ。 この結果を時定数という。 ・電源の仕事 ・ｑ－ V グラフ ・時定数 電源の仕事 時定数 C C1) コンデンサーの電荷ｑ両端の電圧ｖ、回路の抵抗を流れる電荷 q、抵抗の両端の電圧 v として、コンデンサ、抵抗それぞれの q － v グラフを選び、コンデンサ、抵抗、電源 のした仕事をそれぞれ求めよ。 （定電流装置はつけていない。） 電源の仕事の分配 R に無関係に決まる。 Q G2）実際には特別な装置をつけないと電流が一定になるこ とはない、コンデンサに蓄えられる電荷は定電流装置があ る時と無いときでどうなるかｑ－ｔグラフを描け。 t CV ｖ q ｖ q ｖ q ｖ q ｖ q 1) 2) 3) 4) 5) 電場は電気力線の密度に等しいが電気力線は極板の上下に出ているから 先のガウスの法則でみたように Ｅ＋＝Ｑ /( ２Ｓε ) Ｅ－＝Ｑ /( ２Ｓε ) Ｅ＝Ｑ /( Ｓε ) Ｆは相手の電場Ｅ－を用いてＦ＝ＱＥ－＝Ｑ２/( ２Ｓε ) ＝ QE/ ２ どちらの極板も引力になる。 Q は変化しないから W ＝ FS ＝ F Δｄ＝ΔｄＱ２/( ２Ｓε ) ＝ S ε E２Δｄ /2 V=Ed より、E=V/d[V/m] Q=CV= ε SV/d[c] 上向きに F= ｑ E、下向きには重力が働くので運動方程式は ma=qE-mg,a=(qE-mg)/m で等加 速運動をおこなう。よって v2=2aS からv= √ 2ad= √ {2d(qE-mg)/m}
a=0 とすればｑ E=mg E=V/d からｑ V/d=mg V'=mgd/q [V] 極板力＝ QE/ ２ 電荷のエネルギーは U=qV[J] 静電エネルギー U=1/2・CV2=1/2・QV[J] エネルギー密度 u=1/2・ε E2 C= ε S/d、V=Ed からU ＝ S ε E２Δｄ /2 ＝ 1/2・CV2 Q=CV から U ＝ 1/2・QV[J] エネルギー保存則からは qV ＝ qEd ＝ mgd ＋ 1/2mv2 v= √ {2d(qE-mg)/m} 自分に働く力は 自分の電荷と相手か らの場をかける。 極板間には片方の極 板に対して F=QE/2 の引力 高さｘでの運動方程式は ma=qE-mg でｘに依存しない。エネルギー保存則はこれを x=0 か ら d/2 まで積分し、1/2・mv²=qEd/2-mgd/2=qV/2-mgd/2 これは x=0 と x=d/2 でエネルギー 保存則を立て、qV=1/2・mv² ＋ mgd/2 ＋ qV/2 と同じ。コンデンサの静電 U は関係ない。 U=qV[J] ｍｇ ｑ E 外では打ち消しあって弱くなる。 外では打ち消しあって 弱くなる。 先の結果に体積Δ V ＝ S Δｄを代入すると W ＝ε E２Δ V/2 従ってエネルギー密度はΔ V でわればよい。 u ＝ε E２/2 エネルギー密度 静電エネルギー U=1/2・QV U=qV コンデンサは１） 抵抗は２）、電源は５） 電源の電圧は一定なので電源の仕事 W' ＝ QV=CV2[J] である。よってコンデンサと抵 抗でこの半分のエネルギーがたまることになる。後の半分は電荷が変化する時や導線 等の抵抗でジュール熱として外に逃げる。 この QV 曲線はコンデンサにたまる静電エネルギーを表している。 電源は QV[J] 静電エネルギー U=1/2・QV[J] 抵抗のジュール熱 W=1/2・QV[J] RC はコンデンサーの電荷がはじめの 1/e になるまでの時間 I= Δｑ / Δｔ Q=IT、Q=CV 電流が流れている時は q=It q=Cv だから ｑ、ｖは比例して変化する。 電源の QV の仕事はコ ンデンサーと電流の仕 事に半々に分けられる。 T=RC は充電、放電時間を 表す。 回路になくともコンデン サには抵抗 R が必ずある。 Q=IT、Q=CV から T=CV/I ＝ CR ｑ、ｖは比例して変化する。 電流が流れることでコンデンサの両端の電圧は現象するので 流れる電流も減る。よってグラフは e-ktのよな関数になる。
ｘｙ平面において図のようにｘが負の領域は十分大きな導体である。
