直流モータのモデリングと制御

直流モータのモデリングと制御

松尾孝美

身近にモーターが使われている製品

（http://www.e3.panasonic.co.jp/communication/kihon/denki/motor/m-syurui.html） オーディオ機器 CDラジカセのディスク用，CDプレーヤーやMDデッキのピックアップ用 CDやMDディスクのローディング用，カセットデッキのテープ送り用 カーCD，MDなどのピックアップ用，カーCD，MDなどのローディング用 レコードプレーヤーのディスク回転用 ビデオ機器 ビデオカセットのローディング用，カセットテープ送り用 ビデオヘッド回転用，空冷ファン用 DVDプレーヤーのローディング用，DVDプレーヤーのピックアップ用 ビデオカメラのオートフォーカス用，ビデオカメラのオートアイリス用 カメラ機器 フィルム巻き上げ用，オートフォーカス用，オートアイリス用 ホビー機器 ラジコンサーボ用，プラモデル用，テレビゲーム用 車機器 ドアミラー用，エアコン用，パワーウインドウ用，オートクルーズ用 トランクオープナー用，ワイパー用，ワイパーウォッシャー用 ヘッドライト用，ラジエーターファン用 家庭機器 ヘヤードライヤー用，カールドライヤー用，シェーバー用，バリカン用 脱毛用，歯ブラシ用，マッサージャー用，血圧計用，クリーナー用，レモン絞り用 日曜大工機器 ドリル用，ノコギリ用 ガーデン機器 噴霧器用，草刈り機用，バリカン用 OA機器 プリンター用，コピー用，CD-ROMピックアップ用，DVD-ROMピックアップ用 ディスクローディング用，フロッピードライブ用，MOドライブ用 DC3V小型コイン型バイブモーター GoolRC X2204 2300KV CW/CCW 時計回り/反時計回 り ブラシレス モーター QAV250 RC ドローン クアッド コプター マルチコプター用 （amazon) ＫＶ値：電圧１Ｖでモーターが１分間に最大何回転 回せるかを表す． CW:Clock-wise，CCW:Counter-Clock-wise

モータの種類

400W ACサーボモータ OMRON R7M-A40030 DC1 〜6VモーターマブチFF-030PN

DC12V COPALステッピングモーター

DCモータ

▼直流(DC)モータ （http://www.e3.panasonic.co.jp/communication/kihon/denki/motor/m-syurui.html） DC（直流）はAC（交流）のように、電圧が交互に変わる性質がないので，DCをモーターに利用す るためには電圧を交互に作り出す仕掛けが必要になる．この役割を行っているのがブラシ（整流 子ともいう）である（回転子が回ると整流子も回り、磁力が切りかえられる）．ブラシによって 回転力を起こすために必要な磁極が作られ，この磁極の数により，2極、3極モーターといった呼 び方がされる．普通、2極モーターは180度の位置に磁極が来てしまうことになり，お互い反発し あってしまいスムーズな回転力が得にくく，これを避けるには3極化とし，磁極を120度に配置す れば良いことが分かる．したがって、一般にDCモーターといえば3極モーターを代表としている．

永久磁石界磁型 DCモータ

（permanent-magnet DC motor）

電磁石界磁型DCモータ

（winding-field DC motor）

http://www.nidec.com/ja-JP/technology/motor

DCモータの構造と各部名称

電機子

_：

コイルを巻いたもの

両端に電圧（

電機子

電圧

）を印加して，電

流（

電機子電流

）を流

す．電機子はコイルの

インダクタンスと抵抗

から成っている．

フレミングの左手の法則

http://www.nidec.com/ja-JP/technology/motor/basic/00012/

F=BLI

F：力[N],B:磁束密度[T]

