Microsoft PowerPoint - C1_permanent_magnet_slide.pptx

磁石と磁極

1

st

_{. 2011/04/01}

L

st

_{. 2018/11/28}

永久磁石と電磁石

永久磁石

◎ 電源不要

電磁石

× 電源必要

谷腰，``トコトンやさしいフェライトの本,’’ p.19, 日刊工業新聞社

× キュリー温度Tcで自発

磁化消失（高温減磁）

× 反磁界による減磁作用

V

V

i

Z



L





× 周波数による電流量の変動

N S N S インピーダンスの周波数 変動により，モータ回転 数や発熱量が変化

50, 60 Hz

極性の切替が

自在に可能

極性は固定

されて切替

不可

[K]

T

[T]

B

C

T

◎ 電流量で磁力を調整可能

磁気ダイポール の向き N S H

コイルの磁化曲線

空気：

傾き

μ

₀

[A/ m]

H

[T]

B

反磁性：傾き

μ

₀

μ

_r

<μ

₀

常磁性： 傾き

μ

₀

μ

_r

>μ

₀

強磁性

※

※ 強磁性はHが大きくなると飽和し

て非線形になる（単純に比例しない）

1

(1)

C

H dl





N I











1

₍₂₎

N I

H

l





アンペアの法則より 磁路内部の磁界は

(3)

H



I



磁界 H は電流 I に比例する  C S 1 N  A I H 3

磁束計



2



₍₃₎

d N

d

e

dt

dt





 

 



2 2

(4)

e dt

    

N

N BS





2

1

(5)

B

e dt

N S

 

_



1

(1)

C

H dl





N I











1

₍₂₎

N I

H

l





 C S 1 N  A 2 N e B I アンペアの法則より 磁路内部の磁界は ファラデーの法則より、2次コイルに誘起される電圧は (3)の両辺を積分すると (4)を変形して B について求めると (1)よりコア内の磁界は1次コイル に流れる電流に比例し， (5)より磁性体内部の磁束密度 は，2次コイルに発生する誘導起 電力の時間積分で求められること が分かる。 Flux meter 磁束計 図のような磁気回路を考える。 4

Rowland ring

HI t B

_

edt

初磁化曲線と透磁率

[A/ m]

H

[T]

B

B

m



TDK EMC Technology 基礎編，ノイズ対策用フェライトの基礎 最大透磁率 酒井，``電気電子工学概論,’’ p.87, 丸善出版 5 0

7.69 10

r

B

B

H

H











i



初透磁率

[A/ m]

H

r



μ

_r

max

initial



1

H

H

₂ 1

B

2

B

1

H

H

₂ μ_iのみBの傾きdB/dHに 等しいが，それ以外のμ は単なる比率B/Hになっ ていることに注意。 https://www.neomag.jp/

1

0



真空透磁率 0 m

 

0 i

 

μ_r=1に漸近

強磁性体のヒステリシスループ

https://www.magna-tokyo.com/service/yogoshu.html r

B

cb

H

[T]

B

[A/ m]

H

磁化の強さのヒステリシス

磁束密度のヒステリシス

0

M

[T]



B=μ

₀

H (M=0)

B=μ

₀

(H+M)

μ

₀

M

空気の磁束密度

交流磁界を加えると

履歴（軌跡）が異なる

＝ヒステリシスと呼ぶ

cj

H

初磁化曲線

強磁性体の透磁率

7

[T]

B

[A/ m]

H

B=μ

₀

(H+M)

透磁率は初磁化曲線で

のみ定義される。

ヒステリシスループ上で

は定義できない。

B=μ

₀

H (M=0)

初磁化曲線

0

M

[T]



μ

₀

M

m

M





H

(2) 2 (3) 3 m m m

M





H





H





H



線形近似

非線形（強磁性体）

0 0 (2) 2 (3) 3 0 0 (2) (3) 2 0 0

(

)

(1

)

m m m m m m r

B

H

M

H

H

H

H

H

H

H

H







 













 































(2) (3) 2

1

r m m

H

m

H



 













ただし，

強磁性体の減磁曲線

8 宝野，本丸，``すごい！磁石,’’ p.101, 日本実業出版社, 2015 より引用 0( ) B H M 0M  0H  0HC  0Mr  0MS 0( ) B MH 外部磁界 磁化 残留磁化 保磁力 逆磁区 の発生 磁化反転 飽和磁化 max (BH) 最大エネ ルギー積 H H H  H  H  逆磁区 の拡大 H  磁化反転 0H   0H   0 BH