G1) 原点から（a,0) の位置に電気量＋ｑの点電荷 A をおく、電気力線の様子を図示しせよ。 位置 P（x,y) x>a,y>a での電場の Ex、Ey 成分を求めよ。クーロン定数をｋとしてよい。 G2) ＋ｑ [c] の点電荷 A が受ける力を求めよ。ただし、１）の結果を利用してよい。 P ＋ｑ a 中心に半径 a の銅球さらに外側は内半径 b（b ＞ a）、厚さｄの銅の球殻がある。中心の銅球 に＋ Q[c] の電荷を与え、外側はアースする。中心から外側にｒ軸をとる。誘電率はεとする。 P1. アースする前の後での電気力線の様子を図示せよ。 G1. 中心からｒでの電場 E と電位 V を求め、そのグラフを描け。( アースなし） G2．この同心球はコンデンサと考えることができる。静電容量 C を求めよ。 球形の導体が帯電して いるとき、外からみれ ば中心に全ての電荷が あるとみてよい ○同心球コンデンサ Q ・鏡像法 Q ・静電誘導 内部の電荷 A 電場と電位 力と位置 E 導体内の電場 ○コンデンサー コンデンサは並列にすればそれだけ が増えるから容量も増える。また接続された各 極板の は全て等しい。直列では から は全て等しい。 P1 次の静電容量を C1、C2、電圧Ｖとする。合成容量を求め、電荷電位の分配則を示せ。 並列 直列 C1 C2 C1 C2 P1. 断面積が 1m2, 極版間の距離が 2mm の並行板コンデンサの容量が 10 μ F である。 ア） 距離を 4mm にすると容量はどれだけになるか。 イ） さらに断面積を 4m2, にすると容量はどうなるか。 C1 C2 P2 C1 は 10 μ F、C2 は 20 μ F、C3 は 20 μ F である。次の場合の合成容量を求めよ ア） イ） C1 C2 C3 P3 C1 は 10 μ F、C2 は 20 μ F である。それぞれの極板の電気量を求めよ。 また、P 点の電位も求めよ。電源は共に 15V を ON にしてしばらくたったとする。 ア） イ） C1 C2 P コンデンサの合成 コンデンサの容量 C1 C2 G1）10 Ωと C1 に比誘電率 3.0 の物質を満たし、C2 に極板間の半分の厚さの金属を入れた。 容量は前問と同じ、P 点の電位と各電荷を求めよ。 P 誘電体の挿入 導体の導入 コンデンサ 電圧の配分 電気量の配分 ○コンデンサーの接続 コンデンサ バネ 抵抗 コンデンサの静電容量は に比例し、 に反比例した。さらに が 係数にかかる。これはコンデンサの極板間に をいれることで変化する。 真空の誘電率は記号 で表し、もっとも 。静電容量 C は比誘電率 を用 いて表すと なる。真空の誘電率はε０＝ である。 C1 C2 P 真空の誘電率 との比を という。誘電率ε、ε0、ε’ の関係をまとめよ。 ・比誘電率 Ｖ V V R ・電気力線 G1 . コンデンサ C に電圧 V をかけた後、これに比誘電率２の誘電体を充填する。電源をつけ た場合、はずした場合の電荷 Q と電気力線の本数 N を求めよ。真空の誘電率をε₀とする。 鏡像法から (0,-a) にーｑの仮想電荷を置く。 P(x,y) からはじめに電位 V を求めると V= － kq/ √ {(a+x)2+y2}+kq/ √ {(a － x)2+y2} a －ｑ アースすると導体の表面電荷が無限遠 まで遠ざかったと考える。 １．ガウスの法則から E・４πｒ２＝ Q/ ε E=Q/ ４πεｒ２ 電位は中心ほど高く、V=kQ/r から ３．静電容量を C とすると Q=CV だから CVb-a=Q として C = 4π ab b − a [F] E[V/m] r[m] a b b+d V[V] r[m] a b b+d Q/(4 πε a２) Q/(4 πε b２) V のグラフは連続だが E はその微分になるので 不連続な場合もある。 電場は導体中では０である。しかし電位は定数になる。（０とは限らない、アースしたところ が０になる。） １．静電誘導で鏡像法から得られる対称点に異極の電荷を置いた場合と同じ電気力線を描く。 ただし、導体の中には電場はないので電気力線は表面までである。 ２．A 点での電場は Y 方向は０だからｘ＝ a、ｙ＝０を前の結果に代入して E=Ex= ーｋｑ /(2a)2= ー kq/4a2 となり F=qE からF= －ｋｑ２/( ４a2) 向きは x 軸の負の向きこれはクーロンの法則を 使っても同じ結果である。 Ex=−dV dx = −kq(x + a) (x + a)2+y2 32 + kq(x − a) (x − a)2+y2 32 Ey=−dV dy = −kqy (x + a)2+y2 32 + kqy (x − a)2+y2 32 電場 E はベクトル ( 傾き ) 電位はスカラー（山、谷） F=qE 成分では Ex= ーｄ V/ ｄｘ E= √ (Ex2+Ey2)
