等質有界領域の対称性条件, 性質の良い有界領域実現について

(On a distinguished bounded realization and a symmetry characterization

of homogeneous bounded domains)

甲斐 千舟 (Chifune KAI1_{, Kyushu University)}

(伊師 英之氏との共同研究 (Joint work with Hideyuki ISHI (Nagoya University))

Abstract. We collect interesting properties of the Bergman mappings of homogeneous bounded domains, which were defined for bounded do-mains by S. Bergman. Also we show that the Bergman mappings of ho-mogeneous Siegel domains coincide with the Cayley transforms defined by R. Penney and T. Nomura, so that we can rephrase in a simple way the author’s characterization theorem of symmetric Siegel domains by the convexity of Cayley transform images.

1.

序

本講演では

,

等質有界領域に性質の良い有界領域実現を与える試みについてお話ししたい

.

ここで等質有界領域とは

,

有界領域

D

⊂ C

N

で

, D

の正則自己同相写像から成る群

(

有限次

元

Lie

群である

)

が推移的に作用しているものをいう

.

また有界領域が対称であるとは

,

領

域の各点に対して

,

それを孤立固定点とするような位数

2

の正則自己同相写像が存在するこ

とである

.

有界領域の標準的な

K¨

ahler

計量である

Bergman

計量に関して

,

対称有界領域は

非コンパクト型の

Hermite

対称空間となる

.

また対称有界領域は等質である

. 4

次元以上で

は非対称な等質有界領域が存在し

,

さらに

7

次元以上になると

,

等質有界領域の正則同相類

は各次元に連続無限個存在する

.

周知のように一次元では

Riemann

の写像定理により

,

複素平面全体と異なる任意の単

連結領域は単位円板に正則同相である

.

この事実は

, “

単位円板が一次元の等質有界領域の

標準的な 有界領域実現を与えている

”

と捉えることができる

.

さらに単位円板は

Cayley

変

換によって非有界な上半平面と写り合う

.

一般に対称有界領域は非コンパクト型の

Hermite

対称空間であるから

,

標準的な有界領域実

現である

Harish-Chandra

実現をもつ

.

単位円板がそうであるように

, Harish-Chandra

実現

はノルムに関する単位球として書くことができる

.

よってそれは凸集合であり

, N. Mok

と

I.-H. Tsai

による次の仕事が示すように

,

凸性は

Harish-Chandra

実現の特徴的な性質となって

いる

: “

ランクが

2

以上の既約な対称有界領域の有界領域実現で凸なものは

, Harish-Chandra

実現をアファイン変換で写したものに限る

[11].”

一方

,

任意の 等質 有界領域は

,

上半平面の高次元化である等質

Siegel

領域に正則同相であ

る

.

等質

Siegel

領域はアファイン等質な

,

形の整った領域であり

,

等質有界領域の標準的な

非有界 領域実現を与えている

.

対称有界領域の場合には

, Harish-Chandra

実現を対称

Siegel

領域に写す

Cayley

変換が

Kor´

anyi

と

Wolf

によって定義されている

[7].

非対称な等質有界領域の場合には

,

標準的な有界領域実現は存在しないのではないかと考え

られてきた

.

しかし性質の良い有界領域実現が存在するらしいということが

, R. Penney

や野

村隆昭氏によって独立に発見された

. Penney

は

, Harish-Chandra

実現の定義を少し変形す

ることによって等質な場合に拡張できることを示した

[17].

また

,

等質

Siegel

領域を彼の有界

領域実現に写す写像を

Cayley

変換と呼んだ

.

これは領域が対称な場合には

Kor´

anyi

と

Wolf

の

Cayley

変換

(

の逆変換

)

と一致する

.

また野村氏は

,

等質

Siegel

領域の

Laplace-Beltrami

作用素と

Berezin

変換の可換性が対称なものを特徴付けることを証明した際に

[12],

その可

1_{E-mail: kai@math.kyushu-u.ac.jp}

換性を表す式に有界領域実現が現れることを見つけ

,

それが

Penney

のものと一致すること

に気付いた

.

これは

Bergman

核に付随して定義されるものであったが

,

野村氏は

Szeg¨

o

核

に付随する

Cayley

変換も定義し

, [16]

で活用した

.

さらに

,

これら二つを含む

,

等質

Siegel

領域の

Cayley

変換の族を定義した

[15].

講演者はこの

Cayley

変換の族を用いて

,

その像の凸性によって対称

Siegel

領域を特徴付

けた

[6].

対称

Siegel

領域の

Cayley

変換の像である

Harish-Chandra

実現の凸性の重要性

は

Mok

と

Tsai

の仕事でも示唆されているし

,

初等的な性質である凸性と高度な性質である

対称性が結び付くという現象は興味深い

.

しかしながら

,

等質

Siegel

領域の

Cayley

変換の

族がどのような有界領域実現を与えているか

,

すなわち

,

それのもつ内在的な意味が何かと

いうことは明らかではなかった

.

このような状況の中で

,

その解決の糸口となる可能性がある次のいくつかの事実が明らか

になった

.

まず

, S. Bergman

が有界領域

(

に正則同相な領域

)

に対して代表領域なるものを

定義し考察していたことである

.