磁化曲線のうち、第2象限に

あるものを減磁曲線と呼ぶ

減磁曲線の例

https://www.neomag.jp/mag_navi/mames/mame_bhcurves_top.html この図において，Jはμ₀Mに等しい 酒井，``電気電子工学概論,’’ p.89, 丸善出版, 1995

磁化曲線の種類と用途

交流磁場を加えるとループ面積に相当する熱エネルギーが消費される。この消費電 力をヒステリシス損または鉄損という。 1880年, E. G. Warburg 鉄の磁化はその前の状態に支配されることを発見。その後J. W. Ewing が磁化に循環性があることを発見し，履歴現象を意味するヒステリシスと命名した。 図解版電気学ポケットブック，p.93, オーム社

電磁石向き

（軟鉄 : soft）

永久磁石向き

（硬鋼 : hard）

[A/ m]

H

[T]

B

r

B

cb

H

残留磁気

保磁力

線形

非線形

非線形

磁区と磁壁の形成イメージ

http://www2.tokuyama.ac.jp/home/~kadowaki/top/souzou/library/1kataya/mokuji.htm より引用

t=t

₁

t=t

₂

t=t

₃

t=t

₄ 横山，電磁気学，p.178, 講談社, 2015 11

磁区と磁壁の詳細構造

12 TDK http://www.tdk.co.jp/techmag/ninja/daa00562.htm より引用 東北大学大学院 工学研究科 電子工学専攻 角田・齊藤研究室 http://www.ecei.tohoku.ac.jp/electronic_physics/research/microscope.htm 磁気エネルギーを無駄に放出しない ように（磁極が露出しないように）磁 区境界では自然に還流磁区構造が 形成されている。

岩本ほか，``電子技術,’’ p.208, 実教出版

消磁方法（交流消去法）

[A/ m]

H

[T]

B

r

B

c

H

残留磁気

保磁力

再び飽和する前に

極性を切り替える

減衰振動する電流を

一次コイルに流す

飽和

 C 1 N  A 2 N B e I

Rowland ring

H



I

S t I キュリー温度以上 の高温で消磁する 方法もある

磁化曲線の問題（１）

田中，``解説 電気磁気の考え方・解き方,’’ p.72, 東京電機大学出版局 より引用 【演習】 けい素剛板の鉄心にコイルが200回巻いてある。この磁路に9×10-4_Wbの磁 束を作るのに必要な電流を求めよ。ただし，鉄の初磁化BH曲線は図の通りである。 2

10

H

[A/ m]



[T]

B

1.0

3 6

1.5

18 12 13 7 3 答え 0.75 A [cm] N I 4 9 10 Wb    2 2 3 (13 7) / 2 cm 9 cm S    4 2 2 9 10 1 T 9 (10 ) B S         300 A/m H CH dl NI



 



HlNI 300 0.5 0.75 A 200 Hl I N     (15 10) 2 50 cm 0.5 m l     BHカーブよりB=1TのHは 田中，``解説 電気磁気の考え方・解き方,’’ p.72, 東京電機大学出版局 より引用

磁化曲線の問題（２）

[k A/ m]

H

[T]

B

1.0

1

【演習】 長さ l=0.3 m，断面積 S=10-2_m2_{の鉄心に，コイルが100回巻かれている。電} 流を I=6 A にした場合の磁束と磁気抵抗および，比透磁率を求めよ。ただし，この鉄 の初磁化B-H曲線は図に示す通りである。

1.2

2

A., 1.2×10-2 _{Wb, 5×10}4_1/H 15 CH dl NI



 



HlNI 100 6 _{2000 A} 0.3 NI H l     BHカーブよりH=2000 Aのときの 磁束密度Bは 1.2 T B 2 1.2 10 Wb BS      4 2 100 6 _{5 10 1/H} 1.2 10 NI R   _     3 1.2 0.6 10 H/m 2000 B H _{   }  4 7 0 6 10 _477.46 4 10 r            透磁率は

反磁界と自己減磁力

NI

H

l



0

l

0

B



H



NI





 



0

H



0

l

B



H



 

C

H dl





NI









0

C

H dl













C

H dl





NI









S   C

0

C

H dl













0

B

Hl NI











0

0

B

Hl











0

(

)

