【論
・
文】UDC :624
.
04 ?:539.
3日本 建築学 会 構 造 系 論 文 報 吉 集 第 420 月
・
1991 年 2 月Journa]of Struct
.
Censtr.
Engng,
AU,
.
No.
420,
Feb.
,
lgg1繰
り
返 し
変
動
荷
重
を
受
け
る
鋼
構
造物
の
弾
塑
性
,有
限
変
形
解 析
ELASTO
−
PLASTIC
,
FINITE
DEFORMATION
ANALYSIS
OF
STEEL
STRUCTURES
UNDER
REPEATED
VARIABLE
LOADING
近
藤
一
夫
*, 王
学 鋒
* *
,
花 井
正実
* * *
Kaxuo
KOIVDOff
,
Xue
−
Feng
WAIV
/G
andMasami
HANAI
An
unified and effective method,
which enable one to trace the elasto−
plastic;finite
deforma
−
tign
behav
量ors and to evaluate the so−
ca }led
shake−down
limi
しs considered on the 自eometrical nol1.
linearity
,
of structures subjected to repeated variablelohds,
is presented.
1
しis
assumed that thedo
皿 ain of the variableioads
is
give皿 as ahyperpolyhedrQn
and the i血・
stantaneousloads
move arbitralilyinside
theptescribed
loaddomain
during
theloading
time.
Likewise,
thedomains
of the the responsedisp
且acemen ヒs,
strains and stresses of the structures.
under the above loading are also supposed tobe
the hyperpolyhedra, ver しex of which are the ex−
treme responses corresponding to those of the polyhedric
load
domain,
respectively.
Under
these assumptions,
basic
equations governing the relationsbetween
the parametel :p*(which
denotes
the magnitude of theload
domain
)and each of the extreme responses,
arederived,
in
which the well−
established totalLagrangian
formulation is employed to introduce thefinite
、
de−
formation effects
.
E
且asto・
plastic,
finite
deformation
analyses of the plane truss structure composed of ll membeTs are perfermed,
and show that the prelient apprQach mightbe
vely advantageous and effectivefor
investigating
the plastic・
cgl ]apsebehavior
of structu!es and struptural elements・
such as offshQre
.
structures
,
under iepeated variab 且e
loading
・
KeytObids
:raPeated variableload,
inelastt
’
c andfinite defonmatio n respanse
,
shake−
dozvn1.
緒 言 変動風に よる鉄塔の倒壊は,一
度の突風に よっ て起こ る の で は な くて,
倒 壊の前の繰り返 し力に よ る交番 塑 性 変形に基づ く,
塑性疲 労に よ る 耐 力の低 減が大 きく影 響 してい る 場合グ 多いといわ れ て い る。
この ことはま た,
近年,
海 洋資源開発の必 要か ら建造さ れ ること が多く なっ た 海洋建築 物につ い ては,
更に重要な問題 と なっ て お り, 荒天 時に繰 り返 され る激 しい波 力によ る, 塑 性 疲 労 あるいは交 番 塑 性 崩 壊,
漸 増 塑 性 崩 壊 等に対し ても,
十 分 安 全であるよ うに設 計し て お く必 要が あ るこ の よ うな 激 し い繰 返し変 動 荷 重 下にあっ て
,構
造物 に 塑性 変 形が繰り返して起こら ない こと を保 証す る もの がSh4kedown 垠
界 荷 重で あ る。
このShakedowo
限界 荷 重を 求 める比 較 的 簡 便 な 方 法 と して,Shakedown
に 関す る上 下界定理 を用い る方 法が あ る が2>,
塑性変 形に よ るひずみ硬 化の影 響 を 取り 入 れ るこ と が 難し く,
また,
変 形 等に関 す る 十 分 な情報.
が得に くい等の点で,
その実 用性, 汎 用性に問題 が あ り, 殊に, 本報告で取り扱う よ う な有限変
形領 域につ い て は,
その適 用は非 常に困難で ある3)。
し た がっ て, 現在, こ のよ うな繰 返し変 動 荷 重・
下での構 造 物の弾 塑 性,
崩 壊 挙 動 を 数 値 解 析 的に求める には, 荷 重履歴に沿っ てその応 答を追 跡し てい く,
1
い わ ゆ る 逐次 計算法 を用い ざるをえ ない。
し か し な が ら,
た か だ か数十秒で終わる地 震 応 答等とは異なり,
風や波に 対 す る 応 答で は, 前 述の よ うな逐次 計 算 法を 用い たの で は, 変 動荷 重の継 続 時間 が長い ことや, 荷 重の大き さお よびその履 歴 を様々 に変え た数 多くの ケー
ス ス タディを 行うこと が必 要な た め に,
要す る計 算量 は 膨 大 と なり,
そ の塑性 崩壊限界 を 的 確に把握 す るこ と は,
現在の計 算 機の性 能を もっ て し て も, 実 際 上, 不可 能で あ る と言わ ざる を え ないσ
こう した問題 点を克服 する たφに は
,
簡 便で,
し か も 自由 度が少な くてすみ,
かつ 解 析 精 度の よい離 散 化モデ ル の開 発 と と もに,
より根 本的には,
外 荷 重と そ れに対 す る応 答との 間に一
対一
の対 応 関 係 を考え,
外 荷 重に対 す る応 答の時 刻 歴 変 化 を追 跡し よ う とする従 来の逐 次 計 本 報告の概 要は,
平 成元年 度 中国・
九 州合 同 支部 研 究 報 告 災 に 発表し て い る。
* 広島大学 助教授
・
工博 Associate P[of.
of Hiroshima Univ.
,
Dr.
Eng、
* * 広 島 大 学 大学 院生
・
工修 Graduate Student of Hiroshima Univ,
,
M.
Eng.
* * * 広 島 大 学 教 授
・
工博・
Prof.
of Hiroshlma Unlv.
,
Dr.
Eng.