その目的は

,

高次元の領域を分類するために

,

領域の正則

同相類の代表元を選び出すことであった

.

次に

,

等質有界領域の代表領域が有界領域実現を

与えることを

Xu Yi-Chao

が証明していたという事実である

[18] (Xu

は

,

有界領域を代表領

域に写す写像を

Bergman

写像と呼んだ

).

そして

,

等質

Siegel

領域に対して

Bergman

写像

を考えると

, Bergman

核に付随する

Cayley

変換と一致することが

,

今回の共同研究で確認

された

.

Bergman

写像は

Bergman

核を用いて非常に簡潔に定義でき

,

有界領域の間の正則同相写

像が代表領域の間のユニタリ写像になるなどの

,

著しい性質をもつ

(

§2).

また等質有界領域

の場合には

,

代表領域は同じく

S. Bergman

が考察した極小領域にもなる

(

§3).

極小領域と

は

,

ある意味で

Euclid

体積を極小にする領域のことである

.

いま述べた

Bergman

写像は有界領域の標準的な

K¨

ahler

計量である

Bergman

計量に付

随するものであるが

,

ある種の

K¨

ahler

多様体のクラスにおいて同様の写像を考えることが

できる

.

これを一般

Bergman

写像と呼ぶ

(

§4). K¨ahler

多様体として

,

等質

Siegel

領域とそ

の上の等質

K¨

ahler

計量を考えると

2

,

次の事実が得られる

(

§5): “

等質

Siegel

領域の

Cayley

変換の族は

,

等質

Siegel

領域の等質

K¨

ahler

計量に付随して定義される一般

Bergman

写像

の族である

.”

これによって

,

講演者が証明した定理

[6]

を次のように簡潔に言い換えることが

できる

: “D

を等質有界領域とし

, h

をその上の等質

K¨

ahler

計量とする

.

このとき

, h

に付随

する一般

Bergman

写像

σ

h

の像

σ

h

(D)

が凸であるための必要十分条件は

, D

が対称であり

,

かつ

h

が

Bergman

計量の正の定数倍となっていることである

.”

一般

Bergman

写像がどれ

くらい広いクラスの

K¨

ahler

多様体に対して意味をもつのか

,

あるいはまた

,

一般

Bergman

写像の像が元々の

K¨

ahler

多様体の情報をどれだけ保存するかといった問題は

,

今後の課題

である

.

2. S. Bergman

の代表領域

D

⊂ C

N

を有界領域に正則同相な領域とする

. D

の

Bergman

空間

H

2

(D) (D

上の二乗可

積分な正則関数から成る

Hilbert

空間

)

は

Bergman

核と呼ばれる再生核

K

D

: D

× D → C

をもつ

.

具体的に書くと次のようになる

:

{ψj

(z)

}j

を

H

2

(D)

の正規直交基底とすると

,

KD

(z, ζ) =

∑

j

ψj

(z)ψ

j

(ζ).

2_{Dorfmeisterと中島和文氏による次の基本定理によって,等質K¨ahler多様体のクラスにおける等質有界領} 域の位置付けが理解できる: “任意の等質K¨ahler多様体は,等質有界領域を底空間とし,平坦な等質K¨ahler多 様体と単連結でコンパクトな等質K¨ahler多様体の直積をファイバーとする正則ファイバー束の構造をもつ(複 素多様体としては,これら3つの直積となる).”

Bergman

核は有界領域の標準的な

K¨

ahler

計量である

Bergman

計量を定める

:

ds

2_D

:=

N

∑

j,k=1

∂

∂zj

∂zk

log K

D

(z, z)dz

j

dz

k

.

z, ζ

∈ D

に対して

,

TD

(z, ζ) :=









∂2 ∂ζ1∂z1

log K

D

(z, ζ)

· · ·

∂2 ∂ζ1∂zN

log K

D

(z, ζ)

..

.

..

.

∂2 ∂ζN∂z1

log K

D

(z, ζ)

· · ·

∂2 ∂ζN∂zN

log K

D

(z, ζ)









とおく

. z = ζ

のとき

, T

D

(z, z)

は

Bergman

計量を表す正定値

Hermite

行列である

.

以後簡

単のために

T

D

(z, z)

を

T

D

(z)

と書く

. φ : D

→ D

∼ ′

を正則同相写像とする

. φ

は

Bergman

計

量に関して等長であるから

,

T

D

(z) =

t

∂φ

∂z

(z) T

D′

(φ(z))

∂φ

∂z

(z)

(2.1)

が成立する

.

より一般に次の変換則が成り立つ

:

TD

(z, ζ) =

t

∂φ

∂ζ

(ζ) T

D′

(φ(z), φ(ζ))

∂φ

∂z

(z).

(2.2)

ある点

p

∈ D

が存在して

, K

D

(z, p)

̸= 0 (z ∈ D)

を満たすと仮定する

.

点

p

における

Bergman

写像

σ

p_D

: D

→ C

N

は次のように定義される

:

σ

p_D

(z) := T

D

(p)

− 1 2

grad

ζ

log

KD

(z, ζ)

K

D

(p, ζ)

¯¯

¯¯

ζ=p

(z

∈ D).