Ey ＝ーｄ V/dy Va= Q 4π a,Vb = Q 4π b,Vb−a= Q(b − a)4π ab Q/(4 πε a) Q/(4 πε b) 導体内部には静電誘導 により反対向きの電場 ができ、元の電場を打 ち消す。 導体表面と電気力線 は常に直交する。 導体の中心に電荷が 集中すると考える。 Q 4π (b + d)2 Q 4π (b + d) 抵抗は電流がなければ導線。 C1= ３０μ F、C2＝４０μ F よって１５＝ Q/ ３０μ＋ Q/ ４０μ Q=２６０μ C VP＝ Q/C2＝２６０/ ４０＝６．４V Q1=150 μ C Q2=300 μ C Vp= １５V V1= １０V V2= ５V Q1=Q2=100 μ C C=10 ＋ 20 ＝３０μ F C ＝１２μ F C ＝ C1+C2 1 C = 1 C1 + 1 C2 C = C2C2 C1+ C2 ア）５μ F イ）２０μ F 距離ｄ 断面積 S 誘電率 誘電体 充填前には Q=CV,N = Q 4π 0とすると 電源ありでは V が変化しないので C'=2C だから Q'=2Q、N'=Q'/2=N 電気力線は変化しない。 電源なしでは Q が変化しないので N=Q/2 で電気力線は半分になる。 C= ε’ ε０S/d ８．８５４×１０－１２[F/m] 小さい ε０ ε’ 面積 電荷の大きさ 電位 静電誘導で全て電荷は等しい ＋ Q ＋ Q ＋ Q ＋ Q － Q C 並列＝ C1+C2 ＋・・・ =Q1/V+Q2/V － Q － Q － Q 1/C 直列＝ 1/C1+1/C2 ＋・・・合成は抵抗と反対 V=Q/C1+Q/C2 ε０ 比誘電率 ε＝ε’ ε０ 直は電荷同じ 並は電荷は和 並は電位同じ 直は電位は和 C と反比例 その空間を 取り除く 10V ５V 静電誘導 C'= ε’ C 倍 並列 C=C1+C2 直列 1/C=1/C1+1/C2 並列 K=k1+k2 直列 1/K=1/k1+1/k2 直列 R=r1+r2 並列 1/R=1/r1+1/r2 ε、ε０は [F/m] という単位を持つ物理量だが比誘電率ε’ は単なる数値、静電容量が C'= ε’C となるように作られた。
V V ー V/D ー V/D 1/2・CV2/D 1/2・CV2/D qV/D U=qV =qV(D-x)/D 1/2・CV2 1/2・CV2 Q．図のように静電容量Ｃ [F]、間隔Ｄ [m]、面積Ｓ [m2] のコンデンサに同じ面積で高さｄ の物体を高さがｙの位置に図のｘ ( ＜ X) だけ挿入する。(X は極板の横幅 ) この物体が次の物質である場合、それぞれの静電容量を求めよ。 Ｄ C ＋ － Ｓ ○誘電体、導体の 挿入 ・導体 ・誘電体 ○コンデンサの分割 ・比例式は分数 比例なら 自分の値 全体の値 反比例なら 全体の値 自分の値 Ｄ C ＋ － Ｓ ｄ ｙ G1）導体 C ＋ － P1 図のように静電容量 C のコンデンサに電圧 V を与え物質を半分の高さ、幅になるように 挿入した。物質が次の場合それぞれ蓄えられる電気量を求めよ。( わずかな隙間がある） ⅰ）導体 ⅱ）比誘電率ε ' の誘電体 ⅰ）導体 ⅱ）比誘電率ε ' の誘電体 ( 幅 d) V C ＋ － V ｘ X 元の値 元の値 Ｄ C1 C2 D-d x X-x G2）比誘電率 r の誘電体 ただし、ｄ＝ D とし、厚さ方向には誘電体で満たす。 C1 C2 x X-x C1）このように帯電されたコンデンサに誘電体や帯電体を挿入することについて、電気力 線を考えることで挿入体に働く力を考え、正しい記述を選びなさい。（複数可） 1) 挿入体が金属の時には引き込む向きに、誘電体の時はコンデンサの外に出そうとす る向きに力が働く。 2) 挿入体がには共に引き込む向きの力がはたらくが、金属と誘電体では誘電体のほう が力が強い。 3) コンデンサの電源をきってから導入すると誘電体の場合に単振動し、電源をつない だままであればどちらも引き込む向きの力が働くが、単振動にならない。 4) コンデンサに電源をつないでから挿入する場合と、電源を切ってから挿入する場合 は切ってからの方が挿入体は単振動により近い運動をする。 ◎コンデンサー内の エネルギーまとめ Point 以下 C,V,D,x で表せ G1．極板を動かす 最初の負極板の位 置を原点に上方にｘ 軸を取る。( ＋極板 は x=D の位置 ) 負極 板を 0V G2. 極板働く力 F F-x グラフ G3. 位置ｘでの極板 間の電位 V V-x グラフ G4. 位置ｘでの極板 中の電場 E E-x グラフ C ＋ － ⅰ）帯電後電源をはずす ⅱ）帯電後電源 V を加えたまま P1 コンデンサの極板の面積 S、幅 X、間隔 D、誘電率ε 電圧は V はじめの容量は C C ＋ － V P1 ＋極板は固定し－極板を＋極板に近づける。 負極板に働く力を図示すること ０ ｘ ｘ ｘ ｘ V D ｘ V D ｘ E D ｘ E D G5. 位置ｘでの極板 内の静電エネルギー U-x グラフ U ｘ D U ｘ D F ｘ D F ｘ D G6．帯電体 位置ｘでの帯電体に 働く力 F-x グラフ 位置ｘでの帯電体の 電気 U-x グラフ C ＋ － ０ ｘ ｘ -q 位置ｘに質量ｍの帯電体 - ｑを静かに置く。力も図示せよ。 極板の電圧は V、間隔 D は固定 F ｘ D U ｘ D コンデンサの 静電エネルギー P2. 静電容量 C1, 外力のした仕事 -W'、電源の仕事 W, 静電エネルギー U の間の式、F との関係式を求めよ。 C1=2C, C2=2 ε C 直列に合成して、 C = 2 C 1 + i) 導体が接触したら コ ン デ ン サ で は な い。わずかな隙間で も E はある！ ⅱ )C1=C/2,C2= ε C/2 C = C1 + 2 C=C1+C2 C = CX + x(r− 1) X C1=xCD/{(D-d)X} C2=(X-x)C/X C1+C2=(X-x)C/{(D-d)X} =C((D-d)X+dx)/{X(D-d)} まず C1 と C2 を合成 C1= ε xC/X C2= C(X-x)/X 直列だから分母を通分し、 導体の高さをｄとして C'=C/2・D/(D-d) ＋ C/2 C = C2D− d D− d となりｄに依存する。 ｄ 導体部分はカット して幅が半分だか ら C'= ２C ４） 次頁で確認する。 C =CX(D − d) + xd X(D − d) C =CXD +xd XD 0<x<X D-d を D' とする。 電荷 Q が一定 ガウスの法則から E も一定 電圧 V が一定 電源を含めたエネルギー保存則 F ＝ QE/2 一定 E=V/D だから ＝ 1/2・CV2/D V が一定 F ＝ QE/2=1/2・CD/(D-x)V²/(D-x) F=1/2・CV²D/(D-x)² U=1/2・QV=1/2・C'V2 C'=CD/(D-x) =1/2・CV2D/(D-x) V=Q/C' ＝ CV(D-x)/ ε S V(x)=V(D-x)/D D-x F Q V F ガウスの法則 E・S=Q/ εから E は一定 V は一定 E=V/d だから 向きを考慮して Ex= ー V/(D-x) E の向きは下向き だからこの基準で は負になる。 E(x)=V/d=-V/D U=1/2・QV' ＝ 1/2・QV(D-x)/D U(x)=1/2・CV2(D-x)/D U=1/2・QV=1/2・CV2=1/2･Q2/C 外部電源があるので W=U-W' が一定 W=2U だから W'=-U C =C D D − x G2 の結果から F=-dU/dx ではなく F= ー dW'/dx である。 外力の向きは負で仕事も負外部電源がな いので U ＝ W' F =−dU dx =− dW dx
1/2・CV2 D'/2(D+d)・CV2 1/2・CV2 (D+d)/2D'・CV2 1/2・CV2 1/2・CV2/r 1/2・CV2 1/2・rCV2 G1．厚さｄ幅 X の 導体を入れる。 (0<x<2X) 位置ｘでの静電 U 電源の仕事 W 外力の仕事 W' エネルギー保存則 U-x グラフ ⅰ）帯電後電源をはずす ⅱ）帯電後電源 V を加えたまま P1 コンデンサの極板の面積 S、幅 X、間隔 D、誘電率ε 電圧は V はじめの容量は C P2. 静電容量 (D-d=D') ｘ D ０ ｘ ｄ U ｘ X U ｘ X G2. 位置ｘでの負極 板に働く力 F と向き F-x グラフ F F G3．