算 法と は異なっ た新しい解 析 手 法 を 開 発 する必 要が あ る
。
著者らは,
こ の よ うな観 点か ら,
文 献 4),
5)で,
繰 返 し変動荷重 を受け る構 造 物の弾 塑 性,
崩 壊 挙 動 を,
組 織 的に,
ま た,
実 用 的に追 跡 しうる手 法の開 発を行っ て い る。
そこ での方 法は,
『外 荷 重一
それに対する応答』 とい うこれまでの一
対一
の対 応 関 係 を,
外 荷 重は,
与え られ た領 域 内 を 任 意に変 動 するもの と して,
r
荷 重の変 動 領 域の大き さ一
応 答 領 域』とい う関 係に置き直し,
こ の関 係 を,
荷 重の変 動 領 域の大き さ をパ ラメー
ター
に し て,
増 分 法に基づいて,
stepby
step に求め よ う とい う もので あり,
こ の 方 法に よれば,
繰 返し変 動 荷 重 下での 構 造 物の弾塑性,
崩 壊挙動を, 静 的 解 析の場 合と同 程 度 の計算回数, 計算時 間で, ほ ぼ完 全に追 跡 可 能である。 ま た,
こ の方 法 が,
力学 的 荷 重だ けで なく,
繰 返し変 動 熱応 力を受ける よ うな場 合6) , さ ら に は, 慣 性 力, 減 衰 力等の影 響を無 視し え ない よ う な動 的 荷 重の場 合7LS}に も,
容易に適用可能なもの であること も明 らかに して い る。 ところで,
繰返 し変 動 荷 重下の構 造 物の弾 塑 性 挙 動に おい て,
例えば,
高 軸 力 下の柱 あるい は面 内圧 縮 力 を受 ける板の場 合の ように, 構 造 形 式,
荷重形 式によっ ては,
幾 何 学 的 非線 形 効 果が無 視し えず, そ れ が構造物あ るい は構造要素の変形挙 動に重 大な影 響を与え る場 合が あ る こと は,
これ まで の数多くの実 験 的お よ び解 析 的 研 究よ り 明 らか である が, 残 念な が ら, こ れ ま で著 者らが文 献 4)−8
)で扱っ てき たの は, すべ て微 小 変 形 領 域 内で の議 論であ り, こ の よ う な幾 何 学 的 非 線 形 効 果は全く無 視さ れ てきたti1)。
本報告では,
こう し た点 を考 慮 し,
文 献4),
5)の ア イ デ ア をベー
ス に, 前 述の柱,
板に おける付 加 曲げに代 表される幾何学的非 線形 効果をも統一
的に評 価し た繰 返 し変動荷重 を受け る構造物の弾塑 性,
有 限 変 形 解 析 手 法 の提案を行うと ともに,
本 手 法をト ラ ス構 造 物に適 用し,
い くつか の簡 単な数 値 解 析を行っ た結 果につ い て報 告す る。 本 節の緒 言に引き続き,
次 節では,
まず,
本 解 析手 法の概 要を示す。 続いて,
3お よび4節では,
ひずみ一
応 力 関 係 を 中 心 と し た 基 礎 式の誘導を 行 う と と もに,
通 常の弾塑 性, 有限変 形 解 析 手 法 が, 本 解 析 手 法 を,
外 荷 重の変 動 領 域 が退化して, 荷 重 空 間に おける一
つの点と なっ た特 殊な ケー
ス に適用し た もの で あ る と見な せ る こ と を 示す。
さ らに,
5節で は,
本 手 法 を微 小 変 形 領 域に 適 用し,
本 解 析 手 法 と著 者 らが文 献 4),
5)等で提 案し てい る手 法との関 連 性につ い ても明らか にする。
本 手 法 を トラス構造に適用 し, い くつ かの数 値 実 験によ り, そ の幾何 学的非線 形効果 を検討した結果は6 節に与えてお り,
7節は結 論であ る。 な お,
本 報告では,
有限変形領 域に お け る定式 化の方 法と し て, ひずみ, 応 力お よび物一 76 一
体 力, 表 面 力 等の諸 量を,
すべ て変形前の状態を基準に して算 定 し,
ひずみ お よ び応 力と し て は, そ れ ぞ れ,Green−
Lagrange の ひ ずみお よ びPiola−Kirchhoff
の第 2応 力 を組み合わせ て用いる,
い わ ゆ るTotal
Lagran−
gianApproachlo
}を用い て いる。2、
解 析 方 法の概 要 本 研 究では, 外荷重と し て, 文 献 4 ),5
)と 同様, 次 式の よ う な 1組の 固定 荷 重 :}pm
}とN
↓組の繰 返し変 動 荷重:IP
{”
, (t
)lx
を考え る注 2 )。
N[ {P
(t)}=
IP
,1り }十Σ1P
團 (置)}冴 X=
1Nt
=
万几IP
叫+Σ PΨ〕 ω・
IP
〔 叫.……・
…・
・
(1) 駕=
匚 こ こ に,
lP
叫,
IP
【 :基 準 化された荷 重ベ ク トル 万力,
p蟹彦):荷重パ ラメー
ター
( ):既知量,
t
:時 間 で あり, 上 添 字 (f
),(v}は,
そ れ ぞ れ,
固 定お よび繰 返 し変 動 荷 重に関 する ものの意である。 固 定 荷 重パ ラ メー
ター
:=
pHA は既 知と し,
繰返 し変動 荷重パ ラ メー
ター
:p
望1は,
関数R
で定 義 さ れ る 次 式の よ う な 領 域 内 を 任 意 に変動す る もの と する。
R
(ρΨ炉ω )≦P*・
7……・
…………・
……・
・
……・
(2) こ こ に,
プ は,
繰 返し変 動 荷 重の変 動 領 域の大き さを 示す パ ラ メー
ター
であり,
また,
7 は,
p*=
1におけ る 関 数R
の大き さ を表す定数であ る。一
方,
(1)式の 外荷重に対す る任意 点の変位,
ひず みお よ び応 力の応答は,p
* の 値は0
か ら単 調に増 加す る もの と しtt3),
繰 返し変 動 荷 重パ ラ メー
ター
:p望】 は,
前 述の よ うに,
各 段 階の が の値に対 し て,
(2) 式で 与え られ る領 域 内を任 意に変 動 すると す れ ば,
次 式のよ うに表せ る。 uKP ’ )=
瓢ザてρ宰)十彫屮(ρ*) ε呂」(ρ ‡ )=
ε攣引(P#)十ε呈ワ(P*)・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
(3.