ただし反正則関数

f (ζ)

に対して

,

grad

_ζ

f (ζ) :=

(

∂f

∂ζ

₁

, . . . ,

∂f

∂ζ

_N

)

とおいた

. S. Bergman

は像

σ

p_D

(D)

を

D

の代表領域と呼んだ

.

注意

. σ

_Dp

を

Bergman

写像と呼んだのは

Xu

である

.

代表座標と呼ばれることもある

.

¤

定義から明らかに

, σ

p_D

(z)

は

z

に関して正則である

.

また

σ

_Dp

(p) = 0

である

. σ

_Dp

の正則

Jacobi

行列は次のようになる

:

∂σ

p_D

∂z

(z) = T

D

(p)

−1 2

T

_D

(z, p).

(2.3)

よって一般には

Bergman

写像は局所的にも正則同相とは限らないので

,

代表

“

領域

”

が領域

でないこともある

.

φ : D

→ D

∼ ′

を正則同相写像とする

.

L(φ, p) := T

D′

(φ(p))

− 1 2 t

∂φ

∂z

(p)

−1

T

D

(p)

1 2

とおくと

, (2.1)

より

L(φ, p)

はユニタリ行列となる

.

次の命題は

Bergman

写像の特に著し

い性質である

.

命題

2.1. Bergman

写像は

φ

を線型化する

:

σ

φ(p)_D′

◦ φ = L(φ, p) ◦ σ

Dp

.

特に像に関して

,

次の関係が成立する

:

σ

_Dφ(p)′

(D

′

) = L(φ, p)(σ

p_D

(D)).

D

_∼φ // σp_D  ˘

D

′ σφ(p) D′ 

C

N L(φ,p)//

_C

N

例

2.2. D

を単位円板

{z ∈ C ; |z| < 1}

とする

. Bergman

核は

KD

(z, ζ) = π

−1

(1

− zζ)

−2

で与えられ

,

∂ ∂ζ

log K

D

(z, ζ) = 2z(1

− zζ)

−1

_{, T}

D

(z, z) = 2(1

− |z|

2

)

−2

となる

.

よって

p

∈ D

に対し

,

σ

p_D

(z) =

1

− |p|

2

√

2

(

2z

1

− zp

−

2p

1

− |p|

2

)

=

√

2(z

− p)

1

− zp

.

ゆえに代表領域

σ

p_D

(D)

は半径

√

2

の開円板となる

.

以下の

2

つの領域

D

は単位円板に正則同相であるが

,

命題

2.1

が示すとおり

,

代表領域は

半径

√

2

の開円板となることが確かめられる

.

• D

を上半平面

{z ∈ C ; ℑz > 0}

にとる

. Bergman

核は

K

D

(z, ζ) = π

−1

(

z−ζ_i

)

−2

で

あり

,

∂ ∂ζ

log K

D

(z, ζ) = 2(z

− ζ)

−1

, T

D

(z, z) = 2(

z−ζ_i

)

−2

となる

.

よって

p

∈ D

に

対し

,

σ

_Dp

(z) =

√

1

2

(

p

− p

i

) (

2

z

− p

−

2

p

− p

)

=

√

2i

z

− p

z

− p

.

p = i

にとると

,

よく知られた

Cayley

変換の定数倍に一致する

.

• D

を帯状領域

{z ∈ C ; −1 < ℜz < 1}

にとる

.

KD

(z, ζ) = π(16 cos

2

(π(z + ζ)/4))

−1

,

∂ ∂ζ

log K

D

(z, ζ) =

π 2

tan(π(z + ζ)/4),

TD

(z, z) = π

2

_{(8 cos}

2

_{(π(z + z)/4))}

−1

となる

.

よって

p

∈ D

に対し

,

σ

_Dp

(z) =

√

2 cos(π(p + p)/4)

{tan(π(z + p)/4) − tan(π(p + p)/4)}.

¤

代表領域

σ

_Dp

(D)

の性質をいくつか挙げておこう

. σ

_Dp

が正則同相写像であると仮定する

.

(2.3)

と

(2.2)

より

,

T

_σp D(D)

(w, 0) = E

N

(w

∈ σ

p D

(D))

(2.4)

を得る

(E

N

は

N

次の単位行列を表す

).

これと

∂σ_Dp ∂z

(p) = T

D

(p)

1/2

_より

_L(σ

p D

, p) = E

N

と

なるので

,

命題

2.1

で

φ = σ

_Dp

とおいて

,

σ

0_σp D(D)

(w) = E

N

(w

∈ σ

p D

(D))

が成立する

.

3.

等質有界領域の

Bergman

写像

前節で述べたように

, Bergman

写像は正則同相写像であるとは限らないし

,

像が領域にな

らないこともある

.

しかし等質有界領域の場合には

, Bergman

写像は非常にうまく機能し

,

性質の良い有界領域実現を与える

. Xu Yi-Chao

は次のことを証明した

.

定理

3.1. D

⊂ C

N

を等質有界領域とし

, p

∈ D

を任意の点とする

.