厚さ D 幅 X の 比誘電率 r の誘電体 を入れる。(0<x<2X) 位置ｘでの静電 U 電源の仕事 W 外力の仕事 W' エネルギー保存則 U-x グラフ 静電容量 導体の右端基準 ｘ D ０ ｘ r 誘電帯の右端基準 ◎コンデンサー内の エネルギーまとめ Point 2X 2X ｘ X 2X ｘ X 2X G4. 位置ｘでの負極 板に働く力 F と向き F-x グラフ x-X X D ０ ｘ ｄ x>X の場合 F ｘ X 2X U ｘ X 2X x-X X r ０ ｘ x>X の場合 2X-x U ｘ X 2X F ｘ X 2X ○電荷保存則 孤立回路の電荷は 変化しない！ 図のように５Ｖで充電された３μＦのＣ１と充電してない２μＦのＣ２を直列につなぎ、 10 Ｖの電圧を加えた。 P1）Ｃ１，Ｃ２の各極板に蓄えられる電荷を求めよ。 P2）Ｐ，Ｑ点の電位を求めよ。 C1 C2 Ｑ P 図のように電源 10 Ｖ、Ｃ１は 2 μＦ、Ｃ２は３μＦ、Ｃ３は 2 μＦである。はじめスイッ チＳ１、Ｓ２は開いてある。はじめ各コンデンサに電荷はない。電位は－電源を０とする。 C1 C2 C3 Ｓ 1 Ｓ 2 P1）スイッチＳ１を閉じる。Ｃ１，Ｃ２に蓄られ る 電気量と極板間の電圧を求めよ。 P2）スイッチＳ１を開き、Ｓ２を閉じる。Ｃ２に蓄られる電気量と極板間の電圧を求めよ。 P3）Ｓ２を開き、Ｓ１を閉じる。Ｃ１，Ｃ２の電気量と極板間の電圧を求めよ。 ○電荷保存則 ・コンデンサ回路 Q ☆初期チェックは大事！ はじめに電荷がある か否か。 複数のコンデンサの回路において 内の電荷は保存される。 P4）次に S1 を開き S2 を閉じる、この操作を何回も繰り返した時、A 点の電位はどうなるか。 A 繰り返しの極限 G1）次にスイッチを全てを閉じ、電荷が逃げないようにして電源を 10 Ωの抵抗に換え、 C3 は取り除いた。電荷は回路を新しくつないだ直後から抵抗をどちらに何 C 移動したか。 また、A 点の電位も求めよ。 コンデンサ回路 電荷保存 C1 A C2 電位の分配 10 Ω 【演習】 Q1 C =CX(D − d) + xd X(D − d) C =CXD +xd XD 0<x<X C =CXD − (x − 2X)d XD X<x<2X の時 x → -(x-2X) で置き換え Q 一定だから U=1/2・Q2/C' 0<x<X X<x<2X U = 1 2CV2 XD XD +xd U = 1 2CV2 XD XD − (x − 2X)d F = −dUdx = 1 2CV2 XD d (XD +xd)2 0<x<X 保存則 W+W'=U W=2U 電源 W=QV ＝ C'V2 W = CV2XD +xd XD U = 1 2CV2 XD +xd XD W =−1 2CV2 XD +xd XD 負 0<x<X の時 F = −dWdx = 1 2CV2 d XD 1/2・CV2d/XD' 外力は外向きなので 導体には内向きの力 分割して C'=C(X-x)/X+rCx/X C =CX + x(r − 1) X 0<x<X C =CX − (x − 2X)(r − 1) X Q 一定だから U=1/2・Q2/C' U = 1 2CV2 X X + x(r − 1) 0<x<X U = 1 2CV2 X X − (x − 2X)(r − 1) 電荷 Q が一定 電圧 V が一定 エネルギー保存則 W+W' ＝ U をはじめに考える -1/2・CV2d/XD' F = −dUdx =1 2CV2 X(r − 1) (X + x(r − 1))2 0<x<X −12CV2 d XD 1 2CV2 d XD F = −dUdx =−1 2CV2 XD d (XD − (x − 2X)d)2 X<x<2X F = −dUdx =−1 2CV2(X − (x − 2X)(r − 1))X(r − 1) 2 X<x<2X 2X-x X<x<2X X<x<2X 保存則 W+W'=U W=2U 電源 W=QV ＝ C'V2 W = CV2X + x(r − 1) X U = 1 2CV2 X + x(r − 1) X W =−1 2CV2X + x(r − 1)X 負 0<x<X 1 2CV2r − 1X F = −dWdx =1 2CV2r − 1X -U の微分にならない 近似単振動でない！ X<x<2X 0<x<X F = −dWdx =−1 2CV2 r − 1 X 外力は外向きなので 誘電体には内向きの力 導 体 に は 内 向きの力 −12CV2r − 1 X 1 2CV2 r − 1 X −12CV2r − 1 X 誘電体には内向きの力 極板に働く力 F F=-dU/dx ではなく F= ー dW'/dx である。 -U の微分にならない 近似単振動でない！ ＊はじめに電荷があるので電圧の分配は成立しない。 電荷保存則から ー Q1 ＋ Q2 ＝－１５μ ① 電位の式から Q1/ ３μ＋ Q2/ ２μ＝１０ ② ①、②から Q1 ＝２１μ C、Q2= ６μ C Vp= １０V Vq= ６/ ２＝３V 直列だから Q1=Q2=CV= １２μ C V1= ４V,V2=6V 図のような赤の閉回路内で C3 の上極板を＋ Q3 とおく、 電荷保存則から Q3 ＋ Q2= １２μ 電位の式から Q3/2 μ＝ Q2/ ３μ Q3= ４．８μ C Q2= ７．２μ C V2= ２．４V 電荷保存則からー Q1 ＋ Q2= ー１２μ＋７．２μ 電位の式から Q1/2 μ +Q2/ ３μ＝１０ Q １= １３．９μ C Q2= ９．１C V １= ７V V2= ３V 極板を含む閉ざされた回路 点線の中の電荷の総和は電圧 を加える前後で変化しない。 10 Ｖ 10 Ｖ ２μＦ ２μＦ ３μＦ ３μＦ ２μＦ 繰り返しの極限は 電荷の移動がおこ らない。スイッチ は全て ON C1 C2 C3 A 10 Ｖ ２μＦ ３μＦ ２μＦ スイッチを閉じても電荷の移動がおこらないと 考える。C3 と C2 の合成は５μ F になるから 電圧の分配から VA=10・2/ ７＝２．９V これから Q2=60/7uc,Q1=100/7uc 抵抗には電荷が移動している間は図左向きに電流が流れる。前問から Q1=100/7u,Q2=60/7u 上の極板の電荷を左から Q2,Q1 とすると電荷保存則から Q1+Q2=-40/7uc, 並列だから Q1/2u=Q2/3u Q1= ー 16/7uc,Q2=-24/7uc よって 下の極板は +16/7uc になるからその差Δ Q=(100-16)/7 ＝12uC 移動した。 上の極板は負になるから VA=Q2/C2=-24/21=-1.14V になる。 100/7uc 60/7uc 合成容量で おこなう +Q2 +Q1
D ｄ ・・・・ ○櫛形コンデンサ Q2 図のように断面積 S の銅版を間隔ｄでｎ枚並べた (S1,S2…Sn）。真空の誘電率はε₀とする。 S1 S2 Sn P1）S1 に電荷＋ Q を与えた。電気力線の様子を図示し、 極板 Sn の電荷を求めよ。この理由はどういう現象か C1）このコンデンサの電気容量はどうなるか次から選択せよ。 1) n ε₀ S/d 2) ε₀ S/(nd) 3) ε₀ S/d 4) 2nε₀ S/d 次に同じ４枚の銅板を次のように導線で結び、S1 に＋ Q を与える。S4 をアースする。 G1）電気力線を図示し、極板 S1、S2、S3、S4 の電荷、各極板内の電場を求めよ。 以下静電容量 c= ε₀ S/d を利用してよい。 ｄ S1 S2 S3 S4 次に同じ４枚の銅板の位置を図のよう S1S2 と S3S4 間を D、S2S3 間をｄに変えて導線で 結び、 S1 に＋ Q を与える。（D>d）S4 をアースする。 G3）電気力線を図示し、極板 S1、S2、S3、S4 の電荷、各極板内の電場を求めよ。 G2）このコンデンサ全体の静電容量は次のどれか 1)c/3 2)c/2 3)c 4)2c 5)3c どんなに薄くても表、裏 に分かれる。 ｄ S1 S2 S3 S4 D D ・櫛形電極 G4）このコンデンサ全体の静電容量はいくつになるか。c,d,D で表せ。 切断してねじれば メビウスの帯とおなじ！ 繰り返しの極限 Ｑ２ 起電力Ｅ＝７５Ｖの電池にＣ１、１μＦ、Ｃ２、２μＦ、Ｃ３は３μＦ、R1=10 Ω、 R2=20 Ωをつなげる。コンデンサは未充電であり、はじめスイッチＳ１、Ｓ２は開いている。 Ｇは検流計である。 C3 C2 Ｅ Ｓ 1 Ｓ 2 C1 Ｇ P1）スイッチＳ１を閉じる。閉じた直後と、十分 時間がたった場合の点 A,、F の電位を求めよ。 Ａ Ｂ P2）次にＳ１を開き、Ｓ２を閉じるとＡ点の電位は何Ｖになるか。