順序統計量による最小自乗推定
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(2) . 昭和３０年９月. 北 海 道 学 鷲 大 学 紀 要 （第二部）. 第６巻 第１号. 順序統計量に よる最小自乗推定 宇. 義. 多. 喜. 昌. 北海道学蔓大学札幌分校数学教室. ｉ ｔ ｉ ｏｎｓ ｉｍａ ｔ ｔ ｎｇ ｏｒｄｅｒｅｄ ｏｂｓｅｒｖａ ｅｓｕｓ ｔ ‐ｓｑｕａｒｅｓ ｅｓ Ｙｏｓｈｉｎ ｌａｓａ ＵＫＩＴＡ： １ｅａｓ. ＳＩ．. ｉ ｌｎｔｒｏｄｕｃｔ ｏｎ ａｎｄ Ｓｕｍｍａｒｙ ．. 私は先の学整紀要で一般 Ｍａｒｋｏ” の定理の証明を一般的な広い立場から証明 を試みま した。 そこで示した如 ｉｍａ ｔ ｔ ｅｓ によって母集団の平均、 くこの Ｓｐｅｃｉａｌｃａｃｅ の臆用として ｏｒｄｅｒｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ に よる ｌｅａｓｔ‐ｓｑｕａｒｅｓ ｅｓ ／ 〃 ／ 〃｝ してあります ９ １ ３ Ｖ ） の中で研究 ｉ ｄ Ｂ ｉ ｋ Ｌ Ｈ １ （ ｔ Ｅ Ｏ ｅ ｒ は ｎ ｌ ａ ｏ ｏ 。 その結果は、ｆ｛（ズーム） ， 分散の推定を ． ． ｙ べ 順に並 それを大きさの を得たとし 、 の分布をもつ連続量 × の ｎ ヶの独立な観察によって標本 臨 海Ｆ ” て改めて次の如き ｉｎｄｅｘ をつけたとします。 ・くく第（の 匁（ ２ １ ） ＜ ・・ ） ＜：第（. これから標準化 して 放り ＝（＊＠）－ の／〃 を得ます。 今. Ｃｏｒ（先， ）失. Ｅ（γ （の）一 物. ニ ア“. ァ＝ｓニ る … 刀，. とすると、 ヴイ クトル謎号法で次の如くかきます、. ， ，. ｉｍａ ｔ ｔ ｔ－ｓｑｕａｒｅｓｅ ｅｓ は次の如くなることを示してあります。 ｓ と， ” ぴ の Ｌｅａｓ. （ヱ ． ヱ）. ゑ＝ α ｒｉ（α ｒ ーズ ば）「『 ば／４. （ヱ ． ２）. ′ ′－ αヱ 各 ヱ／ジー （ヱｃ ジーリ【だ ｒ ギ ； ）１. １ Ｉ １１）（Ｃ Ｖ‐ （ ； ≠２ Ｃリ ー（ヱ′Ｖ－ ） であります。 ｒＶ‐ 但し ４三（ｉ １α 〆″ ）－α′ｙ－. （ヱ ． ３）. Ｖａｒ. （乙 ４）. ・ヱ〆／４ Ｖａｒ（谷）＝ ｒ ｙ－. （ヱ ． ５）. Ｃｏｒ（〆 α） ，. １α／４ ｒ ｖ－. ）（１ ｉ ｒ ・３） は ｃ な密度函 数 巧むぅ場合は（ＬＩ であることを示してありますが面白いのは 夕；き÷≠ が ｓｙｍ 眠ｔ. ） ロ．６. メ ← 三ヒ . Ｑ ７ ）. ｖａ ｒ の ‐字 多 言. で一般に. ヱβ） （. Ｖ縦 ⑦）－ 崇 メ キ ‐ｖ紺 の ｒ － ２８ －.
