,,,,., = (),, (1) (4) :,,,, (1),. (2),, =. (3),,. (4),,,,.. (1) (3), (4).,,., () : = , ( ) : = F 1 + F 2 + F 3 + ( ) : = i Fj j=1 2

第

6

章

2

次元リーマン積分の定義

と基本性質

6.1

2

次元可測関数

この節においては2変数の可測関数の概念を定義し,その基本性 質を調べる．次節において2変数の可測関数に対してリーマン積分 の概念を定義する．可測関数の定義とリーマン積分の定義における 極限移行はムーア・スミス極限の意味の極限移行を考える必要があ る．これに関しては5.2節を参照してもらいたい． R2において, 2次元ジョルダン測度空間(R2, B, µ)が定義され ているとする. いま, R2の集合Eは可測集合であるとする．このとき,単に, E は可測であるということがある. いま,集合Eを可算個の可測な部分集合E1, E2, E3, · · · の直和 に分割する. すなわち, E1, E2, E3, · · · はどの二つも互いに交わら ず,その直和集合がEに等しいとする. これを (∆) : E = E1+ E2+ E3+· · · (6.1.1) と表す. 今後, Eの可算直和分割は可測部分集合による分割のみを考える ことにする． このようなEの二つの分割∆と∆′があったとき, ∆′ が∆の細 分であるとは, ∆′の小部分集合はいずれもどれかある∆の小部分 集合に含まれていることをいう．分割∆のどれか一つの小部分集合

を二つの可測部分集合の直和に分割することによって, ∆の細分が 得られる．∆の任意の細分はこのような二分割による細分を可算回 繰り返して得られる． Eの二つの分割∆と∆′に対し, ∆′が∆の細分であるとき, ∆≤ ∆′ であるとおくと,これは半順序になっている. いま,集合Eの可算直和分割の全体を∆ = ∆(E)と表すと,これ は細分によって定義される半順序に関して有向集合になる． すなわち,これは次の条件(1)∼(4)が成り立つことを意味する: いま, ∆, ∆′, ∆′′∈ ∆ とするとき, (1) すべての∆∈ ∆に対し, ∆≤ ∆が成り立つ. (2) ∆≤ ∆′, ∆′ ≤ ∆ならば, ∆ = ∆′が成り立つ. (3) ∆≤ ∆′, ∆′ ≤ ∆′′ならば, ∆≤ ∆′′が成り立つ. (4) 任意の二つの元∆, ∆′ ∈ ∆に対し, ある∆′′ ∈ ∆が存在し て, ∆≤ ∆′′, ∆′ ≤ ∆′′が成り立つ. このことは次のようにして証明できる. (1)∼(3)が成り立つことは明らかであるから, (4)が成り立つこと を証明する. いま, Eの二つの可算直和分割∆, ∆′ ∈ ∆が (∆) : E = E1+ E2+ E3+· · · , (∆′) : E = F1+ F2+ F3+· · · によって与えられているとする. このとき,可算直和分割∆′′を (∆′′) : E = ∞ ∑ i=1 ∞ ∑ j=1 Ei ∩ Fj

によって定義すると, 明らかに, ∆′′∈ ∆であって, ∆≤ ∆′′, ∆′ ≤ ∆′′が成り立つ. ここで,単関数の定義を与える. 定義 6.1.1 可測集合E上で定義された関数f (x, y)が単関数で あるとは, Eの可算直和分割∆: (∆) : E = E1+ E2+ E3+· · · (6.1.2) に対し, f (x, y) = ∞ ∑ j=1 αjχEj(x, y) (6.1.3) と表されることをいう. ここで, αj は実数であって, 必ずしも互い に異なる必要はない. χEj(x, y)は集合Ejの定義関数を表す. この とき,単関数f (x, y)をf∆(x, y)と表す． 特に,可測集合Eの有限直和分割に対応する単関数f (x, y)を階 段関数ということがある. 図 6.1.1 Eの可算直和分割 注意 6.1.1 関数f (x, y)はその定義域と値域およびその対応の ルールを定めることによって定義される. このとき,単関数f (x, y) の値域は高々可算集合として定まっているが,単関数f (x, y)に対す

