<4D F736F F D B8B4F93B995FB92F68EAE82CC82DC82C682DF2E646F63>

ケプラー軌道方程式のまとめ

引用文献：

James R. Wertz, Mission Geometry; Orbit and Constellation Design and Management, Space Technology Library, Kluwer Academic Publishers, 2001, pp.835-852.

中心物体の重力定数(gravitational constant)

µ

について： 重力定数は

µ

=

GM

と定義されるが、その値自身は、それぞれ質量 M や万有引力定数 G 単独 の計測値よりもはるかに正確に求められている。なお、万有引力定数G の計測値は基礎物理定数 の中で最も精度が低い。 中心物体

µ

µ

軌道速度 周期 脱出速度 2 3

_/

_s

m

m

1.5

/

s

_{km/s min km/s} 太陽（表面） 1.327 124 38 e+20 11,520,088,436 436.822 167.0 617.760 （1 AU） 29.716 529,642 42.024 水星 2.203 4 e+13 4,694,000 3.005 85.0 4.250 金星 3.249 e+14 18,020,000 7.327 86.5 10.362 地球 3.986 004 41 e+14 19,964,980.4 7.905 84.5 11.180 月 4.902 798 98 e+12 2,214,226.5 1.680 108.3 2.376 火星 4.283 200 00 e+13 6,544,616.1 3.551 100.2 5.022 木星 1.266 9 e+17 355,935,000 42.097 177.8 59.534 土星 3.793 4 e+16 194,767,000 25.088 251.6 35.480 天王星 5.795 1 e+15 76,125,600 15.058 177.8 21.295 海王星 6.835 4 e+15 82,676,500 16.614 156.1 23.496 冥王星 8.7 e+11 9.33 e+5 0.852 146.9 1.205 [小惑星] セレス 7.83 e+10 2.80 e+5 0.414 115.4 0.586 パラス 1.46 e+10 1.21 e+5 0.236 115.9 0.334 ベスタ 1.59 e+10 1.26 e+5 0.252 104.0 0.357 イトカワ （注意：

3

.

986

004

41

e

+

14

=

3

.

986

004

41

×

10

14） 共通記号：

ν

：真近点離角true anomaly 近点から軌道物体までの角度。

θ

とも書く。 M：平均近点離角（平均近点角）mean anomaly

M

=

n

(

t

−

T

)

t：観測時刻 the time of observation

T：近点通過時刻 the time of perifocal passage

t

_pとも書く。

１． 円軌道 circular orbits

円軌道の物理量であることを強調するために頭にC.を付ける

C.定義パラメータ： a = 長半径（長半径）semimajor axis = r = 半径 radius C.幾何方程式：

x

2

+

y

2

=

a

2 C.焦点からの距離, r： r = a C.比エネルギーspecific energy,

ε

（単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：

r

V

a

µ

µ

ε

=

−

=

−

2

2

2

C.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）：

h

= h

=

µ

a

C.角運動量ベクトル, h（c とも書く）：

h

=

r

×

V

(

c

=

r

×

r

_&

とも書く) C.ノード（交線）ベクトル node vector, N：

N

=

z

ˆ

×

h

ˆ

=

z

ˆ

×

h

h

C.軌道傾斜角 inclination, i：

i

=

arccos

(

h

_z

h

)

C.昇交点赤径 right ascension of the ascending node,

Ω

：

Ω

=

arctan

2

(

N

_y

,

N

_x

)

C.飛行経路角 flight path angle,

φ

_fpa：

φ

_fpa

=

0

C.近点距離 perifocal distance, q： q = a

C.半直弦 semi-parameter, p： p = a

C.長半径（長半径）semimajor axis, a： a = r

C.離心率 eccentricity, e： e = 0 C.平均運動 mean motion, n：

P

a

n

=

µ

₃

=

2

π

C.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M：

M

=

M

₀

+

nt

C.真近点離角 true anomaly,

ν

：

ν

=

M

C.真近点離角レート,

ν

_&

：

ν

_&

=

n

C.軌道周期 orbital period, P：

P

=

2

π

/

n

=

2

π

a

3

µ

）

（太陽；

）

（火星；

）

（月；

）

（地球；

]

km

[

],

[

10

1

78

228

996

.