a−
c) σ ‘丿げ )=
σ留(P*)+σ暫げ ) こ こに,
ule),
ε留,σ鴇 〕: 繰返 し変 動 荷 重に対する弾 性 応 答 変 位, ひ ずみ および応 力 礎,
ε曽,
σi
ワ:固 定 荷 重に対 する応 答 成 分 を含めた残 留 変 位,
ひずみ お よび応 力 であり,
簡 単 化の ため,
固 定 荷 重に対 する応 答は,
残 留 成 分の中に含ま せて いる。 (3.
a−
c)式で表 され る応 答の 内,
残 留 成 分で ある πP
,
瑠,
σ曽は,
が の 関 数 として一
義 的に定ま るが , r 方, 弾 性 応 答 成分 で あ る u劉, ε鴇1,
σtey
は,
(2 )式の荷 重の変動領域に対 応 し たある応 答 領 域を有す る。
ま た,
こ の 包1尸,
ε鴇1,
σ費の応答 領 域は,
微 小変形 領 域では, プ の増 大と と もに単に膨 張す る のP★
・
と
百1
り P穿
}一一一
Y11 ・・馳
・, lll11 1 P★・
と
万i
”} R(百旻
” り・
P☆・
下 2 plのFig
.
1 Dornain of Repeated>ariabLe Load Parametersみである が, 有 限 変 形 領 域で は
,
膨 張す ると と もに,
そ の形 状 も,
また, 変 化 する。’.
さ て,
本 研 究で は,
(2}式で与え ら れ る繰返 し変動 荷 重パ ラ メー
ター
の変動領 域は,Fig.
1に示 す よ う な多 面 体で あ る,
あ るい は多面体で十分近似さ れ う る と仮定 し,
多 面体の 各隅点に対 応す る外 荷 重ベ ク トル を,
荷 重 番号を 表 す 左 上 添 字 を 付 して,
次 式の よ うに表 す。
「,P
(」ワ * )1
=
万ゐ,
lp
[h }十P富,
’lcPfVil
・
・
・
…
r・
・
・
・
・
…
(4
) (γ;
1,
2ヂ・
・
,
ハic) こ こに,
Nt
1cpvll
= Σ 初署1・
IP
ω1L・
………・
……・
・
(5) x=
1 で あ り,
講 1は,
p*=
1に お ける (γ)番 目の隅 点の各 繰 返 し変 動 荷 重パ ラメー
ター
の値,
また,
1Vcは,
隅 点の 数で あ る。
(4) 式の各 外 荷 重ベ ク トル に対す る任意 点の 変 位, ひずみ お よび 応 力の応 答は,
(3.
a−
c)式と同様
に,
固 定 荷重に対 す る 応 答 を 残 留成分の中に含ま せ る ことに す る と, 次式 と な る。
γ Ui(P’ )=
γ 秘1’1(が)十 劉(P*}γ ε‘丿(P * )
ニ
γ ε鴇1(P*)十ε2
ワ(ρ*)・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(6
.
a−
c) γ σ、丿ゆ * )=
γ σ留(が)+σ曽(P’) (γ=
1,
2,
…,1Vc
> UzY,
Ul’
u气鹽
コ
‘r,
巳伽
畠
価
,
匹
U11燭
12
U1 こ こ に,
左 上 添 字 (γ)は,
(γ)番 目の外 荷 重に対す る応 答の意であり,
残 留 成 分につ い て は,
各応 答につ い て共 通なもの であるか ら,
添字を付 していない。
な お,
(6.
a−
c) 式は,
(4〕 式で表さ れ る特 定の外 荷重に対す る応 答で ある か ら,
先の (3.
a−
c>式とは異な り,
弾 性 応 答 成分,
残 留 成 分 を 問 わず,
p* の 関 数 と して,一
義 的に決 定さ れ る。 我々 は,
外 荷 重の変動 領 域をFig.
1に示 したよ うな 多 面 体で あ る と 仮 定 し たの に対 応し で,
(3.
a−
c)式で与 え ら れ る その応答領 域も,
ま た,Fig.
2に示す よう
な (6.
a−
c)式の値を隅 点と す る多面 体で ある もの と す るth4) 。 こ の 仮 定によ り,
(3.
a−
c)式で表され る応 答は,
〆 の関 数と して一
義 的に定ま る (6.
a−
c)式が求まれ ば, 容 易に算定さ れ ることにな る。
また.
よ く知ら れてい る よ うに,
(3.
a−
c)式で表され る応 答の内で,
各 応 答に対 し て共 通な 残留 成 分は, 降伏お よびそれ に伴っ て生じ る 塑 性 変 形によ り引き起こ され る もの であ る が,
Drucker の安 定 仮 設ll ]よ り誘 導さ れ る降 伏曲面は外側に凸である とい う条 件 を用い ると,
降 伏は,
(6.
c) 式で与え られ る 各 隅 点の荷 重ベ ク トル に対 応す る応 力 以 外に は生じ ない た め,
隅 点以外の外 荷 重ベ ク トル は,
残 留成 分の増 減に は,
全く関 与 し ない こ とになるt151。
したがっ てtt
(4) 式 以 外の外 荷 重ベ ク トルに対す る応 答 を考慮する こと な く,
(6.
a−
c)式を求め ること が可 能とな る。・
本 報 告で提 案 する手 法は,
p* と (6.
a−
c)式で与え ら れる Nc個の γ Ui,
vεi 」,
γ σtノと の関係を, 通常の静的解析 の場 合と同様,
増 分法に基づいて.
stepby
step に求め よ う という もの であり,
3節お よ び4節で は, その基 礎 式の 誘 導を行う。
な お,
次節 以 後で は, 表 現の混 乱 を避け る た め,
(4>式の 外 荷 重を 「臨 界 荷 重 』,
また,
(6,
a−
c)式 で表され るその応 答を 『臨 界 応 答 』と呼ぶ ことに す る。3.
増 分型 ひずみ一
応力関係本 節で は
,
まず, 区 分的 線形仮 定に基づく,
ひずみ増
分一
応力増分関 係を導く (Fig.