I:電流[A],L:磁界中のコイル長さ

覚え方：親指から順に「F・B・Ⅰ」

中指から逆順に「電・磁・力」

電荷，電場（電界），電圧，電流

電荷

_{とは：電荷は 電子や陽子等の素粒子のもつ性質の1つ．単位jは[C]クーロン}

電子はマイナス（負）の電荷，陽子はプラス（正）の電荷を持っている．電荷は互いに引き

付けあったり,反発したりする．クーロンの法則

電界

_{とは：電気力が伝わる空間のこと．電気力とは，その空間に入った電荷に及ぼす力のこと．}

（

電場

_{） 電荷をもつ物質は電界を作る．つまり，電荷から生じた電界が別の電荷に力を及ぼす．}

電荷に及ぼされる力 (q:電荷の量，E：電界の大きさ)

電圧

とは：大きさは電荷の集中の度合いを表しており、回路に電流を流そうとする働きがある．単

位は，[V](ボルト)．

電流

とは：電荷の流れ．電荷は電子や陽子が担っていますので，負の電荷を持つ電子の流れは電

流の流れとは反対方向になる．単位は[A]アンペア．

2 2 1 r q q k F  qE F 

電磁気学の3大実験則

• クーロンの法則

：静止している電荷間に力が働く

• アンペールの法則

：動く電荷，すなわち電流間に力が働く

• ファラデーの法則

：磁束が時間的に変化すると，誘導起電力

クーロンの法則

単位正電荷に働く静電力を電界という．点電荷Q[C]の距離rにおける電界（電場）は次式のようになる． [N/C=V/m] ただし， は真空誘電率， はベクトルであり， は原点からの位置ベクトルを意味し，その大きさを としてい る．したがって，次式が成り立つことに注意しよう． この電界中に点電荷qがあったときに，これに働く力は次式となる． [N] 3 0 4 1 r Q r E   0  _E,r r r 2 3 1 r r  r E Fq ※太字はベクトルを意味する B A O r dl E rB r_A 電界E中の点電荷qにはqEの力が働くので，この力に逆らって電荷q をdl だけ動かすのに必要な仕事は次式でかける． ただし， は内積を意味する．図のように電荷を点Bから点Aまで曲線 に沿って運ぶのに必要な仕事は次式で与えられる． [J] 単位正電荷，つまり１C（クーロン）の電荷を点Bから点Aまで運ぶのに 必要な仕事を，点Aの点Bに対する電位差，あるいは電圧といい，次 式のように書く． [V]  l E l F d q d dW    



   A Bq d W E l



   A B AB d V E l

内積

http://fnorio.com/0126scalar_&_vector_product/scalar_&_vector_product.html

電流

導体に電界を印加すると，導体中を電荷が移動する．この電荷の移動を電流という．電流を流すための導体 の線を導線という． 電流の大きさIは単位時間あたりに移動した電荷の量として，次式のように定義される． [A] 正電荷が移動する方法を電流の正の向きとするので，実際に導体中を移動する電子は負電荷であることから 電子の向きは電流と反対方向になる． 導線のAB間の電位差をVとし，dQの電荷がdt時間内に点Bから点Aまで移動して電流Iが流れたとすると，導 体中の電界がした仕事は次式のようになる． さらに，電界が単位時間当たりにした仕事（仕事率，動力(パワー)）は次式となる． [W] dt dQ I  VdQ dW  VI dt dQ V dt dW P   仕事Ｌ(N・m) ＝ 力Ｆ(Ｎ)×移動距離Ｓ(ｍ)

磁石

磁石

_{とは： N極とS極があるが，切断しても，それぞれがまたN極とS極をもつ磁石になる．したがって，}

磁荷は存在しない

_{．磁石がものにはたらく力を磁力という。}

磁石=永久磁石＋電磁石(電流が流れなくなると磁力がなくなる)