(3) . 順序統計量によ る最小自乗推定 ｉｍａ ｔｅｓ を 行 っ て 母 平 均 を ｔ ｉ ｔ‐ｓｑｕａｒｅｓ ｅｓ ｏｎｓ を 用 い て Ｌｅａｓ こ と が分りますこの事実は ｏｌｄｅｒｅｄ ｏｂｓｅｒｖａｔ. した方が単なる算術平均で母平均を推定するよりも効率が高い即ち有効である事を示 しま した。. 特に等号. る場合は. りま して. こ の と きは. ＦＴ－－ . . . ７ 乙. β が標本平均に外ならないことを示しました。 ｉ ｔ ｒ ｃ な性質を落 し ｌ 次で Ｄｏｗｎｔｏｎ は Ｂｉｏｍｅｔｒｉｋａ ｖｏｌ ．２５ でその拡張を試み Ｓｙｍｍｅ ．４０ ， 及 び Ａ．Ｍ．Ｓ， Ｖｏ ｉ ｉ岱 捌 いて ｔ ｔ ｔ ｄ ｓ ａ ｒ ｅ陀ｄｓ 股に 火 影 のめ ÷ のｔ叩．闘ａ眠 廠ｓ をもつ密度函数をもつ確率変数 ｘ の ｏ. （ヱ ， ９） Ｑ ヱｏ）. ２ １α） １α）－（ｒ ｙ－ ＩＺ）（α′ｙ－ ′ 一 （ｒ ｙ－ ′ １ 〆＝α ｖ－（α ｒ －ヱα ）ｖ ズ／ ・α Ｖａｒ（の ＝α γ －. ４. この場合も. Ｖａ ｒ（〆）≦Ｖａ ｒ（汚） し同様に等号の成立する場合は. ”ｏｒｄｅ ｒｅｄ ｔ ｒ ス ｅ ｒ ａｍｅ ｓス の ／ （尤 ）ス の ｔ ことを示しましたし、 引き続いて密度函数が ｆ ｙｐｅ のとき ｐａ スの推定値 とその分散は ｉｍａ ｔ ｔ ｅｓ” の一般的特性を論 じてあり ｅ ｓ. （ヱ ．“）. 会＝α ｖ－ ｌｘ／α′Ｖ一α. （ヱ ．ヱ２）. ．α ２ Ｖａｒ（リ ニス ／α′ｖ－. なり. この場合は. （ヱユ３）. ｖａｒ（ろ ≦. だ Ｖａｒ（γ） － Ｅ γ２ （ ） ア 乙. 八 であります。 に γ＝又／ 号の成立する場合の ぇ は先と異り. . １ た. 敷く つ. ることを示してあります。 Ｄ ｔ ｏｎ さて私は × が ヂ（洋一“） のｔ ｙｐｅ の密度函数をもつ場合が残されてありますからこれを完成させて ｏｗｎ こ思いますから紙面を借りて一先ず発表します。 その 論文を完結させることを試みま して一般論を得たようマ. 果は. ｚュ５ （ ）. Ｗ６ ）. ２‐ 蓄 鳥 （ｘ－の. Ｖ ａ ｒ◎）－ 両もす 』 醐 － ２９ －.
(4) . 宇 喜. 多 義. 昌. １ で（ １ ） は 六キーの が ” を中心として対称な ら （ ．６） ．１５ ， になります。. 叉. Ｖａｒ ◎）≦ Ｖａｒ（死）. も云うことが出来等号の成立は. （ヱ ．ヱ６）. ｙヱ ーＶａｒ（ｙ）Ｚ. に限りこの場合に 公 は. になることが云われます。 以下本論で証明を試みます。. 奪２ ． ” ， Ｖａｒ（”） につい て ｌ ｉ ｔ ｔ ｅ か らの 牧・ ｏｎ を も っ と き タ三匁－” と して ｎ ケの ｓａｍｐ キ が ヂ（鱒－”） な る ｄｅｎｓｉ ） ）＜ 政２ ）＜ … … ＜＊（ ， る ｙまｕｎｃ. とそれに対醸する 夕 ・ ）＜ 鞭）＜…＜γ ， り を得たと します。 そ して 互（ｙ）三 α 、 、. ・ ． ヱ） Ｅ（ｘ 一α）－メヱ， ．． （２. としますと スヒタ＋” より. ア（ｘ－α）一 ｙ（ｘ）… ｙ. ｆ の定理 （最小自然法に関する） により これより一般 Ｍａｒｋｏｆ. １ も ＆ （ｘ－α－ の′ｖ－ （ｘ α － 〆） 』 １α 十 ｒ ▽ー烹 一０ 一 ｒ ｙ－ｌｘ÷＋ ヱ′ｖー 戸. ２ （ ） ，２. ＾ メ ニ ー一隅 非Ｖ暑 ｘ－ 穿 署 ‐ 非 鳥（ｘ－α） ．. を得る。 従って. （２ ・ ３）. ｖ. ′署＃ ′ ） Ｑ ～穿つ か 辱 髭孝 １ の対称性より Ｖ－ ′ １ヱ 「 ワ Ｚ ー. この Ｖａｒ（”） が ｕｎｋｎｏｗｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ を含んでいないと云うことは今迄の Ｌ１ ｔ ｏｙｄ ｏｎ の結果と著しく ，Ｄｏｗｎ 違う点であり実用上も大変有利であります。 特に ヂ （ェーの が 〆 を中心として対称ならば. Ｅ（γ）－Ｅ（－ ；γ）. 但し. ０一 ０ヱ. 弔っ . より. 一 ３０ 一. .