1

]

km

[

[min],

10

211

429

059

.

5

]

km

[

[min],

10

413

569

495

.

1

]

km

[

[min],

10

010

669

658

.

1

10 4 3 4 2 / 3

a

days

P

a

P

a

P

a

P

a

P

− − − −

×

=

×

=

×

=

×

=

C.軌道速度 orbital velocity, V：

V

=

µ

a

=

an

C.レンジ・レンジレート range・range rate,

r&

r

：

r&

r

=

0

C.面積速度 areal velocity,

A&

：

A

_&

₌

₀

_.

₅

_µ

a

₌

₀

_.

₅

a

2

n

C.脱出速度 escape velocity,

V

_E：

V

_E

=

2

µ

a

=

2

V

C.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude,

δ

_E' ：

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

i

n

i

n

E E

cos

sin

arctan

'

ω

δ

（火星）

（月）

（地球）

ート

中心物体の慣性回転レ

s

deg/

249

061

004

.

0

s

deg/

4

50

52

1

0

00

.

0

s

deg/

074

178

004

.

0

=

=

=

=

E

ω

ケプラー軌道方程式のまとめ

C.角半径 angular radius,

ρ

：

ρ

=

arcsin(

R

_E

/

a

)

（球を仮定。）

（火星）

（月）

（地球）

中心物体の半径

km

3397

km

2

.

1738

km

140

.

6378

=

=

=

=

E

R

C.水平面までの距離 distance to the horizon, D：

D

=

arccos

ρ

=

a

2

−

R

_E2

C.最大地球中心角 maximum Earth central angle,

λ

_max：

λ

_max

=

90

deg

−

ρ

=

arc

cos(

R

_E

/

a

)

C.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA：

IAA

=

K

_A

(

1

−

cos

λ

_max

)

（火星）

（月）

（地球）

]

km

[

10

550

250

.

7

]

km

[

10

363

898

.

1

]

km

[

10

87

041

556

.

2

]

[deg

62

480

.

626

,

20

)

2

/(

360

]

steradians

[

311

185

283

.

6

2

2 7 2 7 2 8 2 2

×

=

×

=

×

=

≈

=

≈

=

π

π

A

K

C.アクセス面レート area access rate, AAR：

P

K

AAR

₌

₂

_A

sin

λ

max

C.最大可視時間 maximum time in view,

T

_max：

T

_max

=

P

λ

_max

/

180

deg

C.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground,

θ

&

_max：

)

(

deg

360

max E

R

a

P

a

−

=

θ

&

C.

J

₂項によるノード歳差レートnode precession rate due to

J

₂,

∆

Ω

_J2：

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

]

km

[

]

day

calender

[deg/

cos

10

483

.

3

]

km

[

]

day

calender

[deg/

cos

10

220

.

3

]

km

[

]

day

calender

[deg/

cos

10

74

064

.

2

cos

cos

)

/

(

5

.

1

Ω

2 / 7 3 1 2 / 7 11 2 / 7 14 2 / 7 2 2 2 2

a

i

a

a

i

a

a

i

a

i

a

K

i

a

R

n

nJ

_{E J} J − − − −

×

−

=

×

−

=

×

−

=

≡

−

=

∆

C.太陽同期傾斜角 Sun-synchronous inclination,

i

_ss：

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

]

km

[

)

10

1.505

arccos(

]

km

[

)

10

061

.

3

arccos(

]

km

[

)

10

7

773

.

4

arccos(

360

arccos

2 / 7 4 1 2 / 7 12 2 / 7 15 2 2 / 7

a

a

a

a

a

a

SP

K

a

i

J ss − − −

×

−

=

×

−

=

×

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

SP = 恒星周期 sidereal period [calendar day]

C.1 日当りの回転数 revolutions per day, Rev/d：

対象とする惑星が恒星に対して自転軸周りに1 回転する間の軌道周回数

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

[min]

/

38

.

77

4

,

1

[min]

/

343

,

39

[min]

/

07

.

436

,

1

/

P

P

P

P

P

P

P

Day

ev/d

R

=

=

=

=

Day =中心物体の恒星日 sidereal day

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

[min]

675

243

.

0

[min]

3

150

009

.

0

[min]

684

250

.