このとき

KD

(z, p)

̸=

0 (z

∈ D)

であり

, Bergman

写像

σ

_Dp

は有界領域

σ

_Dp

(D)

への正則同相写像を与える

.

注意

.

定理

3.1

において

, p

∈ D

の選び方は本質的ではない

.

すなわち

p

と異なる点

p

′

をとっ

たとしても

, D

の等質性から

p

を

p

′

に写す

φ

∈ Hol(D)

が存在し

, σ

p_D

と

σ

_Dp′

はユニタリ写像

L(φ, p)

の分しか違わない

.

¤

例

2.2

で上半平面の

Bergman

写像が

Cayley

変換と定数倍を除いて一致することをみた

.

上半平面の一般化である

Siegel

領域に対しても

,

次の命題が成立する

(

詳細は

§5

で後述

):

命題

3.2 (

伊師

,

甲斐

). D

⊂ C

N

を等質

Siegel

領域とする

.

適当な点

p

∈ D

を選ぶことに

よって

, Bergman

写像

σ

_Dp

は

Bergman

核に付随して定義される

Cayley

変換

(R. Penney

[17],

野村隆昭

[14])

と一致する

.

対称

Siegel

領域の場合には

, Bergman

核に付随する

Cayley

変換は

Kor´

anyi

と

Wolf

が

定義した

Cayley

変換に一致するから

,

次のことがわかる

.

命題

3.3.

対称有界領域の代表領域は

Harish-Chandra

実現と一致する

.

3.1.

代表領域の属する

affine

同相類

. D

⊂ C

N

を等質有界領域とし

, p

∈ D

を任意の点と

する

. σ

_Dp

: D

→ C

N

は正則同相写像であるから

, (2.4)

のような一定性がある

.

命題

3.4. D

と正則同相な領域

D ⊂ C

N

で

,

“

∃t ∈ D s.t. T

_D

(z, t) (z

∈ D)

は定数行列

”

を満たす

D

から成るクラス

A

は

,

一つの

affine

同相類を成す

.

証明

.

D ∈ A

とし

, t

∈ D

に対して

T

_D

(z, t) (z

∈ D)

が定数行列であるとする

. ψ

を

C

N

上の

非退化な

affine

変換とする

.

D

′

:= ψ(

D)

とおく

. (2.2)

より

,

T

_D

(z, t) =

t

∂ψ

∂z

(t) T

D′

(ψ(z), ψ(t))

∂ψ

∂z

(z)

が成立するので

, T

_D′

(w, ψ(t)) (w

∈ D

′

)

は定数行列である

.

次に

,

D, D

′

∈ A

とし

, T

_D

(z, t) (z

∈ D), TD

′

(w, t

′

) (w

∈ D

′

)

がそれぞれ定数行列であると

する

.

D

は等質だから

, ψ(t) = t

′

となる正則同相写像

ψ :

D

→ D

∼ ′

が存在する

.

再び

(2.2)

よ

り

∂ψ_∂z

(z)

は定数行列となり

,

これは

ψ

が

C

N

上の非退化な

affine

変換に拡張されるというこ

とに他ならない

.

¤

注意

. D

が等質でない場合には一般に

,

代表領域

σ

_Dp

(D)

が属する

affine

同相類は

,

点

p

∈ D

の取り方に依存する

.

3.2.

代表領域の体積の極小性

.

定義

3.5.

D ⊂ C

N

を体積有限な領域とする

.

D

が

t

∈ D

を中心とする極小領域であるとは

,

次のことをいう

:

det

∂φ

∂z

(t) = 1

である任意の正則同相写像

φ :

D

∼

→ D

′

に対して

, vol(

D

′

)

≥ vol(D)

となる

.

一般に代表領域は極小領域ではないが

,

等質有界領域の場合には次のことが言える

.

命題

3.6 (

伊師

,

甲斐

).

等質有界領域の代表領域は原点を中心とする極小領域である

.

命題の証明を述べる前に補題を準備する

.

補題

3.7. D

⊂ C

N

を等質有界領域とすると

,

K

D

(z, ζ)

det T

D

(z, ζ)

= const.

(z, ζ

∈ D)

証明

.

任意に

z

1

, z

2

∈ D

をとる

. D

は等質だから

, φ(z

1

) = z

2

となる

φ

∈ Hol(D)

が存在する

.

K

D

(z

1

, z

1

) = K

D

(z

2

, z

2

)

¯¯

¯¯det

∂φ

_∂z

(z

1

)

¯¯

¯¯

2

,

det T

D

(z

1

, z

1

) = det T

D

(z

2

, z

2

)

¯¯

¯¯det

∂φ

_∂z

(z

1

)

¯¯

¯¯

2

より

, K

D

(z, z)/ det T

D

(z, z) (z

∈ D)

は定数である

. K

D

(z, ζ), det T

D

(z, ζ)

は

z

に関して正

則

, ζ

に関して反正則だから

z = ζ

の時の値で決まる

.

ゆえに結論が得られる

.

¤

命題

3.6

の証明

. D

⊂ C

N

を等質有界領域とし

, p

∈ D

を任意の点とする

.

D := σ

_Dp

(D)

とお

く

. φ :

D

→ D

∼ ′

を

, det

∂φ_∂z

(0) = 1

を満たす任意の正則同相写像とする

.