3参 照 〉。
材は,
Prageri2),
Ziegleri3i
らに よ り確 立さ
れ た移 動 硬 化 則に従 う もの と し,
その降伏 条 件を, 次 式の よ うに表す。
E22 Y「
σ5」 匸
〔凾
}
σ 凵 1「
コ 1画
■
1 σ1」 ■
凵
σ伽」 2 σ1 工Fig
.
2 Assumed Domains of Responses to Fixed and Repeated Variable LOads022 ムσ u1レ 〆
/
、篭
12
/ YieMsurfacer
〆 邑fterincrem 已nt 〆1
σ■
」ll2
Yield 日eforesurfaceincrementく
\ σ 。lh1af
\一
aσ111[
1 ム。 1、lh
σllFig
.
3 1ncremental Strain.
S匡ress Relation of Kinematic Strai旧一
HardeningMaterial
∫(σ、厂 σ粉=
σ 。………・
………・
……・
…・
……
(7
) こ こ に,
f
:降 伏関 数,
a。 :単 軸 降 伏 応 力 σ}:降 伏 曲 面 中央 点の応 力の値 ま た,Fig.
3に示す よ うに,
降 伏 曲 面 上の各 応 力状 態に 対 し て番 号 付けを行い,
各々 の応 力 状態に関す る量を ( )lia
(a・
・
1,
2,…,
N
ρ,
Np
;降 伏 曲 面 上の 応 力 状 態の 数)の記 号 を付して表 す。 さて,
各 臨界応 答は,
(6.
a−
c) 式に示す よ うに,
各 応 答に共 通な残 留 成 分 と弾 性 応 答 成 分の和と して与え られ る が,
残 留ひずみ増 分は,
残 留 応 力 増 分に対 応す る弾 性 成 分と,
降 伏 曲面上の各 応 力状態につ い て生じ る塑 性ひ ずみ の和とし て,
次 式の ように表さ れ る4LS ) 。A
・ts
’一
伽 ・・貿・激
・11
・
嘉
II
・・
……一
(・) こ こに,
C
臨 :弾 性コ ンプライアンス λ:塑 性ひずみの大 き さ を表すスカラー
ま た,
△ は,
増 分の意であOP t 下 添え字 i,
j
,
h,
1等に つ い て は,
総 和 規 約 を用い て い る。
なお, Np≦Nc・
・
一・
・
・
…
一…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(9) で ある ことは,
自明であろ う。
ま た, 弾 性 応 答ひずみ増 分と弾 性 応 答 応 力増分 との間 に は,
よ く知ら れて いるよ うに,
次 式の よ う な関 係が あ るか ら,
4
γ ε鴇』 αヲ, 、・
ム γ σ留…『
一 一 ……一 ・
『
…・
…
(10
) (8) 式と (10>式の左 右 両 辺の値を,
そ れ ぞ れ,
足し 合わせ,
(6.
b,
c)式の関係を用い て整理すると・v・・i
−
Cts’nt’
△rakt ・嵩
・II
・・
藷
11
・・
一 ・
(… ) (γ; 1 ,2ヂ・
・
,ハlc) とな る。
(11.
a}式を逆 変 換すると 砺 脇・
A
γ ent−
DLeY,,・
激
・ll
・・
募
ll
・一
78
一
・
・
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(1ユ,
b
) 〔γ=
1,2,…
,Nc ) こ こ に,
[
1
)望}田;
[C
跳星]−
1……・
………・
・
…・
……・
(12 )一
方, 降 伏 曲面 中 央点の応 力の増 分は,Ziegler
]3〕の 修正則に従うと, Np△・
r
,=
Σ μ1
・
。・
(・wlltr−
・螽)・
・
…・
・
…………
ttt (13 ) α薈
1 で与え ら れ る。 こ こ に,
μ :降 伏 曲面 中 央 点の応 力の移 動 量 を表 すス カ ラー
さて,Prager,
Ziegier
に従い,
ひ ずみ硬 化に よる応 力の上 昇は, 塑 性ひずみ増 分と同じ方 向に生じ る と す る と,
増 分 後の塑 性 条 件は,
次式とな る。
諾
〔
1
・・
(
・ aw1』
一
百・
・ll
・・
銑
rl
・)
一
……
(14・
・)諾
ll
・・
(・砺II
・一
・・f
」)一 …一 …一 ……
(・4・
b) (a・
=1.2.….N
ρ) こ こ に,
吾;ひずみ硬 化を表す係 数 であり
,A
σiillα は, (ω 番 目の降 伏 曲 面 上の応 力状 態に 対 応する臨 界 応 答の応 力 増分で あ る。
(11.
b
)式より得 られ る降 伏 曲 面の応 力 状 態につ い て の応 力増 分 を (14,
a)式に代 入 し,
整 理 すると(
募
、ll
・・
凋
・
… lll・一
苒
Q
… λ11
・一
・…
(・5・
a) (α= 1,
2,
…,
ハ1
。) と な る。
こ こ に,Qa
・一
黠
ll
・・
踰募
ll
・+fi
・
黠
ll
・・
託
ll
・・
ba・………一………・
ttt
…………
(16) δαβ :クロ ネッ カー
のデル タであ り
,A
εulle は,
前 述のA
σ“11a
と同 様,
(a)番目の降 伏 曲 面 上の応 力状 態に対応 す る臨 界応 答の ひずみ増 分で あ る。
(15.
a)式よ り,
λIla
は, 次 式の よ うに表され る。
・
11
・
一菖
Q
嵳・・
諾
ll
・つ翫・
A
…ll
・……・
(15・
・b
) (α=
ユ,
2,
…,Np
) こ こ に,
[Q
凄β]=
[Q
。 β]一
’……・
・
………・
・
………・
・
……
(17> であ り,
λll
αく0 ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(18) の時, 降伏曲面上の (ω 番目の応 力状態は, 除 荷と なる。
(15.
b
)式 を,
再び,
(11.
b
}式に代入 し,
整 理す る と・・ 砺
一
晒 △…− P
蝋
蠶菖
昜
烏
11
・・
Q
翫・
畿
ll
・・
噺 ・・nt11 ・)
(γニ
1,2,・
・
Nc
)・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
…
(19 ) と な る。 とこ ろで,
今,
(γ播 目の臨界応 答 応 力が降伏 曲面上にあ る 場合,
その応 力状態の番号を,
(.