0

)

/

deg(

360

P

P

P

P

P

P

Day

P

N

=

=

=

=

∆

C.最大日食時間 maximum eclipse,

T

_E：

T

_E

=

P

(

ρ

/

180

deg

)

=

P

arcsin(

R

_E

/

a

)

/

180

deg

C.明暗界線のための太陽角条件,

β

'

：

90

°

+

ξ

−

ρ

<

β

'

<

90

°

−

ξ

+

ρ

ξ

は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角dark angle

C.天体座標が既知の宇宙機の通過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are known, T：

T

=

α

+

L

−

GST

ここで、

α

：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal

time

２． 楕円軌道 elliptical orbits

楕円軌道の物理量であることを強調するために頭にE.を付ける

E.定義パラメータ： a = 長半径（半長径）semimajor axis b = 短半径（半短径）semiminor axis E.幾何方程式： ₂

1

2 2 2

=

+

b

y

a

x

E.焦点からの距離, r：

ν

ν

ν

1

cos

)

1

(

cos

1

)

cos

1

(

cos

1

)

1

(

e

e

r

e

p

E

e

a

e

e

q

r

a

+

−

=

+

=

−

=

+

+

=

E.比エネルギーspecific energy,

ε

（単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：

0

2

2

2

<

−

=

−

=

a

r

V

µ

µ

ε

E.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）：

p p a a fpa

r

r

V

r

V

rV

p

h

=

_h

=

µ

=

_cos

φ

=

2

ν

_&

=

=

E.角運動量ベクトル, h（c とも書く）：

h

=

r

×

V

(

c

=

r

×

r

_&

とも書く) E.ノード（交線）ベクトル node vector, N：

N

=

z

ˆ

×

h

ˆ

=

z

ˆ

×

h

h

E.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（f とも書く）：

r

r

h

V

e

=

×

−

µ

E.軌道傾斜角 inclination, i：

i

=

arccos

(

h

_z

h

)

E.昇交点赤径 right ascension of the ascending node,

Ω

：

Ω

=

arctan

2

(

N

_y

,

N

_x

)

E.飛行経路角 flight path angle,

φ

_fpa：

)

/

arccos(

)

sin

,

(cos

2

arctan

_{fpa fpa}

p

rV

fpa

φ

φ

µ

φ

=

=

E

e

e

E

e

E

e

fpa fpa 2 2 2 2 2

1

cos

1

cos

,

cos

1

sin

sin

−

−

=

−

=

φ

φ

E.近点距離 perifocal distance,

q

=

r

_p：

p a a a a p

V

V

r

r

b

e

e

r

e

p

e

a

r

q

=

=

+

−

=

+

=

−

=

=

2

1

1

1

)

1

(

E.半直弦 semi-parameter, p：

ケプラー軌道方程式のまとめ

µ

ν

2 2 2

₎

₍

₁

_cos

₎

₍

₁

₎

1

(

h

a

b

e

q

e

r

e

a

p

=

−

=

+

=

+

=

=

E.遠点距離 radius of apoaxis,

r

_a：

c

a

b

e

e

q

r

b

r

a

e

a

r

p p a

₋

=

₋

+

=

=

−

=

+

=

2 2

1

1

2

)

1

(

E.長半径（長半径）semimajor axis, a：

3 / 1 2 2

₂

1

1

1

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

=

−

=

+

=

−

=

+

=

n

e

p

e

r

e

r

r

r

a

a p p a

µ

ε

µ

E.短半径（短半径）semiminor axis, b：

h

p

r

r

ap

e

a

b

=

₁

−

2

=

=

_{a p}

=

µ

E.離心率 eccentricity, e： 0 < e <1

a

c

a

r

a

r

r

r

r

r

a

b

a

h

e

a p p a p a

₌

₋

₌

₋

₌

+

−

=

−

=

+

=

=

1

2

1

1

2 2 2 2

µ

ε

e

E.平均運動 mean motion, n：

P

a

n

=

µ

₃

=

2

π

E.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M：

M

=

M

₀

+

nt

=

E

−

e

sin

E

E.離心近点離角 eccentric anomaly, E：

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

=

=

p

r

a

r

a

b

r

ae

r

a

e

e

E

E

E

arccos

sin

arcsin

arccos

2

tan

1

1

arctan

2

)