この時、検流計Ｇを流れ た電気量を求めよ。十分時間経過後の点 A、F の電位を求めよ。 G1）次にＳ２を開き、Ｓ１を閉じるとＡ点の電位は何Ｖになるか。 Q3 C1 は６μ F, C2 は２μ F、R は５ｋΩ、電源は 50V で、スイッチは全て開いている P1）はじめ S3 を閉じ、S1 を閉じる、Q1、Q2 を求めよ。充電までに R で消費した熱と 電池のした仕事を求めよ。 C1 C2 S1 R S2 G2）次に S ３を開き S2 を閉じる。Q1,Q2 を求めよ。この時 R と回路で消費する熱も求めよ。 S3 ・時定数 T 放 電 で は 1/e に な る時間。 充電では (1-1/e) た まる時間 ・ERC 回路の抵抗 C1）充電にかかる時間を見積もれ [s] 1)1.5 × 10－２ ２）3.0 × 10－２ 3)3.0 × 10－２ より大 E,RC 回路 エネルギー保存則 G2）この操作を何回も繰り返した時、A 点の電位はどうなるか。 【演習】 ・繰り返し操作 ・RC 回路（直流） ＊抵抗の値に関係なく ジュール熱が決まると いうことは抵抗値は何 を決めているだろう？ 電源入瞬間とその後 R1 R2 C D F 静電誘導がおこるので n が奇数なら＋ Q、ｎが偶数な らー Q[C] になる。 ＋ Q ー Q ガウスの法則から＋極板の電場を E+ として 2E+・S=Q/ ε₀ 同じことが負極板にも成り立 つから E- も求まり、E=E+ － E- よりE=Q/ ε₀ S 公式からｃ＝ε₀ S/d 直列接続だから、公式により1 C = 1 c+· · · + 1 c = n cよって C=c/n 選択は 2) ＋ Q -Q ＋ Q -Q アースなしで極板に 8 個の電荷ができたとするとS1=S3=+Q、S2=S4= ー Q 電場の大きさはイ）と変わらない、向きが変化するので 左から順にE,-E,E, 導線で結ばれた極板は等電位になる S2 と S3 は極板を引き裂いて考える。 図のような並列接続になる。 よってC=c+c+c=3c 選択は５） 極板間隔がことなるので電荷がことなる。極板の裏、表 に分かれて、電荷は分布する。S1 と S3 右は等電位で電 荷は Q、S1S2,S3S4 の容量は Cd/D に減るから電位差は VD/d に増える。S3 も同じ電位だから S2S3 間の電場は ED/d に増える。よって電荷も QD/d に増える。 電荷は S1 は左右 Q,S2 は左ー Q, 右ー QD/d、S3 は左 QD/d、右 Q、S4 は左右ー 電場は左から E,-ED/d,E 導線で結ばれた極板は等電位になるので 点線で引き裂いて、動かせば、 図のような並列接続になる。断面積は全て 等しいから左から C,Cd/D,Cd/D 全合成容量 C’ はC'=C(2d/D+1) S2,S4 はアースして いないので全体では 中性である。 Q1=Q2=CV=50 μ C VA=25V,VF=50V 流れた電気量は Q3 に等しい。 ３０μＣ VA=Q2/ ２＝１５Ｖ ①、②から Q1'= ２２５μ C Q2'= ７５μ C R の発熱量はコンデンサのエ ネルギーの減少分と考える。 Δ U ＝ 1.9 × 10－３J 電源はつながれていないので 回路全体も同じ 電荷保存から Q2+Q3=50 μ 電位の式から Q2/2 μ＝ Q3/ ３μ よって Q2=20 μ C,Q3=30 μ C C1 の負極板と C2 の正極板で電荷保存から ー Q1+Q2= ー 50 μ＋ 20 μ 電位の式から Q1+Q2/2 μ＝７５ よってQ1=60 μ C,Q2=30 μ C 抵抗で消費した熱は充電されたコンデンサの内部エネルギー に等しい Q=CV から Q1= ５０×６μ＝３００μ C、Q2= ０μ C よってコンデンサのエネルギーと抵抗は1/2QV ＝ 7.5 × 10-3J 電源は QV ＝15 × 10-3J 電荷保存から Q1+Q2= ３００μ ① 電位の式から 抵抗は電流が流れないならば導線と考え、 Q1/6 μ＝ Q2/2 μ ② ①、②から V=75/2V ＝ 37.5 Ｖ③ 消費されるエネルギーがコンデンサの内部エネルギーの減少 分だから U1 ＝ 1/2Q1V ＝ 7.5 × 10-3J ③より U1' ＋ U2' ＝ 1/2V(Q1'+Q2')=5.625 × 10-3Ｊ よってΔ U ＝ (7.5-45.6) × 10－３=1.9 × 10－３J Wt ＝ V2/R ｔ＝ 7500 μ J だからこれから t=7.5 × 5/25・× 10-2=1.5 × 10－２[s] を得るが これは正確ではない正しくは後にやる微分方程式を解くことになる。 