)II
{γ]と表 すこ.
とに す る と,
Np Nc Σ 〔>ll
。= Σ】OII
【γ1・
ω .……・
・
…・
………・
…
(20) a=
1 γ需
1 こ こ に,
:
1
:
1
:
:
;
:
1
蠶鬻
土
:
:
難
婁
婁
;
1
”…”鹽
’
鹽
’
’
”鹽
’
凾
…”鹽
鹽
”鹽
9”
(21.
a,
b
) と.
な る か ら,
(19)式は, 次 式のよ うに表さ れ る。
・
勉
一義
ρ
翫岬
θεビ義
瞬
一・
菖
謙
II
・
飾
銑
II
・み・w 喘)
・
AeE
・・t Nc一 Σ <xe >鳳
・
・
4
θε、ビ…一
.
・
…一 ・
…一
(22
) θ=
1 〔γ=
1,
2,
…
i 八厂c) こ こ.
に,
吻
翫一
P謡
一
・露・ 一・
(
謡
島
11
・・
Q
ま・)
・
黠
ll
・・1・
勗
・
D
脹…・
・
・
……・
……
(・・).
(22)式・
が,
区 分 的 線 形 仮 定に基づ く,
ひずみ増 分一
応 力 増 分 関係で あり,
降伏後はt 各 臨 界 応 答は,
そ れ ぞ れ,
独 立Tiは な く,
互い に連せい して く ること,
ま た,
同じ く,
降 伏 後の ひずみ一
応 力マ ト リックス は,一
般に,
γ,
θに関 して; 非対 称と な るこ と は,
容易に 知 れ る。 なお,
すべ てop
臨界 応答応 力力「,
降伏 曲面 内にあ る場合 には,
〈L θ〉 畭 、
一
嗾 、・
δ.,・
・
…一 ……−
t.
t−
…
(24
) とな る、
一
方,
降 伏 曲 面 中 央点の 応 力の 増 分は,
(13) 式 を (14.
b
)式の塑 性 条 件に代入 す る と, こ こ に,
託
ll
高11
・−
SE
・・β・
・11
・一
・…・
……
伽 (血=
1,
2,
…,
1>』) ・ti
・一黠
1
臨
ll
・T
・n
)・
・
………・
…・
・
(26) したがっ て,
・
11
・一
菖
.
s
畆・
黠
ll
・・
A
…lfe
.
一
毒
・・げ
、・
St
/
.
、H
[T ]’
a)T
・
ATawz
・
・25.
b
・ (α=
1,
2,
…,
醐 こ こ に・卩
’
.
[S
まeコ=
[SaB
]−
1…
…………・
………
・
(27) と表 さ れ る か ら,
〔25,
b)式をt.
再 び,
(13>式に代 入 すると,
次式 となる。
A
…一
鯖
… (a・・H
・一
・・」・:
舞
」
1
・・
・…11
・一
毒義
s
丙 ・…(…」一.
・l
」)・
w7・
諾
ll
・・
ω θ・
Ae
σh、………・
…・
…・
・
1(28).
4.
基 礎 式の誘 導前 節では
,区
分 的線 形 仮 定に基づい て,
ひずみ増 分一
応 力 増 分 関 係を導い たが,
本 解 析 手法に関す る そ の他の 基 礎 式は,
通 常の.
静 的 荷 重に関す る そ れ10 )と ほ と ん ど 同 様で あ り,
既に示し た ひずみ∠応 力関係を含め,
以 下の.
よ うに表さ れ る。
○変位一
ひずみ関 係r ・.
=
S
・
(
∂γUi ∂γU 」 ∂ γUiC ∂γUit ∂X」 + ∂Xi + ∂Xi’
∂x」)
・
……
(29・ こ こ に,.
’
Xt :座標.
○ ひずみ一
応 力 関 係}
.
Nc△γ σ・・
認
く吻
翌一 θε・・…・
一 ・
・
r
……・
・
(3
… ) あ るい ば,
・ 听
乱 ぬ
く・ ・冫跏 ・6・ゼー 一 ・
・(・・r・) こ こ に, (「θ>1 瑠κ1 は, (23 )式で与え られ る量で あ り, また,
ム
,h ( )・, 初 献 態 か ら現 在・ での轣 ・獅
た積 分 を表 す。
O 平衡方程式謠
[
頭
磁 ・課
)
]
・ガ癖
・〆・
厨
劉一
・…・
・
:・
・
…・
・
…・
…・
・
∵………・
(叫
こ こに,
Nl
.
ざ理=
乙
鍛
1’
F 蜜1
’
… ”””… ’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
”
(32・
・)F
プ,
F
黙;基準 化さ れ た単 位 体 積当た り の 銑方向
物体 力 Q 力孛
的廉
界 条 件.
砺・
画
・窒
)
一
万啣
・〆・
酢 ・
一・
(33)・
.
こ こ に,Nt
’
ぎ丁劉=
Σ 誹 ,・
7
黙∵・
………・
・
…………・
・
(32,
b
) 疋=
1 TY ,丁覧:基・
準 化さ れ た単 位 面 積 当たり の x 、方 向 表 面 力 nt :単 位 外 向き法 線 ○幾 何 学 的 境 界 条 件 γ Ui=
ガ八 認 + ρ*・
誹 1・
・
・
・
・
・
・
…
t・
…t/
t・
・
・
・
……
(34) こ こ に,
Nl 瀚3
,=
Σユ 就 可 κ.
‘・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(32.
c) X=
1−
79 − .