sin

,

arctan(cos

ν

ν

ν

ν

ν

ν

cos

1

1

sin

sin

,

cos

1

cos

cos

2

e

e

E

e

e

E

+

−

=

+

+

=

M から E の逐次解法：

E

₀を初期推定値、例えば

E

₀

=

M

E の i 番目の推定値

E

_i i i i i i

E

e

E

e

E

M

E

E

cos

1

sin

1

₋

+

−

+

=

+

E.真近点離角 true anomaly,

ν

：

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

=

=

E

e

e

E

e

r

p

E

e

e

cos

1

cos

arccos

1

/

arccos

2

tan

1

1

arctan

2

)

sin

,

arctan(cos

ν

ν

ν

e

E

e

E

E

e

e

E

−

−

=

−

−

=

cos

1

sin

sin

,

cos

1

cos

cos

ν

ν

2 M に関する展開：

( )

4 3 3 2

_sin

₃

12

13

sin

4

1

2

sin

4

5

sin

2

e

M

e

M

e

M

e

M

O

e

M

+

+

−

+

+

≈

ν

E.真近点離角レート,

ν

&

： 2 2 2 2 2 2

_r

1 e

na

r

r

V

r

r

V

r

p

₌

p p

₌

_{a a}

₌

₋

=

µ

ν

&

E.軌道周期 orbital period, P：

P

=

2

π

/

n

=

2

π

a

3

µ

）

（太陽；

）

（火星；

）

（月；

）

（地球；

]

km

[

],

[

10

1

78

228

996

.

1

]

km

[

[min],

10

211

429

059

.

5

]

km

[

[min],

10

413

569

495

.

1

]

km

[

[min],

10

010

669

658

.

1

10 4 3 4 2 / 3

a

days

P

a

P

a

P

a

P

a

P

− − − −

×

=

×

=

×

=

×

=

E.軌道速度 orbital velocity, V：

fpa

r

p

e

e

r

r

a

r

V

φ

µ

ν

µ

ε

µ

µ

µ

cos

cos

1

1

2

2

2

2

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

−

=

a p p a

r

r

V

V =

(

)

₍

₎

(

)

a p p a a a p a a p a a p p p a p a p p

r

r

V

a

r

r

ar

r

e

r

V

r

r

V

a

r

r

r

r

r

r

e

r

V

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

=

−

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

+

=

+

=

2

1

2

2

1

µ

µ

µ

µ

µ

µ

E.アジマス速度 azimuthal velocity,

V

_az：

V

_az

= cos

V

φ

_fpa

=

r

ν

_&

E.動径速度 radial velocity,

V

_r：

ν

ν

ν

ν

φ

cos

1

sin

sin

sin

e

e

r

q

e

V

V

V

_{r fpa az}

+

=

=

=

&

E.レンジ・レンジレート range・range rate,

r&

r

：

r

r

&

=

e

a

µ

sin

E

E.面積速度 areal velocity,

A&

：

A

&

=

0

.

5

a

µ

(

1

−

e

2

)

=

0

.

5

r

2

ν

_&

E.脱出速度 escape velocity,

V

_E：

V

_E

=

2

µ

r

E.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude,

δ

_E' ：

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

i

i

E E

cos

sin

arctan

'

ν

ω

ν

δ

&

&

（火星）

（月）

（地球）

ート

中心物体の慣性回転レ

s

deg/

249

061

004

.

0

s

deg/

4

50

52

1

0

00

.

0

s

deg/

074

178

004

.

0

=

=

=

=

E

ω

E.オイラー回転レート Euler rotation rate,

ω

_E：

ω

_E

=

ν

_&

sin

i

/

sin

δ

_E'

=

ω

_E2

+

ν

_&

2

+

2

ν

_&

ω

_E

cos

i

E.角半径 angular radius,

ρ

：

ρ

=

arcsin(

R

_E

/

a

)

（球を仮定。）

（火星）

（月）

（地球）

中心物体の半径

km

3397

km

2

.

1738

km

140

.