B





H M



0 0 0 l H H M



_

_



    H 

_



_lM δが大きいほど反磁界は大きい (A) ギャップなし環状電流ソレノイド (B) ギャップなし環状ソレノイド (C) ギャップ付き環状電流ソレノイド (D) ギャップ付き環状ソレノイド エア ギャップ  C S N  I  C S I N  S   C エア ギャップ l l ギャップ内の 磁束密度 l 16 伝導電流はゼロ （磁化電流だけが 存在）

環状磁石の減磁係数

【演習】 ♠ 磁化 M [A/m] で磁化された環状鉄心がある。この鉄心の磁路の長 さは l [m] で幅 δ [m] のエアギャップが空いている。減磁率を N とするとき，鉄心内部の 磁界は H_d= −NM で与えられる。N の値を 求めよ。また，エアギャップ内の磁界 H_g [A/m] を求めよ。 湯本， 電気磁気学の基礎, p.126, 数理工学社

0

m g

H l H







0 m l B



H



  0

0

m

B

H l









0( m ) B



H M m H M NM l





     g m

l

l

H

H

M

l





 





S   C エア ギャップ l 0 C

H dl













アンペアの法則より 磁性体内部の磁界を H_m, ギャップ部を H_g とすると ギャップ部の磁束密度を B とすれば 従って，磁束密度は 一方，構成方程式より （4）と(5)よりH_mを求めると (1) (2) (3) (4) (5)

N

l









(6)を(2)に代入して (6) (7) 従って，減磁係数Nは (6)より，δが大きくlが小_{さいとき，即ちl/δ<<1の} 薄い板磁石のとき，Nは 1に近づく。 逆に，δが小さくlが大き いとき，即ちl/δ>>1の非 常に長い棒磁石のとき， Nは0に近づく。

強磁性体の磁化の問題

【演習】 左図の特性を有する永久磁石材料を用いて、右図の形状に加工した。エア ギャップの磁束密度 B を求めよ。ただし、 l =10 cm，δ=5 mm である。 r

B

c

H

[T]

B

[A/ m]

H

0.31 T

l



[T]

B

3

10



H

[A/ m]

直線近似

0.8

20



19 3cos 2 r m H a    0 0 cos sin r H H H H      _{ }  cos sin r H H H H      _{ }  (1a) (1b) (3a) (3b) (2a) (2b)

0sin ₄ 3sin sin

m H H a         磁界接線の境界条件 (1b)+(2b)=(3b) より (b) 磁束密度法線の境界条件 (1a)+(2a)=(3a) より 0

0 0cos ₂ 3cos cos

m H H a          (a) (a)(b)の連立方程式（未知数はHとmのみ）を解けばHとmが求まる。 r H H p H  m   _H H  0 H 0cos H  0sin H   0  0  a a a 外部印加磁界 + 磁化による磁界 = 球内部の一様磁界 【演習】 半径a，透磁率μの磁性体球が一様な磁界H0の中に置かれている．磁性体球が磁化することに より，球内部には一様な磁界Hが生じるものとする．また，球外の磁界は，外部磁界H₀と球の中心にある 磁気モーメントmの磁気ダイポールによる磁界の和として扱うことができるとする．Hとmを求めよ． 山村，``電磁気学演習[新訂版],’’ p.98, サイエンス社

磁性体球の磁化

3sin 4 m H a  _  0 3 , 2 r H H    3 0 1 4 2 r r m a  H     20 山村，``電磁気学演習[新訂版],’’ p.88, サイエンス社 より

磁性体球の減磁係数

0 3 , 2 r H H    3 0 1 4 2 r r m a  H     【演習】一様な磁界 H₀ の中に半径 a で透磁率μの磁性体球を置いたとき，磁性体 内部の磁界 H と磁束密度 B の大きさを求め，減磁率 N が1/3になることを示せ。 0 3 , 2 r H H      0 3( 1) ( 1) , 2 r m r r M  H  H  H            0 d, H H H 0 0 0 0 3 1 2 3 ( 2) 1 2 2 1 2 1 2 3( 1) 3 d r r r r r r r r r H H H H H H M M               _                              d H  NM 1 3 N 0 0 3 , 2 r r B H   H        (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 磁性体球内部の磁界が(1)で与えられることを 使うと，磁化は 磁性体内部の磁界が外部磁場と反磁界の合成 で与えられることを使うと，反磁界は 反磁界の定義より (5)と(6)より，減磁係数は 外部磁界H₀が加えられたときの磁性体球 の内部磁界Hと磁気ダイポールモーメントm (3)の結果より