磁石の源泉

：電子のスピンが磁気モーメント（磁気による物を回転させようとする力）を作ることに起

因している．一般に原子を構成する電子には，上向きのスピンと下向きのスピンという2種類のスピ

ンがある．原子に含まれる電子全体としてはほぼ同数になっているが，どちらかに偏っているものが

あり，このスピンの偏りが強い磁性を示す原因である．原子磁石のNS極が全体で揃った物質を強磁

性体と呼び，外部から磁場を印加しなくても自発的なNSの分極，すなわち磁化が発生している．

http://www.material.tohoku.ac.jp/~kotaib/mag_memo.html

磁場（磁界），磁束，磁束密度

磁界(磁場)H：ベクトル，磁束密度B:ベクトル Hの方向：磁石の向き，Bの方向：基本的にはHの方向 磁束密度Bは磁化のしやすさを含む値，磁界Hは磁化のしやすさを含まない値 Bの大きさ：電流Iと平行に置いた1[A]の電流が上がれている導線に働く単位長さ当たりの力 I1 I２ -f f B I₁ I２ -f f I1 I２ -f f I1 I２ -f f B B r r r r B

]

[

2

0 0

T

r

I

H

B











無限長直線導体に流れる電流の発生する磁界

アンペールの法則 ビオ・サバールの法則

H

B





₀ 磁束密度 B の単位は [N/A⋅m] または [Wb/m2_{] または [T]} 透磁率 μ₀ ，磁化のしやすさを表す量[N/A2_] N S r B I

アンペール力

アンペール力

_{：静磁場中で定常電流が受ける力のこと}

BIL

F

L

I

H

B

H





のときのアンペール力

導線長さ

電流

のとき，磁束密度

透磁率

磁界の強さ

,

,



₀



₀

I,Hが直交していない場合．

_F



_I

₍

_L



_B

₎



_I



_B

ベクトルの外積表現

フレミングの右手の法則に対応する

I F

外積

ローレンツ力

メカトロニクス入門第９回 17

ローレンツ力：

静磁場中で運動する１個の電荷が受ける力

定常電流が静磁場の中で力を受ける＝電荷１つ１つに力がかかる．

電荷q[C]，電流I[A]  I = dq/dt

dq = Idt

電荷dqが速度v（ベクトル）でdt時間にdl（ベクトル）だけ移動した場合の変位はvdtで

あるので，dl間に流れる電流は，

この電荷に働く力は

速度vで磁束密度B中を運動する電荷Qに働く力は次式となり，こ

れをローレ れを

ローレンツ力

_という．

速度vと磁束密度Bが直交しているときは，

v

v

v

l

I

dt

Idt

dq

Id



(

)



(

)



dl

v

q

)

(

v

B

F



dq



d



sin

qvB

F

q







v

B

　あるいは　

F

qvB

F



電磁誘導(1)

電磁誘導(2)

磁束密度 B [T] の鉛直上向きの一様な磁場の中に，コの字型の導線 ABCDを置き，この上で導体棒PQを動かしたときに発生する誘導起電 力について考える．PBCQで1巻コイルとなる． 導線ABCDは水平面上にあり，導体棒PQは辺AB，辺CDに接して， 常にそれらに垂直で，速さ v [m/s] の等速で動き，BC間の長さは l [m] であるとする． 導体棒PQが動くと四角形PBCQの面積が変化し，この四角形を貫く磁 束が変化する．PQは v [m/s] で動いているので，Δt [s] 間に vΔt [m] だけ 進む．この間，四角形PBCQの面積は ΔS = lvΔt [m2_{] だけ変化する．} 磁束の大きさを Φ [WB] とすると，Φ = BS なので、Δt [s] の間に四角形 PBCQを貫く磁束は， ΔΦ = BΔS = BlvΔt = vBlΔt だけ変化する． 回路PBCQPに発生する誘導起電力 V [V] の大きさは以下のようになる． V = ΔΦΔt = vBlΔtΔt = vBl （向きのことは考えないで大きさのことだけ考え，負号は省いた．） http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/elec/dennji/yokogiru.html

フレミングの右手の法則

導体の微小線素dlが磁束密度Bの磁束を横切って速度vで運動しているとき，発生する 電界は式のようになる．

B

v

E





直線状導体の線分l の部分に生じる起電力は，次式のようになる．

l

B

v







(

)

e

V

v E B

DCモータの回転原理(1)