6378

=

=

=

=

E

R

E.水平面までの距離 distance to the horizon, D：

D

=

r

cos

ρ

=

a

2

−

R

_E2

E.水平面までの距離の最大値 maximum distance to the horizon,

D

_max：

2 2 min

max

r

a

cos

r

a

R

E

D

=

ρ

=

−

ケプラー軌道方程式のまとめ 2 2 max min

r

p

cos

r

p

R

E

D

=

ρ

=

−

E.最大地球中心角 maximum Earth central angle,

λ

_max：

λ

_max

=

90

deg

−

ρ

=

arc

cos(

R

_E

/

r

)

E.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA：

IAA

=

K

_A

(

1

−

cos

λ

_max

)

（火星）

（月）

（地球）

]

km

[

10

550

250

.

7

]

km

[

10

363

898

.

1

]

km

[

10

87

041

556

.

2

]

[deg

62

480

.

626

,

20

)

2

/(

360

]

steradians

[

311

185

283

.

6

2

2 7 2 7 2 8 2 2

×

=

×

=

×

=

≈

=

≈

=

π

π

A

K

E.アクセス面レート area access rate, AAR：

sin

λ

_max

π

ν

_&

A

K

AAR

=

E.最大可視時間 maximum time in view,

T

_max：

T

_max

=

2

λ

_max

/

ν

_&

E.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground,

θ

&

_max：

E

R

r

r

−

=

ν

θ

&

_max

&

E.

J

₂項によるノード歳差レートnode precession rate due to

J

₂,

∆

Ω

_J2：

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

]

km

[

]

day

calender

[deg/

cos

)

1

(

10

483

.

3

]

km

[

]

day

calender

[deg/

cos

)

1

(

10

220

.

3

]

km

[

]

day

calender

[deg/

cos

)

1

(

10

74

064

.

2

cos

)

1

(

cos

)

1

(

)

/

(

5

.

1

Ω

2 2 2 / 7 3 1 2 2 2 / 7 11 2 2 2 / 7 14 2 2 2 / 7 2 2 2 2 2 2

a

i

e

a

a

i

e

a

a

i

e

a

i

e

a

K

i

e

a

R

n

J

_{E J} J − − − − − − − − −

−

×

−

=

−

×

−

=

−

×

−

=

−

≡

−

−

=

∆

E.太陽同期傾斜角 Sun-synchronous inclination,

i

_ss：

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

]

km

[

)

)

1

(

10

1.505

arccos(

]

km

[

)

)

1

(

10

061

.

3

arccos(

]

km

[

)

)

1

(

10

7

773

.

4

arccos(

)

1

(

360

arccos

2 2 2 / 7 4 1 2 2 2 / 7 12 2 2 2 / 7 15 2 2 2 2 / 7

a

e

a

a

e

a

a

e

a

SP

e

K

a

i

J ss

−

×

−

=

−

×

−

=

−

×

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

− − −

SP = 恒星周期 sidereal period [calendar day]

E.

J

₂項による近点回転レートperiapsis rotation rate due to

J

₂,

∆

ω

_J2：

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

=

_J

_n

_R

_a

_e

−

_i

_K

_a

−

_e

−

_i

J E J2 2 2 2 2 2 2 7/2 2 2

sin

2

2

5

2

)

1

(

sin

2

5

2

)

1

(

)

/

(

5

.

1

ω

∆

E.1 日当りの回転数 revolutions per day, Rev/d：

対象とする惑星が恒星に対して自転軸周りに1 回転する間の軌道周回数

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

[min]

/

38

.

77

4

,

1

[min]

/

343

,

39

[min]

/

07

.

436

,

1

/

P

P

P

P

P

P

P

Day

ev/d

R

=

=

=

=

Day =中心物体の恒星日 sidereal day

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

[min]

675

243

.

0

[min]

3

150

009

.

0

[min]

684

250

.