(5) . 順序統計量による最小自乗推定 （２ ． ４）. α ニ ーノα. ｖ（ｙ）－ ▽（一 ′γ） より （２ ． ５）. ＶーＪＶＪ. （２ ． ６）. Ｖ－１＝ ＪＶ－ＩＪ. ２ ２ （ ）（ ．４ ．５） より. １α ＝ ｒＪＶ－ ＩＪ（－ Ｊα）－ － ｒＪＶ‐リ２α ； － ｒ Ｖ－ ＩＢα ＝ － ｒ ｙ－ １α ｒ Ｖ‐ （２ ． ７）. １α ‐０ ｒ‐Ｖ－. ２ （ ） と先の （ ２ ） より ．７ ．２ ｌｘ ｒ ｖ－. 〆 ＝ －－－－一 Ｚ′Ｖ‐ＩＺ ’. ｖａｒ. ）＝（２ ．３）. これは Ｌ１ｏｙｄ の結果と同一のものである。. Ｓ３ （”） と Ｖａ ） との関係について （汚 ｒ ， Ｖａｒ さて一般論に帰って ヱ′▽ー１ヱ を ズ（叉は γ） の分散で表 して見る。. （３ ． ヱ）. ｒ ｙ－. ＝ＶａｒＱ む′ り）一ｖａｒ（！ ％ ）一九 Ｖａｒ（ｙ）一九Ｖａｒ（ヱ） く. 然るに Ｓｃｈｗａｒｚ の不等式より. （３ ． ２）. （ｒ下な） （ヱ４ノー. 【 ださＱ. ２ ）２ 『る. ３ ０．２ ）に（ ．１） を併せ用いて. （３ ・ ３）. の‐ｒｖ一ヱ≦ 塾 群 」 ｖ頒ぶ り ，. Ｖ. 故に母平均の推定は. ｏｒｄｅｒｓ ｉ ｉ ｔ ｔ ｔ ａ ｓ ｃ によって推定 した方が単なる標本平均による推定より有効であることを知. った。 次に等号の成立する場合は. １ヱーｒ（ｒｌｙか ｒ ｙ‐ 但しこ. 一 身兎＝ ×なぞ. ｉｘ すなわち ご に ｔ は ｌｏｗｅｒｔｒｉａｎｇｕｌａｒ ｍａｔｒ リニ０メｏγまくブ 即ち. Ｚ Ｉ Ｉ Ｏ …… …０. であ る し. とおいた。 １一 一３.