図は直流電動機の動作原理を示したものである．

図(a)において，

電機子電流Iａ

は直流電源から

ブラシb１→整流子c１→コイル片A→

コイル片B→整流子c２→ブラシb２

の経路を通って流れる．

コイル辺A，Bは磁界の中にあるので，図(b)に示すように，

フレミングの左手に従う方向に電磁力が生じる．これにより

トルク(torque)が発生してコイルは反時計方向に回転する．

コイルが180°回転するとコイル片の位置は左右逆となる

が，Ｎ極下，Ｓ極下におけるコイルの電流方向は変わらず，

電磁力，トルクの方向も

変わらず

コイルは回転し続ける．

トルク・回転数・動力

トルク：半径R[m]の円盤がその接線方向にF[N]の力を受けて回 転しているとする．円盤を回転させようとする作用の大きさをト ルクといい，接線力と回転半径の積で表される． T[Nm] = FR 回転速度[rpm]:1分間当たりの回転数

（revolution per minute,あるいはrotation per minute) 回転速度がn[rpm] のときの，1分間の移動距離は2πRn[m] 1分間に行う仕事W[Nm=J] = 2πRnF = 2πTn

仕事率（動力）P[J/s=W] = 2πTn/60

http://www.washimo-web.jp/

DCモータの回転原理(2)

磁束密度 B [Wb/m2_{] の磁界とθ の角度をなす長さℓ[m]の導線にI[A]の電流が} 流れているとき，この電流がこの磁界から受ける力f[N]は次式で表される． 図のコイル片Aに発生する力f [N]は，コイル長さをℓ [m]，流れる電流をI[A]と すると，次式で表される． コイル片Aおよびコイル片Bに，各々，力f [が発生するので，回転半径をr[m]， 直径をD [m]とすると，トルクτ[Nm]は次式となる． ここで，１巻きのコイルの磁束Φ[Wb]は，磁束密度とコイル面積をかけたもの なので，次式となる． 上式より，１巻きのコイルに発生するトルクτは，次式となる． したがって，N 巻きのコイルに発生するトルクは， であるので， N巻きのコ イルの磁束をあらためてΦとおきなおすと， 巻きのコイルに発生するトルクも l B I f IBl f  sin ベクトル表現だと ( ) a BlI f  a BDlI Df rf rf rf      2  BDl   a I    a I N a

I







DCモータに発生するトルクは電機子電流に比例する．比例定数をトルク定数という

DCモータの回転原理(3)

磁束密度 [Wb/m2_{] の磁界と角度 をなす方向に速度 [m/s]で運動している} 電荷 q[C]の荷電粒子に働く力 [N]は，次式で表される． 電荷 q [C]の荷電粒子が [N]の力をうけて， [m]移動したときの仕事 [J]は 次式となる． このとき電圧 [V]は，1[C]あたりの仕事であり， であるので，次 式となる． これを用いて，角速度ω[rad/s]で回転している１巻きのコイルの逆起電力 [V]を求める．コイル片Aおよびコイル片Bの各々に発生する逆起電力は であり，角速度と速度の関係は で表される（ を微分する）ので， １巻きのコイルの両端に発生する逆起電力 は2倍して，次式のようになる． よって， 巻きのコイルに発生する逆起電力は， であるので， 巻きの コイルの磁束をあらためて とおきなおすと，逆起電力 は，次式のように なる．

コイルに発生する逆起電力（誘導起電力）は回転角速度に比例する．

q f ) ( sin f q v B qvB f_q   ベクトル表現だと _q    v B q f _{l W}  sin qvBl l f W  q  V  /2[rad] vBl V  0 E vBl  r v l r 0 E       vBl rBl BDl E₀ 2 2 N N N  E0







0

E

弧度法，回転角，角速度

※直線運動と回転運動の関係

f

r

m

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

r

dt

t

d

r

dt

t

dl

t

v

t

r

t

l















弧度法: ラジアンは円における半径と弧の比によって決められている単位． 弧の長さが半径と同じになるような扇型の中心角が1 [rad] 小さい円においても大きい円においても同じ大きさになる．

_{π [rad] = 180°, 2π [rad] = 360°, π/2 [rad] = 90°, π/3 [rad] = 60° , π/4 [rad] = 45°}

dt

t

d

s

rad

t

t

rad

t

t

)