0

)

/

deg(

360

P

P

P

P

P

P

Day

P

N

=

=

=

=

∆

Ｅ.指定された真近点離角における最大日食時間 maximum eclipse,

T

_E：

)

/

arcsin(

)

/

2

(

/

2

R

r

T

_E

≈

ρ

ν

& =

ν

&

_E E.明暗界線のための太陽角条件,

β

'

：

90

°

+

ξ

−

ρ

<

β

'

<

90

°

−

ξ

+

ρ

ξ

は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角dark angle

E.天体座標が既知の宇宙機の経過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are known, T：

T

=

α

+

L

−

GST

ここで、

α

：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal

time

３． 放物線軌道 parabolic orbits

放物線軌道の物理量であることを強調するために頭にP.を付ける

P.定義パラメータ： p = 半直弦 semi-latus rectum = semiparameter q= 近点距離 perifocal distance P.幾何方程式：

x

2

₌

4

qy

P.焦点からの距離, r：

2

cos

1

)

1

(

cos

1

2

D

q

e

e

q

p

r

=

+

+

+

=

+

=

ν

ν

P.比エネルギーspecific energy,

ε

（単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：

ε

=

0

P.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）：

p p fpa

r

r

V

rV

p

h

=

_h

=

µ

=

_cos

φ

=

2

ν

_&

=

P.角運動量ベクトル, h（c とも書く）：

h

=

r

×

V

(

c

=

r

×

r

&

とも書く) P.ノード（交線）ベクトル node vector, N：

N

=

z

ˆ

×

h

ˆ

=

z

ˆ

×

h

h

P.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（f とも書く）：

r

r

h

V

e

=

×

−

µ

P.軌道傾斜角 inclination, i：

i

=

a

cos

(

h

_z

h

)

P.昇交点赤径 right ascension of the ascending node,

Ω

：

Ω

=

arctan

2

(

N

_y

,

N

_x

)

P.飛行経路角 flight path angle,

φ

_fpa：

φ

_fpa

=

ν

/

2

=

arccos(

µ

p

/

rV

)

P.近点距離 perifocal distance,

q

=

r

_p：

2

p

r

q

=

_p

=

P.半直弦 semi-parameter, p：

µ

ν

)

2

cos

1

(

2

q

r

h

p

=

=

+

=

P.長半径（長半径）semimajor axis, a：

a

=

∞

P.短半径（短半径）semiminor axis, b：

b

=

∞

P.離心率 eccentricity, e： e = 1 P.平均運動 mean motion, n：

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₊

=

=

2

tan

3

1

2

tan

1

2

3 3

ν

ν

µ

t

p

n

t は近点通過後の経過時刻

ケプラー軌道方程式のまとめ P.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M： 3

/

6

0

nt

qD

D

M

M

=

+

=

+

P.放物線近点離角 parabolic anomaly, D：

2

tan

2

q

ν

D

=

P.真近点離角 true anomaly,

ν

：

ν

=

arctan(cos

ν

,

sin

ν

)

q

r

Dp

E

r

r

p

2

sin

,

cos

ν

=

−

=

P.真近点離角レート,

ν

_&

： _{2 2}

r

r

V

r

p

₌

p p

=

µ

ν

&

P.軌道周期 orbital period, P：

P

=

∞

P.軌道速度 orbital velocity, V： fpa E

_r

p

r

V

V

φ

µ

µ

cos

2 =

=

=

P.近点速度 velocity at periapsis,

V

_p： p p

_r

V

=

2

µ

P.放物線速度 = 脱出速度 escape velocity,

V

_E：

V

_E

=

2

µ

r

P.アジマス速度 azimuthal velocity,

V

_az：

V

_az

= cos

V

φ

_fpa

=

r

ν

_&

P.動径速度 radial velocity,

V

_r：

ν

ν

ν

ν

φ

cos

1

sin

sin

sin

e

e

r

q

V

V

V

_{r fpa az}

+

=

=

=

&

P.レンジ・レンジレート range・range rate,

r&

r

：

r

r

_&

=

µ

D

P.面積速度 areal velocity,

A&

：

A

&

=

µ

q

/

2

=

0

.

5

r

2

ν

_&

以下は双曲線軌道と同じ。 ４． 双曲線軌道 hyperbolic orbits 双曲線軌道の物理量であることを強調するために頭にH.を付ける H.定義パラメータ： a = 半横断軸 semi-transverse axis (a < 0) b = 半共役軸 semi-conjugate axis H.幾何方程式： ₂

1

2 2 2

=

−

b

y

a

x

H.焦点からの距離, r：

ν

ν

ν

sin

1

cos

tan

1

1

cos

)

cosh

1

(

cos

1

)