時定数 T=RC= ３× 10－２[s] が元の電荷の 1/2.7=0.37 になる時間である。 最終的にはスイッチを閉じた回路のように電荷がたまる。従って C2 と C3 の合成は５μ F, C1 は１μ F が直列になっているので全体で７５V だからVAは１２. ５V 繰り返しの極限は 電荷の移動がおこ らない。スイッチ は全て ON ２μＦ 3 μＦ １μＦ 75V 直後は抵抗は絶縁、コンデンサは導体 よって共に 0V その後、コンデンサは絶縁 直後は抵抗は絶縁、 コンデンサは導体 VA=Q2/c=20u/2u=１０Ｖ VF は変わらず50V ２u Ｆ 6u Ｆ 5K T=RC[s]
電気回路などでは電源を入れてから回路が安定するまでに微少な時間がかかる。この不安定な 状態から安定な状態になるまでが である。例えばコンデンサーを直流電源 につなぐと過渡状態では電流が 、安定した状態では電流は 過渡状態を観察するには時間が非常に短いので 測定器が必要である。 Q3．静電容量 C[F] のコンデンサにＶの電圧を与え、しばらくして電源と切り離し、図のよう に抵抗 R Ωにスイッチを切り替えた。 C １．コンデンサの極板の電位を図示せよ。 ２．コンデンサに蓄えられた静電エネルギーと電源の仕事を求めよ。 ３．抵抗で発生したジュール熱を求めよ。 Ａ 4．電気が蓄えられるまでのＡ点を流れる電流 i の i-t グラフ、コンデンサの電荷ｑ -t グラフ を描け。 ▽微分方程式 i=dq/dt=q・ C=V=R=1 の時のグラフ ・RC 回路の式 まず電位の式 【発展問題】 ○過渡状態の物理 ・静電エネルギー ☆時定数 T=RC コンデンサ回路 微分表現 静電エネルギー 5．電荷 Q だけ帯電した後スイッチを R 側に切り替えた。t 秒後のコンデンサの電気量 q(t) とｑ－ｔグラフ、A 点の i － t グラフを描け。 ５．コンデンサの容量がはじめの 1/e になる時間を求めよ。 C Ａ i q t C Ａ R t i q ６．抵抗で発生したジュール熱と、コンデンサに蓄えられていたエネルギーを求めよ。 抵抗の役割 過渡状態 流れる 流れない。 オシロスコープ + 電源がある場合の電位の式はコンデンサの電位を ｖ、抵抗 R があるとし、iR+v=V (v,i は変数） 微分に置き換えて V=q・R+q/C 変数分離し、 + + −RC1 = ˙q q t=0 で q=Q として積分すると q(t) = Qe− t RC よってｔ秒後の q が ① と求まる。 Q 電流は q を微分すると充電と反対向きで i(t) = dq dt =− Q RCe− t RC Q ② と求まる。 上の式①から q=Q/e とすると Q/e=Qe-t/RCだから指数を比較して t=RC T=RC とおいてこれを時定数という。 抵抗での消費電力は P=I2R だから先の式②からはじめの状態で Q=CV だから P=I²R ＝ Q2/RC2・e-2t/RC これの P-t グラフを描き、その面積を求める。積分すると W = ∞ 0 I 2Rdt = ∞ 0 Q2 RC2e−2t/RCdt = Q2 RC2 RC 2 = Q2 2C = QV 2 となり これは静電エネルギーに等しい。 RC 回路：iR+VC=V 微分方程式：Rdq/dt+q/C=V( 外部起電力 ) 1 RC = ˙q VC − q t=0 で q=0 だから Q=CV として t RC + C =− log(|CV − q|), q = −Q(e− t RC − 1) C',C'’ は定数で初期条件から C''=Q に等しい 1 2 3 4 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 電源がない場合の電位の式はコンデンサの電位を ｖ、抵抗 R とし、iR+v=0 (v,i は変数） 微分に置き換えて 0=q・R+q/C 変数分離し、 −RCt =− log(|q|) + C この式からも時定数 RC が時間の単位であることがわかるだろう。 i q 時間を調整