(6) . 字. 喜 多. 義. 昌. ２ ′ｖ － １ ２ ２ ．≧（ヱ鶴飼） ←一（ｒ ｖ Ｚ）（ヱ ヱ）≧（ｒＺ） ． ヱ 好 ヱん であるからこの不等式の等号の成立する場合は. 即ち. （３ ． ４）. 力. Ｐた. ＶＺ一Ｐヱ. 故に. ｒ ＶＺ＝Ｐ も ７. るＶａｒ（Ｙ） 『 甲 ７ ｙ ・ （３ ．５） ．． ｐ‐Ｖａｒ（ ） ３ ） より ）（３ 故に等号の成立する条件は （ ．５ ．４. ＶＺ；Ｖａｒ（１つヱ． であることが分る。 叉このときの ” は. ′）ｒ ｒ ア コＶａｒ（１. Ｖ）. （▽. ｒ ＝ｖａｒ（Ｙ）ヱ′▽→ （３． ６）. 一方. ３ ） （ ．７. ｒ ｖ－・ ＝. ｒ Ｖａｒ（Ｙ）. 乙 ７ ‐ ヱ′Ｖ－１ヱ ＝ － ｖａｒ（Ｙテ. が成立してし、るから. 二Ｖ ← 裏 寿 － 辱 お － ￥ Ｖａｒ（わ. で等号の成立する場合は Ｌ１ｏｙｄ Ｄｏｗｎｔｏｎ の理論と同様に ” は標本平均に外ならないことが分ったｏ. 葺 ４． 結. び. なお ｅｘａｍｐｌｅ を二三挙げる べきである が取急ぎ発表するため後日にする。 なおこの小女は私の大阪大学小川 Ｅ Ｈ Ｌ１ ｄ 研究室に内地留学中に小川潤次郎先生、 丘本正学兄の指導によってまとめたものであり、 先の ． ． ｏｙ． Ｆ． Ｄｏｗｎｔｏｎ の論文の指示と共 に感謝の意を表します。 ＲｅｆｅｒｅれＣｅ ｉ ｉ ｔ ｉ ｔ ｓ ｃｓ’ ａｔ ｎｇ ｏｒｄｅｒ ｓ １ｅｔ ｅｒｓ Ｕｓ ｉ ｅ Ｐａｒａｎ ‐ ｃａｌ ｉ ｉｍａｔ ｏｎ ａｎｄ ｓ ｔ ａｃａｔ ｏｎｓ ｏｆｌ Ｉ ｔ －ｓｑＬ ａ ｌ ｅｓ ｅｓ １ １ ｏｙｄ： ‘Ｌｅａｓ ． Ｅ．Ｅ ． Ｌ１ ｉ Ｂｉ ｋａ Ｖｏｌ ｔ ｒ ｏｍｅ ． ３９ （１９５２） Ｉ ｉ ‘Ｌｅａｓ ｎｓ’ Ａ．Ｎ ｉ ｅｒｖａｔ ．２ １９５４ ．２５ Ｎｏ ｉ ｅｄ ｏｂｓ ．Ｓ ｖｏｌ ｎｇ ｏｒｄｅｒ ｔ ｏｎｓ ｕｓ Ｄ Ｆ ｔ －ｓｑｕａｒｅｓ ｅ式ｉｍａ ２ ｔ ｎ ｎ： ｏ ｗ ｏ ． ・ ’ Ｉ ４ ０ ５ ３ Ｖ ｉ ｋ ９ ｌ Ｂ ｉ ｔ ｉ Ｏ ｉ ｒ ‘ ｅ ａ ［ ｎ ｌ ｔ ｏ ｎ ． ｌ ｎ ａ ｄ ｌ － ｏ ｄ ｅ ｓ ． ｔ ・ｅ ｅａｓ ａｑｕａｒｅｓ ３ ｏｎ： ａ ｎｏｔｅ ｏｎ ｏｒ ｅ ． Ｆ． Ｄｏｗｎｔ ｉ ｉ ｔ ｔ ｉ ｉ ａｔ ｓ ｃｓ’ ｅｄ ｓ ａｔ ｏｎ ｂｙ ｏｒｄｅｒ ｔ ｉ ａｎｄａｒｄ ｄｅＶ ｉｍａｔ Ｅ． Ｓａｒｈａｎ： ‘Ｂｓ ｔ ｏｎ ｏｆｔｈｅ ｍｅａｎ ａｎｄ ｓ ４ ． Ａ． Ａ．ハ４ ．１９５４ ． ．２ ．２５ Ｎｏ ．Ｓ ＶＯＩ ｆ の定理について （最 小自乗法についての） ５４ １９ ） ｔａ： 北海道学葵大学紀要 （ ５ ， 一般 Ｍａｒｋｏｆ ． Ｙ， Ｕｋｉ. 一 ３２ －.
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