(

]

/

[

)

(

:

)

(

]

[

:

)

(









角速度

回転

時刻での

時刻での回転角

モータの動特性の数式化（モデル化）

) force ive electromot ( ) ( E ) inductance armature ( ) resistance armature ( ) current armature ( ) voltage armature ( 0 誘導 逆 起電力 電機子インダクタンス 電機子抵抗 電機子電流 電機子電圧 L R i v a a a

i

) torque ( ) ( ) friction viscous ( ) velocity angular ( ) ( ) ( ) angle rotational ( ) ( ク モータに発生するトル 粘性摩擦トルク 粘性摩擦係数 角速度 回転角 t K K dt t d t t f f      

電気系

：回路方程式

機械系

：運動方程式

0 E

回路方程式

電機子の等価回路 a a a a a a a a a a a dt di i v E i R dt di L R H L V E A i V v                       0 0 0 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ であるので， 一定値のときには， 電機子抵抗 電機子インダクタンス 逆起電力 電機子電流 電機子電圧 http://www.jeea.or.jp/course/contents/01132/ キルヒホッフの第1法則 回路網上の任意の電流の分岐点において電流の流入の和と流出の和は等しい． キルヒホッフの第2法則 回路網上で任意の閉じた環状の電路をたどるとき電路中の電源の電圧の総和と 電圧降下の総和は等しい． A点については第１法則により Ｉ１ ＋Ｉ２ ＋Ｉ３ ＝０ 閉回路（１）について第２法則により E1 -E2 =R1･I1 -R2･I2

閉回路（２）について第２法則により E2 =R2･I2 -R3･Ｉ3 閉回路（３）について第２法則により E1 =R1･I1 - R3･I3 0 E    0 E

モータ回転軸の運動方程式

一般の回転体の運動方程式は次式のようになる．

₍

慣性モーメント

₎

×

₍

回転角加速度

₎₌

－

₍

粘性摩擦力

₎₊₍

働くトルク

₎

DCサーボモータに適用すると，次式のようになる．

)

(

)

(

)

(

2 2

t

dt

t

d

K

dt

t

d

J







_f







)

(

)

(

),

(

)

(

2 2

t

dt

t

d

t

dt

t

d



_



_





角度と角速度の関係

角度と角加速度の関係

運動方程式



(

t

)





i

a

(

t

)

モータ全体の動特性を表す

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 2

t

v

dt

t

d

t

Ri

dt

t

di

L

t

i

dt

t

d

K

dt

t

d

J

a a a a f

























る．

を制御することができ

を変えると，

．

を変えることができる

を調整すると，

dt

d

i

i

v

a a a





,

連立微分方程式

速度制御，トルク制御，角度制御

速度制御系

トルク制御系

角度(位置)制御系

フィードバック制御系

http://energychord.com/children/energy/pe/inv/contents/inv_pwm_tri.html

復習：回転体の運動方程式

回転運動の仕事はトルク×回転角

復習：慣性モーメント

レポート

6/21(水)までに，Moodle上から

オンラインテキストで解答してください．

前述の直流モータが一定回転で回っている．このとき印加電圧V=9[V],こ

のときコイルに流れる電流Ia=1[A]であった．次の値を求めよ．

ただし，ギャップの磁束密度Bはコイル辺がどの位置角にあっても1.0[T]

であるものとする．コイルの有効長さ =20[cm],回転半径r=15[cm],コイル

の抵抗R=0.5[Ω]とする．

(1)このときの発生トルクτ[Nm]

(2)コイルに発生する逆起電力E

₀

[V]はいくらか．

(3)回転子の角速度ω[rad/s],回転数n[rpm]はいくらか．

l

ヒント： 単位は，MKSAで統一する．Va=9[V],Ia=1[A],D=0.3[m],B=1[T],ℓ=0.2[m],R=0.5[Ω] Φ=BDℓ τ=Φia モータが一定速度で回転しているときの回路方程式：Va=E0+RIaより，E0=Va-RIa ω=E0/Φ, n=60ω/(2π)