砥♪
,
嬲1
:基準 化さ れ た Xi 方向強制 変位量 なお,
これ等の諸 式は,
(γ》番目の臨 界 応 答につ い て の もので あ り,
各 臨界応 答 間の連 せい 効果は,
前 節で誘 導し た ひずみ一
応 力関係の み に依存す る もの で あ ること は,
容 易に分か る。
以 上 示し た基 礎 式 を増 分 型の そ れ に焼き直し,
適 当な 変 分 原 理,
有 限 要 素モ デルを 用い て,
交 番 塑 性,
漸 増 塑 性あ るい は即 時 塑 性 崩 壊 状 態注61 に達 する まで,
stepby
step に解析を行えば,
初 期 状 態か ら 塑性 崩 壊状態に至 る までの各 臨 界応答が,
p*の 関 数と して求ま る。 ところ で, 本 報告で提案し ている手法は, 外荷重の変 動領域 を,Fig.
1に示す よ う な多 面 体に理想 化し,
各隅 点に対応す る外荷重 (臨 界 荷 重 〉に対す るNc
個の 各応 答 (臨界応劉 を連 立し て求め よ う という も ので あ る か ら,
今,Fig.
1
に示す外 荷 重の変 動領域が 退化して点と なっ た場 合に は,
通 常の弾 塑 性,
有 限 変 形 解 析と な るこ と が 予想さ れ る。
実 際,N
。=
・
1
と す る と, 各臨界 応 答を 区 別す る γ,
θ等の添え字は不 要 とな り, 先に示し た基 礎 式は, (30.
a)式あ る い は (30.
b
)式で与え ら れ る ひ ずみ一
応 力 関 係を含め,
よ く知ら れた弾 塑 性,
有 限 変形 解 析に関す る そ れ と な る。 し た がっ て,
本 解 析 手 法は,
あ る特 定の荷重ベ ク トル に対す る 応答の み を求め る通 常 の 弾 塑 性, 有限変形 解析手法 を繰 返し変動 荷 璽 下の そ れ に,
拡 張,
一
般 化し た もの で あ る。
あ るいは,
逆に,
通 常の静 的弾塑 性,
有限変形 解 析手 法は,
本 解 析 手法 を,
外荷重の変動 領域が退化し, 点と なっ た場 合に適 用し た もの であ る と解釈す ること が で き る。
5.
微 小変形領域に お け る既提 案の弾 塑性解析手法との 関連 性につ いて 前 3節では,
本 報 告で提 案 す る 解 析 手 法の概要を 述べ ると と もに, ひずみ一
応 力関係 を 中心 と し た その基 礎式 の誘 導 を行っ た。
ところで,
緒 言で述べ た よ うに,
繰 返 し変 動 荷 重を受け る構 造 物の微 小 変 形 領 域に お け る変形 解 析にっ い ては,
既に,
著 者らに より,
そ の塑 性 崩 壊 挙 動を,
組織的,
統一
的に,
ま た,
実用的に追 跡しうる手 法の展 開が な さ れて い る4 周。
本節では,
前 節まで に示 し た手法 を微 小 変形 領域に適用 し, 本 手 法 と 文 献4),
5) の方 法と の関 連 性を 明 ら か に し て お く。
変形が微小であ り,
その幾何学的非線形効果を無 視 し う る 場合,
前節に示 し た 基 礎 式 は,
そ れ ぞ れ,
次 式と な る。 ○ 変位一
ひずみ関係一
壱
儲
・砦
)
・
・
………・
……一 …
(… ○ ひすみ一
応 力 関係 (30.
a)式ある い は (30.
b)式 O 平 衡 方 程 式一
80
一
畿
研 謄 炉 僻一
・一・
…・
・ ・
・
7『
7
(36
) ○力 学 的 境 界 条 件 γ σ、J・
nJ=:
P
’n・
Ttl+が・
ざ四 1−
……・
………
(37 ) O 幾 何 学 的 境 界 条 件 (34 )式 な お,
上式が,
前 節と同 様,
(γ}番 目の 臨 界 応 答につ い て の もの で あ るこ と, ま た, ひずみ一
応力関係お よ び 幾 何 学 的 境界条 件につ い ては,
変 形 量の 大 小に伴う相 違 は生じ ない ことは自明で あ ろ う。 ところ で, (35
)式, (36
)式, (37) 式お よび (34) 式は, すべ て, 線 形の関 係 式である か ら,
(6.
a−
c)式 を 代入 する と, こ れ らの諸 式は, Nc個の弾 性 応 答 成 分に 関す る もの と残 留 成 分に関す るもの の 2つ に, 完 全に分 離す ることがで き る。
ま た, (30.
a)式 で与え られ る ひずみ増分一
応 力増分 関係は, (6.
a−
c)式の増 分 型 を (30.
a)式に代入 し,
(10) 式および (20>式の関 係 を用いて整 理 する と,
Nc △γ σ鴇1+4
σ留≡
ΣD
囲、ビδγ θ・
〔△ θ ε盟+ ムε濃) θ噐
匚一
嵩
帳
戴
鶏
ll
・・
Q
言・・
畿
ll
・ w凋
・
騰 ・蝴 N=
△γ σ旨1+D
鴇卩 、μ ε沼一
ΣD
鴇 1 肌 θ昌
監・
菖
譱
1
・・
Q
諄…黠
II
・・
吻 … σ膣一
呶 鯖
譱
ll
・・
Q
: P・
銑
II
・・
凋
・
△・盟 した が っ て, Nc ムσ貿=P
澀、μ ε禦一
ΣγR
‘」龍、・
△ γ σ蟹 γ”
L こ こ に,D恥
一
咄一
臨・
(嵩嵩
譱
11
・・
Q
: ・・
畿
ll
・・
D
)
騙一D
哺
マ鶏
II
・・
Q
・・7・説
ll
… 納tt−tttt
’
”鹽
’
…’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
”t’
・
(38.
a,
b
) と な る か らte7),
前 述の よ うに,
各 臨界応 答を弾 性応答 成 分と残 留 成 分に分離す る と,
微 小 変形領 域にお け る基 礎 式は,
次 式のよ うに も表さ れ る。 O変 位一
ひずみ関係甥
一
者
・
(
∂γ
ule, +∂ γ げ ∂X」 ∂コCt)
・
一 ・
一 ……
・・9・
・) ・IS
=
±
・
(
∂認 + ∂ul ” ∂コPj ∂Xi)
…一 ・
一 一
・39・
b)○ ひずみ
一
応 力関係γ σ厚
=Dlelict
・
γε1溜・
…
t・
…
∵
・
・
・
・
…
tt・
・
・
・
…
:
・
・
…
(40
、
a) Nc ムσ1
ジ= 瑚 、μ ε盟一
Σ] γR 、、。、・
4
γ σ留・
・
一
(40.