1

(

2

e

p

H

e

a

H

e

a

F

e

a

e

e

q

r

+

=

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

=

−

=

+

+

=

H.比エネルギーspecific energy,

ε

（単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：

0

2

2

2

>

−

=

−

=

a

r

V

µ

µ

ε

H.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）：

p p fpa

r

r

V

rV

p

h

=

_h

=

µ

=

_cos

φ

=

2

ν

_&

=

H.角運動量ベクトル, h（c とも書く）：

h

=

r

×

V

(

c

=

r

×

r

&

とも書く) H.ノード（交線）ベクトル node vector, N：

N

=

z

ˆ

×

h

ˆ

=

z

ˆ

×

h

h

H.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（f とも書く）：

r

r

h

V

e

=

×

−

µ

H.軌道傾斜角 inclination, i：

i

=

arccos

(

h

_z

h

)

H.昇交点赤径 right ascension of the ascending node,

Ω

：

Ω

=

arctan

2

(

N

_y

,

N

_x

)

H.飛行経路角 flight path angle,

φ

_fpa：

φ

_fpa

=

ν

/

2

=

arccos(

µ

p

/

rV

)

H.双曲線補助角 auxiliary angle of the hyperbola, H：

µ

/

1

arccos

arccos

rh

e

r

a

e

H

+

=

+

=

H.曲折角 turn angle,

Ψ

： fpa p p

V

r

V

V

b

a

q

V

e

ρ

η

φ

µ

µ

µ

Ψ

cos

arctan

2

arctan

2

arcsin

2

/

1

1

arcsin

2

1

arcsin

2

₂

=

=

=

+

=

=

∞ ∞ H.近点距離 perifocal distance,

q

=

r

_p：

)

1

(

)

1

(

1

)

1

(

=

₂

+

=

₂

−

+

=

−

=

=

∞

e

V

e

V

e

p

e

a

r

q

p p

µ

µ

H.半直弦 semi-parameter, p：

µ

ν

2 2 2

₎

₍

₁

_cos

₎

₍

₁

₎

1

(

h

a

b

e

q

e

r

e

a

p

=

−

=

+

=

+

=

=

H.長半径（長半径、半横断軸）semimajor axis, semi-transverse axis, a： a < 0

1

1

2

2 2 3 / 1 2

⎟

_⎠

=

=

₋

=

₋

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

=

∞

e

p

e

q

V

n

a

µ

µ

ε

µ

H.短半径（短半径、半共役軸）semiminor axis, semi-conjugate axis, b：

)

2

/

tan(

1

2

Ψ

µ

r

a

V

V

h

p

ap

e

a

b

=

−

=

=

=

p _p

=

∞ H.離心率 eccentricity, e： 0 < e <1 2 2 2 2 2

1

1

1

2

1

+

=

+

=

+

=

+

=

+

_∞

=

=

r

V

a

r

a

p

a

b

a

h

e

a p

µ

µ

ε

e

H.平均運動 mean motion, n： ₃

a

n

=

−

µ

H.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M：

M

=

M

₀

+

nt

=

e

sinh

F

−

F

H.双曲線近点離角 hyperbolic anomaly, F：

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

=

=

2

tan

1

1

h

arctan

2

)

sinh

,

(cosh

h

arctan

ν

e

e

F

F

F

ν

ν

ν

ν

cos

1

1

sin

sinh

,

cos

1

cos

cosh

2

e

e

F

e

e

F

+

−

=

+

+

=

M から F の逐次解法：

F

₀を初期推定値 F の i 番目の推定値

F

_i

1

cosh

sinh

1

₋

+

−

+

=

+ i i i i i

F

e

F

F

e

M

F

F

H.真近点離角 true anomaly,

ν

：

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

=

=

2

tan

1

1

arctan

2

tan

1

arcsin

2

2

tanh

1

1

arctan

2

)

sin

,

arctan(cos

2

H

e

e

H

e

r

a

F

e

e

ν

ν

ν

ケプラー軌道方程式のまとめ

F

e

e

F

v

F

e

e

F

v

cosh

1

1

sinh

sin

,

cosh

1

cosh

cos

2

−

−

−

=

−

−

=

H.真近点離角レート,

ν

_&

： _{2 2}

r

r

V

r

p

₌

p p

=

µ

ν

_&

H.軌道周期 orbital period, P：

P

=

∞

H.軌道速度 orbital velocity, V：

2

2

cos

2

∞

+

=

=

−

=

V

r

r

p

a

r

V

fpa

µ

φ

µ

µ

µ

H.近点速度 velocity at periapsis,

V

_p：

(

e

)

r

V

r

V

p p p

=

+

∞

=

1

+

2

µ

2

µ

H.双曲線無限点速度 hyperbolic excess velocity,

V

_∞：

)