る式(6.1.3)のような表現に関しては,式(6.1.2)のようなEの分割 の仕方が無数にあるのに対応して,無数に多くの表現の仕方がある. このとき,可測関数の定義は次のように述べられる. いま, R = R∪ {±∞}を拡大実数の集合であるとする. ここで, 考えるE上の関数f (x, y)はRに値をとる関数であるとする. こ の関数f (x, y)は拡大実数値関数であるという. このとき, E(∞) = {(x, y) ∈ E; |f(x, y)| = ∞} と表し,集合E(∞)の点をf (x, y)の特異点であるという. 定義 6.1.2 集合EはR2の可測集合であるとする. このとき, E 上で定義された拡大実数値関数f (x, y)が可測関数であるとは,次の 条件(i), (ii)が成り立つことであると定義する: (i) E(∞) ∈ Bであって, µ(E(∞)) = 0である. (ii) 一つの単関数の有向族 {f∆(x, y); ∆ ∈ ∆} が存在して, E\E(∞) 上広義一様収束の意味でムーア・スミスの極限移行 lim ∆ f∆(x, y) = f (x, y), (x, y)∈ E\E(∞) (6.1.4) が成り立つ. 定義6.1.2の条件(ii)は次の条件(iii)が成り立つことを意味する: (iii) E\E(∞)に含まれる任意の可測有界閉集合Kと任意のε > 0に対し,ある∆0 ∈ ∆が存在して, ∆0 ≤ ∆なる任意の∆∈ ∆に 対して, |f∆(x, y)− f(x, y)| < ε, ((x, y) ∈ K) (6.1.5) が成り立つ． 表現を簡略化して,可測関数f (x, y)に対して, f (x, y)は可測で あるということがある.

注意 6.1.2 式(6.1.4)において用いられたムーア・スミス極限 は, Eの可算直和分割を細かく,細かく,限りなく細かく分割を続け たとき,広義一様収束の意味でのf∆(x, y)の極限関数がf (x, y)に 等しいことを意味している. 注意 6.1.3 可測集合Eの可算直和分割∆が式(6.1.1) で与えら れているとき, Eiの直径を δi= sup{d(p, q); p, q ∈ Ei} (6.1.6) と表す．ここで, d(p, q)はR2の2点pとqのユークリッドの距離 を表す. そのとき, δ = δ(∆) = max 1≤i<∞δi (6.1.7) とおくと,ムーア・スミス極限の意味で, lim ∆∈∆ δ(∆) = 0 (6.1.8) が成り立つ． 注意 6.1.4 いま, ∆0を∆の部分集合族で, ムーア・スミスの 意味で, lim ∆∈∆0 δ(∆) = 0 (6.1.9) が成り立っているとする. このときにも, ∆0と∆が共終であると いうことは一般にはいえない．一般に, δ(∆)が0に収束するという ことは,分割の集合∆0に対して,位相的な性質ではない. 極限移行 は位相的な性質であるから,リーマン積分を定義するときにムーア・ スミスの極限移行を用いなければならない理由はこの点にある. 例 6.1.1 集合EをR2の可測集合であるとする．E上定義され た単関数f (x, y)と連続関数f (x, y)は可測である． 証明は例2.1.1と同様である．

定理 6.1.1 集合EはR2上の可測集合であるとする．関数fと gはE上定義された可測関数であるとする．このとき,次の関数も E上定義された可測関数である. すなわち, (1) f + g. (2) f − g. (3) f g. (4) f /g. ただし, Eの各可測有界閉集合上で,ある定数δ > 0が 存在して,|g| ≥ δが成り立つとする. (5) αf . ただし, αは実定数とする. (6) |f|. (7) sup(f, g). (8) inf(f, g). (9) f+= sup(f, 0). (10) f−=−inf(f, 0). 定理 6.1.2 集合E はR2上の可測集合であるとする．関数列 {fn}はE上の可測関数の列であって,ある零集合E0に対し,関数 f にE\E0上広義一様収束しているとする. このとき,関数fはE 上で可測関数である. 例 6.1.2 閉区間[0, 1]× [0, 1]において定義された関数f (x, y) は, (x, y)が有理点のとき1, (x, y)がそれ以外のとき0なる値をと るとする. このとき, f (x, y)は可測関数ではない．ここで, (x, y) が有理点であるとは座標xとyがともに有理数のことを意味する．

6.2

2

次元リーマン積分の定義

本節において, 2変数の可測関数のリーマン積分の概念を定義する. R2において, 2次元ジョルダン測度空間(R2, B, µ)が定義され ているとする. 一般に,積分領域は区間とは限らない2次元可測集合を考える.