減磁率（減磁係数）のまとめ

球磁石： N=1/3

棒磁石で細長い： N=0

薄い円筒太磁石： N=1

d

H

 

NM

1

3

d

H



 

M



d

H

M

l





 







永久磁石内部の磁界（１）

湯本，``電気磁気学の基礎,’’ p.126, 数理工学社, 2012

B



N

S

H



M



N

S

N

S

反磁界 H

磁化 M

磁束密度 B

磁極が露出している永久磁石内部では、磁束密度 B を打ち

消す方向に磁界 H が発生している。これを反磁界と呼ぶ。

N



S

S



N

S



N

 

S

永久磁石内部の磁界（２）

磁石寸法： X=10 mm, Y=5mm, Z=20 mm,

永久磁石の強さ： 0.5 T

磁化の方向： z方向に一様

ソフトウェア： Femtet

磁束密度分布 B [T]

ムラタソフトウェア Femtet 23

磁界分布 H [A/m]

N

S

N

S

磁束密度は円環場を形成して閉じ ている（始まりも終わりもない）

永久磁石内部の磁界（３）

磁界分布 H [A/m]

ムラタソフトウェア Femtet 24

N

S

磁石内部のHは磁束密度Bと 方向が逆向きになっている。

永久磁石内部の磁界（４）

磁石寸法： X=50 mm, Y=10 mm, Z=65

mm, 永久磁石の強さ： 0.5 T

磁化の方向： U字

ソフトウェア： Femtet

磁界分布 H [A/m]

磁束密度分布 B [T]

ムラタソフトウェア Femtet

永久磁石内部の磁界（５）

磁界分布 H [A/m]

ムラタソフトウェア Femtet

N

S

磁石内部のHは磁束密度Bと方向が逆向きに なっているが、磁石内部では磁極間の距離が 互いに十分離れているので、減磁は小さい。

永久磁石内部の磁束密度と磁界

ムラタソフトウェア Femtet

B

H

B

H

モデル

モデル

27

保磁片の追加

磁極消失

反磁界による自己減磁を抑えるための磁石の休ませ方

市販磁石の磁化方向（着磁方向）

https://www.magna-tokyo.com/service/yogoshu_chakujiPattern.html

円柱型

角型

リング型

http://www.jishaku.co.jp/mag_aboutmag.html 28

(５)２つの磁石の異極 並列の磁束分布 (６)２つの磁石同極並 列の磁束分布 (７)鉄ヨーク付き２つ の磁石の異極対向の 磁束分布 (８)鉄ヨークを付き キャップマグネットの 磁束分布

磁石の代表的な磁束分布

http://www.neomag.jp/mag_navi/mames/mame_distribution.php (１)磁石単体の磁束 分布 (３)２つの磁石の異極 対向の磁束分布 (２)磁性体（鉄）近傍の 磁石単体の磁束分布 (４)２つの磁石の同極 対向の磁束分布 (９)リング型磁石の 磁束分布

永久磁石の強度比較

http://www.neomag.jp/mag_navi/mames/mame_comparison.php

ネオマグWebセミナー

https://www.neomag.jp/seminar/seminar_top.html 31

磁極（１）

0 1 (1) H B M



      m

(6)

MS Q





H



閉曲面S₁ 閉曲面S₂ 1 1 1 0 0

1

1

(2)

S

H d s







S

B d s







S

M d s





























12 11 13 0 1 cos90 cos 0 0 S Bds S Bds S ds



   _     _ 







 S₁₁ S₁₃ 12 11 13 cos90 0 0 S Mds S ds S ds   _    _ 







 0 0

1

1

(2)

BS

BS MS







 







1 (3) SH d s  MS



  



S₁₂ 2 (4) S H d s  MS



  



磁界の定義または B=μ₀H+μ₀Mより 磁界Hを閉面S₁で面積分すると 従って、磁界Hの面積分はN極近傍では+MSに等しい。 同様に磁界Hの面積分はS極近傍では-MSに等しい。 ガウスの法則(5) (5) SD d s Q 



  