ブラシレスDCモータ(1)

http://www.nidec.com/ja-JP/technology/motor/basic/00018/ DCモータと違い，回転子（ロータ）が永久磁石，固定子（ステータ）がコイルになっている．コイ ルが回転しないので，ブラシと整流子はないため，摩耗はない．ただし，センサにより回転子の 回転位置を検出して，コイルへの電流を半導体素子を用いた駆動回路（ドライバ）を使って，切 り替える必要がある．

ブラシレスDCモータ(2)

スイッチS1～3はトラン

ジスタやMOSFETで構

成するロータ位置信号．

ロータ位置検出には，

ホール素子

_{を用いる．}

DCモータ （ブラシ付き） ブラシレスDCモータ _{（Δ(デルタ)結線の} http://www.nidec.com/ja-JP/technology/motor/basic/00020/

ブラシレスDCモータ(3)

ステータコイル結線方法：

_{Δ結線とスター結線}

_．

※スター結線でも各コイルへの電流を制御できるが，スイッチの入り切りが異なる．

スター結線でデルタ結線と同じ通電状態にしたもの

ホール素子

磁気センサ

_{：磁石や電流が発生する時期や地磁気などの大きさと向きを検出するセンサ．}

コイル，ホール素子，磁気抵抗素子，超電導量子干渉素子(SQUID)など．

ホール素子

_{：磁気センサの１つ．半導体薄膜などに電流を流す，ホール(Hall,人の名前)効}

果によって磁束密度や向きに応じた電圧が出力されることを利用して磁場を

検出する素子．

http://www.nidec.com/ja-JP/technology/motor/basic/00023/

MATLAB/Simulink(1)

https://jp.mathworks.com/

MATLAB/Simulink(2)

MATLAB

はMatrix Laboratoryを略したもので，米国The

Mathworks Inc.の行列計算の会話型プログラム言語です．オ

リジナルは行列計算で定評のあるLINPACK およびEISPACKで

す．構成は，

_基本MATLAB

（

行列計算

，多項式計算，データ解

析，周波数分解，基本数値計算関数，微分方程式計算，因

子分解，論理演算，

グラフィック表示

，フィルター設計などよ

り構成され，コアモジュールとよばれる）およびそれらを組み

合わせてプログラム化した

_{M-ファイル}

とよばれるファイルか

ら成っている

_Toolbox

，

ブロック線図による時間応答シミュ

レータSimulink

，さらにStateflow等，各種ツールを組み合わ

せることにより，様々な分野の研究や開発業務を最新の環

境で行なうことができます．

MATLAB/Simulink(3)

•

数学および最適化

_:

_{Optimization Toolbox}

_{, Symbolic Math Toolbox,Partial Differential}

Equation Toolbox,Global Optimization Toolbox

•

統計およびデータ解析

:Statistics Toolbox,Neural Network Toolbox,Curve Fitting

Toolbox,Spline Toolbox,Model-Based Calibration Toolbox

•

制御システム設計および解析

_:

_{Control System Toolbox}

_,

_{System Identification Toolbox}

_,

Fuzzy Logic Toolbox,

Robust Control Toolbox

, odel Predictive Control Toolbox, Aerospace

Toolbox

•

信号処理および通信

:

Signal Processing Toolbox

, Signal Processing

Blockset,Communications Toolbox,Filter Design Toolbox,Filter Design HDL Coder,Wavelet

Toolbox,Fixed-Point Toolbox,RF Toolbox

•

画像・動画処理

_{:Image Processing Toolbox,Video and Image Processing Blockset,Image}

Acquisition Toolbox,Mapping Toolbox

•

実験・計測

_{:Data Acquisition Toolbox,Instrument Control Toolbox,Image Acquisition}

Toolbox,SystemTest,OPC Toolbox,Vehicle Network Toolbox

•

情報生命科学

_{:Bioinformatics Toolbox,SimBiology}

•

金融工学

_{:Financial Toolbox,Financial Derivatives Toolbox,Datafeed Toolbox,Fixed-Income}

Toolbox,Econometrics Toolbox