平面R2の部分集合Eは可測集合であるとする． このとき, E上定義された拡大実数値可測関数f (x, y)に対して 2次元リーマン積分を定義する．以下のように, 二つの場合に分け て定義を行う. (1) f (x, y)が単関数である場合 このとき, Eの一つの可算直和分割 (∆) : E = E1+ E2+ E3+· · · (6.2.1) に対し, f (x, y)が f (x, y) = ∞ ∑ j=1 αjχEj(x, y) (6.2.2) と表されている. ここで, αj ∈ R, (j ≥ 1)であるとする. このとき, f (x, y)のE上の2 次元リーマン積分を,関係式 ∫ ∫ E f (x, y)dxdy = ∞ ∑ j=1 αjµ(Ej) (6.2.3) の右辺の級数の和によって定義し,左辺の記号で表す．ここで,右辺 の級数は絶対収束していると仮定する. 式(6.2.3)の右辺の値は, 単関数f (x, y)を式(6.2.2)のように表 す表し方に依存せず一意に定まる. したがって,式(6.2.3)による2 次元リーマン積分の定義は意味がある. (2) f (x, y)が一般の可測関数である場合 このとき,関数f (x, y)がE上定義された一般の可測関数である とすると, 関数f (x, y)に対して, E\E(∞)上で広義一様収束する 単関数の有向族{f∆(x, y); ∆∈ ∆}が存在する．ここで, ∆はE の可算直和分割の全体のつくる有向集合を表す．

ここで,ムーア・スミスの極限 I = lim ∆ ∫ ∫ E f∆(x, y)dxdy (6.2.4) が存在するとき,この極限を関数f (x, y)のE上の2次元リーマン 積分といい, I = ∫ ∫ E f (x, y)dxdy (6.2.5) と表す． このとき, この値I はf (x, y)に広義一様収束する単関数の有向 族{f∆(x, y); ∆ ∈ ∆}の選び方によらないと仮定する. 有向族 {f∆(x, y); ∆∈ ∆}の選び方の多様性は単関数f∆(x, y)の値域の 選び方の多様性である. また, f (x, y)の2次元リーマン積分を重積分ということがある. 直感的には, ムーア・スミス極限は, Eの可算直和分割を限りな く続けて, Eを細かく,細かく,限りなく細かくなるように分割を続 けたときの極限であると考えられる. 上に定義したように, E上の可測関数f (x, y)の2次元リーマン 積分の定義はE上の単関数の積分による近似の方法を用いて行って いる. このとき, 2次元リーマン積分(6.2.5)の値Iがf (x, y)に広義一 様収束する単関数の有向族{f∆(x, y); ∆∈ ∆}の選び方に依らな いとき, f (x, y)の2次元リーマン積分は絶対収束するという. これ に対し,式(6.2.5)の値Iがf (x, y)に広義一様収束する単関数の有 向族{f∆(x, y); ∆∈ ∆}の選び方に依って異なるとき, f (x, y)の 2次元リーマン積分は条件収束するという. 式(6.2.4)のムーア・ス ミス極限が発散するとき, f (x, y)の2次元リーマン積分は発散する という. 極限値(6.2.4)が絶対収束するとき, f (x, y)は集合Eにおいて積 分可能であるという. 積分可能な関数が可測関数であることは前提 として仮定されている．

特に,可測関数f (x, y)がEにおいて積分可能であることと,可 測関数|f(x, y)|がEにおいて積分可能であることは同値である. 注意 6.2.1 重積分はジョルダン測度による積分であるから,積 分変数x, yの表現には特別な意味はない. したがって,重積分を表 す積分記号として, I = ∫ E f (x, y)dxdy という略記号を用いることがあることを注意しておく. ここで,特に狭義リーマン積分の定義の場合について一考する. いま, EはR2の可測有界閉集合であるとし, f (x, y)はE上の有 界可測関数であると仮定する 特に, Eの有限直和分割 (∆) : E = E1+ E2+· · · + En に対して,単関数f∆(x, y)として, f∆(x, y) = n ∑ j=1 f (ξj, ηj)χEj(x, y), ((ξj, ηj)∈ Ej, 1≤ j ≤ n) (6.2.6) をとると, f (x, y)のE上の2次元リーマン積分が存在するならば, I = ∫ ∫ E f (x, y)dxdy = lim ∆ ∫ ∫ E f∆(x, y)dxdy = lim ∆ n ∑ j=1 f (ξj, ηj)µ(Ej) (6.2.7)