と(3)(4)を比較して、その類 似性から (6)を磁極の強さと定義する S₁₁+S₁₂+S₁₃ S₂₁+S₂₂+S₂₃ 上面 下面 側面 _N S

M



32

磁極版ガウスの法則

積分面を構成する

微小面素

積分面上の

磁束密度

積分面が閉じ

ていることを示

す記号

磁荷

積分が積分面Sに沿った面

積分であること示す記号

m

S

H ds Q











内積記号

MS



磁極の断面積

磁化

S

D d s Q











（復習）誘電体版ガウスの法則

閉面内部に含

まれる真電荷

（分極電荷除く）

閉面S上の

電束密度

ベクトル

積分面Sが

閉じている

ことを示す

記号

内積記号

表面積

微小面積

微小面積dsに

垂直で外向き

の単位ベクトル

電荷と磁荷

0

1

4

Q

V

r





対応

1

4

m m

Q

V

r





S

D d s Q















_S

H ds Q





m



_



2

4

Q

D

r





₂

4

m

Q

H

r





2 0

4

Q

E

r





0 2

4

m

Q

B

r







D



H

対応

0 0

1







E



B

対応

0

1





1

m

V



V

E

 

V

m

H

 

V

対応

m

V



V

E



H

35 ガウスの 法則 磁気ガウス_の法則 0





0

1





電気ダイポールと磁気ダイポール

3 0 3 0

cos

2

sin

4

0

r

Ql

E

r

Ql

E

r

E

 















3 3

cos

2

sin

4

0

m r m

Q l

H

r

Q l

H

r

H

 















3 3

cos

2

sin

4

0

r

Ql

D

r

Ql

D

r

D

 















2 0

cos

4

Q

l

V

r







0 3 0 3

cos

2

sin

4

0

m r m

Q l

B

r

Q l

B

r

B

 



















3 3

cos

2

sin

4

0

m

r

m

r















対応

2

cos

4

m m

Q l

V

r







対応

対応

36 m

V



V

0

1





1

0 0

1







E



B

D



H

0





0

1





磁気ダイポール（１）

【演習】 磁石のまわりの磁界の様子は電気ダイポールの電界の様子と等価である から、電気ダイポールによる電位 V に対応して、磁気ダイポールによる磁位 V_mを 考えることができる。磁極の強さ±Q_mの磁石が作る磁位 V_mを求めよ。さらに、磁石 のまわりの磁界 H を求めよ。 + － P z l m Q m Q  1 r 2 r r  3 3

cos

2

sin

4

0

m r m

Q l

H

r

Q l

H

r

H

 















3 3

cos

2

sin

4

0

m

r

m

r















2

cos

4

m m

Q l

V

r







磁気ダイポール（２）

【演習】 微小ループ電流 I による磁界 H は、ループ面に垂直な方向に極をもつ微小 磁石（微小磁気ダイポール）と等価である。微小ループの面積を S [m2_{]、ループ電流} を I [A] としたとき、磁気ダイポールモーメントは m=IS で与えられる。微小ループ電 流による磁界 H を求めよ。さらに，この磁界 H は距離 l 離れた磁極 ±Qm = ±MS が作る磁界と等価であることを示せ。 P z I r  S 3 3 cos 2 sin 4 0 r m H r m H r H  









   3 3 3 3 3 3

cos cos cos

2 2 2

sin sin sin

4 4 4 0 m r m Q l MSl IS H r r r Q l MSl IS H r r r H  

























       C I

_

M dl  Ml  + － P z l m Q m Q  1 r 2 r r  m Q MS 

磁極の問題

【演習】 比透磁率μ_rの鉄心部分と空隙がある。起磁力 F を加えたとき，次の各量を 求めよ。 (教科書, 演習 7.7) (1) 磁束 (2) 鉄心中の磁化の強さ (3) 鉄心の両端に現れる磁極の強さ



S

r



l

0 r r F l      ( _r 1) r F l      ( _r 1) r FS l      39

地磁気の三要素

40 前田，生物は磁気を感じるか 磁気生物学への招待，pp.16-17, 講談社

East

North

H V

H





H





H



H

H



V

H











：Declination 偏角・・・日本では 5°- 9°

：Dip 伏角・・・日本では約50°

（〃） （時代によって``－”にも変動）

偏角φ，水平成分H

_H

（または全磁力H），伏角（または鉛直成分H

_V

）の

三つが測定されている。この三つを地磁気の三要素と呼ぶ。

N S

South

West

ふっかく