まず

,

vol(

D

′

) =

∫

D′

dw =

∫

D

¯¯

¯¯det

∂φ

_∂z

(z)

¯¯

¯¯

2

dz.

D

の

Bergman

空間の元

f (z)

で

, f (0) = 1

を満たし

∥f(z)∥L

2

を最小にするものは

f (z) =

K

_D

(z, 0)/K

_D

(0, 0)

で与えられることが知られている

(

この事実は

D

が等質でなくても成立す

る

).

また

(2.4)

より

det T

_D

(w, 0) (w

∈ D)

は定数であるから

,

補題

3.7

より

K

_D

(w, 0) (w

∈ D)

も定数である

.

よって

vol(

D

′

)

≥

∫

D

¯¯

¯¯

K

D

(z, 0)

K

_D

(0, 0)

¯¯

¯¯

2

dz = vol(

D)

となり

,

D

は原点を中心とする極小領域である

.

¤

注意

.

D ⊂ C

N

を

t

∈ D

を中心とする極小領域とする

.

正則同相写像

φ :

D

→ D

∼ ′

が

det

∂φ_∂z

(z) = const. (z

∈ D), φ(t) = t

′

を満たすとすると

,

D

′

は

t

′

を中心とする極小領域で

ある

.

3.3.

代表領域の凸性

.

等質

Siegel

領域の

Cayley

変換の像の凸性によって対称

Siegel

領域

を特徴付けた

[6, Theorem B, Theorem 3.1]

は次のように言い換えることができる

(

ここで

の

Cayley

変換は

Bergman

核に付随して定義されるものである

.

一般の場合の定理の再定

式化は定理

4.5

で行う

):

定理

3.8. D

⊂ C

N

を等質有界領域

, p

∈ D

を任意の点とする

.

このとき

,

代表領域

σ

_Dp

(D)

が凸集合

⇐⇒ D

が対称

.

3.4.

代表領域の

“

対称性

”. Hol(D)

の点

p

∈ D

における固定部分群を

Iso

p

(D)

で表す

:

Iso

p

(D) :=

{φ ∈ Hol(D) ; φ(p) = p}.

φ

∈ Isop

(D)

とすると

,

命題

2.1

より

L(φ, p)

は代表領域

σ

p_D

(D)

を保存する

. Iso

p

(D)

の

“

大

きさ

”

について

,

次のことが言える

.

定理

3.9 (

伊師

).

dim Iso

p

(D)

≥ 1.

定理

3.8

より

,

非対称な等質有界領域の代表領域は凸ではないが

,

定理

3.9

から

,

ある程度

の

“

対称性

”

はもっている

.

4.

一般

Bergman

写像

Bergman

写像は次のようにして

,

自然に一般化される

. (M, h)

を

N

次元の

K¨

ahler

多様

体とし

,

次のような関数

ψ : M

× M → C

が存在すると仮定する

:

(i) ψ

は第一変数に関して正則

,

第二変数に関して反正則である

.

(ii)

各点

z

∈ M

で

,

正則局所座標

(z

1

, . . . , z

N

)

に関して次のように表せる

:

h(z) =

N

∑

j,k=1

∂

2

∂zj∂zk

ψ(z, z)dzjdzk.

このような関数

ψ

を

K¨

ahler

計量

h

のポテンシャル核と呼ぶことにする

. z

∈ M

に対し

,

反

正則関数

ψ

z

_{: M}

_{→ C}

_を

_ψ

z

_{(ζ) := ψ(ζ, z)}

_{で定義する}

_{. p}

_{∈ M}

_をとる

_.

_一般

_Bergman

_写

像

σ

_M,hp

: M

→ T

∗

M

p(0,1)

は次のように定義される

:

σ

_M,hp

(z) := ∂ψ

z

(p)

− ∂ψ

p

(p)

(ζ

∈ M).

明らかに

σ

_M,hp

は正則であり

, σ

_M,hp

(p) = 0

である

. σ

p_M,h

は

p

∈ M

の選び方に依存するが

,

ポ

テンシャル核の取り方には依らない

:

補題

4.1. e

ψ : M

× M → C

も

K¨

ahler

計量

h

のポテンシャル核であるとする

.

このとき

,

∂ψ

z

(ζ) = ∂ e

ψ

z

(ζ) (z, ζ

∈ M).

K¨

ahler

多様体

(M

′

, h

′

)

への等長な正則同相写像

φ : M

→ M

∼ ′

が存在するとしよう

.

この

とき

K¨

ahler

計量

h

′

のポテンシャル核

ψ

′

が自然に誘導される

:

ψ

′

(z

′

, ζ

′

) := ψ(φ

−1

(z

′

), φ

−1

(ζ

′

))

(z

′

, ζ

′

∈ M

′

).

次の命題は命題

2.1

の一般化にあたる

:

命題

4.2.

右の図式は可換である

.

すなわち

,

φ

∗

◦ σ

_Mφ(p)′,h′

◦ φ = σ

p M,h

が成立する

.

¤

M

_∼φ // σp_M,h  ˘

M

′ σφ(p) M ′,h′ 

T

∗

M

p(0,1)

T

∗

M

′(0,1)φ(p) φ∗ oo

注意

. T

∗

M

p(0,1)

, T

∗

M

_p′(0,1)′

にそれぞれ

h, h

′

から誘導される

Hermite

計量に関して

, φ

∗

はユ

ニタリ写像である

.

4.1.

等質有界領域の等質

K¨

ahler

計量に付随する一般

Bergman

写像

.

次の命題について

は

§5

で詳しく述べるが

,

先に結果を挙げておく

.

命題

4.3 (

伊師

,

甲斐

).

等質

Siegel

領域の適当な点をとり

,

等質

K¨

ahler

計量の族に付随し

て定義される一般

Bergman

写像の族を考えると

,

それは等質

Siegel

領域の

Cayley

変換の

族

[15]

に一致する

.

このことから次の命題を得る

.

命題

4.4. D

を等質有界領域とし

, h

を

D

上の等質

K¨

ahler

計量とする

.

任意に

p

∈ D

をと

る

.

このとき

,

一般

Bergman

写像

σ

_D,hp

は

D

を 有界 領域

σ

p

(D)

に正則同相に写す

.

これを踏まえて

,

講演者が証明した対称

Siegel

領域の特徴付け定理

[6, Theorem B,

The-orem 3.1]

の再定式化を行う

:

定理

4.5. D

を等質有界領域とし

, h

を

D

上の等質

K¨

ahler

計量とする

.

任意に

p

∈ D

をと

る

.

このとき

,

σ

h_p

(D)

が凸である

⇐⇒

{

• D

が対称

,

• h

が

Bergman

計量の正の定数倍

.

5.

等質

Siegel

領域の

Cayley

変換の族と一般

Bergman

写像

本節では等質

Siegel

領域の上の等質

K¨

ahler

計量を記述し

,

それに付随して定義される一

般

Bergman

写像の族が

Cayley

変換の族と一致することを見る

.

まず

Siegel

領域の定義を

確認しよう

. V

を有限次元の実ベクトル空間とし

,

その中に直線を含まない開凸錐

Ω

が与え

られているとする

. W := V

C

(V

の複素化ベクトル空間

)

とおく

.

もうひとつ別の

,

有限次元

の複素ベクトル空間

U

が与えられているとする

. Hermite

写像

Q : U

× U → W (

第一変数

に関して複素線型

,

第二変数に関して複素反線型とする

)

が

Ω

正値であるとする

(

これは正

定値性の高次元化である

):

∀u ∈ U \ {0}, Q(u, u) ∈ Ω \ {0}.

このとき

, Siegel

領域

D

が次のように定義される

:

D :=

{(u, w) ∈ U × W | ℑw −

1₂

Q(u, u)

∈ Ω}.

(5.1)

U

は

U =

{0}

であってもよい

.

このとき

Q

は自明であり

, D = V + iΩ

の形となる

.

この

D

を管状領域

(

または第

1

種

Siegel

領域

)

と呼ぶ

.

例

.

• V := R, Ω := R>0

のとき

,

管状領域

D = V + iΩ

は上半平面に他ならない

.

• V := Sym(n, R), Ω := Sym(n, R)

+

_(n

_{次の正定値実対称行列の成す錐}

₎

_のとき

_,

_管状領

域

D = V + iΩ

は

Siegel

上半平面と呼ばれる古典的な

Hermite

対称空間である

. D

は

Cayley

変換

w

7→ (w − iEn

)(w + iE

n

)

−1

(E

n

は

n

次の単位行列

)

によって

, III

型の対称有界領域

{w ∈ V

C

= Sym(n,

C) ; E

n

− ww

∗

≫ 0}

に正則同相で

ある

.

• V := R, Ω := R>0

, U =

C

N−1

, Q(u

1

, u

2

) := u

1

· u

2

(

複素ユークリッド内積

)

と定義す

る

. Q

は正定値なので

Ω

正値である

.

これらから定義される

Siegel

領域

D =

{(u, w) ∈ C

N−1

× C | ℑw −

1₂

|u|

2

> 0

}

は

, Cayley

変換

(u, w)

7→

(

_2u

w + i

,

w

− i

w + i

)

によって

,

C

N

_{の単位球と正則同相である}

_.

•

上記の

3

つの領域はいずれも対称である

.

最後に非対称な等質領域の例を挙げておく

.

実

ベクトル空間

V

を

V :=







v =





v

0

1

v

0

3

v

v

24

v

2

v

4

v

5



 ; v

j

∈ R







.

と定義し

,

Ω :=

{v ∈ V ; v ≫ 0}

とおく

. Ω

は自己双対ではない等質錐であり

,

それに対応して

D = V + iΩ

は非対称な等

質管状領域となる

.

5.1.

等質

Siegel

領域の等質

K¨

ahler

計量

. D

を

(5.1)

で定義される

Siegel

領域とする

.

さ

らに

D

は等質であるとする

.

このとき

Ω

は等質錐となる

.

すなわち

, Lie

群

G(Ω) :=

{g ∈ GL(V ) | g(Ω) = Ω}

が

Ω

に推移的に作用している

.

D

上の任意の等質

K¨

ahler

計量を次のように記述することができる

.

まず

, Ω

に単純推移

的に作用するような

, G(Ω)

の分裂可解な部分群

H

が存在する

.

任意に

E

∈ Ω

をとり

,

固定

する

. ∆ : Ω

→ R>0

を

H

相対不変関数とする

.

対称双線型形式

⟨x|y⟩

∆

:= D

x

D

y

log ∆(E)

(x, y

∈ V )

(D

x

は

x

方向の方向微分を表す

)

が正定値な内積を定めるとき

, ∆

は認容的であると言うこ

とにする

.

∆ : Ω

→ R>0

を認容的な

H

相対不変関数とする

. ∆

は

Ω + iV

上の正則関数に解析接続さ

れる

. ψ

∆

: D

× D → C

を

ψ

∆

((u

1

, w

1

), (u

2

, w

2

)) := log ∆(

−i(w

1

− w

2

)

− Q(u

1

, u

2

))

((u

j, wj

)

∈ D)

と定義する

. z

∈ D

における正則接ベクトル空間

T M

z(1,0)

を自然な方法で

U

× W

と同一視

し

, Hermite

計量

h

∆

を

で定義する

(

ただし通常のように

, ∂

v

:= (D

v

− iDiv

)/2, ∂

v

:= (D

v

+ iD

iv

)/2 (v

∈ U × W )

とおいた

). h

∆

は

ψ

∆

をポテンシャル核とする

D

上の

K¨

ahler

計量である

.

しかも等質で

ある

.

注意

. h

∆

の等質性は本稿の説明では明らかでないが

,

等質

Siegel

領域に付随する正規

j

代

数を考えると

,

理解しやすい

.

すなわち

,

等質

Siegel

領域

D

の正則自己同型群

Hol(D)

の分

裂可解な部分群

G

で

, D

に単純推移的に作用するものが存在し

,

その

Lie

環

g

は正規

j

代数

の構造をもつ

.

実は

,

本稿の

“

認容的な

∆”

は

“g

上の認容的線型形式

f

∆

”

に対応していて

, f

∆

は

g

上に複素構造で不変な正定値

Hermite

内積を定める

.

これを

G

上に左不変に移し

,

軌

道写像を用いて

G

と微分同相な

D

に写すことによって

, D

上の等質

K¨

ahler

計量

h

∆

が定ま

る

.

¤

Dorfmeister

の結果

[2,

§3.3, Theorem 2], [2, §3.4, Theorem 1]

を使うことによって

,

非自

明な次の事実が得られる

.

命題

5.1.

等質

Siegel

領域

D

上の任意の等質

K¨

ahler

計量を

h

とする

.

このとき

,

認容的な

H

相対不変関数

∆ : Ω

→ R>0

が存在して

, (D, h)

と

(D, h

∆

)

は

K¨

ahler

多様体として同型に

なる

.

例

. V = Sym(n,

R), Ω = Sym(n, R)

+

の場合

. g

∈ GL(n, R)

び

V

への作用

ρ(g)

を

ρ(g)v :=

gv

t

g

で定義する

. Ω

に単純推移的に作用する分裂可解群は

H =

{ρ(g) | g ∈ GL(n, R), g

は対角成分が正の下三角行列

}

で与えられる

.

認容的な

H

相対不変関数は

∆

_(s1,...,sr)

:= det

−(s1−s2) [1]

· · · det

−(sn−1−sn) [n−1]

det

−s n [n]

(s

1

, . . . , s

n

> 0)

なる形の関数

(

の正の定数倍

)

である

.

ここで

det

[1]

, . . . , det

[n]

= det

は

,

主小行列式を左上

から順にとったものである

.

特に

, D = V + iΩ

の

Bergman

計量に対応する

H

相対不変関

数は

, ∆

(2d,...,2d)

(d := 1 + (n

− 1)/2)

で与えられる

.

5.2.

等質

Siegel

領域の

Cayley

変換の族

.

§5.1

に引き続き

, D

を等質

Siegel

領域とし

,

∆ : Ω

→ R>0

を認容的な

H

相対不変関数とする

. ∆

に付随する擬逆元写像

I

∆

: Ω

→ V

∗

を

次の等式によって定義する

:

⟨v, I

∆

(x)

⟩ = −Dv

log ∆(x)

(v

∈ V ).

注意

. Ω = Sym(n,

R)

+

⊂ V = Sym(n, R)

のとき

, x

∈ Ω

の逆行列は次のように特徴付けら

れる

:

tr(vx

−1

) =

−Dv

log det(x)

−1

(v

∈ V ).

すなわち

, V

上の正定値内積

(w, w

′

)

7→ tr(ww

′

)

で

V

∗

を

V

と同一視したときに

, x

−1

は

− grad log det(x)

−1

_{と一致する}

_{. Ω}

_{が一般の対称錐の場合も}

_,

_付随する

_Jordan

_{代数におけ}

る逆元は

,

トレース関数と行列式関数を用いて同様に特徴付けられる

.

このような意味で

,

擬

逆元写像

I

∆

は

Jordan

代数の逆元写像の拡張となっている

.