が成り立つ. すなわち,リーマン積分はリーマン和 R∆= n ∑ j=1 f (ξj, ηj)µ(Ej) (6.2.8) のムーア・スミス極限に等しい. 特に, Eが閉区間K = [a, b]× [c, d]のとき,この重積分を ∫ b a ∫ d c f (x, y)dxdy (6.2.9) と表すことがある． 式(6.2.5)において, Eを積分領域, f (x, y)を被積分関数, x, yを 積分変数という. このとき,定積分Iは積分変数には無関係である. 次に,ダルブーの定理と可測関数の積分可能条件について考察する. いま, EはR2の有界可測集合とする. 関数f (x, y)はE上有界 な可測関数とする. 集合Eの有限直和分割を (∆) : E = E1+ E2+· · · + En (6.2.10) とする. 部分集合Ei におけるf (x, y) の上限と下限をそれぞれ Mi, mi とし, 集合E におけるf (x, y) の上限と下限をそれぞれ M, mとする. このとき, g∆(x, y) = n ∑ i=1 MiχEi(x, y), (6.2.11) h∆(x, y) = n ∑ i=1 miχEi(x, y) (6.2.12) とおくと, E上広義一様収束の意味におけるムーア・スミス極限と して,等式 lim ∆ g∆(x, y) = f (x, y), (6.2.13) lim ∆ h∆(x, y) = f (x, y) (6.2.14)

が成り立つ． いま, g∆(x, y)とh∆(x, y)のE上の2次元リーマン積分をそれ ぞれS∆, s∆とする．すなわち, S∆= ∫ ∫ E g∆(x, y)dxdy = n ∑ i=1 Miµ(Ei), (6.2.15) s∆= ∫ ∫ E h∆(x, y)dxdy = n ∑ i=1 miµ(Ei). (6.2.16) であるとする. ここで, µ(Ei)はEiのジョルダン測度を表す. この とき, mµ(E)≤ s∆≤ S∆≤ Mµ(E) (6.2.17) が成り立つ． ここで, µ(E) <∞であるから, Eのすべての分割∆に対し,{s∆} と{S∆}は有界である．したがって, S = inf ∆ S∆, s = sup_∆ s∆ (6.2.18) が存在する．ゆえに,不等式 s≤ S (6.2.19) が成り立つことがわかる． このとき,次が成り立つ． 定理 6.2.1 (ダルブーの定理) 上の記号を用いるとき, ムーア・ スミス極限の意味で,等式 lim ∆ s∆= s, lim∆ S∆= S (6.2.20) が成り立つ． 以下に関数f (x, y)の積分可能条件について考察する．

定理 6.2.2 集合EはR2の有界可測集合とし, f (x, y)はE上 の有界可測関数とする. このとき, f (x, y)がE上積分可能である ための必要十分条件はs = S なることである． 上の記号を用いる. vi = Mi− miを分割∆の部分集合Eiにおけ るf (x, y)の振動量という. このとき, V∆= S∆− s∆= n ∑ i=1 viµ(Ei) (6.2.21) であるから,条件s = Sと,ムーア・スミスの極限の意味で, lim ∆ V∆= lim∆ n ∑ i=1 viµ(Ei) = 0 (6.2.22) とは同値である． ゆえに,次を得る． 定理 6.2.3 Eとf (x, y)は定理6.2.2と同じであるとする．こ のとき, f (x, y)が積分可能であるための必要十分条件は, ムーア・ スミスの極限の意味で,等式 lim ∆ V∆= lim∆ n ∑ i=1 viµ(Ei) = 0 が成り立つことである． 系6.2.1 Eとf (x, y)は定理6.2.3と同じであるとする. このと き,等式 lim ∆ V∆= lim∆ n ∑ i=1 viµ(Ei) = 0 が成り立つことと, 任意のε > 0に対し, あるEの分割∆ が存在 して, V∆= n ∑ i=1 viµ(Ei) < ε (6.2.23)

が成り立つこととは同値である． 命題 6.2.1 R2の有界可測集合Eにおいて関数f (x, y)が積分 可能ならば, Eの任意の可測部分集合E′においてもf (x, y)は積分 可能である． 証明 定理6.2.3の系において, E′の境界によるKの分割∆0の 細分∆を考えればよい. // ここで, 2次元リーマン積分の存在定理として次の定理を示す. 定理 6.2.4 R2の可測有界閉集合Eにおいて連続な関数は積分 可能である. 証明 有界閉集合Eにおいて連続な関数は一様連続であるから, 任意のε > 0に対し,分割∆をδ = δ(∆)が十分小なるようにとれ ば, vi = Mi− mi < εとできる. ゆえに, V∆= n ∑ i=1 viµ(Ei) < εµ(E). (6.2.24) εは任意であるから,系6.2.1により結論を得る.// 命題6.2.2 R2の可測有界閉集合Eにおいて有界可測関数f (x, y) の不連続点の集合Bの測度が0ならば, f (x, y)はEにおいて積分 可能である． 注意 6.2.2 定理2.2.5の後の注意2.2.2と同じことが言える.

6.3

2

次元リーマン積分の基本性質

本節において, 2次元リーマン積分の基本性質について考察する． 定理 6.3.1 集合EはR2の可測集合であるとし, 関数f (x, y) とg(x, y)はEにおいて積分可能であるとする．このとき, 次の (1)∼(6)が成り立つ: (1) α, βが定数ならば, αf (x, y) + βg(x, y)もEにおいて積分 可能で,次の等式が成り立つ: ∫ ∫ E {αf(x, y) + βg(x, y)}dxdy = α ∫ ∫ E f (x, y)dxdy + β ∫ ∫ E g(x, y)dxdy. (6.3.1) (2) E = E1+ E2がEの直和分割ならば,次の等式が成り立つ: ∫ ∫ E f (x, y)dxdy = ∫ ∫ E1 f (x, y)dxdy+ ∫ ∫ E2 f (x, y)dxdy. (6.3.2) (3) f (x, y)≥ 0ならば,不等式 ∫ ∫ E f (x, y)dxdy≥ 0 (6.3.3) が成り立つ. さらに, f (x, y)が内点(x0, y0)∈ Eにおいて連続で, f (x0, y0) > 0ならば,次の不等式が成り立つ: ∫ ∫ E f (x, y)dxdy > 0. (6.3.4)

(3′) f (x, y)≥ g(x, y)ならば,不等式 ∫ ∫ E f (x, y)dxdy≥ ∫ ∫ E g(x, y)dxdy (6.3.5) が成り立つ. さらに, f (x, y)とg(x, y)がEの内点(x0, y0)において連続 で, f (x0, y0) > g(x0, y0)ならば,次の不等式が成り立つ： ∫ ∫ E f (x, y)dxdy > ∫ ∫ E g(x, y)dxdy. (6.3.6) (4) |f(x, y)|もEにおいて積分可能で,不等式 ∫ ∫ E f (x, y)dxdy≤ ∫ ∫ E |f(x, y)|dxdy (6.3.7) が成り立つ． (5) f (x, y)g(x, y)もEにおいて積分可能である． (6) Eにおいて,|g(x, y)| ≥ k > 0となる定数kが存在するなら ば, f (x, y) g(x, y) もE において積分可能である． 定理 6.3.2 (積分の第一平均値の定理) 集合EはR2 の可測有 界閉集合であるとし,関数f (x, y) はEにおいて有界かつ積分可能 であるとし, f (x, y)のEにおける上限と下限をそれぞれM, mと する．このとき,等式 ∫ ∫ E f (x, y)dxdy = αµ(E) (6.3.8) を満たす実数αが存在する. ただし, m≤ α ≤ M であるとする. 特に, f (x, y)が有界閉領域Eにおいて連続ならば, α = f (x0, y0) となる点(x0, y0)がEにおいて存在する．

証明 定理6.3.1(3′)によって, mµ(E) = ∫ ∫ E mdxdy≤ ∫ ∫ E f (x, y)dxdy ≤ ∫ ∫ E M dxdy = M µ(E). (6.3.9) ゆえに,式(6.3.8)を得る． 後半は連続関数に対する中間値の定理によって明らか.// 定理6.3.2を拡張して次の形の平均値の定理が成り立つ． 定理6.3.3 EはR2の可測閉領域とし, Eにおいて,関数f (x, y) は連続で,関数φ(x, y)は有界かつ積分可能で,弱い意味で一定の符 号を有するならば,ある点(ξ, η)∈ Eに対し,等式 ∫ ∫ E f (x, y)φ(x, y)dxdy = f (ξ, η) ∫ ∫ E φ(x, y)dxdy (6.3.10) が成り立つ． 上の定理の証明において必要な一つの結果を補題として次に述 べる． 補題6.3.1 集合EはR2の可測有界閉領域であるとするする. こ のとき,関数f (x, y)はEにおいて有界かつ積分可能ならば, f (x, y) の連続点がEにおいて少なくとも一つ,したがって稠密に存在する. 証明は1変数の場合と同様である． 定理6.3.4 集合EはR2の有界可測集合であるとし, K = [a, b]× [c, d]はEを含む有界閉区間であるとする. 関数f (x, y)はEにお いて有界かつ積分可能であるとし, f∗(x, y) =    f (x, y), ((x, y)∈ E), 0, ((x, y)∈ K\E) (6.3.11)

とおく. いま, χE(x, y)はEの定義関数であるとし,形式的に f∗(x, y) = f (x, y)χE(x, y) と表す. このとき,次の等式が成り立つ: ∫ ∫ E f (x, y)dxdy = ∫ b a ∫ d c f (x, y)χE(x, y)dxdy. (6.3.12)