b) γml
あるい は,
・
鳳
。 ・融 盟一
ム
h毒
・R
、}tl・
轟・
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
9・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
(』
40.
c) こ こに, 圦 ワκz,
γRwnt
は,
そ れ ぞ れ,
(38.
a,
b
)式で与え られる 量であ る。
』
’
O 平 衡 方 程式響
…癖
一 ・………『
…・
・
…………
(41,
a}響
・万唾
一
……・
一 ・
・
…・
…一 …
(・Lb ) O 力学的 境界 条件 γ σ留゜
nJ; ρ*°
ぎT ‘, σ鴇 n 」;
: p”n・
Tlnl・
・
(42.
a,
b) 0 幾 何 学 的 境 界 条 件γ 麗『b= ρ*
°
海i’
『「= 葦デ』
°
舐力’
’
’
’
’
’
”鹽
’
・
(43.
h
,
b
)上 式の 内
,
(39.
a)
式 ,(40.
a)式, (41.
a)式,1
(42.
a)式 お よ び (43.
a)式が弾 性 応 答 成 分に関す る基 礎 式,
r 方,
〔39.
b
)式,
(40.
b
)式あ るい は (40.
c)式, (41.
b
)式,
(42.
b
) 式お よ び (43.
b)式が すべ て の臨界応 答に対し て共通な残 留 成 分に関 するそれで あり,
弾 性 応 答 成分 と 残 留 成分 との 連せ い効 果は,
(40.
b
)式あるい は (40.
c) 式で与え ら れ るひずみ一
応 力関 係につ い て の み発 生す る。
弾 性 応 答 成分 は, (39,
a)式,
(40.
a)「
式,
(41.
a)式,
(42.
a>式お よび (43.
a)式か ら,
残留 成 分とは無 関 係に,
また,
弾 性 応 答間の連せい は全 く ないか,
ら,
各 臨界応答 ごとに別 個に,
容 易に算 定さ れ,
さ ら に,
これ等の諸 式 は,
前 述の よ うに,
ひずみ一
応 力関係を含め,
すべ て,
線形の 関 係 式で あ る か ら,
が との間の比 例 関 係 が 成 立 する。
し た がっ て, 各 臨 界応 答に お け る弾 性 応 答 変 位,
ひずみおよ び応 力は,
そ れ ぞ れ,
次式の よ・
うに表さ れ る。
γ 冠rl
=
P*・
γ鍵,
γε1
ツ=
ρ*・
γξ留, γσ13=
P*・
γ∂留・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(44.
a−
c) こ こ に,
γ 鋸,
,
γ 堺,
γ ∂iSl
は,
そ れ ぞれ,
p*= 1 にお ける 弾 性応答 変 位,
ひずみお よ び応 力である。一
方, 残留 成 分は,
(39.
b
) 式,
(41.
b
) 式,
(42.
b
) 式,
(43,
b
)式 を増 分 型の それに焼き直し,
(44.
c)式で与えられ る各 臨 界 応 答の弾 性 応 答 応 力に対 する応 答 を,
(40.
b
)式の ひず み一
応 力関 係を用い て step by step に求める ことに よ り,
決 定す る。 これ が,
文 献4),
5)の方 法で あ る。
こ れ に対 して,
本 報 告で提 案 して いる方 法は,
p* と 各臨
界 応 答の弾 性 応 答 成分, 残 留 成分 を含め た全 応 答量 との関 係 を・
, 微 小変形領域で は, (35
)式, (30.
a>式あ るい は (30.
b
)式,
(36
) 式,
(37
)式お よび (34
) 式 を用い て,
直 接 求め よ う とい う もの であ る。
とこ ろで,
(35) 式,
(30.
a )式 あるいは (30.b
)式,
(36) 式,
(37) 式お よび (34 )式で表さ れ る基 礎 式と (39.
a,
b
>式一
( 43.
a,
b
)式の それ との相 違は, 臨 界 応 答 を弾 性 応 答 成 分と残 留 成分 とに分離す るか ど う.
かの違 い のみ であり, 本質 的な相違嫉ない。
実際, 次節に示す ト.
ラス につ い て の解 析 例に お いて も,
微 小 変 形 領 域で は,
本報告で提案してい る手法に よ る解析 結果は,
文献4),
5
)の方 法に よ る そ れ と まっ た く 同 じ も の と な る。
し た がっ て,
微 小変形領域では,
本報告で提案してい る手法 と文献4 ),
5 )の それとは, 全く当 価であるとい えるが, 文 献4},5)の方 法の適 用 範 囲が, 本 節で述べ た よ う な 微 小 変 形 領 域の み に限られ,
し たがっ て,
その幾 何 学 的 非 線 形 効 果 を 考 慮 し え な い の に対 し て圃 , 本 報 告で提 案し て い る手 法に は,
その ような制 限は な く,
よ り幅広 い汎 用 性を有す る。
なお,
’
解 析の変 形 対 象 領 域を微 小変 形 領 域に の み限 定する な らば,
各 増 分 過 程に おい て Nc 個の 各 臨 界 応 答 を 連 立して求 める本 方 法に比べ,
各 応 答 に対して共通な残 留 成 分のみ算 定す れ ば よい文 献4},
5) の手法の方 が,
計 算 時 間の.
短縮,
記 憶 領 域の削 減の た め には,
よ り有 効であ る。6.
数 値 解 析 例 本 節で は,
本 研 究で提 案して い る解 析 手 法を トラ ス構 造物に適 用し,
い くつ か の簡単な数値解析を行っ た結果 に つ.
いて報告 す る。
6.
1 トラス要素 まず,
仮 想 仕 事の原 理 を用いて,
変 位 型 立 体 トラス要 素モ デル の誘 導 を行う。Fig.