1

(

2

2

2 2

₋

₌

₋

₌

₌

₋

=

∞

e

r

b

V

r

r

V

r

V

V

p p p p p

µ

µ

µ

H.規準打ち上げエネルギーreference launch energy,

C

₃：

C

₃

= V

_∞2

H.アジマス速度 azimuthal velocity,

V

_az：

V

_az

= cos

V

φ

_fpa

=

r

ν

_&

H.動径速度 radial velocity,

V

_r：

ν

ν

ν

ν

φ

cos

1

sin

sin

sin

e

e

r

q

e

V

V

V

_{r fpa az}

+

=

=

=

&

H.レンジ・レンジレート range・range rate,

r&

r

：

r

r

_&

=

e

−

a

µ

sinh

F

H.面積速度 areal velocity,

A&

：

A

&

=

0

.

5

a

µ

(

1

−

e

2

)

=

0

.

5

r

2

ν

_&

H.脱出速度 escape velocity,

V

_E：

V

_E

=

2

µ

r

H.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude,

δ

_E' ：

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

i

i

E E

_cos

sin

arctan

'

ν

ω

ν

δ

&

&

（火星）

（月）

（地球）

ート

中心物体の慣性回転レ

s

deg/

249

061

004

.

0

s

deg/

4

50

52

1

0

00

.

0

s

deg/

074

178

004

.

0

=

=

=

=

E

ω

H.オイラー回転レート Euler rotation rate,

ω

_E：

_ω

_E

₌

_ν

_&

sin

i

/

sin

_δ

_E'

₌

_ω

_E2

₊

_ν

_&

2

₊

2

_ν

_&

_ω

_E

cos

i

H.角半径 angular radius,

ρ

：

ρ

=

arcsin(

R

_E

/

r

)

（球を仮定。）

（火星）

（月）

（地球）

中心物体の半径

km

3397

km

2

.

1738

km

140

.

6378

=

=

=

=

E

R

H.最大角半径 maximum angular radius,

ρ

_max：

ρ

_max

=

arcsin(

R

_E

/

r

_p

)

H.水平面までの距離 distance to the horizon, D：

D

=

r

cos

ρ

=

a

2

−

R

_E2

H.水平面までの距離の最小値 minimum distance to the horizon,

D

_min：

2 2 max

min

r

p

cos

r

p

R

E

D

=

ρ

=

−

H.最大地球中心角 maximum Earth central angle,

λ

_max：

)

/

cos(

arc

deg

90

max

=

−

ρ

=

R

E

r

λ

H.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA：

IAA

=

K

_A

(

1

−

cos

λ

_max

)

（火星）

（月）

（地球）

]

km

[

10

550

250

.

7

]

km

[

10

363

898

.

1

]

km

[

10

87

041

556

.

2

]

[deg

62

480

.

626

,

20

)

2

/(

360

]

steradians

[

311

185

283

.

6

2

2 7 2 7 2 8 2 2

×

=

×

=

×

=

≈

=

≈

=

π

π

A

K

H.アクセス面レート area access rate, AAR：

sin

λ

_max

π

ν

&

A

K

AAR

=

H.最大可視時間 maximum time in view,

T

_max：

T

_max

=

2

λ

_max

/

ν

_&

H.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground,

θ

&

_max：

E

R

r

r

−

=

ν

θ

&

_max

&

H.指定された真近点離角における最大日食時間 maximum eclipse,

T

_E：

)

/

arcsin(

)

/

2

(

/

2

R

r

T

_E

≈

ρ

ν

& =

ν

&

_E H.明暗界線のための太陽角条件,

β

'

：

90

°

+

ξ

−

ρ

<

β

'

<

90

°

−

ξ

+

ρ

ξ

は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角dark angle

H.天体座標が既知の宇宙機の経過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are known, T：

T

=

α

+

L

−

GST

ここで、

α

：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal