<紹介>経営のための不確実性理論入門

全文

(1)く紹. 介ノ. 経営のための不確実性理論入門笹. 井. 均. 人間の能力の限界を前提とすれば，我々は将来生じ得る結果について確定的に予知することほできない．つまり，意思決定というものは，つねに不確実性を伴. ことにより，現実の偶然事象のモデルを作ることになる. うものであるといえよ. 定の値をとる確率パ x. いま， Ⅹをそのような確率変数とすると， Ⅹが特. う. 経済主体の行動を分析する場合，不確実性という規点を導入すると取り扱い得る問題領域とその分析成果は飛躍的に増大する．不確実性と表裏一体の概念として情報という言葉がある．情報を不確実性を減らすための知識であると解釈すれば，不確実性の源泉は情報の不完全性にあると. ダ (ェ) 二三戸 (X 二カ三三 /0) Ⅰ玉Ⅰ. 不可分の関係にあることを意味する. 書ける・一方，Ⅹが連続確率変数の場合には，タ (x 二め二 0 となるが，. F)=rF M(ヱ =¥ /(f) 稜づ. 不確実性を所与として，それに対する適応を目的と. した受動的対応がある・前者は通常，情報の経済学，と. 後者は不確実性の経済学と呼ぼれている．. 書ける場合がある・このとき， (ぴ別において， /( ヱ). 実な現象を説明するモデルとして有用であることは広. 具についての入門的解説である．尚，本稿は，統計学. く. 知られているところである．偶然に支配される事象を取り扱う時には， 1 っだけ. の確率変数よりのが普通であ. 確率変数. 統計学では，観察の結果，又は実験の結果生じ得る可能な事象の集まりを標本空間と呼ぶ．標本空間には，生じ得る事象について，その確からしさという意味の測度，すなわち確率が与えられているということが前提となる．確率変数を標本空間上で定義された実数値関数であると定義する・偶然に支配される事象に対し，. 1 つの. 数を対応させ，その数が特定の値をとる確率を定める. Ⅰ. いくつかの代表的な分布関数は，実際に現れる不確. という視点から経営への接近を企ろうという学生にとって最小限必要と思われる基本的概俳と理論的分析用. 1.. (2. を確率変数Ⅹの密度関数と呼ぶ．. 本稿は，経営学部に入学し，不確実性，或は，情報. いる．. (1). ツ姉 Ⅰ. と. 不確実な事象が存在するとき，経済主体の対応として，不確実性それ自体の削減を目的とした能動的対応. についてのごく初歩的な知識のある学生を対象として. 分つ. ていれば，標本空間上の確率測度によって得られる・離散的な値のみをとる確率変数は稚傲確率変数，ある区間内の任意の値をとることができる確率変数は連椀確率変数と呼ばれる八め二タ (X 塞めで定義される関数列・ ) を確率変数 X の分布典故と呼ぶ・Ⅹが離散確率変数の場合には，. 考えることができる．このことは，情報と不確実性が. と. 二めは，Ⅹの対応関係が. ，むしろいくっかの確率変数を考えるる・. このとき， 2 つの確率変数Ⅹ， y を. 考え，Ⅹが特定の値ヱをとり，同時に y が特定の値ノをとる確率力は二ヱ， y= カを導入し，同様な考え方に基づいて定義された F ㏄，ガ， / ㏄，力は，Ⅹと y の同時分布関数，同時密度関数と呼ばれる．同時密度関数Ⅰ㏄，力に対して，パ r=. 目ア鮫，力. あ. るいは. f(z)=y+ / し，力みノをⅩの周辺密度関数とい一㏄㏄. ，. フ. ・. また，Ⅹ， y の密度関数をハェ ), 9( カとすると，すべてのらノに対して，. / し，カニアし ) で (めが成立するとき，Ⅹと y は独立であるという.

(2) 68 (68). 横浜経営研究. 第Ⅸ巻. 第. 1. 号 (19㏄ ). 彼の自由を得るまでの期待時間 ( 日数 ) を (9拭を用いて. よく知られているように，事象且1, んに対して，且Ⅰが起るという条件の下での A2 の起る確率 (条件つき確率 ) は，戸 (Al)キ 0 ならば. 計算せよ．. (3). ク (A2@Al)ニタ (AlUA カ /タ (Al). 2.. 期待効用. で定義される．いま，確率変数 x がヱの値をとる事象を Al とし，確率変数 y がノの値をとる事象を A2 とすると， A 、 nA2 はⅩ ， y がそれぞれヱおよびノを同時にとる事象であり，パ%lAl) はⅩがてなる値をとるという条件のもとで y がノという値をとる確率を示すことになる・結局㈹式から，Ⅹがヱに固定されているときの y の密度関数 (条件つき密度関数 ) は /( ヱ) キ 0 なら，. f(yl め. 二八ヱ，ノ ) げ (め. 0）. と考えることができる．もし， (4)式で条件つき密度関数を定義するとそれは (3広の拡張になっていることに注意しょう．ヱの関数択りについて，め (Ⅹ ) の期待値を，. E [<6( ヱ)]= め. め. ㈲ / は )dx,. (5) X が連続のとき. (め Ⅰ ヱのときの期待値，すなわちⅩ. の期待値 (平均使 ) を，ダ. と. は，あるⅠつの行動に対してただ 1 つめ結果が対応するが，不確実な世界では，ある 1 っ 0 行動に対し状. 態と呼ばれる意思決定主体が制御できない外的環境に依存して複数の結果が生じ，その対応関係は複雑になる．このょうな不確定性を含んだ状況において，意思決定主体は自己の決定規準を設定し，最適な行動の選択を行わなければならない．. 上記の 3 つの概念と決定規準によって構成されるこ. 確率変数Ⅹの密度関数を八めとする・Ⅹの実現値. と定義する．. 意思決定問題をモデル化する際に用いられる基本的概念は，行劫または決定の集合，結果または成果の集合，状態の集合のつである・確定的な世界において. (6). =E[X]. 書くと， 9 は ) 二 % 一め ' のときの 9( Ⅹ ) の期待値，. つまり，が =Var[X]. ）. Ⅰ E[(X 一のり. （. は， X の分散 (平均値の周りの 2 次の積率 ) と呼ぼれ. のような考え方が，不確実性下における意思決定モデルの基本的な理論構造である．以下では，行動，状態，結果はすべて実数によって規定されるものとする．. 最もよく知られた決定規準として，期待忙美学がある．期待値の大小によって行動の選択を順序づけるという考え方である・しかしながら，期待値規準は，しばしば不合理な選択を導くことがある・聖ペテルスブルグのパラドックスとして知られている例を紹介することにしょう． Ⅰ枚のコインを表が出るまで投げ続. 2n 円受けるという賭を考える・この賭から得られる期待値は刃 2"(1) Ⅰ け，れ回目で始めて表が出れば. ラー. る．. Ⅹをよに固定したときの礫 X,Y)) の期待値， E ゆぽ，のl 日 = 刀め (あカア 3,@め =. Ⅰめ. ㏄，カ /(y@めピノ. ㏄となる．したがって，例えば 10 億円確実に受けとる. ）. （. は， x 二ヱが与えられたときの 9( ,,Y)の条件つき期行使と呼ぼれる．容易に検証されることであるが，次の等式は極めて高い利用価値をもっ結果である・ E け (x,y)] 二 E は Ⅳ ぽ，のlG Ⅱ (問 ). ある捕虜が 3. 竹. という行動とこの緒に参加するという行動を期待値規準によって比べた場合，つねに後者が選択されるということになる・明らかにこのような選択をする人は多くない．期待値規準は意思決定主体の不確実性に対する態度や価値観を十分に反映した基準ではないと推論できる．. (9). つのドアをもっ独房に収容されて. 金銭表示による利得の期待値そのものを比較するのではなく，利得のもつ決定主体の主観的価値を効用と. 定義し，効用の期待値の大小によって選択を結論づけ. 2. るという考え方がある．不確実性に直面した意思決定. 番目のドアを出るとⅠ日間費やした後にトンネルを通. 主体は，ある種の効用関数の期待値を最大化するよう. らされ再び独房にもどり，. に行動しているという前提に立脚するいわぬる期待効用規準と呼ぼれるものである・. いる． 1 番目のドアを出ると直ちに自由が得られ，. 3 番目のドアについては 3. 日間費やした後に独房にもどるものとする・. 捕虜は 3. つめドアのどれも等しい確率で選ぶものとするとき，. フォン・ノイマン. 吉. モルゲンシュテルンは，行動に.

(3) 経営のための不確実性理論入門. (笹井. (69)@69. 均). よって実現する結果 (成果 ) が不確実な状態に依存して. するくじ (期待 = 刃より，その方を選拝する．この意. 決まるとき，意思決定主体の行動が合理性に関するい. 味で危険回達的であるという．. くつかの公理を満たすなら，各行動の結果に対する効用を特定化するような効用関数が存在し，それほ正の 1 次変換の範囲で一意的に定まるということをた．このような (基数的 ) 効用関数はノイマン. ニ. 示しモルゲ. ア一会主㏄ノ 0 と置くと，ぴは)= と. ㏄. ほ一め. 二 Ez. レ (刃 ]. したがって，㏄は，おを中心に考えて篆. 書ける・. または洩と不確実に変動する成果Ⅹを避けて，確定. ンシュテルンルの効用関数と呼ばれる．多くの場合，. 的な成果あを得ることができるなら. 行動によって実現される結果としてほ金銭的利得を考えることが多い．. を断俳し犠牲にしてもよい伎払ってもよい ) と考える最大限度量と解釈できる．この㏄は保険プレミアム. いま，効用関数の存在を前提とすれば，行動の選択，同じことであるが，結果集合上の確率分布の選択. 或いは，危険コストという意味で ( マイナスの ) 危険. ， % を得ること. プレミアと呼ばれる．. が実数値である期待効用値の大小によって表現される. ということになる・すなわち，㍗は), ダ (,c)を行動 ",6 によって確率変数である結果Ⅹ 二ヱが実現する密. 甘わに. 度関数， u¥ めを結果てに対する効用関数とすれば・ E 。㎏ (め ]=Z,u はげ Ⅱ 力二 E 。レ㏄ )]. め. ⅠⅩ㎡カダし ). d 片み. ㈹. である．ここで， d 卜みほ d はみより選好されるという. 意味の記号である．. イ. 効用関数. 3.. 意思決定主体の不確実性に対する態度を規定する代表的な効用関数. u. 舌. 0. 金. 元. た. Ⅹ、. 仕 ) について説明することにする．. 以下では，簡単のため，離散分布，とくに 2 つの結果のみをとる場合，例えば確率戸で結果篆を，確率 1 一戸. もし，効用関数が凸関数であれば事態はまったく逆転しその場合には危険愛好的であるという・更に，. で結果砂を実現するくじをとりあげて説明するが，. 効用関数が線形の場合にほ，明らかに期待値のみで選. そこで得られる結論は容易に一般化可能である・更に現実性という観点から， u(x) は単調増加関数とする・まず，意思決定主体の効用関数が凹関数となる場合を考える・確率クで結果 X 二ヱ，を確率 1 一戸で結果 Ⅹ =Xt を実現するくじについて，その期待値は. 好が定まり，危険中立的と. ア三タ簗十. (1 一め乃，. 次の 2 つの行動があり，㎡一 200) Ⅰ 0,㎡ 1 ㏄ ) 二. (問 ). 0 ． 4, ㎡ 200)=0 勉. ・. 6 であ. る・. : 確実に 1 ㎝万円を得る. at: 確率キで 2 ㏄万円を得るか，確率臣で 200 万円を失．この意思決定者の危険に対する態度を規定. 幼く砂. であり，期待効用値は. う. Ez[u( 刃 ] 二神㏄1)+(1 一戸ル㏄ 2) となる．. 呼ばれる・. せよ．. また，確率変数 x により得られる期待効用. 水準と同一水準の効用をもたらす確定的な結果，すなわち. アローニプラットは. (増加効用関数に. 対して. ). 危険. 回避の尺度として絶対的危険回避関数、) ぴ. (金) 二 El り (X)]. 任D. となる全は，確実同値Ⅰと呼ばれる・㎡めは固関数であるから，図から明らかなよ. う. に，つねに全くアと. なる．したがって，固形効用関数を有する意思決定者は，もし確定的にヱが得られるなら，不確実に変動. ㎡め. 搬. = 一芸. 艮一嘉. {Iog u,( ヱ冶. (ID. 任意のてに対して rCめノ 0 なら危険回避的，㎡めく0 なら危険愛好的， r(,c)=0 なら危険中を導入した・. 立的となる．.

(4) 70@ (70). 横浜経営研究. 第 1 号 (1988). 第Ⅸ巻. れ. 4. 応. 用. 個の経済主体があり， i 番目の主体の生み出す利. 得を確率変数苗とする・為の期待値を胆Ⅰ E Ⅸ@f], 分散を弓 '=E[( 照一 %)2] と置く．れ個の経済主体が. 例. (1) 保険契約鈴ある事故のリスクを保険会社 B に移転しようと考えている企業 A がある．企業且は危険回避的 (効用関数 u(.x)) であり，保険会社 B は多数の顧客と保険契約を結んでいるため危険中立的 (効用関数 u(ェ)) であるも. すべての利得をプールした場合，. X=Z. 泊の期待利. 得は，. E¥ 囲 = 刀 E[Xi]. 分散は簡単な計算から，. E ⅡX 一 E g% ) 円 = Z ot' 十2% .cov( Ⅹt, ⅩJ) デキⅠ. のとする．九社が被る事故の発生確率は 0 ． 001 ときわ. めて小さいが，その損害額は10 億円と膨大であるため (勿論，事故が起らない場合の損失は 0), A 社は B 社. となる・ここで，泊と XJ の共分散ほ，. に。万円の保険料を支払って保険契約を締結するとい. 二官 [沌・Ⅹ ] 一 E[ Ⅹり g[Xi]. う状況を想定しよう．. したがって，契約前は， A 社は. cov(Xt,Xy)=E[(X メ. 0@. Ⅰ E Ⅸi])(Xi 一 E¥ 汚 ])] 04. ・. で与えられる・もし， cov( Ⅹi,X<) く 0 なら利得のプリングにより，期待利得は変化しないが分散は減か. 確率 0.001 で一 10 億円， 0 ． 999 で 0 円のくじに， B 社は. 一. 確率Ⅰで 0 円のくじに直面し，契約後は， A 社は確率. する．このことほ危険回避的意思決定主体にとって保. エで一，万円， B 社は確率 0 ・㏄1 で一 10 億円十。万円，. 険プレミアムを滅小させる、) 効果をもつ．. 0 ． 9999 でⅠ万円のくじに直面することになる．契約前. 5. 忙報の価位. における A 社の期待利得 (損失 ) は一工㏄万円であるが，. 危険回避的であるため，くじの確実同値量一 % は，一全く一 100 万円二三となる．もし，一全く一Ⅰであれぽ契約後に得られるくじの期待効用値 (二八一 c))は契約前の期待効用値 ( 二八一 %) より大きくなり，保険契約の締結を選托する．一方， B 社にとっては，もし c ノ Ⅰ㏄万円ならば契約後の期待利得は c 一 l00 万円であるが，危険中立的であるため期待利得は確実同値量に一致し，契約後の期待効用値 (= ヮ㏄一 100 万円 )) は契約前の期待効用値 ( Ⅰ @(0)) より大きくなり， B 社も保. 険契約の締結を. ことのできない重要な問題となる．このテーマは，情. 報の特性をいかに把握するかというきわめて，本質的でかっ遠大な課題であり，現在なお統括的理論構築を目指して発展しっっある分野である・. (損失 ) をあらかじめ人社と. する・. まず，このことを議論するために，重要な役割をに. B 社で分配している状況. と見なすことができよう・そして， c 万円，一全く一Ⅰ くの保険料金の支払いにより，. ここでは，情報. の価値の計量のための 1 つめアプローチについて紹介. 望むことになる・. この問題は，視点を変えれば，契約前の状態も，契約後の状態も，不確実な期待値一100 万円の将来利得. 一 1 ㏄万円，. 意思決定を情報という側面から分析しょうとする場合，情報のもつ価値の計量という問題は，避けて通る. すべてのリ. なうベイズの定理について簡単に触れることにしよノワ. 標本空間を互いに素な集合 Al, A. ぁ. ・…‥A. たに分割. する．すると，どんな結果にしろある結果が生じたとするとその結果が起因する可能な原因は Al,At,.. …‥. ，. スクを移転した後者の分配方式が前者の分配方式より A 社にとっても B 社にとっても有利であるということ. 且たであると考えることができる．いまある実験或い. を意味している．. 特別な原因 Ai にもとづくものである確率はよく知ら. このように，ある分配方式より，他者を不利にすることなく，少くとも工人がより有利になるような分配. れたべイズの公式 :. 方式はパレート優位な分配方式であるという，ある分配方式より，パレー優位な分配方式が存在しないとき，パレートせ% な分配方式であるという．ト. (2) 七 % のプ一リング. は観察が行われ事象 B が起ったとき，この結果がある. タ (A. づ. lB)=. ダ (BlAi)タ (At) = 戸 (BlAd)タ. Z. J 一一 1. タ (BlA 刀タ (AJ). 尹 (B). (AD 血9. によって計算できる．確率変 Ⅹのとり得る値を均，均，・…‥，ヱたと考え， Ⅹが目の値をとる事象を At. 確率変数 y がノの値をとる事象を B とすると 69 式.

(5) 経営のための不確実性理論入門は，密度関数を用いて， 9(.y「 ) ノ 0 なら，. / ( lv)= ェせ. 9(ノ @目 )/(ヱめ一一 9(ノ9 @とり (ノ). ・Ⅰ. (71)@71. 均). が成立しているから，最適な行動は九毎に， L,u( 仰 (先 ), 打)/( 打 lp ) た. /. (ヱガ. 凶 g¥ylx リア Cr刀 iⅠ1. を最大にする &1"( 免 ), 色帝. 連続確率変数の場合は和が積分. と書くことができる・. (笹井. に変わる．これは，ベイズの公式の拡張になっていることに注意されたい・ /(xf) は手前確率密度，Ⅰ(ヱflがはさ後確率密度と呼ぼれる・. ゐ. =1,2,.. …‥. 山となる・. いま，情報の信頼度とでも呼ぶべき， 9 鱗 ls ), ゐ，屋が所与とすると，ベイズの公式， &(@ 式をメ. j Ⅰ l,. 用いて，事双確率密度Ⅰ(,i)から事後確率密度Ⅰ (打 l 九 ) が計算でき，この問題は完全に解決できる・換言すれば，ゼロ情報の場合の最適意思決定は，事前確率. さて，意思決定問題において，行動または決定の集合を且二仏，，の，・…‥， 0"), 色 6,R,, 確率変数 S である状態のとり得る集合 (s1, 醸，・…‥，sm) を，その離散密度関数をクはニ 5i)=/( 打),打。 Ⅴ，結果の集合をレ. 密度を用いた期待利得の最大化問題であり，関連する情報の場合の最適意思決定は，事後確率密度を用いた. (仇，打 )), i=1,. …‥，れ，ブユ 1,.…‥ れ，とする・ u( 偽， $J). E@[u@{at*@W ， 5)@]@-E@[u@{ai* ， S)@] 血@ と定義することは，きわめて説得力をもつことになろう．もし，. ほ状態が打であるとき，行動化を行ったときの効用値であるが，ここではモデルを具体的に把握するため，決定主体は危険中立的であり，㎡仰，町) ほ利得関数を表わすものとする・したがって，意思決定主体は期待利得規準にもとづいて行動する・. 意思決定主体が状態 S に関する事前密度関数月 $J) しか利用できない場合 (ゼロ竹杖 ) には，彼は期待利得，. 条件つき期待利得の最大化問題であるということができる．ここにおいて，関連情報の価値を. 9 ⑨ いり. =(l0r ， j,. あ. 二 1,. Ⅰ. m. 三三ニ. であるなら，そのとき，情報仇は完全冊報を提供するものとなることほい. う. までもない．. (問 ) 竹 Ⅰ. E レ ⑦。， S)]. Ⅰ. Z ㎡何， sJ Ⅴ (5J). Ⅰ 一 --. を最大にする行動. 0の. 選択可能な行動何，のがあり，各行動をとったときの利得は状態に依存してつぎのように定まるもの. 斎 "". とする．. d がを A の中から選択する・この. 場合，意思決定主体は行動の期待値は知り得るものの. 、. ". 行動を行った後で実際に実現する利得については不確. 固タ. 2. 実である．. もし状態に目連するなんらかの情報が，決定が行われる前に利用或いは観測できるとした場合には，その. 事前確率密度は八 51)=0 6, / ㎏ )=0 ・. ・. 4 とする・. こ. のとき，最適意思決定において，ゼロ情報の場合の期情報が状態について，いくばくかの情報を提供する以待利得と信頼度 80% の情報が利用可能な場合の期待利上，行動は入手できる情報に依存して選択されるべき得を計算せよ・ものになるほずである．いま，その情報を確率変数 8, その可能な実現値を佐，あ，・…‥，㌫で表わすと，意思、 5主決定主体は，期待利得， EI 以 a@(e),⑧ ] を最大にする行動化 *(k), ぁ二 1,2,.…‥，抑を集合人の中から選. r(ヱ戸明型の. 択することになる，. 1) 保険プレミアムについて，. ところで，. 近似式がよく使用される・ 2) 小林孝雄「リスク分担と意思決定」，ビジネスレビュー， vol.28. No. 2, 1980 ・から引用し. E レ (㏄ぼ ),5)] 二三三㎡仰㏄め，町 )9( 九亡三三㎡偽 (九 ), 斗m( 打 Ⅳ )9( 九 ) Ⅰ. ぉ. lsf)/(si). 0手. エコ. な. * s. =E[E. レ (偽 (8 八 5)l0]]. た. ・. 色薄. ( ささいひとし. 横浜国立大学経営学部教授. コ.

(6)