4に示す よ うな,
材 軸 方 向 をZ 軸とす る (Z,x ,y
)局 所 座 標 系を有す る長さ :t, 断 面積 :A の代 表 的 トラ ス要 素 (部 材 ) を考える。
トラス 部 材にお け る増分 型ひずみ一
応力 関 係お よ び降 伏 曲 面 中 央 点の応 力の増 分 は,3
節での 定式化を,
単 軸 応 力 状 態のそ れ に や き直 すことにより,
.
それぞれ,
次 式 の ように表さ れ る。
x Yw2Y・(・)
一
(トf
)・
Y・・ + (f
)・
’
Tw ・.
T・(・)一
(ト号
)・
Y・1 + ({
)・
Y・h
Y・(・)
一
(レモ
)・
.
Y・・ + 〔f
)・
Yv2Fig
.
4 ASpace Truss Element Based o囗 Assumed Displace.
ment Method
A・ σ一
E .
A
・ε一
E
;
2 _ A、1
、E
十H一
螽
(
・・
δ …轟
…)
・
Ae
・ Nc=
.
Σ〈xe>E
£・
ムθε・
・
・
…
r・
・
・
・
・
・
…
9・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(45) θ
±
1 (γ=
1,
2ド・
・
,
ハlc) NcAσ*
=
△σ111
=
Σ ωジムγσ・
………・
・
……・
…・
(46) γ=
1 こ こ に,
・…
Et−
E.
δ 。 。−
E
し
ω,…・
一 ・
一 ・
一
(47) E 十H ま た・ ・ヤ・グ係
tw
,
ii
一
矗
・
… 塑 性・ず・ で あり, ωγ につ い て は,
(21.
a,
b
>式 を参照 され たい。
なお,.
単軸 応 力 状 態で は,2
つ の異な る応力状態が降伏 曲面上に達した時に は,
交 番 塑 性崩壊状態と な る た め,
2つ以 上の応 力 状 態が降 伏 曲 面上にあ る場 合を考慮 す る 必要は ない。
一
方,
(29)式の変 位一
ひずみ関 係を トラ ス構 造物の それ に置き換え, 要 素 (部 材 )内変位 場 を,
Fig.
4 に示 す よ うに,
各 節 点上で,
Z,
x,
y方向,
そ れ ぞ れ につ い て, Nc 個 設 定し た変 位パ ラ メー
ター
を 用い て,
次 式の ように表す と,
1
(γ
=
1,
2.
…
,
八厂c) こ こ に, γ γ γ・
w,
包,
v・
γ ω“ Tui,
γ Vi(ぎ;
】,
2); ひずみ増 分は,
次式の よ うに表せ る か ら 1 2 (γ=
=
1,
2,
・
・
N
∂ こ こ に,
・ ・(・)一
(
1一
号)
・
・ω 1+(
号
)
・
γ w・ ・ ・(・)十
号
)
・
γ・・+(
号
)
・
γ ・・ ・ v(・)十
!)
・
・Vl+(
号
)
・
γ v・・
・
…
〔48.
a−
c) z,
x お よ び y方 向 変 位 節点変位パ ラ メー
ター
△γ ε=
L
γβ」・
}Aγdl
十一・
L
∠sγd
」・
[E
]・
1
△γd
}’
・
・
(49)9dl
=
γ W]
γUl γ Vl γW27u2 γV2,
1
・ ・1
−
t
・
一
(
十d
γwld2
)
_d
γudzd γ vdz
(
十d
γw1d2
)
砦
d
γvdz一
82
−.
一
・・・
一
桿
、1
別
・
…一
[
i
矧
tt・
…・
……… 一 ・
・
(50.
a−d
> (45
)式 より,
応 力増分は, 次 式とな る。 ・・ σ一
ぬ
・γ ・ ・E ・
・
(
L
・B
」・
1
・・dl ・者
・
L
△θd
」・
[・ユ・
幽ゆ
(γ
=
1,
2,
・
・
Nc
)…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t・
・
〔51
) (49)式 お よ び (51)式より,
増分量に関す る 3次 以 上 の 高次項を省略し た内 部仕 事の増 分 :δ(AU尸}は,
次 式 と な る。
・(・
U
・)一ゑ
〈
L
…頭
か
・
の佃 ト〈7・
e’Et
・
L
・B
」・
幽)
・L
…d
」・
(γ σ・
A ’t
)’
[E
]・
IA
・dt+LaA
γd
」・
(’ ・・
A ・1
)・
i
γBe
>
一
激
く
L
・… 」・
(
Nc Σ [〈7・
s θ;
1 〉 ・]・
IAed
})
・1
γRI
>
=
LaAd
”」([Km
]・
1
∠1dm
}十IR
肌
D
・
・
・
・
・
…
(
52
) こ こに,
ldn
}=IR
「ni=
d イ W121
‘
VCdlrRI ドR} {NCRl,
[κ円=
[〈Ll >κ]・…
[〈1
・
NdiK コ [〈Nc・
i>K ]・…
[<Nc,
Nc> κ]・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(53.
a−
c} ま た[(v
・
e>K
]=
(A・
1
)・
i
γBI・
(xe>E
,・
LeB
」十(γ σ
・
A ・1
)・
[E
]・
δγe・
…
(54
.
a,
b)1
γRI
= (γ σ・
A・
の・
1
γB
} であ り,ldMi
,
[Km],
iRMt
が,
そ れ ぞ れ,節点変位パ ラメー
ター
ベ ク トル,
要素剛性マ ト リックス お よ び要 素 内 力ベ ク トル であ る。
〔52
).
式を すべ て の要 素につ い て よせ集め,
幾 何 学 的境界 条 件を考 慮し て,
外 部仕 事 と等 置す れ ば,
接線剛性 方 程 式が得られ る。 な お,
〔52
) 式は,
局所座 標 系 表 示に な っ て お り,
よ く知られ た座 標変換則 を 用い て, 節 点 変 位パ ラ メー
ター
を 全 体 座 標系に おけるそれ に 変 換 する必 要が あ る。 6.
2 数 値 解 析手法 構 造 非 線 形 問題に対 す る 数値 解 析 手 法と して は,
こ れ ま でに,最 も標 準 的な荷重 制御法, 変位 制御法, 摂 動 法,Current
Stiffness
Parameter 法,
Arti
正icial
Spring
法等,
種々の もの が用い られて い るが