¤

I

∆

の主な性質をまとめておく

.

• Ω

の双対錐

Ω

∗

は

Ω

∗

:=

{f ∈ V

∗

| ∀x ∈ Ω \ {0}, ⟨x, f⟩ > 0}

と定義され

,

これも等質錐である

.

擬逆元写像

I

∆

は

Ω

から

Ω

∗

への全単射を与える

.

• I

∆

(E) = E

∆

.

ただし

E

∆

∈ V

∗

は

⟨v, E

∆

⟩ = ⟨v|E⟩

∆

(v

∈ V )

によって定まるものである

.

• I

∆

は

H

同変である

:

I

∆

(hx) = h

· I

∆

(x) (h

∈ H, x ∈ Ω).

ここで

·

は

H

の

V

∗

への反傾

作用を表す

(

⟨v, h · f⟩ = ⟨h

−1

v, f

⟩).

• I

∆

は双有理写像

I

∆

: W

→ W

∗

に拡張される

. V + iΩ

上では正則である

.

さて

, ∆

に付随する

Cayley

変換

C

∆

は次のような有理写像

U

× W → U

†

× W

∗

(U

†

は

U

上の複素反線型形式の空間

)

として定義される

:

C

∆

(u, w) := (

⟨2Q(u, ·), I

∆

(w + iE)

⟩, E

∆

− 2iI

∆

(w + iE))

((u, w)

∈ U × W ).

D

と

C

∆

(D)

は正則同相であり

,

C

∆

(D)

は有界である

[15, Theorem 4.20].

5.3.

一般

Bergman

写像としての

Cayley

変換

. D

上の反正則関数

f (z)

と

p

∈ D

に対し

,

∂f (p)

∈ T

∗

D

(0,1)p

を次のようにして

(U

× W )

†

の元と見る

:

⟨v, ∂f(p)⟩ = ∂vf (p)

(v

∈ U × W ).

命題

5.2 (

伊師

,

甲斐

). p := (0, iE)

∈ D

とおく

. Cayley

変換

C

∆

と一般

Bergman

写像

σ

p_D,h ∆

: D

→ T

∗

_D

(0,1) p

≃ (U × W )

†

との間には次の関係が成立する

.

σ

_D,hp ∆

=

1 2

C

∆

◦ θ.

ただし

θ(u, w) := (u, w)

である

.

References

1. S. Bergman, The kernel function and conformal mapping, Second, revised ed., Mathematical Surveys, no. V, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1970.

2. J. Dorfmeister, Simply transitive groups and K¨ahler structures on homogeneous Siegel domains, Trans.

Amer. Math. Soc. 288 (1985), 293–305.

3. S. G. Gindikin, Some remarks and problems on complex homogeneous domains, Sci. China Ser. A 49 (2006), no. 11, 1655–1661.

4. H. Ishi, On symplectic representataions of normal j-algebras and their application to Xu’s realizations

of Siegel domains, Differential Geom. Appl. 24 (2006), 588–612.

5. H. Ishi and C. Kai, The Bergman mapping of a homogeneous bounded domain, preprint.

6. C. Kai, A characterization of symmetric Siegel domains by convexity of Cayley transform images, Tohoku Math. J. 59 (2007), 101–118.

7. A. Kor´anyi and J. A. Wolf, Realization of Hermitian symmetric spaces as generalized half-planes, Ann. of Math. (2) 81 (1965), 265–288.

8. Q.-K. Lu, On Kaehler manifolds with constant curvature, Chinese Math.–Acta 8 (1966), 283–298. 9. , On the representative domain, Several complex variables (Hangzhou, 1981) (Boston, MA),

Birkh¨auser Boston, 1984, pp. 199–211.

10. M. Maschler, Minimal domains and their bergman kernel function, Pacific J. Math. 6 (1956), 501–516. 11. N. Mok and I.-H. Tsai, Rigidity of convex realizations of irreducible bounded symmetric domains of

rank≥ 2, J. Reine Angew. Math. 431 (1992), 91–122.

12. T. Nomura, Berezin transforms and Laplace-Beltrami operators on homogeneous Siegel domains, Diff. Geom. Appl. 15 (2001), 91–106.

13. , A characterization of symmetric Siegel domains through a Cayley transform, Transform. Groups 6 (2001), 227–260.

14. , On Penney’s Cayley tranform of a homogeneous Siegel domain, J. Lie Theory 11 (2001), 185–206.

15. , Family of Cayley transforms of a homogeneous Siegel domain parametrized by admissible linear

forms, Diff. Geom. Appl. 18 (2003), 55–78.

16. , Geometric norm equality related to the harmonicity of the Poisson kernel for homogeneous

Siegel domains, J. Funct. Anal. 198 (2003), 229–267.

17. R. Penney, The Harish-Chandra realization for non-symmetric domains in Cn, 1996, pp. 295–313. 18. Y.-C. Xu, Theory of complex homogeneous bounded domains, Mathematics and its Applications, vol.

569, Science Press/ Kluwer Academic Publishers, Beijing/ Dordrecht, 2005. 19. 野村 隆昭,等質Siegel領域の対称性条件をめぐって, 57 (2005), 350–368.